Fibonacci - Exercícios Resolvidos
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Fibonacci – Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido 01) Seja 1 2 ... n AA A um polígono regular inscrito em um círculo de raio unitário. Considere que 1 k k d AA = , para 2 k n ≤ ≤ . Demonstrar a seguinte relação: ( ) 2 2 2 5 n k n k d F = − = ∏ , onde n F é o n -ésimo número de Fibonacci. Solução: Seja O o centro do círculo. Aplicando lei dos co-senos no 1 1 (1 1) k AOA k n + ∆ ≤ ≤ − , temos a seguinte relação: ( ) 2 2 2 cos , onde 2 / k d k n θ θ π = − = . Portanto: ( ) ( ) ( ) ( ) () 1 1 1 2 1 1 1 5 5 2 2 cos 3 2 cos 1 n n n k k k k d k k θ θ − − − = = = ⎡ ⎤ − = − − = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∏ ∏ ∏ . Temos que ( ) () ( ) 2 / cos 2 , onde 1 2 2 ik ik k k i n n e e w w k w e w θ θ π θ − − + + = = = = . Substituindo () () 2 em 1 , teremos a seguinte identidade: ( ) ( ) ( ) ( ) () 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 1 5 3 2 3, 2 n k k k k k k n n n k k k nn k k k w m w m w w w w d w w − − − − − = − = = = + + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + − = + = = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∏ ∏ ∏ ∏ onde 2 2 3 5 1 5 2 2 m α ⎛ ⎞ + + = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Reparemos que é verdadeira a seguinte expressão: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4. k n n k n k k n k n k mw mw w m w w m m mw mw − − − − + + + + = = = Substituindo () () 4 em 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 5 . k n k n n n n n k n n k k k k nn nn k k k w m m w mw d w m w m m m w w − − − − − − − − = − − = = = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = = + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∏ ∏ ∏ ∏ É importante notar que , onde 1. n n n F α β αβ α β − = =− − Assim teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 5 n n n n n n n k k k n k k k d w m F w m m α β β α β − − − − − = = = ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ − = + = ⇔ + = ⇔ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∏ ∏ ∏
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Fibonacci Exerccios Resolvidos Exerccio Resolvido 01) Seja 1 2... nA A A um polgono regular inscrito em um crculo de raio unitrio.
Considere que 1k kd A A= , para 2 k n . Demonstrar a seguinte relao: ( )2 2
2
5n
k nk
d F=
= , onde nF o n -simo nmero de Fibonacci.
Soluo: Seja O o centro do crculo. Aplicando lei dos co-senos no 1 1 (1 1)kAOA k n+ , temos a seguinte relao: ( )2 2 2cos , onde 2 /kd k n = = . Portanto: ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 12
1 1 1
5 5 2 2cos 3 2cos 1n n n
kk k k
d k k = = =
= = + . Temos que ( ) ( ) ( )2 /cos 2 , onde 12 2
ik ik k ki n ne e w wk w e w
+ += = = = . Substituindo ( ) ( )2 em 1 , teremos a seguinte identidade:
( ) ( )( )( ) ( )1
21 1 12 1
11 1 1 2
13 15 3 2 3 ,
2
nk k
k k k kn n nk
k k n nk k k
w m w mw w w wdw w
=
= = =
+ + + + + = + = = onde
2
23 5 1 52 2
m + += = = . Reparemos que verdadeira a seguinte expresso:
( ) ( ) ( ) ( )11 4 .k n n k n kk n k n kmw mw w m ww m m mw mw
+ + ++ = = =
Substituindo ( ) ( )4 em 3 :
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 11 1 12 22 11 1
1 1 12
1 1 15 .
k n kn
n nn n k n nk kk
k n n n nk k k
w m m wmwd w m w m
m mww
=
= = =
+ + = = + = +
importante notar que , onde 1.n n
nF
= = Assim teremos:
( ) ( ) ( ) ( ) 211 1 12 1 22 2 21 1 1
15n n nn n nnk k
k nk k k
d w m F w mm
= = =
= + = + =
-
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 22
1 12 2
1 1
/ 1 1/ 1 1
n nn nn nk k
nk k
mw m w m
m
= =
+ = + = =
( ) ( )( )( )
( ) ( )21
21 2 1
12 3 11
11 *
1 1 ... 1
nk
nnk k
n nk
w mmw m
m m m m m
= =
+ + = = + + +
.
verdade que ( )1 1 2 31 2 11
...n
k n n nn
kw m m S m S m S
=+ = + + + + . Este polinmio possui razes da forma
, onde 1 1iir w i n= . Pela frmula de Newton (vide artigo especfico em Fundamentos - Fatorao):
( ) ( )1 1 1 1 11 21 2 11 1 1 1
... 0 5 , onde .n n n n
p np p pi i i n i
i i i ir S r S r S r p
= = = =+ + + + =
Para ( ) p jn j , temos a seguinte relao:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 11 1 1
11 1 1 .1
p nn n np ip p pp i p pi p
i i i
wr w w ww
+
= = =
= = = =
Supondo n par, faamos:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
1
1) em 5 : 1 ... 0
2) 1 em 5 : 1 ... 1 0
3) 2 em 5 : 1 ... 1 0...
1) 2 em 5 : 1 1 ... 0
) 1 em 5 : 1 1
n n
n n
n n
n n
p n n S S S S S
p n S S S S n S
p n S S S n S S
n p S n S S S S
n p n S S
= + + + == + + + + == + + + + =
= + + + + == + + 2 3 2 1... 0n nS S S + + =
Percebe-se claramente que 1 se par e 1, caso contrrio.i iS i S= = Logo:
( )1 1 2 31
... 1n
k n n n
k
w m m m m =
+ = + . Assim, para demonstrarmos ( )* , basta percebermos que, quando parn , a seguinte identidade verdadeira:
( )( ) ( )
21
21 2 321
1 2 12 3 1
... 1 1 1. c.q.d1 ...1 ... 1
nk
n n nk
n nn
w mm m m
m m mm m m m
=
+ + = = = + + + +
Para n mpar, o raciocnio anlogo.
-
Exerccio Resolvido 02) Calcular o valor de ( ) 1 1 1
21
12
nn n
nn
F Fn
++ +=
+ , sabendo que nF o n -simo
nmero de Fibonacci. Soluo:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
21 2
1 11 1 1 1 2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2
1 1Podemos provar, por induo, que , onde , .5 5
E ainda, e so razes da equao 1 0.
E assim .
Logo
n nn
n n n nn n n nn n
F A B A B
F F A B A B A B AB BA
+ + +
= + = = =
= + + = + + +( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )1 1 11 2 2 2 2 2 2
+ + 1 2 2 1 2 1 1 21 1
2n=1 n=1
1 12 21 2 2 2 12 21 2
1 1 1 1
22 1
1
11
2 4
1 114 4 4 4
14 4
n nn n nnn n
n n
n nn nn
n nn n n n
n
n
n A B AB ABn F F
AB AB nnA n B n
n A n
+ + +
++ + + +
= = = =+
=
+ + + + + = =
+ = + + + = = +
( )
( )( )
22 2 22
1 21 1 1
2 22 2 2 21 2
1 21 1 1
21
14 4
11 .4 4 4
Mas observemos que se 1, ento . Assim nosso res1
n n n
n n n
n n n
n n n
n
n
B n AB AB n
A n B n AB AB n
qq nqq
+ + +
= = =+ + +
= = =+
=
+ + = = + + +
< =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 21 2
2 21 22 2 22 2
1 2
2 2
ultado :
14 4 41
111 144 4
3 5 3 5 3 5 3 54 1481 .25 25 25 10 10 125
A BAB AB
+ + + =
+ + = + + =
