Federal University of Rio de Janeiro · 2011. 3. 17. · Author: Test Created Date: 3/17/2011...

Capıtulo 6

Limite de Funcoes

6.1 O conceito de limite

No Capıtulo 5, determinamos a inclinacao da reta tangente a parabola y = f(x) = a x2+b x+c num ponto (x0, f(x0)).O metodo empregado consistiu em obter esta inclinacao a partir das declividades das retas secantes que passam pelospontos (x0, f(x0))e (x0 + h, f(x0 + h)), tomando valores arbitrariamente pequenos para h, isto e, fazendo h tendera zero. Este metodo pode ser empregado para uma funcao f qualquer. De fato, para determinar a declividade da

reta tangente a uma curva qualquer y = f(x) basta estudar o comportamento do quociente f(x0+h)−f(x0)h , quando h

se aproxima de zero ou, usando notacao matematica, precisamos calcular o

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= lim

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

Para que isso seja possıvel, e preciso aprofundar um pouco mais o estudo do conceito matematico de limite.Comecaremos este estudo de maneira intuitiva, por meio de alguns exemplos.

Exemplo 1Vamos estudar o comportamento da funcao f definida por f(x) = x2 − x+ 2 para valores de x proximos de 2. A

primeira tabela a seguir mostra os valores de f(x) quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2. Nestecaso, dizemos que x se aproxima de 2 pela esquerda. A segunda mostra os valores de f(x) quando x se aproxima de2 por valores maiores do que 2, isto e, quando x se aproxima de 2 pela direita.

x f(x)1.0 2.01.5 2.751.8 3.441.9 3.711.95 3.85251.99 3.97011.995 3.9850251.999 3.997001

x f(x)3.0 8.02.5 5.752.2 4.642.1 4.312.05 4.15252.01 4.03012.005 4.0150252.0001 4.003001

Veja este comportamento ilustrado no grafico abaixo:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y

1 2 3 4x

Tanto as tabelas acima quanto o grafico da parabola mostram que a medida que x se aproxima de 2 quer peladireita, quer pela esquerda, f(x) se aproxima de 4, ou seja, podemos fazer f(x) ficar tao perto de 4 quanto quisermos,bastando para isso tomarmos x suficientemente proximo de 2. Para descrever este comportamento matematicamente,usamos a notacao

limx→2

(x2 − x+ 2) = 4

(Le-se: o limite de f(x), quando x tende a 2, e 4).

71

72 Cap. 6. Limite de Funcoes

De um modo geral, dizer que

limx→x0

f(x) = L

significa que, a medida que x se aproxima de x0, os valores de f(x) ficam proximos de L, e, mais do que isso, podemosmelhorar cada vez mais esta aproximacao, isto e, podemos tornar a diferenca entre f(x) e L, em valor absoluto, taopequena quanto quisermos, bastando para isso escolher x suficientemente proximo de x0.

• Usando as tabelas construıdas neste exemplo, verifique quao proximo x deve estar de 2, para que | f(x)−4 | < 0, 01.

Na definicao de limite, dizer que “x se aproxima de x0” significa que, para o calculo de limites, podemos tomarx bem pertinho de x0, sem que x seja igual a x0. De fato, para o calculo de limites nao interessa o valor da funcaono ponto x = x0, mas somente como a funcao f se comporta perto deste ponto. Este fato e ilustrado nos graficos aseguir. No primeiro deles, f nao esta definida em x = 1; no terceiro, f(1) = 2; nos dois casos temos que lim

x→1f(x) = 2.

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

Exemplo 2

Nesse exemplo estudaremos o comportamento da funcao f(x) = x3 para valores de x proximos de −2.

Graficamente temos:

–16

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

Para observar numericamente o comportamento dessa funcao, estude as tabelas dadas a seguir. Na primeira, afuncao f e calculada para uma sequencia de valores de x se aproximando de −2, pela direita. Na segunda, calculamosf(x) quando x se aproxima de −2, pela esquerda.

x x3

−1.500000000 −3.375000000−1.750000000 −5.359375000−1.875000000 −6.591796875−1.937500000 −7.273193359−1.968750000 −7.630828857−1.984375000 −7.813961029−1.992187500 −7.906615734−1.996093750 −7.953216493−1.998046875 −7.976585381−1.999023438 −7.988286971

x x3

−2.500000000 −15.62500000−2.250000000 −11.39062500−2.125000000 −9.595703125−2.062500000 −8.773681641−2.031250000 −8.380889893−2.015625000 −8.188968658−2.007812500 −8.094116688−2.003906250 −8.046966612−2.001953125 −8.023460396−2.000976563 −8.011724473

W.Bianchini, A.R.Santos 73

O grafico e as tabelas acima sugerem que

limx→(−2)

x3 = −8.

Exercıcio 1

Considere a funcao f(x) = x3.

1. Usando o metodo descrito acima, tente achar um provavel valor para limx→2

x3.

2. Determine quao proximo x deve estar de 2 para que∣∣x3 − 8

∣∣ < .0001.

Exemplo 3

Vamos estudar agora o comportamento da funcao g, cuja definicao e graficos sao dados abaixo a esquerda, paravalores de x proximos de 1. Observe, graficamente, o que ocorre com essa funcao nas proximidades do ponto 1 nografico a direita.

> g:=piecewise(x<1,x-2,x>=1,x+1);

g :={x− 2 x < 1x+ 1 1 ≤ x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

x

Observe separadamente o comportamento desta funcao quando x se aproxima de 1 pela esquerda (primeiro grafico)e pela direita (segundo grafico).

–4

–3

–2

–1

1

2

3

x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

x

Observe, agora, numericamente, esse comportamento. Na primeira tabela, x se aproxima de 1 pela direita. Nasegunda, pela esquerda.

x g(x)1.500000000 2.5000000001.250000000 2.2500000001.125000000 2.1250000001.062500000 2.0625000001.031250000 2.0312500001.015625000 2.0156250001.007812500 2.0078125001.003906250 2.0039062501.001953125 2.0019531251.000976563 2.000976563

x g(x).5000000000 −1.500000000.7500000000 −1.250000000.8750000000 −1.125000000.9375000000 −1.062500000.9687500000 −1.031250000.9843750000 −1.015625000.9921875000 −1.007812500.9960937500 −1.003906250.9980468750 −1.001953125.9990234375 −1.000976563

Notamos, nesse caso, que o comportamento de g(x) difere daquele dos exemplos anteriores, pois a funcao assumediferentes valores quando x se aproxima de 1 pela direita ou pela esquerda. As tabelas acima sugerem que quando xse aproxima de 1 pela direita a funcao g(x) se aproxima de 2 e, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, g(x) seaproxima de −1. A notacao matematica para essa situacao e

limx→1+

g(x) = 2 e limx→1−

g(x) = −1.


(Le-se: o limite de g(x) quando x tende a 1 pela direita e 2 e o limite de g(x) quando x tende a 1 pela esquerda e −1.)

Esses limites sao chamados, respectivamente, limite lateral a direita e limite lateral a esquerda. Quando, comonesse caso, os limites laterais sao diferentes, dizemos que a funcao nao tem limite no ponto x = x0.

Assim, o limite de uma funcao em um ponto x0 existe, quando os limites laterais existem e sao iguais.

• Confirme essa afirmacao para as funcoes estudadas nos exemplos anteriores.

Exercıcio 2

Estude o comportamento da funcao f(x) =|x |x

para valores de x proximos de zero, isto e, calcule limx→0+

f(x) e

limx→0−

f(x) e conclua se existe o limx→0

f(x). Como nos exemplos anteriores, faca uma analise grafica e numerica.

Sugestao: Qual o valor de f(x) para x > 0? E para x < 0?

Exemplo 4: Uma aplicacao

Retornemos, agora, ao problema estudado no capıtulo anterior, de encontrar a inclinacao da reta tangente aparabola y = f(x) = x2 no ponto x0 = 1. Como vimos, este problema e equivalente a estudar o comportamento da

funcao g(x) =f(x)− f(x0)

x− x0, quando x se aproxima de x0.

Como nos exemplos anteriores, faremos uma analise grafica e numerica. As tabelas a seguir mostram o com-portamento desta funcao quando x se aproxima de 1. A tabela da esquerda mostra o comportamento do quociente

g(x) =x2 − 1

x− 1quando x se aproxima de 1 pela esquerda, isto e, por valores menores que 1. A outra tabela mostra

este mesmo comportamento quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, por valores maiores que 1. Nos dois

casos, a medida que x se aproxima de 1 os valores do quocientex2 − 1

x− 1se aproximam de 2. Observa-se este mesmo

comportamento no grafico da funcao g mostrado ao lado.

xx2 − 1

x− 1

.5000000000 1.500000000

.7500000000 1.750000000

.8750000000 1.875000000

.9375000000 1.937500000

.9687500000 1.968750000

.9843750000 1.984375000

.9921875000 1.992187500

.9960937500 1.996093750

.9980468750 1.998046875

.9990234375 1.999023438

xx2 − 1

x− 1

1.500000000 2.5000000001.250000000 2.2500000001.125000000 2.1250000001.062500000 2.0625000001.031250000 2.0312500001.015625000 2.0156250001.007812500 2.0078125001.003906250 2.0039062501.001953125 2.0019531251.000976563 2.000976563

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

As tabelas e o grafico sugerem que limx→1

g(x) = 2. Neste exemplo, este limite representa a declividade da reta

tangente a curva f(x) = x2 no ponto x0 = 1. Repare, uma vez mais, que ao estudarmos o limite de uma funcao numponto x0, estamos interessados em conhecer o que acontece com os valores dessa funcao nas proximidades do pontox0. Este comportamento independe do valor da funcao em x0, visto que esta funcao, como neste exemplo, nem aomenos precisa estar definida nesse ponto! O ponto (1, 2) aparece no grafico anterior marcado por um pequeno discopara enfatizar que o ponto x = 1 nao pertence ao domınio da funcao g. Para x = 1, temos que g(x) = x + 1 pois,nesse caso, podemos simplificar a expressao que define g e obter

x2 − 1

x− 1=

(x+ 1) (x− 1)

x− 1= x+ 1.

A notacao limx→1

g(x) = 2 significa que a medida que os valores de x se aproximam de 1 quer pela direita, quer

pela esquerda, os valores de g se aproximam de 2, e que podemos tornar a diferenca | g(x) − 2 | tao pequena quantoquisermos, bastando para isso escolhermos x suficientemente proximo de 1, sem nunca, no entanto, alcancar este valor.Repare a mensagem emitida pelo Maple quando tentamos calcular a funcao g no ponto x = 1.

> g(1);

Error, (in g) division by zero


Neste exemplo:

- Quao proximo x deve estar de x0 para que a distancia de g(x) a 2 seja menor que 1/100?

- Quao proximo x deve estar de x0 para que a distancia de g(x) a 2 seja menor que 1/1000?

No exemplo acima, vimos que embora g(x) nao esteja definida em x0 = 1, os valores de g(x) se aproximam de 2 amedida que x se aproxima de 1, e se quisermos tornar a diferenca entre g(x) e 2 menor que 1/10 basta tornarmos adiferenca entre x e x0 menor que 1/10; se quisermos que | g(x)− 2 | < 1

100 , basta fazermos |x− x0 | < 1100 . Experimente!

Exemplo 5: Limites infinitosConsidere agora a funcao y = f(x) = 1

x2 . Pode-se concluir imediatamente que y sempre sera positivo e que y naoesta definido quando x = 0. Mas o que acontece quando x se aproxima de zero?

Observe as tabelas a seguir. A da esquerda mostra o comportamento desta funcao para valores de x positivos e seaproximando de zero. A da direita, mostra o comportamento desta funcao para valores negativos de x se aproximandode zero.

x1

x2

.5000000000 4.

.2500000000 16.

.1250000000 64..06250000000 256..03125000000 1024..01562500000 4096..007812500000 16384..003906250000 65536..001953125000 262144..0009765625000 .1048576 107

x1

x2

−.5000000000 4.−.2500000000 16.−.1250000000 64.−.06250000000 256.−.03125000000 1024.−.01562500000 4096.−.007812500000 16384.−.003906250000 65536.−.001953125000 262144.−.0009765625000 .1048576 107

Neste caso, notamos que a medida que x se aproxima de zero, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores

correspondentes de f(x) “explodem”, isto e, crescem, sem limite, em valor absoluto. Dizemos, entao, que quando xtende a zero a funcao tende a + ∞ . Em notacao matematica escrevemos lim

x→0f(x) = ∞ ou f(x) → ∞ quando x→ 0.

Observe esse comportamento no seguinte grafico (Veja o texto eletronico):

0

20

40

60

80

100

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Note que, neste exemplo, a medida que x se aproxima de zero, os valores de f(x) nao se aproximam de nenhumnumero, portanto o lim

x→0f(x) nao existe. A notacao lim

x→0f(x) = ∞ serve, somente, para indicar que podemos tornar os

valores de f(x) arbitrariamente grandes, bastando para isso tomarmos x suficientemente proximo de zero. Na notacaousada acima para indicar este comportamento, nao estamos considerando ∞ como um numero, nem afirmando que olimite existe. Ela serve somente para indicar a maneira especial como a funcao se comporta perto do zero.• Voce e capaz de dar outros exemplos de funcoes que apresentem este mesmo comportamento?

• Considere a funcao g(x) = − 1x2 e analise o seu comportamento quando x se aproxima de zero. Voce podera verificar

que g(x) decresce sem limite, isto e, tende a −∞. Neste caso escrevemos limx→0

g(x) = −∞.

Nos dois casos acima, quando x se aproxima de zero o grafico da funcao se aproxima da reta x = 0. A reta x = 0e chamada de assıntota vertical ao grafico da funcao y = g(x).

Exemplo 6: Limites no infinito


Considerando novamente a funcao f(x) = 1x2 , vamos agora observar o que acontece com os seus valores quando x

cresce em valor absoluto e se torna muito grande.

As tabelas seguintes mostram os valores de f calculados para valores positivos de x, sucessivamente crescentes epara valores de x sucessivamente decrescentes, respectivamente:

x1

x2

1024. .9536743164 10−6

2048. .2384185791 10−6

4096. .5960464478 10−7

8192. .1490116119 10−7

16384. .3725290298 10−8

32768. .9313225746 10−9

65536. .2328306437 10−9

131072. .5820766091 10−10

262144. .1455191523 10−10

524288. .3637978807 10−11

.1048576 107 .9094947018 10−12

x1

x2

−1024. .9536743164 10−6

−2048. .2384185791 10−6

−4096. .5960464478 10−7

−8192. .1490116119 10−7

−16384. .3725290298 10−8

−32768. .9313225746 10−9

−65536. .2328306437 10−9

−131072. .5820766091 10−10

−262144. .1455191523 10−10

−524288. .3637978807 10−11

−.1048576 107 .9094947018 10−12

Veja no texto eletronico a animacao grafica correspondente.

Nesse caso dizemos que o limite da funcao e zero quando x tende para +∞ ou −∞, isto e, quando x cresce semlimite (x→ +∞) ou quando x decresce sem limite (x→ −∞). Em notacao matematica escrevemos:

limx→∞

f(x) = 0 e limx→−∞

f(x) = 0

Novamente, os sımbolos +∞ e −∞ nao sao numeros. Estes sımbolos indicam somente que estamos considerandovalores de x cada vez maiores, em valor absoluto.

Observe tambem que, quando x cresce em valor absoluto, isto e, x → +∞ ou x → −∞, o grafico da funcao seaproxima da reta y = 0. Nesse caso, a reta y = 0 e chamada de assıntota horizontal ao grafico da funcao f .

6.1.1 Assıntotas ao grafico de uma funcao

Pelos dois exemplos anteriores, intuitivamente podemos concluir que uma reta e uma assıntota ao grafico de umafuncao quando, a medida que um ponto se move ao longo da curva, a distancia desse ponto a reta se aproxima de zeroindefinidamente, sem nunca chegar a zero.

As definicoes a seguir expressam as ideias de assıntotas verticais e horizontais ao grafico de uma funcao y = f(x)em termos matematicos mais precisos:

Assıntota vertical

Dizemos que uma reta x = a e uma assıntota vertical ao grafico de uma funcao y = f(x) se uma das condicoes severifica:

limx→a+

f(x) = ∞, limx→a+

f(x) = −∞, limx→a−

f(x) = ∞ ou limx→a−

f(x) = −∞.

Assıntota horizontal

Dizemos que uma reta y = a e uma assıntota horizontal ao grafico de uma funcao y = f(x) se

limx→∞

f(x) = a ou se limx→−∞

f(x) = a

. • Voce e capaz de definir uma condicao que permita determinar quando uma reta y = mx + b e uma assıntotainclinada ao grafico de uma funcao y = f(x)? (Veja Problema 9 da Secao Problemas Propostos).

• E possıvel determinar uma condicao que permita afirmar quando uma funcao f(x) se aproxima de uma outra funcaoqualquer, nao necessariamente uma reta, quando x → +∞ ou quando x → −∞? (Veja Projeto: Assıntotas e outrasfuncoes limitantes).


6.1.2 Exercıcios

1. Para a funcao f cujo grafico e dado a seguir, estime o valor dos seguintes limites, caso existam:

(a) limx→1+

f(x)

(b) limx→1−

f(x)

(c) limx→1

f(x)

(d) limx→2+

f(x)

(e) limx→2−

f(x)

(f) limx→2

f(x)

(g) limx→0+

f(x)

(h) limx→0−

f(x)

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

2. Para a funcao f cujo grafico e dado a seguir, estime os seguintes limites, caso existam:

(a) limx→−π

2+f(x)

(b) limx→−π

2−f(x)

(c) limx→−π

2

f(x)

(d) limx→π

2+f(x)

(e) limx→π

2−f(x)

(f) limx→π

2

f(x)

–6

–4

–2

0

2

4

6

y

–6 –4 –2 2 4 6x

Determine as equacoes das assıntotas verticais.

3. (a) Esboce o grafico da funcao g(x) =

2− x se x < −1x se −1 ≤ x < 14 se x = 14− x se x > 1

(b) Use o grafico esbocado no item anterior para estimar o valor dos seguintes limites, caso existam:i. lim

x→−1−g(x)

ii. limx→1−

g(x)

iii. limx→−1+

g(x)

iv. limx→1+

g(x)

v. limx→−1

g(x)

vi. limx→1

g(x)

4. Considere a funcao y = 1x .

(a) Qual o seu domınio?

(b) Quais suas assıntotas?

(c) Qual o comportamento da funcao quando x se aproxima de zero pela direita? E quando x se aproxima dezero pela esquerda?

(d) Esboce o grafico dessa funcao escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracterısticas.

5. Considere a funcao y = xx−1 .

(a) Qual o seu domınio?

(b) Quais suas assıntotas?

(c) Descreva o comportamento da funcao no ponto x = 1.

(d) Esboce o grafico dessa funcao escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracterısticas.

6. (a) Determine o domınio, a imagem e as assıntotas da funcao y = x+ 1x .

(b) Qual o comportamento desta funcao no ponto x = 0?

(c) Esboce o seu grafico.


6.2 Definicoes

Na secao anterior, “calculamos” intuitivamente limites de funcoes por meio da analise dos seus graficos e tambempela observacao de tabelas que listavam valores de pontos do tipo (x, f(x)). Essas pesquisas graficas e/ou numericassao uteis para obter informacoes preliminares e nos ajudar a prever um valor para o limite procurado. Embora, namaioria das vezes sugiram o valor correto do limite (veja nas atividades de laboratorio alguns exemplos onde esteprocedimento conduz a conclusoes erradas), nao constituem uma demonstracao no sentido em que os matematicos aentendem.

Para obtermos uma demonstracao, no sentido matematico do termo, de uma afirmacao envolvendo limites, torna-senecessario definir com rigor e precisao o que significam expressoes do tipo “a medida que x se aproxima de xo, osvalores de f(x) se aproximam de L” ou “podemos tornar a diferenca entre f(x) e L, em valor absoluto, tao pequenaquanto quisermos, bastando para isso considerar x bastante proximo de xo, sem no entanto nunca atingir esse valor”.

Na verdade, o significado preciso de expressoes do tipo acima foi alvo de discussoes acaloradas e acirradas entreos matematicos durante seculos. Foi somente no final do seculo XIX que o matematico alemao Karl Weierstrass(1815-1897) formulou a definicao de limite que usamos nos dias de hoje e que apresentamos a seguir.

6.2.1 Definicao 1: Limite de uma funcao em um ponto

Na secao anterior, concluımos que, dada uma funcao y = f(x), dizemos que L e o limite de f(x) quando x se aproximade x0 ou quando x tende a x0, se pudermos tornar a diferenca entre f(x) e L tao pequena quanto quisermos, bastandopara isso considerar x suficientemente proximo de x0. Nesse caso escrevemos

limx→x0

f(x) = L.

O ponto central nessa ideia e o de que podemos obter estimativas do valor limite e que estas estimativas, paraqualquer proposito pratico, podem estar tao proximas quanto se queira do valor exato.

Para isso comecamos com uma funcao m(x) que nos da uma famılia de estimativas. Imagine, por exemplo, umafuncao m que, para cada valor de x, nos de uma estimativa para a declividade da reta tangente a curva y = f(x) noponto x0 = 0, 5. Neste caso,

m(x) =f(x)− f(0, 5)

x− 0, 5

que e a declividade da reta secante que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)).

Existe um valor ideal que gostarıamos que x assumisse. Neste exemplo, a declividade exata da reta tangente seriaobtida quando o segundo ponto (x, f(x)), coincidisse com o primeiro (x0, f(x0)) e, consequentemente, a reta secantecoincidisse com a reta tangente. Este valor ideal na realidade, e impossıvel de ser atingido. Verifique no exemplodado, que a funcao m nao esta definida para x = 0, 5.

Na maioria das aplicacoes praticas, nao necessitamos da resposta exata, mas de uma resposta aproximada com umcerto erro permitido. A letra grega ε e, tradicionalmente, usada para denotar este erro permitido. Dependendo dasituacao o erro ε pode ser grande ou muito, muito pequeno.

Para cada erro permitido, existe uma tolerancia, de tal maneira que se x dista do valor ideal x0 menos do que atolerancia, entao a estimativa esta dentro do padrao de erro tolerado, isto e, a diferenca entre o valor exato e o valoraproximado encontrado, em valor absoluto, e menor do que o erro permitido.

Colocando estas ideias em termos matematicos precisos, temos a definicao abaixo.

Definicao: A expressao

limx→x0

f(x) = L

significa que para todo erro permitido ε > 0, nao importa quao pequeno ele seja, existe uma tolerancia δ > 0, tal quese 0 < |x− x0 | < δ entao | f(x)− L | < ε.

A figura a seguir ilustra essa definicao:


y = f(x)

L

L + ε

εL -

xo xo +δδxo -

Os pontos do grafico de y = f(x) que satisfazem a desigualdade | f(x)− L | < ε sao os pontos que estao entre asduas retas horizontais y = L − ε e y = L + ε (por que?). Este e o afastamento (erro) permitido do valor exato L.Da mesma forma, os pontos desse grafico que satisfazem a desigualdade |x− x0 | < δ sao aqueles que estao entre asretas verticais x = x0 − δ e x = x0 + δ. Esta e a faixa de tolerancia. Dessa maneira, a definicao de limite nos diz que:sendo dadas duas retas horizontais y = L − ε e y = L + ε (ε > 0), faixa de erro permitido, e possıvel escolher duasretas verticais x = x0 − δ e x = x0 + δ (δ > 0), faixa de tolerancia, de tal maneira que se x estiver dentro da faixa detolerancia, f(x) estara dentro da faixa de erro permitido. (Veja a animacao no texto eletronico.)

Repare ainda que nao importa quao proximas estejam as retas horizontais (isto e, quao pequeno seja ε, o erropermitido), sempre sera possıvel determinar duas retas verticais – faixa de tolerancia – tais que sempre que x estiverdentro da faixa de tolerancia, f(x) estara dentro da faixa de erro permitido. Observe a veracidade desta afirmacaoilustrada no diagrama a seguir. Execute a animacao correspondente no texto eletronico.

Esta claro, agora, para voce o significado geometrico da frase: podemos tornar a distancia | f(x)− L | tao pequenaquanto quisermos, bastando para isso considerar x suficientemente proximo de x0?

Repare, mais uma vez, que o valor do limite de uma funcao f(x) em um ponto x0 nao tem necessariamente relacaocom o valor desta funcao neste ponto. Este e um importante aspecto do estudo de limites. Uma funcao nao precisaestar necessariamente definida no ponto x0 para que exista o limite de f(x) em x0, basta apenas que a funcao f estejadefinida em alguma vizinhanca restrita de x0, isto e, em um conjunto obtido de um intervalo aberto contendo x0,excluindo-se esse ponto. Por exemplo, para estudar o lim

x→x0

f(x) basta que f esteja definida em intervalos abertos do

tipo (x0 − 0.5, x0) e (x0, x0 + 0.5) ou (x0 − 0.1, x0) e (x0, x0 + 0.1) ou equivalentes.

Exemplo 1Vamos usar a definicao acima para provar rigorosamente que lim

x→33x− 4 = 5.

Para isso e preciso descobrir um modo de achar um valor de δ (tolerancia) que torne verdadeira a implicacao existentena definicao de limite, qualquer que seja o valor de ε (erro permitido) dado. O metodo de achar δ depende da funcaof e dos valores de x0 e de L.

Dado ε > 0, deve-se achar δ > 0 tal que

| (3x− 4)− 5 | < ε se 0 < |x− 3 | < δ.

Ora,

| (3x− 4)− 5 | = | 3x− 9 | = 3 |x− 3 | .

Assim, se tomarmos δ = ε3 , teremos que a desigualdade |x− 3| < ε

3 implicara que

| (3x− 4)− 5 | = |3x− 9| = 3 |x− 3 | < 3ε

3= ε,

como querıamos.


Logo, qualquer que seja o numero ε > 0 dado a priori, basta escolher δ = ε3 para obtermos as desigualdades

desejadas. Este exemplo ilustra tambem o fato de que o numero δ e, em geral, escolhido em funcao do numero ε.

Exercıcio 1Tendo em vista a relacao obtida acima para o valor de δ, calcule quao perto x deve estar de 3 para que 3x− 4

diste de 5 menos do que 110000 .

Exemplo 2Vamos provar que lim

x→23x2 + 5 = 17.

Para isso, dado ε > 0, precisamos achar δ > 0 tal que∣∣ (3x2 + 5)− 17

∣∣ < ε toda vez que tivermos 0 < |x− 2 | < δ.

Como∣∣ (3x2 + 5)− 17

∣∣ = 3∣∣x2 − 4

∣∣ = 3 |x+ 2 | |x− 2 |, a ideia e provar que 3 |x+ 2 | |x− 2 | pode tornar-setao pequeno quanto se queira, desde que se escolha |x− 2 | suficientemente pequeno.

Para isso, basta observar que se |x− 2 | e suficientemente pequeno, o valor de |x+ 2 | = | (x− 2) + 4 | ≤ |x− 2 |+4nao pode ser muito grande.

Assim, por exemplo, se |x− 2 | < 1, entao |x+ 2 | < 5, portanto,

|x− 2 | < 1 ⇒∣∣ (3x2 + 5)− 17

∣∣ < 15 |x− 2 | (∗)

Por sua vez, para tornarmos essa ultima expressao menor do que ε, basta escolhermos |x− 2 | < ε15 . Assim,

escolhendo δ como o menor dentre os dois numeros 1 e ε15 , teremos que,

se 0 < |x− 2 | < δ, entao∣∣ (3x2 + 5)− 17

∣∣ < 15 |x− 2 | < ε,

como querıamos demonstrar. Note que a primeira desigualdade vale porque δ < 1 e portanto (*) e verdadeira e aultima desigualdade vale porque δ < ε

15 , portanto, |x− 2 | < ε15 .

Exercıcio 2Tendo em vista a demonstracao anterior, calcule δ para que 3x2 + 5 diste de 17 menos do que 1

3000 .

Exercıcio 3Considere f(x) = x3. Dado ε = .0001 determine 0 < δ que satisfaca a definicao de limite para x0 = 2, isto e,

determine quao proximo x deve estar de 2 para que∣∣x3 − 8

∣∣ < .0001

Exercıcio 4Aplique a definicao de limite para mostrar que:

(a) limx→a

x2 = a2 (b) Se a > 0, limx→a

√x =

√a. Sugestao: Use a identidade |

√x−

√a| = |x−a|√

x+√a.

6.2.2 Definicao 2: Limites laterais

Da mesma forma, podemos definir em termos matematicos precisos as nocoes de limites laterais a direita e a esquerda.

Definicao 2.1: Limite lateral a direita

Suponha uma funcao f definida no intervalo aberto (x0, a), a > x0. Dizemos que o numero L e o limite lateral adireita de f(x) no ponto x0, quando podemos fazer os valores de f(x) tao perto de L quanto quisermos, bastando paraisso escolher x, no intervalo (x0, a), suficientemente proximo de x0.

Em linguagem matematica, temos limx→x0

+f(x) = L, se, dado qualquer numero ε > 0, nao importa quao pequeno

ele seja, e sempre possıvel achar um numero δ > 0 tal que | f(x)− L | < ε para todo x que satisfizer as desigualdadesx0 < x < x0 + δ.

Veja a animacao no texto eletronico que ilustra essa definicao.Observamos, uma vez mais, que a funcao f(x) nao precisa estar definida em x0, mas apenas no intervalo (x0, a).

Definicao 2.2: Limite lateral a esquerda

Suponha uma funcao f definida no intervalo aberto (a, x0), a < x0. Dizemos que o numero L e o limite lateral aesquerda de f(x) no ponto x0 quando podemos tornar os valores de f(x) tao perto de L quanto quisermos, bastandopara isso escolher x, no intervalo (a, x0), suficientemente proximo de x0.


Em linguagem matematica, dizemos que limx→x−

0

f(x) = L se, dado qualquer numero ε > 0, nao importa quao

pequeno ele seja, e sempre possıvel achar um numero δ > 0 tal que | f(x)− L | < ε para todo x que satisfizer asdesigualdades x0 − δ < x < x0.

Observe a animacao correspondente no texto eletronico.Como no caso anterior, a funcao f(x) nao precisa estar definida em x0, mas apenas no intervalo (a, x0).Repare que quando os dois limites laterais no ponto x0 existem e sao iguais, temos que dado qualquer numero

ε > 0, nao importa quao pequeno ele seja, e sempre possıvel achar um numero δ > 0 tal que |f(x)− L| < ε paratodo x que satisfizer as desigualdades x0 < x < x0 + δ e x0 − δ < x < x0 simultaneamente, isto e, para todo x talque x0 − δ < x < x0 + δ. Esta ultima desigualdade e equivalente a |x− x0 | < δ, portanto, obtemos a definicao delim

x→x0

f(x) = L. Por isso, a existencia e igualdade dos limites laterais e uma condicao necessaria e suficiente para a

existencia do limite no ponto. Veja a animacao no texto eletronico que ilustra essa afirmacao.Como vimos na secao anterior, quando os limites laterais num ponto x0 qualquer sao diferentes, nao existe o

limx→x0

f(x). Execute a animacao do texto eletronico para visualizar esta afirmacao.

Exercıcio 5

Se f(x) ={x+ 1 2 ≤ x−x x < 2

, calcule f(2), limx→2+

f(x) e o limx→2−

f(x).

Exercıcio 6(a) Calcule lim

x→0+

√x.

(b) Existe o limx→0

√x? Justifique sua resposta.

6.2.3 Definicao 3: Limites Infinitos

Na secao anterior, vimos tambem que, dada uma funcao y = f(x), se f(x) cresce sem limite a medida que x se aproximade x0, dizemos que

limx→x0

f(x) = +∞.

De um modo mais geral, dado qualquer numero positivo N , tao grande quanto quisermos, sempre podemos acharum numero positivo δ, tal que, se

0 < |x− x0 | < δ, entao f(x) > N

Observamos novamente que a funcao nao precisa estar necessariamente definida no ponto x0, mas apenas em umintervalo aberto contendo x0.

Exercıcio 7Calcule δ para que a funcao f(x) = 1

x2 seja maior que 100000 toda vez que |x | < δ.

Exercıcio 8Defina em termos matematicos precisos o que entendemos por lim

x→x0

f(x) = −∞

Exercıcio 9O que significam precisamente as expressoes: lim

x→x+0

f(x) = −∞ e limx→x−

0

f(x) = +∞. De exemplo de uma funcao

que apresente esse comportamento no ponto x0 = 0 e de uma outra funcao que apresente este comportamento em umponto x0 qualquer.

6.2.4 Definicao 4: Limites no infinito

Na secao anterior, vimos ainda alguns exemplos de funcoes y = f(x), que se aproximavam de um valor L a medidaque x crescia em valor absoluto. Em notacao matematica escrevemos:

limx→∞

f(x) = L ou limx→−∞

f(x) = L.

Neste caso, a reta y = L e uma assıntota horizontal ao grafico da funcao f .De um modo mais geral, dado qualquer numero positivo ε, tao pequeno quanto quisermos, sempre podemos achar

um numero positivo N , tal que:


| f(x)− L | < ε sempre que |x | > N .

Exercıcio 10Calcule N para que a funcao f(x) = 1

x diste de zero menos que 11000 , isto e, diga quao grande devemos considerar

x para que∣∣ 1x

∣∣ < 11000 .

6.3 Teoremas e propriedades operatorias

Nas secoes anteriores vimos que, para calcular limites, nao podemos nos basear, exclusivamente, em estimativasnumericas que apenas sugerem o valor do limite e podem por vezes serem enganosas (veja exemplos desta afirmacaonas atividades de laboratorio) nem em aplicacoes diretas da definicao de limite para tentar provar o que tais estimativassugerem, porque essas definicoes sao muito difıceis para serem aplicadas comumente.

Para calcular limites com facilidade, precisamos de regras ou leis que simplifiquem o processo de calculo de limites,tornando-o mais simples. Essas regras sao na realidade teoremas que sao demonstrados a partir das definicoes rigorosasde limite, dadas na secao anterior.

Uma vez demonstrados, podemos usar estes resultados apropriadamente para calcular limites, o que reduz essecalculo, como veremos a seguir, a manipulacoes algebricas, em geral simples.

Teorema 1: Unicidade do limite

Se limx→x0

f(x) = L1 e limx→x0

f(x) = L2, entao L1 = L2.

A ideia da demonstracao e supor que L1 = L2 . Se a partir dessa hipotese chegarmos a uma conclusao absurda,teremos provado que nao e possıvel que L1 = L2 e, portanto, L1 = L2.

DemonstracaoSe L1 = L2, podemos considerar o numero positivo ε = |L1−L2|

2 . Como limx→x0

f(x) = L1, sabemos que existe um

numero δ1 tal que se 0 < |x− x0 | < δ1, entao | f(x)− L1 | < ε.Alem disso, como lim

x→x0

f(x) = L2, sabemos que existe, tambem, um numero δ2 tal que se 0 < |x− x0 | < δ2, entao

| f(x)− L2 | < ε.Seja δ = min(δ1, δ2), isto e, seja δ o menor dentre os numeros δ1 e δ2. Entao |f(x)− L1| < ε e |f(x)− L2| < ε,

portanto,

|L1 − L2| = |L1 − f(x) + f(x)− L2| ≤ |L1 − f(x)|+ |f(x)− L2| < ε+ ε = 2 ε.

Daı, temos|L1 − L2 | < |L1 − L2 |

Como o numero |L1 − L2| nao pode ser estritamente menor do que ele mesmo, chegamos a um absurdo, portanto,a hipotese que fizemos (supor L1 = L2) nao pode ser verdadeira. Assim, temos necessariamente que L1 = L2, o queprova a unicidade do limite.

Teorema 2: Limite da funcao identidade

Se f(x) = x, entao limx→x0

f(x) = x0.

Este teorema e inteiramente intuitivo e diz simplesmente que, a medida que x se aproxima de x0, f(x) = x seaproxima, como e obvio, do mesmo valor. Para demonstrar, rigorosamente, este teorema, basta tomar na definicao delimite δ = ε e a conclusao segue trivialmente.

Teorema 3: Limite da funcao constante

Se f(x) = c, onde c e uma constante qualquer, entao limx→x0

f(x) = c.

Este e outro resultado bastante intuitivo. Se a funcao, independente de qual seja o valor de x, sempre assume omesmo valor constante c , nao importa quao proximo x esteja de x0, o valor de f , e portanto o valor do limite, serasempre igual a c.

Usando a definicao formal de limite, precisamos mostrar que, para qualquer numero positivo escolhido ε, e paraqualquer valor de δ (nao importa quao proximo x esteja de x0), se |x− x0 | < δ, entao | f(x)− c | < ε.

Esta conclusao e verdadeira qualquer que seja o numero positivo ε, pois a diferenca f(x)− c sera sempre zero.

Teorema 4: Limite da soma


Se limx→x0

f(x) = L e limx→x0

g(x) =M , entao limx→x0

(f(x) + g(x)) = L+M .

Este teorema diz, simplesmente, que se f(x) esta perto de L, e se g(x) esta perto de M quando x esta perto de x0,entao f(x) + g(x) esta perto de L+M quando x esta perto de x0.

DemonstracaoSeja ε > 0. Como lim

x→x0

f(x) = L, existe um δ1 tal que

(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, entao | f(x)− L | < ε2 .

Alem disso, como limx→x0

g(x) =M , existe um δ2 tal que

(ii) se 0 < |x− x0 | < δ2, entao | g(x)−M | < ε2 .

Considere agora δ = min(δ1, δ2), entao, se 0 < |x− x0 | < δ, (i) e (ii) valem simultaneamente, e podemos concluirque

| (f(x) + g(x))− (L+M) | ≤ | f(x)− L |+ | g(x)−M | < ε

2+ε

2< ε ,

que e o resultado desejado.

Teorema 5: Limite da diferenca

Se limx→x0



(f(x)− g(x)) = L−M .

A demonstracao desse resultado e analoga a anterior. Tente demonstra-lo.

Teorema 6: Limite do produto

Se limx→x0



(f(x) g(x)) = LM .

Este teorema afirma, simplesmente, que podemos fazer o produto f(x) g(x) tao proximo de LM quanto quisermos,bastando para isso escolher x suficientemente proximo de x0.

A demonstracao e baseada na observacao de como os erros nas medidas do comprimento e da largura de umretangulo afetam a sua area. Suponha que queremos construir um retangulo cujo comprimento seja L e cuja larguraseja M . Consequentemente, sua area sera LM .

Se cometermos um erro ao medirmos o comprimento deste retangulo e um outro erro ao medirmos a sua largura,estes erros serao propagados para a area do retangulo. Veja a figura a seguir, onde o erro total cometido na medidada area esta representado por linhas pontilhadas.

LMM

L

Como a figura sugere, o erro na area pode ser dividido em tres partes. A primeira parte pode ser entendida comoo produto do erro cometido no comprimento pela a largura do retangulo original; a segunda e o produto do errocometido na largura pelo comprimento do retangulo original, finalmente, a terceira pode ser entendida como a area deum outro retangulo cujas medidas dos lados sao o erro cometido no comprimento e na largura do retangulo original,respectivamente. Como e possıvel controlar a area destes tres retangulos, controlando o tamanho do erro cometido namedida de L e M , podemos controlar o erro total cometido ao medirmos a area do retangulo original, isto e, o errototal cometido no produto LM .


DemonstracaoSeja ε > 0 . Sabemos que existem numeros positivos δ1 , δ2 e δ3 tais que :(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, entao |f(x)− L| < 1, o que implica |f(x)| < |L|+ 1

(ii) se |x− x0 | < δ2, entao | g(x)−M | < ε

2 (|L|+ 1).

(iii) se 0 < |x− x0 | < δ3, entao | f(x)− L | < ε

2 (|M |+ 1).

Considere agora δ = min(δ1, δ2, δ3), entao, se 0 < |x− x0 | < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente e podemosconcluir que

| (f(x) g(x))− (LM) | < | f(x) | | g(x)−M |+ (|M |+ 1) | f(x)− L |<

ε

2+ε

2< ε ,

o que demonstra o teorema.

Teorema 5: Limite do quociente

Se limx→x0

f(x) = L, limx→x0

g(x) =M e M = 0, entao limx→x0

(f(x)

g(x)) =

L

M.

Este teorema afirma que se f(x) esta proximo de L e g(x) esta proximo de M quando x esta proximo de x0, entao,

desde que M = 0, o quociente f(x)g(x) esta proximo de L

M quando x esta proximo de x0.

Demonstracao

Tendo em vista o teorema anterior, comof(x)

g(x)= f(x)

1

g(x), basta provar que

limx→x0

1

g(x)=

1

M.

Para isso, devemos mostrar que qualquer que seja o numero positivo ε, existe um numero positivo δ, tal que

se 0 < |x− x0 | < δ, entao

∣∣∣∣ 1

g(x)− 1

M

∣∣∣∣ = | g(x)−M ||M | | g(x) |

< ε.

Como limx→x0

g(x) =M , sabemos que, desde que x esteja suficientemente proximo de x0, podemos tornar a diferenca

| g(x)−M | tao pequena quanto quisermos.A ideia, entao, e mostrar que |g(x)| nao pode ser muito grande desde que |g(x)−M | seja pequena .Sejam δ1 e δ2 numeros positivos tais que

(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, entao | g(x)−M | < |M |2 .

Para esses valores de x, temos que |M |2 < |g(x)|, o que e equivalente a

1

|g(x)|<

2

|M |, portanto,

∣∣∣∣ 1

g(x)− 1

M

∣∣∣∣ =2 | g(x)−M |

M2.

(ii) se 0 < |x− x0 | < δ2, | g(x)−M | < ε |M |2

2.

Considere agora δ = min(δ1, δ2). Entao, se 0 < |x− x0 | < δ, (i ) e (ii) valem simultaneamente e podemos concluirque ∣∣∣∣ 1

g(x)− 1

M

∣∣∣∣ < 2 εM2

2M2= ε ,

que e o resultado desejado.


Observe que este teorema nao afirma nada sobre o que acontece quando M = 0. De fato, se M = 0, qualquer coisapode acontecer, mesmo no mais simples dos casos.

Seja, por exemplo, f(x) = k x e g(x) = x, onde k e um numero qualquer. Entao f(x)g(x) = k x

x = k para x = 0 e alem

disso, o limx→x0

f(x)

g(x)= k, qualquer que seja o valor de x0. Veja esse fato ilustrado no diagrama a seguir para k = 2 e

a = 0.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

O disco neste grafico ressalta o fato de que a funcao nao esta definida neste ponto; no entanto, seu limite neste eem todos os outros pontos e igual a k, que, nesse exemplo, foi tomado como sendo 2, mas poderia ser qualquer outronumero.

Ja estudamos uma situacao semelhante a esta quando tentamos calcular a declividade m da reta tangente aografico de uma funcao como o limite das declividades de retas secantes a curva y = f(x), isto e, quando calculamos

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

Nesse caso, quando x se aproxima de x0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero. Esteteorema nao se aplica a essa situacao e nada podemos afirmar quanto ao valor de limites deste tipo.

Para buscar solucoes para situacoes como estas, basta observar que o numerador e o denominador desse quocientetem x− x0 como fator comum, e como estamos interessados no comportamento da funcao quando os valores de xse aproximam de x0, sem nunca chegar a atingir esse valor, podemos simplificar a expressao que define o quocientedividindo numerador e denominador pelo seu fator comum e, depois desta simplificacao, calcular o valor do limite.Repare, no exemplo abaixo, que o Maple faz essa simplificacao automaticamente quando traca o grafico de funcoesdefinidas por expressoes deste tipo.

> m:=x->(x^2-4)/(x-2);

m := x→ x2 − 4

x− 2> plot(m(x),x=-4..4);

–2

0

2

4

6

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

Exercıcio 11

Qual o limite da funcao acima quando x→ 2?

Embora simplificacoes desse tipo sejam validas e empregadas normalmente para o calculo de limites, devemos

sempre lembrar que as funcoes y = x+ 2 e m = x2−4x−2 nao sao iguais, pois seus domınios sao diferentes, embora esse

fato nao seja mostrado no grafico acima.

Exercıcio 12

Se limx→x0

f(x) = L, limx→x0

g(x) = 0, o que se pode afirmar a respeito do limx→x0

(f(x)

g(x))? Nesse caso, qual o comporta-

mento da funcao quociente quando x→ x0?

Teorema 6: Teorema do Sanduıche

Suponha que f(x) ≤ g(x) e que g(x) ≤ h(x) numa vizinhanca restrita de x0 e que limx→x0

f(x) = L = limx→x0

h(x).

Entao limx→x0

g(x) = L.


Este teorema e chamado Teorema do Sanduıche, ou do Confronto, porque diz, simplesmente, que se uma funcao,numa certa vizinhanca de x0 onde estamos interessados em estudar o seu comportamento, esta comprimida entreoutras duas que tendem ao mesmo limite L, entao o seu limite nesse ponto tambem deve ser L. Veja a ideia geometricailustrada a seguir:

–0.15

–0.1

–0.05

0

0.05

0.1

0.15

–0.4 –0.3 –0.2 –0.1 0.1 0.2 0.3 0.4x

Demonstracao

Seja ε > 0 e sejam δ1 e δ2 tais que :

(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, entao | f(x)− L | < ε, isto e, L− ε < f(x) < L+ ε.

(ii) se 0 < |x− x0 | < δ2, entao |h(x)− L | < ε, isto e, L− ε < h(x) < L+ ε.

Dizer que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), numa vizinhanca restrita de x0, significa dizer que existe um numero p tal que

(iii) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x pertencente ao intervalo (x0 − p, x0 + p).

Seja δ = min(δ1, δ2, p). Entao, se 0 < |x− x0| < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente, e podemos concluirque

L− ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L+ ε.

Estas ultimas desigualdades sao equivalentes a afirmar que

| g(x)− L | < ε,

como querıamos demonstrar.

Os resultados enunciados a seguir, sao consequencia direta dos teoremas anteriores. Deixamos suas demonstracoescomo exercıcio para o leitor.

Corolario 1: Mostre que limx→a

xn = an.

Corolario 2: Se limx→a

f(x) = L e C e uma constante qualquer, entao

limx→a

C f(x) = C L .

Corolario 3 Sejam a0, a1, a2, . . . , an constantes quaisquer.Se f(x) = an x

n + an−1 x(n−1) + ...+ a1 x+ a0, entao lim

x→af(x) = f(a).

Corolario 4 Sejam a0, a1, a2, . . . , an e b0, b1, b2, . . . , bn constantes quaisquer. Considere

f(x) = an xn + an−1 x

(n−1) + ...+ a1 x+ a0,g(x) = bn x

n + bn−1 x(n−1) + ...+ b1 x+ b0 e

h(x) =f(x)

g(x).

Prove que se a pertence ao domınio de h, entao limx→a h(x) = h(a).

Os teoremas enunciados nesta secao transformam, na maioria dos casos, o calculo de limites em simples calculosalgebricos. Exemplos de aplicacao dos teoremas no calculo de limites sao mostrados na proxima secao.


6.4 Exemplos de aplicacoes dos teoremas no calculo de limites

Exemplo 1 Calcule limx→3

x2 + 4x+ 4.

Solucao Aplicando a regra da soma, temos:

limx→3

x2 + 4x+ 4 = ( limx→3

x2) + ( limx→3

4x) + ( limx→3

4)

Pela regra do produto e da multiplicacao por constante, temos que:

( limx→3

x2) + ( limx→3

4x) + ( limx→3

4) = ( limx→3

x) ( limx→3

x) + ( limx→3

4) ( limx→3

x) + 4

Logo, concluımos quelimx→3

x2 + 4x+ 4 = 32 + 4 (3) + 4 = 25

o que transforma o calculo desse limite num simples calculo algebrico.


2x+ 5

x2 + 4x+ 4.

Solucao No exemplo anterior, vimos que o limx→3

x2 + 4x+ 4 = 0, portanto, podemos aplicar a regra do quociente

para afirmar que:

limx→3

2x+ 5

x2 + 4x+ 4=

limx→3

2x+ 5

limx→3

x2 + 4x+ 4=

2 (3) + 5

32 + 4 (3) + 4=

11

25.


[(x2 − x)

13 + (x3 + x)

9].

Solucao

limx→1

[(x2 − x)

13 + (x3 + x)

9]

= limx→1

(x2 − x)13 + lim

x→1(x3 + x)

9=[limx→1

(x2 − x)] 1

3

+[limx→1

(x3 + x)]9

=[limx→1

x2 − limx→1

x] 1

3

+[limx→1

x3 + limx→1

x]9

= (12 − 1)13 + (13 + 1)

9= 29 = 512

.

Observacao Se f(x) = x2 + 4x + 4, entao f(3) = 25 e, no Exemplo 1, poderıamos ter obtido o valor correto delimx→3

f(x) calculando, simplesmente, f(3). Esta mesma observacao vale para os Exemplos 2 e 3. As funcoes dos

Exemplos 1 e 2 sao polinomios e funcoes racionais (veja proximo capıtulo), respectivamente e, os Corolarios 3 e 4garantem que, se f(x) e um polinomio ou uma funcao racional e a pertence ao domınio de f , entao lim

x→af(x) = f(a).

Funcoes para as quais vale esta propriedade sao chamadas de funcoes contınuas e serao estudadas no Cap. 8.

Exemplo 4 Ache limx→1

x2 − 1

x− 1.

Solucao Seja f(x) = x2−1x−1 . Neste caso, nao podemos calcular o limite simplesmente substituindo x = 1 na

expressao que define f , pois f(1) nao esta definida. Nem podemos aplicar o teorema do Quociente, porque o limite dodenominador e zero. A ideia e trabalhar algebricamente com a expressao dada, fazendo algum tipo de simplificacaoantes de tentar calcular o limite pedido. Assim,

x2 − 1

x− 1=

(x+ 1) (x− 1)

(x− 1).

O numerador e o denominador tem o fator comum x−1. Quando x se aproxima de 1, temos que x = 1, entao x−1 = 0.Logo, podemos cancelar o fator comum e calcular o limite como fazemos a seguir.

limx→1

x2 − 1

x− 1= lim

x→1

(x+ 1) (x− 1)

(x− 1)= lim

x→1(x+ 1) = 1 + 1 = 2 .


Exemplo5 Ache o limx→1

g(x), onde g(x) =

{x+ 1 se x = 1π se x = 1

Solucao Neste exemplo g esta definida em x = 1 e g(1) = π, mas, para uma funcao qualquer, o valor do limiteem um ponto independe do valor da funcao neste ponto. Como g(x) = x+ 1 para x = 1,

limx→1

g(x) = limx→1

(x+ 1) = 2.

Note que as funcoes dos Exemplos 4 e 5 sao iguais, exceto quando x = 1, portanto, elas tendem para o mesmo limitequando x→ 1. Veja os graficos destas duas funcoes, mostrados a seguir.

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

Exemplo 6 Calcule limh→0

(3 + h)2 − 9

h.

Solucao Seja F (h) = (3+h)2−9h . Como no Exemplo 4, precisamos simplificar F (h) antes de calcular o limite.

Assim, temos

F (h) =(9 + 6h+ h2)− 9

h=

6h+ h2

h= 6 + h.

(Lembre-se de que quando h→ 0 estamos considerando h = 0, portanto os calculos algebricos acima estao corretos.)Em vista das igualdades acima, temos que

limh→0

(3 + h)2 − 9

h= lim

h→0(6 + h) = 6 .

Exemplo 7 Calcule limt→0

√t2 + 9− 3

t2.

Solucao Nao podemos aplicar o teorema do quociente imediatamente porque o limite do denominador e zero.Aqui, o algebrismo consiste em racionalizar o numerador para tentarmos algum tipo de simplificacao. Assim,

√t2 + 9− 3

t2=

√t2 + 9− 3

t2·√t2 + 9 + 3√t2 + 9 + 3

=(t2 + 9)− 9

t2 (√t2 + 9 + 3)

=1√

t2 + 9 + 3.

As igualdades acima permitem concluir que

limt→0

√t2 + 9− 3

t2= lim

t→0

1√t2 + 9 + 3

=1√

limt→0

(t2 + 9) + 3=

1

3 + 3=

1

6

Para calcular alguns limites, e preciso calcular, separadamente, os limites laterais a esquerda e a direita. Osteoremas da secao anterior para limites, valem, tambem para limites laterais. Os dois exemplos abaixo ilustram casosonde e necessario o calculo separado dos limites laterais.

Exemplo 8 Mostre que limx→0

|x | = 0.

Solucao Como |x | = x, para x > 0, tem-se

limx→0+

|x | = limx→0+

x = 0.

Como, |x | = −x, entaolim

x→0−|x | = lim

x→0−(−x) = 0.


Consequentemente, como os limites laterais existem e sao iguais, entao

limx→0

|x | = 0.

Exemplo 9 Se f(x) =

{ √x− 4 se x > 4

8− x se x < 4. Determine, se existir, lim

x→4f(x).

Solucao Como f(x) =√x− 4, para x > 4, temos que

limx→4+

f(x) = limx→4+

√x− 4 =

√4− 4 = 0.

Como f(x) = 8− x, para x < 4 temos que

limx→4−

f(x) = limx→4+

(8− x) = 4.

Como os limites laterais sao diferentes, nao existe limx→4

f(x).

6.5 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo lab2.mws da versao eletronica deste texto.

6.6 Exercıcios

1. Se limx→a

f(x) = 4, limx→a

g(x) = −2 e limx→a

h(x) = 0, calcule os seguintes limites:

(a) limx→a

(f(x)− g(x))

(b) limx→a

f(x)

g(x)

(c) limx→a

(g(x))2

(d) limx→a

h(x)

f(x)

(e) limx→a

1

(f(x) + g(x))2.

2. (a) O que esta errado na identidadex2 + x− 6

x− 2= x+ 3?

(b) Tendo em vista o item anterior, explique por que a identidade

limx→2

x2 + x− 6

x− 2= lim

x→2(x+ 3)

esta correta.

3. Se limx→a

(f(x) + g(x)) = 2 e limx→a

(f(x)− g(x)) = 1, calcule limx→a

(f(x) g(x)).

6.7 Problemas propostos

1. Nos ıtens a seguir, aplique as propriedades operatorias de limites para calcular os limites que existam:

(a) limx→0

5x4 − 4x3 + 2x− 14

(b) limx→−1

2x− x4

(c) limx→−1

(x2 − 2)5

(d) limx→1

x+ 1

x2 − 2x− 2

(e) limx→3

x2 − 9

x− 3

(f) limy→3

1y − 1

3

y − 3

(g) limt→−4

√t+ 8

25− t2

(h) limx→0

√x+ 4− 2

x

(i) limx→4

x− 4√x− 2

(j) limx→1

x2 + x− 2

x2 − 4x+ 3

(k) limx→2

(x− 2)2

x4 − 16

(l) limx→0

√1 + x−

√1− x

x

2. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→0−

x

2− |x |(b) lim

x→0+

x

2− |x |


(c) Tendo em vista os dois itens anteriores, o que se pode afirmar a respeito do limx→0

x

2− |x |?

(d) limx→3−

√9− x2 (e) lim

x→2

2− x

|x− 2 |(f) lim

x→0f(x), onde

{f(x) = x2 se x ≤ 0f(x) = −x se x > 0

3. Para cada uma das seguintes funcoes, ache limx→3

f(x)− f(3)

x− 3.

(a) f(x) = 2x2

(b) f(x) = 3x2

(c) f(x) = x2

2

(d) f(x) = mx, (m=constante)

(e) f(x) = 2x2 + 3x+ 1

(f) f(x) = 1x , para x = 0

(g) f(x) = x3

(h) O que representa geometricamente esse limite?

4. Para as funcoes do problema anterior, ache limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0para um ponto x0 qualquer.

5. No capıtulo sobre retas tangentes, vimos, geometricamente, que nao existe reta tangente a curva y = |x | noponto x0 = 0. Usando a definicao de declividade de reta tangente e a teoria dos limites desenvolvida nessecapıtulo, prove analiticamente esta afirmacao.

6. (a) Um tanque contem 5000 litros de agua pura. Agua salobra contendo 30 g de sal por litro de agua e bombeadapara o tanque, a uma taxa de 25 l/min. Mostre que a concentracao de sal no tanque apos t minutos (em

g/l) e dada por C(t) =30 t

200 + t.

(b) O que acontece com a concentracao quando t→ ∞.

7. Ache limx→∞

f(x) se

4x− 1

x< f(x) <

4x2 + 3x

x2

para todo x > 5.

8. Suponha que | f(x) | ≤ g(x) para todo x. Se limx→a

g(x) = 0, calcule limx→a

f(x).

9. O grafico de uma funcao y = f(x) tem uma assıntota inclinada de equacao y = mx+ b se limx→∞

(f(x)−(mx+b)) =

0 ou se limx→−∞

(f(x)− (mx + b)) = 0. (Os valores de m e b podem ser diferentes em cada caso.)

(a) Prove que a reta y = x e uma assıntota ao grafico da funcao y = x+ 1x .

(b) O grafico da funcao f(x) = x(13 ) (1−x)( 2

3 ) tem uma assıntota inclinada. Encontre a equacao dessa assıntota.

Sugestao No caso em que x→ +∞, m = limx→∞

f(x)

xe b = lim

x→∞(f(x)−mx ). Analogamente, se calcula m

e b no caso em que x→ −∞.

(c) Tendo em vista a definicao de assıntota inclinada, por que as expressoes acima para m e b sao validas?

10. Dizemos que uma funcao f(x) e limitada quando existe um numero M tal que | f(x) | ≤ M , para todo x nodomınio de f . Suponha que f e limitada. Mostre que:

(a) limx→0

x f(x) = 0

(b) limx→a

g(x) = 0, entao limx→a

g(x) f(x) = 0. De um contra-exemplo para mostrar que, se f nao e limitada, essa

conclusao nao vale.

(c) Mostre que se limx→a

f(x) = 0, entao limx→a

f(x) sen(x) = 0.

11. Suponha que limx→a

f(x) = f(a) > 0. Prove que existe uma vizinhanca de a na qual f(x) > 0, isto e, prove que

existe um δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x no intervalo (a− δ, a+ δ).

12. Considere a funcao f(x) definida por f(x) =

{0, para x irracional1, para x racional

.

Explique por que qualquer que seja o numero real a, o limx→a

f(x) nao existe.


13. (a) Se limx→a

f(x) e limx→a

g(x) nao existem, pode existir o limx→a

(f(x) + g(x))? E o limx→a

(f(x) g(x))?

(b) Se limx→a

f(x) e limx→a

(f(x) + g(x)) existem, o que se pode afirmar a respeito do limx→a

g(x)?

(c) Se limx→a

f(x) existe e limx→a

g(x) nao existe, pode existir o limx→a

(f(x) + g(x))?

(d) Se limx→a

f(x) e limx→a

(f(x) g(x)) existem, temos necessariamente que o limx→a

g(x) existe?

6.8 Exercıcios adicionais

1. Calcule os limites abaixo:

(a) limx→2

√2x2 + 3x+ 2

6− 4x

(b) limx→1

√x− 1

x− 1

(c) limx→0

1−√1− x

x

(d) limx→−2

4− x2

2 + x

(e) limx→1

√2x−

√x+ 1

x− 1

(f) limz→4

√2 z + 1− 3

√z − 2−

√2

(g) limx→−1

x3 + 2x2 − 1

x2 − 2x− 3

(h) limr→ 1

2

4 r3 − 3 r + 1

4 r3 − 4 r2 + r

(i) limx→1

x√x− x+

√x− 1

x− 1(j) lim

x→∞[x3 − 5x2 + 7]

(k) limx→−∞

x

k, k = 0

(l) limx→∞

√x2 − 2x+ 2

x+ 1

(m) limx→−∞

√x2 − 2x+ 2

x+ 1

(n) limx→∞

(x2 + 1)(13 )

x+ 1

(o) limx→−∞

(x2 + 1)(13 )

x+ 1

(p) limy→∞

√y2 + 3 y + 2− y

(q) limz→∞

z −√z2 − 4

(r) limx→∞

√x+

√x+

√x

x

(s) limx→∞

1x − 1

x2

1x3 − 1

x4

(t) limu→−∞

(u3 + 2u− 1)5

(u2 + u− 6)4

(u) limt→∞

(t2 + 1)5 (√t− 1)3 (t2 + 1)

(2 t2 − 5)2

(v) limy→∞

[y

y + 1− 1

y2 − 1]

2. Calcule os seguintes limites, caso existam:

(a) limx→0

√x2 + a2 − a√x2 + b2 − b

, com a, b > 0

(b) limh→−4

√2 (h2 − 8) + h

h+ 4

(c) limx→∞

√x2 + 1−

√x√

x

(d) limx→1

(1

1− x− 3

1− x3)

3. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→3+

x√x2 − 9

(b) limx→5

4

x− 5

(c) limx→3−

√x3 − 27

x2 − 9

(d) limx→−2

− 3

(x+ 2)2

(e) limx→0−

x+ 1x

1 + x2

4. Em cada um dos itens abaixo, calcule limx→a+

f(x) e limx→a−

f(x), caso estes limites existam.

(a) f(x) =

{3x− 2 1 < x2 x = 14x+ 1 x < 1

, a = 1 (b) f(x) =

{sen(x) π

4 < xcos(x) x < π

4

, a = π4

(c) f(x) = |x− 2 | (x−1x−2 ), a = 2

(d) Em quais dos ıtens anteriores existe o limx→a

f(x)? (Justifique a sua resposta.) Neste caso, qual o valor deste

limite?

5. Em cada um dos ıtens abaixo, determine as constantes a e b para que as afirmacoes sejam verdadeiras:

(a) limx→∞

(x2 + 1

x+ 1− (a x+ b)) = 0 (b) lim

x→−∞

a x3 + b x2 + x+ 1

3x2 − x+ 2= 1


6. Encontre as assıntotas horizontais e verticais ao grafico das funcoes abaixo:

(a) f(x) = x2

4−x2

(b) f(x) = 4 x2√x2−2

(c) h(x) = 2√x2−4

(d) f(x) = − 3 x√x2+7 x+10

(e) f(x) = 1x2+5 x+6

(f) f(x) = ( 12+x − 1

2 )1x

7. Seja f(x) = (x−1)(2 x+2)x−1 .

(a) Encontre o limx→1

f(x).

(b) Para cada um dos valores de ε dados abaixo, indique um valor de δ que satisfaca a definicao formal delimite:i. ε = 1 ii. ε = 0, 4 iii. ε = 0, 1

8. Seja f(x) =

{ 1, x ≤ 13, 1 < x < 25, 2 ≤ x

.

(a) Indique, se existir, o valor de limx→a

f(x), quando a = 1; a = 1,00001; a = 1,999998; a = 2.

(b) Nos pontos onde existir o limx→a

f(x), para qualquer ε > 0, indique um valor de δ > 0 que satisfaca a definicao

formal de limite.

9. Seja L = limx→1

f(x) e ε > 0. Em cada um dos ıtens abaixo, ache um δ tal que | f(x)− L | < ε, para todo x que

satisfaca 0 < |x− 1 | < δ.

(a) f(x) = x4 (b) f(x) = 1x (c) f(x) = x4 + 1

x

6.9 Um pouco de historia: Cauchy, Weierstrass e a teoria dos limites

Ao estabelecimento das bases do Calculo, por Newton e Leibniz no seculo XVII, seguiu-se um perıodo de livre desen-volvimento do assunto no seculo XVIII.

Matematicos como os irmaos Bernoulli e Euler foram os primeiros a vislumbrar o poder do Calculo e exploraras consequencias dessa nova e maravilhosa teoria matematica, sem, no entanto, grandes preocupacoes com o rigormatematico nas suas demonstracoes.

O seculo XIX, ao contrario, ficou conhecido como a Era do Rigor Matematico. Houve um movimento de retorno aosfundamentos de cada assunto para que os conceitos, agora, fossem baseados em definicoes cuidadosas e os resultadosobtidos provados rigorosamente.

A frente deste movimento estava o matematico frances Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), que era engenheiromilitar antes de se tornar professor de matematica em Paris.

Cauchy trabalhou com o conceito de limite, cuja ideia basica havia sido desenvolvida por Newton, tornando-a maisprecisa. Sua definicao de limite era mais ou menos assim:

Quando sucessivos valores atribuıdos a uma variavel se aproximam indefinidamente de um valor fixo e, no fim, diferem deste

valor fixo por um valor tao pequeno quanto se queira, este ultimo valor e chamado o limite de todos os outros.

Usando esta definicao em demonstracoes e exemplos, Cauchy geralmente usava desigualdades envolvendo epsilonse deltas analogas aquelas que usamos neste capıtulo. Uma tıpica prova de Cauchy comecava assim:

chame de ε e δ dois numeros muito pequenos ....

Ele usava a letra grega ε em razao da analogia com a palavra francesa “erreur” (erro).Mais tarde, o matematico alemao Karl Weierstrass (1815-1897) estabeleceu a definicao de limite exatamente como

a que empregamos hoje.

6.10 Para voce meditar: Do nada a criacao do universo

Desde o primeiro grau sabemos que 0, 9999 · · · = 1, e nos livros didaticos, em geral, aparece a seguinte demonstracao:

Seja x = 0, 999 · · ·, entao 10x = 9, 999 · · ·.Daı temos que 10x− x = 9 ⇒ x = 1.


Este mesmo raciocınio e empregado no segundo grau para deduzir a formula para a soma dos termos de uma PGinfinita de razao menor que 1 do modo descrito a seguir.

Seja S igual a soma dos termos de uma PG cujo termo geral e dado por an = ( 12 )n. Entao

S = 1 +1

2+

1

4+

1

8+ . . . .

Daı temos queS

2=

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . . .

Logo,

S − S

2= 1 ⇒ S = 2.

Vamos agora aplicar este mesmo raciocınio para calcular a soma dos termos da PG infinita cujo termo geral e dadopor an = 2n. Seja, entao,

S = 1 + 2 + 4 + . . . .

Assim, temos que2S = 2 + 4 + 8 + . . .⇒ S − 2S = 1 ⇒ S = −1.

Ou seja, acabamos de “demonstrar” que 1 + 2 + 4 + . . . = −1Podemos chegar a outros absurdos semelhantes continuando a usar este mesmo raciocınio. Considere, por exemplo,

S = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .. Entao temos que −S = −1 + 1− 1 + 1− . . ..Assim, obtemos que

S = 1 −1 +1 −1 . . .−(−S) = +1 −1 +1 −1 . . .

Daı vem que 2S = 1 ⇒ S = 12 .

Portanto, acabamos de provar que 0 + 0 + 0 + . . . =1

2, pois, agrupando convenientemente os termos da soma S,

podemos obter tambem queS = (1− 1) + (1− 1) + . . . = 0.

Esse resultado foi muito usado por teologos em meados do seculo XVII para provar que alguma coisa poderia sercriada a partir do nada e que portanto a criacao do Universo (a partir do nada) era uma possibilidade cientificamenteviavel !!!!

• Explique por que o raciocınio nos dois primeiros exemplos esta correto e por que nao pode ser empregado nosdois ultimos casos.Sugestao O sımbolo 0, 9999 · · · representa o limite da sequencia Sn =

∑ni=1 ai, onde ai = (9) (10)−i, para

i = 1, 2, 3 . . ., e a soma S = 1− 1 + 1− 1 + . . . representa o limn→∞

Sn, onde S1 = 1, S2 = 1− 1, S3 = 1− 1 + 1,

e assim por diante.

6.11 Projetos

6.11.1 O caso do povo contra a Espertobras

A Espertobras Ltda., companhia especializada no tratamento de resıduos poluentes, derramou, acidentalmente, umagrande quantidade do Agente Oleoso na Baıa Bonita.

Feitas medicoes apos o acidente, concluiu-se que a concentracao do Agente Oleoso nas aguas da baıa era de 10 ppm(partes por milhao).

Na baıa existem manguezais que, por sua flora e fauna caracterısticas, sao considerados zonas de protecao ambiental.Infelizmente, nao e possıvel remover por meios mecanicos o Agente Oleoso que polui os manguezais: corre-se o

risco de causar danos ainda maiores ao ecossistema local.Alem disso, a pesca na baıa constitui o unico meio de sobrevivencia para diversas colonias de pescadores que vivem

ao seu redor. Devido a contaminacao dos peixes pelo Agente Oleoso, a pesca na baıa foi proibida.Numa tentativa de ressarcir, em parte, os danos causados ao meio ambiente e o prejuızo sofrido pelos pescadores,

moveu-se uma acao popular contra a Espertobras para o estabelecimento de uma multa a ser investida em Programasde Despoluicao da baıa e em auxılio as famılias desempregadas.


Apos uma cuidadosa analise da situacao, cientistas ambientalistas, garantiram que a baıa tem uma capacidadede se autodepurar a uma taxa de 20% ao ano. Baseando-se nesta hipotese, estabeleceram, entao, o seguinte modelomatematico para a concentracao do Agente Oleoso ao longo do tempo:

p(1) = 10p(n+ 1) = 0, 8 p(n)

(Este e um exemplo de um sistema dinamico discreto.)A partir deste modelo, os cientistas chegaram as seguintes previsoes:

Ano Poluente(ppm)

1 102 83 6, 44 5, 125 4, 10

Ano Poluente(ppm)

6 3, 287 2, 628 2, 099 1, 6810 1, 34

Ano Poluente(ppm)

11 1, 0712 0, 8613 0, 6514 0, 5515 0, 44

Ano Poluente(ppm)

16 0, 3517 0, 2818 0, 2319 0, 1820 0, 14

Veja estes dados mostrados no grafico a seguir.

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

De posse destes dados, os advogados da Espertobras Ltda, em defesa do seu cliente, alegaram junto ao tribunalque nao houve um dano real ao meio ambiente provocado pelo derramamento do Agente Oleoso na baıa, porque aofinal de algum tempo o nıvel de poluicao da baıa retornaria ao seu padrao inicial. Para fundamentar esta linha deargumentacao, usaram a formula

limn→∞

p(n) = 0,

explicando que esta formula traduzia em termos matematicos precisos o que aconteceria com a concentracao do AgenteOleoso ao longo do tempo. Alem disso, explicaram tambem que a formula acima significa, matematicamente, que aposum certo tempo a concentracao do Agente Oleoso ficara muito proxima de zero.

O promotor da acao achou que havia alguma coisa errada nesta historia, “matematicamente demonstrada“, masnao sabia como contestar os argumentos matematicos apresentados. Felizmente, uma de suas assistentes, que tinhaestudado Calculo na UFRJ e se lembrava das aulas sobre limites, chamou atencao para o verdadeiro significadomatematico da expressao lim

n→∞p(n) = 0.

A assistente contra-argumentou que, embora depois de muitos anos a concentracao do Agente Oleoso realmente seaproximaria de zero, os peixes e o restante da fauna e da flora aquaticas estariam contaminados e improprios para oconsumo. Por este motivo a pesca na baıa seria proibida ate que a concentracao do Agente Oleoso fique abaixo de 2ppm. Para fundamentar seu raciocınio apresentou o seguinte grafico, ilustrativo da situacao descrita:

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Assim, pelos dados apresentados pelos ambientalistas e pelo grafico acima, ela concluiu que transcorreriam oitolongos anos ate que a baıa pudesse ser liberada para a pesca. Propos, entao que fosse cobrada da Espertobras umamulta de 10 milhoes de reais por cada ano em que a pesca estivesse proibida. Pelos dados apresentados, a multa totaldevida seria de 80 milhoes de reais.

Alem disso, a assistente da promotoria afirmou que a interpretacao matematica dada pelos advogados da Es-pertobras estava correta mas era apenas uma pequena parte da historia. O significado mais preciso da expressaolim

n→∞p(n) = 0 e que para qualquer nıvel de concentracao C do Agente Oleoso havera um tempo T , que pode estar

muito, muito longe no futuro, tal que para todo t ≥ T , isto e, para qualquer tempo posterior, teremos que | p(n) | < C.Dessa maneira, para que a pesca pudesse ser liberada terıamos que ter C = 2 ppm e, neste caso, T = 9 anos.

Sua explicacao foi ovacionada pela plateia. O promotor entao argumentou que, embora o nıvel de 2 ppm fosseadequado para a liberacao da pesca na baıa, a fauna e a flora, especialmente dos manguezais, so se recuperariamcompletamente quando o nıvel de concentracao do Agente Oleoso ficasse abaixo de 0,5 ppm e apresentou o grafico aseguir:

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

concluindo, entao, que este nıvel so seria atingido quando t ≥ 14.Tendo em vista os argumentos apresentados por ambas as partes, o juiz condenou a Espertobras a pagar uma

multa de 140 milhoes de reais (e sem desconto!).

1. Nos itens abaixo, determine quanto tempo deveremos esperar ate que a concentracao de poluentes fique abaixodo nıvel indicado.

(a) A concentracao atual e de 15 ppm e cai a uma taxa de 30% ao ano. O nıvel toleravel de poluicao e de 0,5ppm.

(b) A concentracao atual e de 15ppm e cai a uma taxa de 10% ao ano. O nıvel toleravel de poluicao e de 0,1ppm.

2. No julgamento acima, apesar de todos os interessados terem concordado com a multa estipulada, muitos espe-cialistas discordaram do nıvel aceitavel de poluicao. Para cada um dos especialistas consultados este nıvel seriade:

Para o Professor A. Sim Tabom: 12 ppmPara o Professor E. Justo: 3 ppmPara o Professor Q. Calamidade: 2 ppmPara o Professor Q. Horror: 1 ppm

Calcule a multa que a Espertobras deveria pagar levando em conta a opiniao de cada um dos professoresconsultados.

3. Ainda em relacao ao julgamento acima, os advogados da Espertobras apelaram da sentenca alegando que abaıa ja apresentava um certo nıvel de poluicao antes do derramamento do Agente Oleoso. Supondo que aconcentracao de agentes poluidores na baıa e normalmente de 0,1 ppm, os ambientalistas obtiveram o seguintemodelo matematico para prever a concentracao de poluentes ao longo do tempo

p(1) = 10p(n+ 1) = 0, 1 + 0, 8 (p(n)− 0, 1)

Este modelo, em vez de levar em conta a quantidade de poluicao da baıa, estima a diferenca entre o nıvel depoluicao atual e o nıvel de poluicao natural 0,1. Em outras palavras, se o nıvel aceitavel e C, a Espertobras seramultada por cada ano no qual | p(n) − 0, 1 | ≥ C. Levando em conta este modelo, nos itens abaixo, determinepor quantos anos a Espertobras devera ser multada se


(a) O nıvel tolerado e de 0,05 ppm (b) O nıvel tolerado e de 0,01 ppm

4. A Cia. Agua Pura vende agua mineral. A demanda por seu produto e tao grande que o gerente precisou adquirir10 milhoes de litros de agua de outro fornecedor. Infelizmente, a agua que ele comprou estava contaminada porcoliformes fecais com uma concentracao de 10 ppm. Agua se torna impropria para o consumo se a concentracaode coliformes fecais e superior a 2 ppm. Para nao ter prejuızo, o gerente resolveu diluir a agua adquirida comsua propria agua pura. Que quantidade de agua pura ele deve adicionar a agua contaminada para que a misturase torne propria para o consumo?

6.11.2 Sequencia de Fibonacci

Em 1202, o matematico italiano Leonardo Pisano (1170-1230), conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio), famosopor ter introduzido os algarismos arabicos na Europa, formulou e resolveu o problema descrito a seguir.

“Os coelhos se reproduzem rapidamente. Admitamos que um par de coelhos adultos produza um casal de coelhosjovens todo mes, e que os coelhos recem-nascidos se tornem adultos em dois meses e produzam, por sua vez, nessaepoca, um outro casal de coelhos. Comecando com um casal jovem, de que tamanho estara a colonia apos o primeiro,segundo, terceiro,.... meses?”

No final do primeiro mes ha um par de coelhos, no final do segundo mes existe ainda um unico par, no final doterceiro mes existem 2 pares, e assim por diante.

Seja an o numero de casais de coelhos no final do enesimo mes. Entao, temos a seguinte sequencia: a1 = 1 , a2 = 1, a3 = 2 ..... Esta e a famosa sequencia de Fibonacci.

1. Liste os primeiros sete termos da sequencia de Fibonacci.

2. Como podemos relacionar an+2 a an e an+1, para n = 1; para n = 2 ; para n = 3?

3. Defina an+2 em termos de an e an+1.(Relacoes desse tipo, onde o valor de an e determinado em funcao dos termos precedentes, e chamada, emmatematica, formula de recursao.)

4. Use o comando abaixo, apos substituir os pontos de interrogacao pelo valor que voce achou para an+2, paraachar a solucao desse problema.

> rsolve({a(1)=1,a(2)=1,a(n+2)=??},{a(n)});

5. Quantos pares de coelhos existem ao final do decimo segundo mes?

6. Mostre que a soma dos n primeiros termos de uma sequencia de Fibonacci e dada pela formula: a1 + a2 + ... +an = an+2 − 1.

7. Considere agora a sequencia rk = ak+1

akonde os ak’s sao os termos da sequencia de Fibonacci descrita nos itens

anteriores. Esta sequencia representa a taxa de crescimento do numero de coelhos entre o k -esimo mes e o (k+1)-esimo mes. Calcule os primeiros oito termos dessa sequencia. O que esses numeros parecem sugerir quanto ataxa de crescimento de uma colonia de coelhos desse tipo ao longo do tempo?

8. Mostre que rk = 1rk−1

+ 1.

9. Use a relacao anterior para provar que se limk→∞

rk = r, entao temos que r e a solucao da equacao b2 − b− 1 = 0,

que tem uma unica raiz positiva.Sugestao: Seja ck = rk − r, entao lim

k→∞ck = 0. Escreva r em funcao de ck usando a relacao obtida no item

anterior.

10. Considere a sequencia das seguintes fracoes 1 , 11+1 ,

11+ 1

1+1

, 11+ 1

1+ 11+1

, etc. Mostre que esta sequencia e igual a

sequencia 1r1, 1

r2, 1

r3, etc.

11. Divida um segmento de reta AB em um ponto C tal que ABAC = AC

CB . Esta divisao e chamada secao aurea ou

divisao em media e extrema razao. A razao ABAC e igual ao numero r.

Observacao Acima demonstramos que este numero e irracional e algebrico, isto e, e raiz de uma equacaoalgebrica de coeficientes racionais. Este numero desempenha um importante papel na geometria e na estetica.


O retangulo de lados AB e AC chama-se retangulo aureo e tem a seguinte propriedade: se dele retirarmos umquadrado de lado AC, o retangulo restante sera semelhante ao retangulo original. Este tipo de retangulo temsido considerado por arquitetos e artistas como o retangulo de melhores proporcoes. Exemplos do uso desse tipode retangulo na arquitetura sao encontrados desde a antiguidade ate os nossos dias. Voce e capaz de encontraralguns desses exemplos?

12. Seja l10 o comprimento do lado do decagono regular inscrito em um cırculo de raio r. Prove que l10 divide r emmedia e extrema razao.

6.11.3 Definindo e estimando o numero π

Por meio de medicoes, desde a antiguidade ja era bem conhecido, o fato de ser constante a razao Cd , onde C denota

o comprimento de uma circunferencia e d o seu diametro. Notaremos esta razao com a letra grega π. Desse modo, onumero π = C

d esta bem definido.

Os babilonios e antigos hebreus usavam o numero tres para estimar esta razao. No entanto, quando os gregos, daepoca de Arquimedes (240 A.C.), comecaram a construir maquinas com engrenagens circulares, surgiu a necessidadede se obter uma estimativa melhor para π.

O metodo usado por Arquimedes para resolver este problema, ilustrado na animacao abaixo, se baseia na observacaode que os perımetros dos polıgonos regulares de mesmo numero de lados, inscritos e circunscritos a uma circunferenciade diametro unitario, podem ser usados como aproximacoes, por falta e por excesso, respectivamente, para o numeroπ . Esta aproximacao sera cada vez melhor a medida que aumentarmos o numero de lados dos polıgonos consideradospara este calculo. Veja a animacao no texto eletronico.

O objetivo desse projeto e provar a existencia do numero π e usar a ideia de Arquimedes para estimar o seu valor.

E possıvel construir polıgonos regulares inscritos numa circunferencia qualquer, por um processo recursivo. Sejan um numero natural maior ou igual a 2. O polıgono de 2(n+1) lados e obtido a partir do polıgono de 2n lados poruma divisao ao meio dos angulos formados pelos raios que passam pelos seus vertices. Veja a figura a seguir, ondeconstruımos, por esse processo, um octogono regular a partir do quadrado , isto e, passamos do polıgono de 22 ladospara o polıgono de 23 lados.

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Observe que, a medida que n cresce, a diferenca entre o apotema dos polıgonos inscritos, assim construıdos, e oraio da circunferencia torna-se arbitrariamente pequena.

Do mesmo modo e possıvel obter um polıgono regular de 2(n+1) lados, circunscrito a uma circunferencia, a partir dopolıgono de 2n lados tomando-se como um novo ponto de tangencia a intersecao da bissetriz do angulo central formadopelos raios que passam pelos pontos de tangencia de dois lados adjacentes com a circunferencia, como e mostrado nafigura a seguir.


–1–0.8–0.6–0.4–0.2

0.20.40.60.8

11.21.4

–1 –0.6 0.20.40.60.8 1 1.21.4

Sejam an o apotema do polıgono regular de 2n lados inscrito numa circunferencia de raio R e pn o seu perımetro,e seja Pn o perımetro do polıgono regular de 2n lados circunscrito a mesma circunferencia.

1. Prove que pn < pn+1 qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.

2. Prove que Pn+1 < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.

3. Use os dois itens anteriores para concluir que pn e uma sequencia crescente e Pn e decrescente.

4. Mostre, por semelhanca de triangulos, que pn < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2 (veja figuraa seguir). Daı, conclua que pn < P4.

–1.2–1

–0.8–0.6–0.4–0.2

0

0.20.40.60.8

11.2

–1 –0.6 0.20.40.60.8 1

Como pn e uma sequencia crescente e limitada, existe um numero C tal que C = limn→∞

pn. Vamos definir o

comprimento da circunferencia como sendo este numero C. Assim, podemos tornar a diferenca entre pn e C taopequena quanto quisermos, bastando para isso escolher n suficientemente grande.

5. Mostre que Pn − pn = Pn (R−an)R , e daı, usando o fato de que Pn < P4 qualquer que seja n natural maior do que

2, conclua que podemos tornar a diferenca entre Pn e pn arbitrariamente pequena, bastando para isso considerarn suficientemente grande.

6. Use o fato acima para mostrar que limn→∞

Pn = C.

7. Sejam duas circunferencias de raios a e b e comprimentos Ca e Cb, respectivamente. Usando semelhanca de

triangulos, prove que pna

a = pnb

b e Pna

a = Pnb

b onde, como anteriormente, pna e pn

b ( Pna e Pn

b ) denotam osperımetros dos polıgonos regulares de 2n lados inscritos nas (circunscritos as) circunferencias de raios a e b,respectivamente.

8. Use os itens anteriores e a unicidade do limite para provar Ca

2 a = Cb

2 b .Com isto demonstramos que a razao entre o comprimento C de uma circunferencia de raio R qualquer e o seudiametro e constante. Chamando essa razao de π, temos que C = 2π R ou, equivalentemente, π = C

2R .

9. Considere a circunferencia de raio 12 . Deduza uma formula para pn e outra para Pn, em funcao do angulo central

da circunferencia formado pelos raios que ligam dois vertices consecutivos dos polıgonos e use-a para estimar ovalor de π, com erro menor do que 0, 01.

Arquimedes calculou para π um valor entre 227 e 223

71 . Os hindus e arabes (450 D.C.) chegaram ao valor de 3,1416e Vieta (1593), trabalhando com polıgonos de 393 lados, chegou a um valor entre 3,1415926537 e 3,1415926535.Resultados mais precisos foram obtidos nos seculos XVII e XVIII usando-se a teoria das series infinitas.

Federal University of Rio de Janeiro · 2011. 3. 17. · Author: Test Created Date: 3/17/2011...

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