FICHA PARA CATÁLOGO - diaadiaeducacao.pr.gov.br · de Estudos do Ensino da Matemática de Porto...
Transcript of FICHA PARA CATÁLOGO - diaadiaeducacao.pr.gov.br · de Estudos do Ensino da Matemática de Porto...
FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO : ESTATÍSTICA
Autor MARIA CONCILIA FERNANDES
Escola de Atuação COLÉGIO ESTADUAL PROF. JULIO SZYMANSKI
Município da escola ARAUCÁRIA - PR
Núcleo Regional de Educação ÁREA METROPOLITANA SUL
Orientador NEUSA NOGAS TOCHA
Instituição de Ensino Superior UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Disciplina/Área (entrada no PDE) MATEMÁTICA
Produção Didático-pedagógica UNIDADE DIDÁTICA
Relação Interdisciplinar
(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)
Público Alvo
(indicar o grupo com o qual o professor PDE desenvolveu o trabalho: professores, alunos, comunidade...)
ALUNOS
Localização
(identificar nome e endereço da escola de implementação)
COLÉGIO ESTADUAL PROF. JULIO SZYMANSKI
RUA SÃO VICENTE DE PAULO, 76 – ARAUCÁRIA CEP 83702050
Apresentação:
(descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada. A informação deverá conter no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)
Remete-se relacionar os conteúdos da disciplina de Matemática Financeira, especificamente a Estatística, com o contexto social dos educandos.
Tem por objetivo a coleta, tabulação e análise de dados estatísticos dos alunos envolvidos no projeto de forma que estes percebam os fundamentos estatísticos nas diversas áreas do conhecimento.
Analisando o material didático disponível, optou-se por trabalhar a História da Matemática Financeira desenvolvendo conceitos referentes à definição da Estatística, população, amostra, gráfico, médias de tendência central e porcentagem.
Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) EDUCAÇÃO, ESTATÍSTICA, MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANA SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
CADERNO PEDAGÓGICO
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: ESTATÍSTICA
Curitiba 2011
IDENTIFICAÇÃO
Professora responsável
MARIA CONCILIA FERNANDES Professora da Rede Pública Estadual do Paraná, licenciada em Matemática. Orientação:
Prof.ª NEUSA NOGAS TOCHA
Instituição Participante:
Universidade Tecnológica Federal do Paraná Área de investigação:
Matemática NRE: Área Metropolitana Sul Escola de origem COLEGIO ESTADUAL PROF. JULIO SZYMANSKI, Araucária – PR.
2
História e Ensino da Matemática
Segundo vários dados históricos a Matemática surge com os egípcios, por
volta de 3200 a.C., esse povo desenvolveu três sistemas de escrita matemática:
hieroglífica (usada pelos sacerdotes em monumentos e tumbas), cursiva (usada nos
papiros) e demótica (resultante da escrita papirica).
Como prova do avanço egípcio foram feitas duas grandes descobertas
arqueológicas: o papiro Golonishev ou de Moscou datado aproximadamente no ano
1850 a.C. onde se encontra um texto matemático que contém 25 problemas e o
papiro Rhind (ou Ahmes) datado aproximadamente no ano 1650 a.C. onde
encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85
problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais
antigo.
A matemática enquanto ciência surge a partir dos gregos, porém cabe
ressaltar que não havia uma preocupação direta com a sua aplicação.
Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da babilônica, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade. As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo. Este método consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais. As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria. Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos". Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga. (Oliveira, 2006, p.21)
Outro grande matemático da Antiguidade foi Arquimedes que desenvolveu a
geometria, introduzindo o método, denominado "método de exaustão", que seria um
verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática
(teoria dos limites). Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, iniciou os
estudos das curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole. Depois de Apolônio
e Arquimedes, a matemática grega entra no seu ocaso.
Com o colapso da civilização grega, são os árabes que despontam na
Matemática, através da necessidade de instrumentalização para realizarem suas
viagens marítimas eles desenvolvem a álgebra e a aritmética e o Zero é introduzido
3
na numeração o que resulta na numeração arábica utilizada atualmente, neste
período a Matemática passa a fazer parte de outras áreas do conhecimento.
BOYER (2003) descreve que a queda de Constantinopla, em 1453, é
considerada um marco para a história da matemática, já que constam registros de
que alguns refugiados italianos, fugiram para outros países da Europa, levando
consigo alguns tratados matemáticos gregos.
Durante cem anos depois da queda de Constantinopla as cidades da Europa Central, notadamente Viena, Cracóvia, Praga e Nuremberg foram líderes em astronomia e matemática. A matemática durante a Renascença tinha sido largamente aplicada – à contabilidade, mecânica, mensuração de terras, artes, cartografia, óptica – havia numerosos livros tratando das artes práticas. No entanto, o interesse pelas obras clássicas da antiguidade permanecia forte. (Boyer, 2003, p.32)
A partir do século XVI, a descobertas matemáticas são indispensáveis para
o desenvolvimento cientifico e econômico aplicando-se este campo do conhecimento
a construção, aperfeiçoamento e uso produtivo de máquinas e equipamentos tais
como: armas de fogo, imprensa, moinhos de vento, relógios e embarcações.
O valor da técnica e a concepção mecanicista de mundo propiciaram estudos que se concentraram, principalmente, no que hoje chamamos Matemática Aplicada. Tal fato refletiu na modernização das manufaturas e no atendimento às necessidades técnico-militares. O ensino da Matemática objetivava preparar os jovens ao exercício de atividades ligadas ao comércio, arquitetura, música, geografia, astronomia, artes da navegação, da medicina e da guerra. Desde o final do século XVI ao início do século XIX, o ensino da Matemática, desdobrado em aritmética, geometria, álgebra e trigonometria, contribuiu para formar engenheiros, geógrafos e topógrafos que trabalhariam em minas, abertura de estradas, construções de portos, canais, pontes, fontes, calçadas e preparar jovens para a prática da guerra. (Dces, 2008, p.40)
A Matemática enquanto campo oficial de conhecimento começa a ser
definido a partir do início do século XX.
No Brasil esta passa a ser discutida a partir de meados de 1920, quando
surge o Movimento Escolanovista no Brasil e atinge seu auge no período de 1960. O
movimento escolanovista faz com que surga no Brasil os primeiros pesquisadores da
área de Educação Matemática, sendo eles entre 1920 a 1930: Everaldo Backhauser
e Euclides Roxo, e entre os períodos de 1940-1950: Julio César de Mello e Souza
(Malba Tahan), Cecil Thiré, Ary Quintella, Munhoz Maheder, Irene Albuquerque e
Manoel Jairo Bezerra.
FIORENTINI (1995) aponta que até a década de 50, o ensino da Matemática
no Brasil, caracterizava-se pela ênfase no modelo euclidiano (sistematização lógica:
4
definições, axiomas e postulados) expressos através de teoremas deduzidos dos
elementos primitivos e na concepção platônica baseada na visão estática e
dogmática das idéias matemáticas como uma forma de elevação espiritual do
conhecimento.
Sociopoliticamente, a aprendizagem da Matemática era privilégio de poucos e dos bem dotados intelectual e economicamente. Havia um dualismo curricular no ensino da Matemática. A escola procurava garantir à classe dominante – isto é a elite dirigente e clerical – um ensino mais racional e rigoroso, o que seria garantido pela geometria euclidiana. Para as classes menos favorecidas – especialmente alunos das escolas técnicas – privilegiava-se o cálculo e a abordagem mais mecânica e pragmática da Matemática. (Fiorentini, 1995, p.07)
Com a ocorrência do Movimento da Matemática Moderna - MMM, após a
década de 50, ocorreu uma reformulação do ensino da matemática no Brasil, o
professor passa a ser a figura central do processo de ensino-aprendizagem, que
baseia-se na demonstração de conteúdos através das transformações algébricas por
meio das propriedades estruturais.
O Movimento da Matemática Moderna também motivou o início de estudos e debates sobre a renovação pedagógica por meio de uma discussão aberta e organizada por alguns grupos de estudos, como o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM), em São Paulo; o Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática (NEDEM), no Paraná; o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática de Porto Alegre (GEEMPA), no Rio Grande do Sul; o Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática (GEPEM), do Rio de Janeiro. Mas, antes de se chegar a uma proposta diferenciada para o ensino e a aprendizagem dessa disciplina no país, vivenciamos um período no qual sobressaiu a escola tecnicista. (Dces, 2008, p.44)
Outro período de renovação do ensino da Matemática ocorreu na década de
70, com a pedagogia tecnicista, o método de aprendizagem enfatizado era a
memorização de princípios e fórmulas, o desenvolvimento e as habilidades de
manipulação de algoritmos e expressões algébricas e de resolução de problemas. A
pedagogia tecnicista centrava-se exclusivamente nos objetivos instrucionais,
recursos e técnicas de ensino. (DCES, 2008, p.44)
Com o surgimento da tendência histórico-crítica no Brasil, na década de 80,
o conhecimento passa a ser elaborado em virtude das práticas sociais, e o ensino de
matemática é conceptualizado através de saber vivo, dinâmico, construído para
atender às necessidades sociais, econômicas e teóricas em um determinado período
histórico.
5
Em 1991,com a publicação do Currículo Básico a Matemática ganha nova
ressignificação curricular, tendo como pressuposto a seguinte premissa.
“...aprender Matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível”. (PARANÁ, 1990 apud Dces, 2008, p.46)
Com a aprovação da Lei de Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
nº 9394, aprovada em 20 de dezembro de 1996, a Matemática passa a compor na
grade curricular o núcleo da Base Nacional Comum, sendo que no Paraná também
foram criadas várias disciplinas que abordavam os campos do conhecimento da
Matemática, tais como: Geometria, Desenho Geométrico e Álgebra, mas que
fragmentavam o conhecimento da Matemática e enfraqueciam-na como disciplina.
(DCES, 2008, p.47)
Em 1998, o Ministério da Educação publicou os Parâmetros Curriculares
Nacionais para o Ensino Fundamental – PCNs e em 2000 foi publicado
especificamente os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio -
PCNEM.
Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. (Pcnem, 2000, p.40)
Em 2003, a SEED ampliou as discussões acerca dos conteúdos das várias
disciplinas, e publicou as Diretrizes Curriculares da Educação Básica – DCES
(2008), no que tange a disciplina de Matemática, esta deve possibilitar ao docente
conceber no espaço da sala de aula os saberes matemáticos como uma atividade
humana em construção, através de análises, discussões, conjecturas, apropriação
de conceitos e formulação de ideias.
6
PARA ENTENDER A MATEMÁTICA Assista a série de documentário da BBC Londres, sobre a História da Matemática.
O documentário é dividido em quatro partes, que contam os principais fatos
históricos que envolveram o surgimento dos conceitos matemáticos.
Parte 1 Sinopse: A História da Matemática (The story of maths) foi escolhido como Melhor
Documentário produzido no ano pela estação BBC, em votação. Apresentado pelo
pesquisador e professor da Universidade de Oxford, Marcus du Sautoy, o filme volta
à história da matemática da Grécia e de Atenas e explica o quão importante ela
ainda é para nós nos dias de hoje.
Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=1yvuNFTOpC8 Parte 2 Sinopse: Marcus du Sautoy irá visitar o Oriente neste episódio. Enquanto a Europa
estava mergulhada na Idade das Trevas, a Matemática avançava no Oriente,
nomeadamente na China e na Índia, e mais tarde no Médio Oriente.
Analisaremos as maiores descobertas matemáticas deste período, altura em que
surgiu o sistema de notação decimal, o zero, a Álgebra e a Trigonometria, avanços
obtidos graças às mentes de Chin Ju Xiao, Madhava, Omar Khayyam, Muhammad
al-Khwarizmi, Fibonacci e Tartaglia.
Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=Z4duoSt7-7Q&feature=related Parte 3 Sinopse: Interessante, esclarecedora e divertida, esta série oferece aos
espectadores vislumbres novos e extraordinários relativamente à importância da
Matemática, estabelecendo esta disciplina como um dos maiores feitos culturais da
Humanidade.
Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=UI2T52tsC6A&feature=related
Parte 4 Sinopse: Os episódios desta série ambiciosa oferecem explicações claras e
acessíveis de ideias matemáticas importantes, mas também nos conta histórias
cativantes, pormenores biográficos fascinantes e episódios centrais nas vidas dos
maiores matemáticos.
Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=mygF-oqw-X0&feature=related
7
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
Em conformidade com os conteúdos estruturantes o Tratamento da
Informação para o Ensino Médio engloba as seguintes temáticas: Análise
Combinatória; Binômio de Newton; Estatística; Probabilidade e Matemática
Financeira.
A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina STATUS
(Estado). Há indícios de que 3000 anos a.C. já se faziam censos na Babilônia, China
e Egito e até mesmo o 4º livro do Velho Testamento faz referência à uma instrução
dada a Moisés, para que fizesse um levantamento dos homens de Israel que
estivessem aptos para guerrear. Usualmente, estas informações eram utilizadas
para a taxação de impostos ou para o alistamento militar. O Imperador César
Augusto, por exemplo, ordenou que se fizesse o Censo de todo o Império Romano.
A palavra "CENSO" é derivada da palavra "CENSERE", que em Latim
significa "TAXAR". Em 1085, Guilherme, O Conquistador, solicitou um levantamento
estatístico da Inglaterra, que deveria conter informações sobre terras, proprietários,
uso da terra, empregados e animais. Os resultados deste Censo foram publicados
em 1086 no livro intitulado "Domesday Book" e serviram de base para o cálculo de
impostos.
Contudo, mesmo que a prática de coletar dados sobre colheitas, composição
da população humana ou de animais, impostos, etc., fosse conhecida pelos
egípcios, hebreus, caldeus e gregos, e se atribuam a Aristóteles cento e oitenta
descrições de Estados, apenas no século XVII a Estatística passou a ser
considerada disciplina autônoma, tendo como objetivo básico a descrição dos BENS
do Estado.
A palavra Estatística foi cunhada pelo acadêmico alemão Gottfried
Achenwall (1719-1772), que foi um notável continuador dos estudos de Hermann
Conrig (1606-1681). Em contraposição à natureza eminentemente qualitativa da
escola alemã, na Inglaterra do século XVII surgiram os aritméticos políticos, dentre
os quais destacaram-se John Graunt (1620-1674) e William Petty (1623-1687). Eles
preocuparam-se com o estudo numérico dos fenômenos sociais e políticos, na busca
de leis quantitativas que pudessem explicá-los. O estudo consistia essencialmente
de exaustivas análises de nascimentos e mortes, realizadas através das Tábuas de
Mortalidade, que deram origem às atuais Tábuas de Mortalidade usadas pelas
8
companhias de seguros. Um dos resultados mais importantes foi a constatação de
que o percentual de nascimento de crianças do sexo masculino (51%) é levemente
superior ao do sexo feminino (49%). Dessa forma, a escola dos aritméticos políticos
pode ser considerada o berço da Demografia. Um de seus mais notáveis adeptos foi
o pastor alemão Sussmilch (1707-1767), com o qual pode-se dizer que a Estatística
aparece pela primeira vez como meio indutivo de investigação.
Na última metade do século XIX, os alemães Helmert (1843-1917) e Wilhelm
Lexis (1837-1914), o dinamarquês Thorvald Nicolai Thiele (1838-1910) e o inglês
Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926), obtiveram resultados extremamente valiosos
para o desenvolvimento da Inferência Estatística, muitos dos quais só foram
completamente compreendidos mais tarde. Contudo, o impulso decisivo deve-se a
Karl Pearson (1857-1936), William S. Gosset (1876-1937) e, em especial, a Ronald
A. Fisher (1890-1962).
Karl Pearson (1857-1936) formou-se em 1879 pela Cambridge University e
inicialmente dedicou-se ao estudo da evolução de Darwin, aplicando os métodos
estatísticos aos problemas biológicos relacionados com a evolução e
hereditariedade.
William Sealey Gosset (1876-1937) estudou Química e Matemática na New
College Oxford. Em 1899 foi contratado como Químico da Cervejaria Guiness em
Dublin, desenvolvendo um trabalho extremamente importante na área de Estatística.
Devido à necessidade de manipular dados provenientes de pequenas amostras,
extraídas para melhorar a qualidade da cerveja, Gosset derivou o teste T de Student
baseado na distribuição de probabilidades. Esses resultados foram publicados em
1908 na revista Biometrika, sob o pseudônimo de Student, dando origem a uma
nova e importante fase dos estudos estatísticos. Gosset usava o pseudônimo de
Student, pois a Cervejaria Guiness não desejava revelar aos concorrentes os
métodos estatísticos que estava empregando no controle de qualidade da cerveja.
Os estudos de Gosset podem ser encontrados em "Student Collected Papers" (Ed.
por E.S.Pearson e J. Wishart, University College, Londres, 1942).
A contribuição de Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) para a Estatística
Moderna é, sem dúvidas, a mais importante e decisiva de todas. Formado em
astronomia pela Universidade de Cambridge em 1912, foi o fundador do célebre
Statistical Laboratory da prestigiosa Estação Agronômica de Rothamsted,
contribuindo enormemente tanto para o desenvolvimento da Estatística quanto da
9
Genética. Ele apresentou os princípios de planejamento de experimentos,
introduzindo os conceitos de aleatorização e da Análise da Variância, procedimentos
muito usados atualmente.
No princípio dos anos 20, estabeleceu o que a maioria aceita como a
estrutura da moderna Estatística Analítica, através do conceito da verossimilhança
(likelihood, em inglês). O seu livro intitulado "Statistical Methods for Research
Workers", publicado pela primeira vez em 1925, foi extremamente importante para
familiarizar os investigadores com as aplicações práticas dos métodos estatísticos e,
também, para criar a mentalidade estatística entre a nova geração de cientistas. Os
trabalhos de Fisher encontram-se dispersos em numerosas revistas, mas suas
contribuições mais importantes foram reunidas em "Contributions to Mathematical
Statistics" (J. Wiley & Sons, Inc., Nova Iorque, 1950).
Fisher foi eleito membro da Royal Society em 1929 e condecorado com as
medalhas Royal Medal of the Society e Darwin Medal of the Society em 1938 e em
1948, respectivamente. Em 1955 foi novamente condecorado, desta vez com a
medalha Copley Medal of the Royal Society.
Outra área de investigação extremamente importante para o
desenvolvimento da Estatística é a Teoria das Probabilidades. Usualmente,
costuma-se atribuir a origem do Cálculo de Probabilidades às questões relacionadas
aos jogos de azar que o célebre cavaleiro Méré (1607-1684) encaminhou à Blaise
Pascal (1623-1662).
No entanto, outros autores sustentam que o Cálculo de Probabilidades teve
a sua origem na Itália, com especial referência para Luca Pacioli (1445-1517),
Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557) e Galileo
Galilei (1564-1642).
Três anos depois de Pascal ter previsto que a "aliança do rigor geométrico"
com a "incerteza do azar" daria lugar a uma nova ciência, Christiaan Huygens (1629-
1695) publicou o trabalho denominado "De Raciociciis in Ludo Aleae", que é
considerado o primeiro livro sobre o Cálculo de Probabilidades. Além disso, ainda
teve a notável particularidade de introduzir o conceito de esperança matemática.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) também dedicou-se ao estudo do
Cálculo de Probabilidades, publicando um trabalho sobre a "arte combinatória" e
outro sobre aplicações às questões financeiras. Leibniz também estimulou Jacques
10
Bernoulli (1654-1705) ao estudo do Cálculo de Probabilidades, cuja grande obra,
denominada "Ars Conjectandi", foi publicada oito anos após a sua morte.
Em Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli, foi publicada e rigorosamente
provada a Lei dos Grandes Números de Bernoulli, considerada o primeiro teorema
limite. Pode-se dizer que graças às contribuições de Bernoulli o Cálculo de
Probabilidades adquiriu o status de ciência.
Além da obra póstuma de Bernoulli, o início do século XVII foi marcado pelos
livros de Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), denominado "Essai d'Analyse sur
les Jeux de Hazard", e de Abraham De Moivre (1667-1754), intitulado The Doctrine
of Chances.
De Moivre era Francês de nascimento, mas desde a sua infância refugiou-se
na Inglaterra devido às guerras religiosas, fazendo aplicações ao cálculo de
anuidades e estabelecendo uma equação simples para a lei da mortalidade entre 22
anos e o limite da longevidade que fixou em 86 anos. Mais tarde, na "Miscellanea
Analytica", apresentou resultados aos quais Laplace deu uma forma mais geral e
que constituem o segundo teorema limite.
É extremamente importante falar, também, do reverendo Thomas Bayes
(1702-1761) a quem se deve o conceito de probabilidade inversa, relacionado com
situações em que se caminha do particular para o geral. No seu livro denominado
"Essay towards solving a problem of the doctrine of chances" (Philosophical
Transactions of the Royal Society of London, 1764-65, póstumo), Bayes formula
através do teorema que leva seu nome e do postulado que tantas vezes se lhe
associa: a primeira tentativa de matematização da inferência Estatística. Mesmo sem
ter publicado nenhum trabalho com seu nome, em 1742 Thomas Bayes foi eleito
membro da Royal Society of London.
Os estudos dos astrônomos Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Johann Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) e Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874)
foram fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo de Probabilidades. Devido
aos novos métodos e idéias, o trabalho de Laplace de 1812, intitulado "Théorie
Analytique des Probabilités", até o presente é considerado um dos mais importantes
trabalhos sobre a matéria.
Johann Carl Friedrich Gauss, professor de astronomia e diretor do
Observatório de Gottingen, em 1809 apresentou o estudo intitulado "Theoria
combinationis Observatorium Erroribus Minimis Obnoxia", explanando uma teoria
11
sobre a análise de observações aplicável a qualquer ramo da ciência, alargando o
campo de aplicação do Cálculo de Probabilidades.
Com Lambert Adolphe Jacques Quetelet, por sua vez, inicia-se a aplicação
aos fenômenos sociais. O seu escrito "Sur l'homme et le développement de ses
facultés" foi publicado em segunda edição com o título "Physique sociale ou Essai
sur le développement des facultés de l'homme", que incluía pormenorizada análise
da teoria da probabilidade. Quetelet introduziu também o conceito de "homem
médio" e chamou particular atenção para a notável consistência dos fenômenos
sociais. Por exemplo, mostrou que fatores como a criminalidade apresentam
permanências em relação a diferentes países e classes sociais.
Antoine Augustin Cournot (1801-1877) percebeu a importância da Teoria das
probabilidades na análise estatística, tendo sido o pioneiro no tratamento
matemático dos fenômenos econômicos. Suas idéias foram publicadas em
"Exposition de la théorie des chances et des probabilités".
Na segunda metade do século XIX a Teoria das Probabilidades atingiu um
dos pontos mais altos com os trabalhos da escola russa fundada por Pafnuty Lvovich
Chebyshev (1821-1894), que contou com representantes como Andrei Andreyevich
Markov (1856-1922) e Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918).
Contudo, o seu maior expoente foi Andrey Nikolayevich Kolmogorov (1903-
1987), a quem se deve um estudo indispensável sobre os fundamentos da Teoria
das Probabilidades, denominado "Grundbegrife der Warscheinlichkeitrechnung",
publicado em 1933. Em 1950 foi traduzido para o Inglês sob o título "Foundations of
Probability".
A Estatística ganha notoriedade enquanto conteúdo matemático, ao ser
utilizada por outros campos do conhecimento como: as Ciências Sociais, a Genética
e a Psicologia, sendo vista como um instrumento indispensável para quantificar
dados de pesquisa, o que resultou na inserção de conceitos de correlação e
regressão ao campo da Matemática.
Instrumento de poder político, a estatística passou a ser utilizada na Idade Média com finalidades tributárias ou bélicas. A análise de fatos sociais como nascimentos, batizados, casamentos, óbitos começaram a surgir a partir do século XVI, mas o estudo científico de tais fatos só foi adquirindo feição verdadeiramente científica no século XVIII, a partir do apoio teórico apresentado pela Matemática. (Zeni e Faria, 2006, p.01)
12
VIEGA e ARAÚJO (2009) descrevem que a Estatística, surgiu com o intuito
de organizar o desenvolvimento social, sendo que os primeiros indícios de trabalhos
estatísticos são provenientes das civilizações antigas, no Egito no ano 3050, por
exemplo, eram realizadas contagens censitárias para averiguar o total da população
e o valor financeiro a ser empregado na construção das pirâmides.
No Brasil, o órgão oficial que é responsável em coletar e divulgar as
informações referentes à população é o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
- IBGE. O IBGE é um órgão estatal ligado ao Governo Federal, com sede em
Brasília e mantém uma equipe constante de pesquisadores que coletam,
armazenam e divulgam informações referentes a toda população brasileira. Essas
informações constituem um grande banco de dados que são constantemente
atualizados e divulgados pelos veículos de comunicação como jornal, revistas, rádio,
televisão, internet e outros (VIEGA e ARAÚJO, ibid, p.02).
SUGESTÃO DE LEITURA:
Livro: O andar do bêbado
Autor: Leonard Mlodinow
Editora: Jorge Zahar, 2009.
Sinopse: O Andar do Bêbado conta uma breve história da probabilidade e da estatística, desde os primeiros estudos a respeito de primitivos jogos de azar da Idade Média, até o início do século XX. Livro: Será que Deus joga Dados? Autor: Ian Stewart Editora: Jorge Zahar Sinopse: "Deus não joga dados!" a frase de Einstein, sobre o caráter probabilístico da realidade quântica, torna-se agora uma pergunta para quem estuda a matemática do caos, e é aqui analisada pelo autor de algumas obras-primas de divulgação científica.
DEFININDO A ESTATÍSTICA
Em sua essência, a Estatística é a ciência que apresenta processos próprios para
coletar, apresentar e interpretar adequadamente conjuntos de dados, sejam eles
numéricos ou não. Pode-se dizer que seu objetivo é o de apresentar informações
sobre dados em análise para que se tenha maior compreensão dos fatos que os
mesmos representam. (GUEDES, et.al. 2005, p.01)
13
A análise estatística advém das contribuições da Estatística Descritiva que
descreve a amostra, pondo em evidência as características principais e as
propriedades e da Estatística Indutiva obtidas partindo da análise descritiva da
amostra, expressas por meio de proposições.
CONCEITOS NECESSÁRIOS
POPULAÇÃO: conjunto de elementos que tem pelo menos uma característica em
comum. Esta característica deve delimitar corretamente quais são os elementos da
população que podem ser animados ou inanimados.
AMOSTRA: conjunto de dados efetivamente observados ou extraídos de uma
população. Sobre os dados da amostra se desenvolvem os estudos, visando
inferências sobre a população.
A amostra pode ser:
Finita: possui um número limitado de elementos.
Infinita: possui um número ilimitado de elementos
GRÁFICO
Variáveis qualitativas: representam a informação que identifica alguma qualidade,
categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação,
assumindo várias modalidades.
Os dados qualitativos são organizados na forma de uma tabela de frequências que
apresenta o número de elementos.
Para as variáveis qualitativas é indicado o uso de gráficos em barras ou setores.
Variáveis quantitativas: representam a informação resultante de características
susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que
podem ser de natureza discreta (descontínua) - dados discretos, ou contínua - dados
contínuos. É expressa em números (salários dos operários, idade dos alunos de
uma escola etc.).
Para este tipo indicativo de dados, os gráficos mais apropriados são em linha ou
curva, sendo mais adequados na mostra de variações de dados em períodos
espaçados de tempo.
14
TIPOS DE GRÁFICOS Com os dados da tabela é possível construir gráficos de barras, usando as
freqüências absolutas ou as freqüências relativas.
Freqüência absoluta é o número de vezes que um elemento é observado.
As informações coletadas devem ser organizadas numa tabela de freqüência.
O Gráfico tipo de moradia, aponta a freqüência absoluta de alunos que moram em residência própria, residência alugada ou residência cedida. Dados obtidos a partir da pesquisa efetuada nas fichas de matrículas dos alunos da turma 1A-I E turma 1B-I
Nos gráficos de barras, os retângulos que as constituem variam apenas numa das
dimensões de acordo com a freqüência absoluta ou relativa. As barras devem estar
separadas por espaços iguais.
Usando os dados da tabela podemos também construir um gráfico circular ou de
setores. Os dados de gráficos de setores com porcentagem são caracterizados
como freqüências relativas.
15
DESLOCAMENTO CASA-ESCOLA
DESLOCAMENTO CASA-ESCOLA
FORMAS DE DESLOCAMENTO
PAGA MEIA PASSAGEM
PAGA VALOR INTEGRAL
VAN VEÍCULO PRÓPRIO NENHUM
% 51 17 20 9 3 Gráfico Deslocamento Casa- Escola, mostrando a frequencia relativa obtido a partir de informações coletadas das fichas de matrículas dos alunos das turmas 1A–I E 1B-I.
Para obter-se a freqüência relativa de um acontecimento divide-se a freqüência
absoluta pelo número de elementos da população.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto
em torno do qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da
distribuição dos dados.
Reis (apud GUEDES et.al., 2005, p.29) descreve que:
O valor a escolher depende das características dos dados. Por exemplo, num estudo agrícola sobre a produção de trigo por hectare de terra arável podemos estar interessados em conhecer o valor mais elevado da produtividade do solo agrícola das várias explorações analisadas. Num outro estudo sobre os resultados de uma turma de estudantes universitários talvez seja mais interessante conhecer o resultado médio obtido por 50% dos estudantes. Num outro estudo sobre os rendimentos per capta dos
freqüência relativa = freqüência absoluta
nº de elementos
16
países da CEE, a comparação entre países será facilitada se calcularmos os rendimentos médios de cada país.
As principais medidas de tendência central são: MÉDIA, MEDIANA e MODA.
MÉDIA: é a soma de todos os valores observados da variável dividida pelo número
total de observações.
A média só pode ser calculada se a variável pesquisada for quantitativa.
MEDIANA: é o valor ocupado pela posição central da série de observações de uma
variável, dividindo o conjunto em duas partes iguais, ou seja, a quantidade de
valores inferiores à mediana é igual à quantidade de valores superiores à mesma.
MODA: é o valor que apresenta a maior freqüência da variável entre os valores
observados.
PORCENTAGEM
É o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.
Porcentagem quer dizer por 100 (sobre 100).
Somando-se o total de alunos da raça branca nas turmas 1A-I/ 1B-I o valor
resultante é 36 alunos. Qual a porcentagem que este número representa
considerando-se que a soma total das duas turmas é de 51 alunos?
36/51= 0,7058
0,7058 x 100% = 70,58
O total de alunos brancos somando as duas turmas é de 70,58%
A média ou média aritmética é representada por X .
A mediana é representada por Me.
A moda é representada por Mo.
17
PRATICANDO
1. Os dados mostram que, de cada 100 pessoas com o Ensino Médio, apenas 54
conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3000 pessoas, 25% têm Ensino
Médio, qual é o número provável de pessoas do grupo, com Ensino Médio, que, de
acordo com os dados da pesquisa, irão conseguir emprego?
Analisando a porcentagem: 100 pessoas, 54 conseguem emprego temos 54%
Calculando 25% de 3000 temos 750 pessoas que tem o Ensino Médio, e 54% desse
valor é 405.
Logo, 405 pessoas irão conseguir emprego, tendo e Ensino Médio.
2. Considere a série estatística:
PERÍODOS ALUNOS
MATRICULADOS %
1º 2º 3º 4º
546 328 280 120
Total 1.274
Complete, determinando as porcentagens com uma casa decimal e fazendo a
compensação, se necessário.
Para o total de 1274 alunos, resta calcular as porcentagens de cada período utilizando a regra
de três.
1° período:
1274 - - - -> 100 %
546 - - - -> x
X= 42,85 arredondando para 42,9
2° período: 25,7
3° período: 22
4° período: 9,4
3. Nas turmas 1A-I/ 1B-I 50 alunos, as notas parciais obtidas na disciplina de
Sociologia no 1º trimestre formaram a seguinte distribuição:
NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1
18
Determine:
a) a nota média
b) a nota mediana
c) a nota modal
NOTA MÉDIA
Como os dados estão agrupados por uma distribuição de freqüências por valores
simples, multiplicamos cada nota pelo respectivo “número de alunos” e dividimos
pelo total de alunos.
MEDIA=(2x1+3x3+4x6+5x10+6x13+7x8+8x5+9x3+10x1)/50
MEDIA= 5,9
NOTA MEDIANA
O total de alunos, dividido por 2 resulta em 25, para as freqüências acumuladas,
(1+3+6+10+13) = 33, então 25 se encaixa neste valor, sendo a mediana igual a 6.
NOTA MODAL
Esta se caracteriza pela maior freqüência, neste caso, o maior número de alunos é 13
e a sua nota correspondente é 6, logo esta é a nota modal.
4. Se Jeremias obteve notas iguais a 79 e 88 nos dois primeiros testes de certa
matéria, que nota ele deve obter no terceiro teste para ficar com média igual a 85?
A) 85
B) 87
C) 88
D) 95
Aplicando a definição de média aritmética simples, temos:
( 79 + 88 + X ) / 3 = 85 e resolvendo a equação encontramos x = 88. Alternativa C.
A) 85
B) 87
C) 88
D) 95
5. Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada,
passando a ser 7,5. Considerando-se que a média da turma aumentou em 0,1, a nota
do aluno antes da revisão era:
Resolvendo obtemos 6,0 (alternativa D )
A) 7,6
19
B) 7,0
C) 7,4
D) 6,0
E) 6,4
6. A tabela abaixo apresenta a oferta da lata do leite em pó do tipo I, em dois
supermercados, A e B.
Nesse contexto, considere as seguintes afirmações:
I. O preço de 100 g de leite no supermercado A é R$ 0,15 a mais que o preço da
mesma quantidade no supermercado B.
II. Com R$ 28,80, é possível comprar 6 latas de leite, no supermercado B e, com o
troco, uma lata de leite no supermercado A.
III. Comprando-se 4,8kg de leite no supermercado B, a economia, em relação à
mesma compra realizada no supermercado A, é de R$ 7,20.
IV. Comprando-se 2,4 kg de leite no supermercado A, a economia, em relação à
mesma compra efetuada no supermercado B, é de R$ 1,50.
São corretas apenas:
I Verdadeira pois 100g no mercado A custa (3,60/3) = 1,20 e no mercado B (4,20/4)
= 1,05
II Verdadeira pois 6 latas em B custam 25,20 com troco de (28,80-25,20) = 3,60
podemos comprar 1 lata no supermercado A.
III Verdadeira (4800/400)=12*4,20 = 50,40 e (4800/300)=16*3,60= 57,60 com
economia de (57,60-50,40) = 7,20
IV Falsa pois No mercado A 2,4 Kg ( 8 pacotes ) custam 28,80 e no mercado B ( 6
pacotes ) custam 25,20 se comprar no mercado A haverá prejuízo de 3,60.
É correta apenas a alternativa: ALTERNATIVA A
A) I, II e III
B) II, III e IV
C) I, II e IV
20
D) I, III e IV
E) I e II
7. Em 20 postos de combustíveis de uma cidade, foi realizada uma pesquisa para
avaliar o impacto da redução do preço da gasolina comum, anunciada pelo governo,
observando-se a seguinte distribuição de freqüência:
Da análise da tabela, pode-se concluir que a média, a moda e a mediana da
distribuição correspondem, respectivamente, a:
A) 22,14; 2,30 e 2,25
B) 62,14; 2,25 e 2,30
C) 2,16; 2,30 e 2,10
D) 2,16; 2,30 e 2,25
E) 2,16; 2,10 e 2,25
Média= (5x1,90+3x2,10+4x2,25+8x2,30)/20 2,16
Moda, a maior freqüência, número de postos pesquisados é 8 e seu respectivo preço;
2,30
Mediana, com 20 postos pesquisados, (20/2)=10 montando a freqüência acumulada
obtemos (5+3+4) = 12, correspondendo ao preço de 2,25
Alternativa correta D
8. Uma enquête com os 450 alunos de uma escola para saber os tipos de calçados mais
usados apresentou o seguinte resultado:
• 48% dos alunos usavam sandália;
• 22% dos alunos usavam tênis;
• 30% dos alunos usavam sapato.
Esse resultado foi representado em um gráfico de setores:
21
O cálculo envolve porcentagem:
48% de 450 = 216 (sandália)
22% de 450 = 99 (tênis)
Temos: 216 + 99 = 315, alternativa A
O número de alunos que usava sandália ou tênis é:
A) 315
B) 135
C) 99
D) 216
E) 450
22
REFERÊNCIAS BRASIL. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Brasília: Ministério da
Educação – MEC, 2006. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação – MEC, 2000. BOYER, C.B. História da Matemática. Sao Paulo: Edgard Blucher, 2003.
FIORENTINI, D. Alguns modos de ver e conceber o ensino de matemática no Brasil. Revista Zetetike, Campinas, ano 3, nº 04, 1995. GUEDES, T.A. Projeto de Ensino. Aprender Fazendo Estatística. 2007. Disponível em: http://www.des.uem.br, acesso em:28/07/2011. http://www.youtube.com/watch?v=1yvuNFTOpC8, acesso em 06/08/2011. http://www.youtube.com/watch?v=Z4duoSt7-7Q&feature=related, acesso em 06/08/2011. http://www.youtube.com/watch?v=UI2T52tsC6A&feature=related, acesso em 06/08/2011. http://www.youtube.com/watch?v=mygF-oqw-X0&feature=related, acesso em 06/08/2011. OLIVEIRA, A.M. História da matemática desde o século IX a.C. Lisa - Biblioteca Da Matemática Moderna, tomo 5. São Paulo: Lisa - Livros Irradiantes, 2006.
PARANÀ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008. SILVA, C.B. Atitudes em relação à estatística e à matemática. Psico-USF, vol. 7, nº
2, jul./dez. 2002. SMOLE, K.S. e DINIZ, M.I. Matemática. Ensino Médio, vol.01. São Paulo: Saraiva, 2005. VIEGA, J.B. e ARAÚJO, A.M.M. O trabalho estatístico e a álgebra: articulando conceitos. 2009. Disponível em: www.diaadiaeducacao.pr.gov.br, acesso em 05/08/2011. ZENI, J.R.R. e FARIA, J.C. Estatística e Tratamento da Informação. Projeto TEIA DO SABER. São Paulo: Secretaria de Estado da Educação, 2006.