UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA

Relatrio de Fenmenos de TransporteTransferncia de calor em mais de uma varivel independente

Fabrcio Alves Borges1052068-1

Uberlndia, junho de 2010.

IntroduoEste relatrio visa demonstrar a resoluo de equaes diferenciais, que demonstram o processo de resfriamento ou aquecimento de um corpo semi-infinito (slido ou lquido parado). denominado corpo semi-infinito aquele que possui um incio e infinto a partir da, ou seja, existe uma superfcie de contato com o meio externo. Esta teoria foi estudada no curso de Fenmenos de Transporte no captulo de Transferncia de calor em mais de uma varivel independente.

Modelagem MatemticaO equacionamento do processo de aquecimento ou resfriamento de um corpo semiinfinito resulta em uma equao diferencial parcial (EDP) mostrada na figura abaixo:

Supondo o corpo infinito abaixo na figura 1:

Figura 1. Corpo infinito. Conhecendo as caractersticas de um corpo infinito podemos elaborar as condies de contorno do sistema, onde a condio inicial do problema em t = 0. ( [ ( ( ) ) )

Devido a necessidade de se obter uma soluo que demonstre o comportamento do sistema sem depender de To e Tp, devemos adimensionalizar as condies de contorno e a EDP a ser resolvida. Assim, faremos ( Podemos tambm obter: ( ) ) . Desta relao temos que: ( )

Substituindo estas duas equaes na primeira equao apresentada neste documento, a mesma estar agora em funo de :

As condies de contorno esto mostradas abaixo: ( [ ( ( ) ) )

Agora a soluo da EDP no depender mais dos valores das temperaturas. Para resolver numericamente a EDP, utiliza-se a funo pdepe() do software MATLAB a qual necessita que a primeira equao seja reescrita na forma: ( ) [ ( )] ( )

Assim, a EDP deve ser reescrita e resulta na equao a seguir: ( )

Como a EDP foi resolvida com a ajuda do programa MATLAB, encontra-se abaixo o cdigo fonte digitado:function edpft q = 0; % Expoente EDP y = linspace(0,100,50); % Limites de resoluo n = linspace(0,2e8,50); % Definio dos limites sol = pdepe(q,@write_edp,@inicial,@contorno,y,n);

u = sol(:,:,1); %Pega componente da soluo plot(n,u) %plotar grafico function [b,f,z] = write_edp(y,n,u,DuDx) b = 1/0.00001; %Inverso de Alfa f = DuDx; %Derivada 2ordem z = 0; %termo da edp restante %Condico inicial do problema com t=0. function u0 = inicial(y) u0 = 0; %Condies de contorno function [pl,ql,pr,qr] = contorno(xl,ul,xr,ur,t) pl = ul-1; ql = 0; pr = ur; qr = 0;

ResultadosResolvemos a EDP para as situaes indicadas na tabela: (m2/s) 1 0.01 0.00001 t(s) 2000 2X105 2X108 Ymx(m) 50 50 50

A seguir esto os grficos de em funo do tempo para as situaes da tabela: Para a primeira situao:1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Para a segunda situao:1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8 x 10

25

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8 x 10

25

Para a terceira situao:

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8 x 10

28

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8 x 10

28

ConclusoA partir dos resultados obtidos, pudemos observar a grande influncia do fator na resposta. Quanto menor for o , mais tempo o sistema leva para estabilizar ou entrar em regime constante de temperatura.