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Cursos de Engenharia ALGA, Ficha Recta no plano e no espaço

Exercícios: RECTA NO PLANO

1. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao vector →n , onde:

a) P(3,-1); →n =(1,2); b) P(1,-1);

→n =(1,-1); c) P(3,1);

→n =(0,2); d) P(-1,2);

→n = (1,0).

2. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralela ao vector →v , onde:

a) P(3,-1); →v =(1,2); b) P(1,-1);

→v =(1,-1); c) P(3,1);

→v =(0,2); d) P(-1,2);

→v =(1,0)

3. Escreva a equação da recta que passa por dois po ntos P e Q onde:

a) P(-1,5); Q(2,0); b) P(1,0); Q(0,3 ); c) P(0,1); Q(0,-5); d) P(2 ,3); Q(-5,3)

4. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralela à recta r:

a) P(1,-5); r: 2x - y =3 ; b) P(2,3);

−=+=

ty

txr

3

21: ; c) P(0,1);

3

3

2

1:

+=− yxr ; d) P(2,-1); r: x= 3

5. Determine a equação da recta que passa pelo pont o P e é perpendicular à recta r, onde P e r são

dados no exercício anterior. 6. Complete:

a) A recta 0

1

3

1 +=

+ yx é paralela ao eixo .........; b) A recta

+==

ty

x

32

2 é paralela ao eixo .........;

c) A recta 2

3

0

1 −=

− yx é paralela ao eixo .........

7. Determine o ponto da recta r :

+=+=

ty

tx

1

3 que: a) tem de ordenada 5; b) tem de abcissa –8.

8. O ponto A(0;y) pertence à recta determinada pelos pontos P(1;2) e Q(2;3). Determine o ponto A. 9. Determine o vector direcção , o vector normal , a equação geral , a equação paramétrica , a

equação canónica e a equação axial da recta que passa por dois pontos A e B sendo: a) A(-6,8); B(-1,2); b) A(4,0); B(0,3).

10. Sejam dadas quatro rectas: 2x + 5y –1 = 0; 2x + 3 = 0; 3y – 2 = 0; x – y + 3 = 0. a) Construa estas rectas num mesmo sistema de coordenadas; b) Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção destas rectas, duas a duas.

11. Os lados dum triângulo são dados pelas equações : 4x + 3y – 5 = 0 ; x = 2 e x – 3y + 10 = 0 . a) Determine as coordenadas dos seus vértice s; b) Calcule as medidas das suas alturas

12. Determine as coordenadas do ortocentro do triângulo ABC, sendo: A(-8,3); B(8,5) e C(8,-5). 13. Sejam A(-2,1) e B(3,-4), dois vértices do triângulo ABC. O ponto H(5,-1) é o ortocentro deste triângulo.

Determine as coordenadas do vértice C.

14. Determine as coordenadas do centro de gravidade do triângulo ABC se: a) A(-2,0); B(0,2) e C(2,0); b) A(-8,3); B(8,5) e C(8,-5)

2

15. Calcule a área do paralelogramo ABCD sabendo que: D(6,4); a equação dum lado é: x – 2 y = 0 e a equação do lado BC é x – y – 1 = 0.

16. Ache as coordenadas dos vértices do losango ABCD sabendo que: a equação do lado AB é x + 2y =

4; a equação do lado CD é x + 2y = 10 e que a equação de uma diagonal é y = x + 2.

17. Determine os valores de m e n para os quais as rectas r: mx + 8y + n = 0 e s: 2x + my – 1 = 0 são: a) Paralelas; b) Perpendiculares; c) S ecantes no ponto A(1,-2); d) Coincidentes.

18. Determine a distância do ponto A(2,3) às rectas seg uintes: a) 3x + 4y = -2 ; b) y = 2x – 4 ;

c) x = 3; d) y = 4; e)

+−=−=

ty

tx

33

2; f)

4

3

2

1 +=− yx .

19. Determine a distância entre duas rectas paralelas r e s, onde:

a) r : 2x – y = 0; s: 2x – y = 5; b) r: y = x + 3; s: 3x – 3y + 4 = 0; c) r: x = 1; s: x = -5;

d) r : y = 0; s: 2y = 8; e) r:

−==

ty

tx

1

2; s:

−−=+=

ty

tx

2

21; f) r:

−==

ty

tx

1

2; s : x + 2y = 3

20. Determine as coordenadas do ponto Q que é simét rico ao ponto P(-8,12), em relação:

a) ao eixo Ox; b) ao eixo Oy; c) à recta x – y = 0 ; d) à recta 2x + y –1 = 0 .

21. Ache as coordenadas do ponto P(-8,12) sobre: a) o eixo OX; b) o eixo OY; c) a recta que passa pelos pontos A(2,-3) e B(-5,1); d) a recta que passa pelo ponto A(-3,4) e é paralela à recta 4x – 3y + 1 = 0; e) a recta que passa pelo ponto A(-3,4) e é perpendicular à recta 4x – 3y + 1= 0.

22. Ache as equações das bissectrizes de duas rectas :

a) x – 2y + 1 = 0 e -2x + y = 0; b) –x –2y + 3 = 0 e 2x +3y – 5 = 0.

23. Ache as equações das bissectrizes e as coordenadas do centro da circunferência inscrita no triângulo ABC se: a ) A(1,-2); B(-2,-2) e C(-2,2); b) A(1,1); B(1,4) e C(4,1)

24. Escreva a equação axial: a) da recta r : 063

2=−+ xy ; b) da recta s que é simétrica à recta r

(dada na alínea anterior) em relação ao eixo OY. 25. Sejam A(-6,-2), B(6,7), C(9,3) e D(1,-3), vértices consecutivos de um quadrilátero convexo. Determine

o ponto de intersecção das suas diagonais.

26. Determine a área do triângulo limitado pela recta 04085 =−+ yx e pelos eixos coordenados.

27. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto F e é perpendicular ao vector )5;2(=→n . O ponto F é

simétrico ao ponto K(3,-4) em relação ao eixo OX.

28. Determine o valor de b para o qual as rectas 5

4

3

2 +=

− yx e

30

61 −=

+ y

b

x sejam paralelas .

29. Determine o valor de a para o qual as rectas a

yx 3

2

3 −=+ e

24

4

3

+=−

yx sejam

perpendiculares .

30. Pelo ponto de intersecção das rectas 01323 =−+ yx e 093 =−+ yx foi traçada uma recta r paralela

à recta 154

=+yx

. Escreva a equação de r. Ache a distância de r à recta 154

=+yx

.

3

Respostas: 1. a) x+2y-1=0; b) –x+y+2=0; c) y=1; d) x+1=0; 2.a) 2x-y-7=0; b) x+y=0; c) x=3, d) y=2; 3. a) 5x+3y-10=0; b) 3x+y-3=0; c) x=0; d) y=3; 4.a) 2x-y-7=0; b) x+2y-8=0; c) 3x+2y-2=0; d) x=2; 5. a) x+2y+9=0; b) 2x-y-1=0; c) 2x-3y+3=0; d) y=-1; 6. a) OX; b) OY; c) OY; 7. a) P(7;5); b) Q(-

8;-10); 8. A(0;1); 9. a) )6,5( −=→v ; )5,6(=

→n ; 6x+5y-4=0;

−=+−=

ty

tx

68

56;

6

8

5

6

−−=+ yx

; 1

5

4

3

2=+

yx;

b) )3,4( −=→v ; )4,3(=

→n ; 3x+4y-12=0;

−=+=ty

tx

3

44 ;

34

4

−=

− yx ; 1

34=+

yx;

10. b) )5

4,

2

3()032()0152( −==+∩=−+ xyx ; )

3

2,

6

7()023()0152( −==−∩=−+ yyx ;

)1,2()03()0152( −==+−∩=−+ yxyx ; )3

2,

2

3()023()032( −==−∩=+ yx ; )

2

3,

2

3()03()032( −==+−∩=+ yxx ;

)3

2,

3

7()03()023( −==+−∩=− yxy ; 11. a) A(-1,3); B(2, -1); C(2; 4); b) ;3=ah 10

2

3=bh ; 3=ch ;

12. H(7; 3); 13. C(17/5; -13/5); 14. a) G(0; 2/3); b) G(8/3; 1); 15. 2; 16. A(0,2); B(2,4); C(4,0); D(-2,6) 17. a) 4=m e 2−≠n ; 4−=m e 2≠n ; b) nm ∀= ,0 ; c) m =

1/2; n = 31/2; d) m = 4 e n = -2; m = -4 e n =2; 18. a) 4; b) 5

53; c) 1; d) 1; e)

5

103; f)

5

54;

19. a) 5 ; b) 6

25; c) 6; d) 4; e) 5 ; f)

5

5; 20. a) (-8,-12); b) (8,12); c) (12,-8); d) (-

4,14); 21. a) (-8,0); b) (0,12); c) (-12,5); d) )25

168,

25

24(− , e) )

5

8,

5

1( , 22. a) 3x-3y+1=0 e

x+y-1=0; b) 013355)13253()1352( =−−+++ yx e 013355)13253()1352( =+−−+− yx ;

23. a) x+2y+3=0; 3x+y+4=0; x-y=0; C(-1,-1) ; b) x – y = 0; 025)21( =−−++ yx 24 ;

025)21( =−−++ yx ;

++

++

22

25,

22

25C ; 24. a) 1

69=+ yx ; b) 1

69=+

−yx

; 25. I =( 3;1); 26. 20;

27. 2x+5y-26=0; 28.18; 29. 4

1 ; 30. 5x+4y-23=0; 41

3 .

RECTA NO ESPAÇO

1. Escreva as equações paramétricas da recta que pa ssa pelo ponto M(-3,2,4) e cujo vector director

é )3,5,2( −=→v .

2. Escreva a equação da recta de intersecção de doi s planos )(α e )(β :

a) )(α : 2x+y+z=0 e )(β : 4x-5y+1=0; b) )(α : 3x+y-z+1=0 e )(β é o plano que passa pelo ponto A(1,1,1) e é perpen dicular ao vector

→n =(2,1,-3)

c) )(α é o plano que passa pelo eixo OX e pelo ponto B(4, -3,-1); )(β é o plano que passa pelo ponto C(3,2,-7) e é paralelo ao plano XOZ.

3. Escreva a equação da recta r que: a) passa por M(2,0,-3) e é paralela ao vector (2,-3 ,5); b) passa por N(2,1,4) e é paralela ao eixo OY;

c) passa por P(2,1,1) e é paralela à recta zyx −=+=−

54

3

2

1 ;

d) passa por A(1,2,3) e B(2,1,5); e) passa por P(2,-3,5) e é perpendicular ao plano 2 x-y+z-1=0.

4

4. Escreva a equação da recta que passa pelos pontos P(-4,1,-3) e Q(-5,0,3). 5. Sejam dados A(3,6,-7) , B(-5,2,3) e C(4,-7,-2). Escreva :

a) a equação da mediana partindo de A, do triângulo ABC; b) a equação da linha média que é paralela ao lado BC.

6. Escreva a equação da recta r que passa pelo ponto A e é paralela à recta δ , onde:

a) A (2,3,-5) e δ :

=+−+=−+−

0323

0723

zyx

zyx;

b) A(1,1,1) e δ :

=−−+=−+−

04523

0432

zyx

zyx; c) A(0,1,4) e δ :

=++−=−−+

01253

0532

zyx

zyx;

7. Verifique se as duas rectas r e s são paralelas:

a) r: zyx

=−−

=+

2

1

3

2 e s:

=−−−=−+

085

0

zyx

zyx; b) r:

+−=−=+=

tz

ty

tx

7

2

25

e s:

=−−−=+++

023

023

zyx

zyx;

8. Ache m para que a recta

=−+−=+−+

0153

0732

mzyx

zyx seja perpendicular à recta

=++−=−−+

012

062

zyx

zyx

9. Demonstre que duas rectas r e s intersectam-se ache o ponto de intersecção:

a) r:

+−=−=−=

64

23

32

tz

ty

tx

; s:

−=−−=

+=

4

41

5

tz

ty

tx

; b) r:

=++−=+−+

026754

0721135

zyx

zyx; s:

=+−+=++

0663116

010

zyx

yx

10. Determine o ângulo entre as duas rectas seguint es:

a) 2

)2(3z

yx =+−=− e 2

532

+=−=+

zyx ; b)

=−−+=−−−

0422

054

zyx

zyx e

=−++=+−−

01922

0266

zyx

zyx

11. Na pirâmide triangular MABC, as arestas MA, MB e MC são perpendiculares entre si e medem,

respectivamente, 4, 3 e 6. O ponto D é o ponto médio de MA. Determine o ângulo entre as rectas CA e DB.

12. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto A(-1,2,-3) , é perpendicular ao vector )3,2,6( −−=→a e

intersecta a recta 5

3

2

1

3

1

−−=+=− zyx

.

13. a) Demonstre que as rectas 4

5

3

2

2

1 −=

−+

=− zyx

e

−=+=+=

tz

ty

tx

21

22

73

estão situadas num mesmo plano.

Respostas:

1. a) x-2y+6z-31=0; b) 4x+2y-z+3=0; c) 3x+y+9=0; d ) y=0; e) x+2y+3z=0;

2. 2x+6y-3z-38=0; 3 .a) →n = (3,2,6) ; b)

→n =(1,1,-3); c)

→n =(3,2,0); d)

→n =(4,0,-3); e)

→n =(0,2,0); f)

→n

=(0,0,3); 4. a) 6x-6y+7z-4=0; b)4x-y-2z+14=0; 5. 15x-5y-6z-16 =0; 6. a) x-2y-2z-6=0; b) x+y+2z-13=0; 7 . a) 4x+8y+z-17=0; b) z=0; 8 . a) 3x-y+2z-7=0; b) –x+y+4z-5=0; c) z=1; d) y=1; 9. a) 5x-2y-3z=0; b) y-z=0; c) x-y=0; 10. a) 4x+4y-3z-9=0; b) 2x+3y-z+2=0; 11. a) y+4z+2=0; b) 2x+7y+3z=0; 12. 2y-z=0