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FICHA PARA CATÁLOGO
PRODUÇÃO DIDÁTICA PEDAGÓGICA PDE-2010
Título: A Utilização do Software GeoGebra no Ensino de Geometria Plana
Autor Ismar Delphino de Paula
Escola de Atuação Colégio Estadual Dr Marins Alves de Camargo EFMP
Município da escola Paranavaí
Núcleo Regional de Educação Paranavaí
Orientador Raquel Polizeli
Instituição de Ensino Superior UNESPAR- Campus de Paranavaí
Disciplina/Área (entradano PDE) Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar (indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)
Não
Público Alvo (indicar o grupo com o qual o professor PDE desenvolveu o trabalho: professores, alunos, comunidade...)
Alunos do ensino fundamental 7ª Série (8º ano)
Localização (identificar nome e endereço da escola de implementação)
Colégio Estadual Dr. Marins Alves de Camargo EFMP. Rua Bahia-955. Jardim Ouro Branco Paranavaí Pr
Apresentação: (descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada. A informação deverá conter no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)
Estamos vivenciando a modernidade, lidamos a todo o
momento com processamento de informações, através de
tecnologias. Estas tecnologias têm aplicações em todas as
áreas do conhecimento, e certamente no setor de
formação e educação. A aplicação dessas tecnologias e
as diversas tendências do ensino da matemática têm
propiciado avanços. Propomos nesta unidade didática a
utilização do software GeoGebra, que é um aplicativo de
geometria dinâmica, em que professor e alunos
desenvolverão tarefas, no laboratório de informática
visando uma melhor aprendizagem dos conceitos da
geometria plana.
Palavras-chave (3 a 5 palavras) Geometria;GeoGebra;Mídias;Educação Matemática
Sumário
1.1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO ............................................................................... 3
1.2 TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR ................................................................. 3
1.3 TÍTULO .................................................................................................................. 3
2 Apresentação ........................................................................................................... 4
3 Interface Gráfica do Geogebra ................................................................................. 7
4 TAREFAS DE GEOMETRIA COM GEOGEBRA ................................................... 17
4.1 Tarefa 1: Elementos primitivos da geometria Euclidiana ..................................... 17
4.2 Tarefa 2: Posições relativas de duas retas no plano ........................................... 22
4.2.1 Segmentos de reta no plano. ............................................................................ 24
4.2.2 Segmento de reta: ............................................................................................ 24
4.3 TAREFA 3: Ponto médio ..................................................................................... 27
4.3.1 Ponto médio ..................................................................................................... 27
4.4 TAREFA 4: Ângulos............................................................................................ 30
4.4.1 Ângulos: ........................................................................................................... 30
4.4.1.1 Classificação dos ângulos quanto suas medidas. ......................................... 31
4.5 TAREFA 5: Construir com o GeoGebra a bissetriz de um ângulo. ...................... 35
4.6 TAREFA 6: Ângulos opostos pelo vértice............................................................ 37
4.7 TAREFA 7: Ângulos definidos por duas retas paralelas e uma reta transversal . 39
4.8 TAREFA 8: Estudando os triângulos ................................................................... 42
4.9 TAREFA 9: Determinar o circuncentro de um triângulo usando o GeoGebra. .... 45
5 AVALIAÇÃO ........................................................................................................... 48
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 49
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1.1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: ISMAR DELPHINO DE PAULA
Área PDE: Matemática
NRE: Paranavaí
Professor Orientador IES: Professora Mestre Raquel Polizeli
IES Vinculada: UNESPAR-CAMPUS DE PARANAVAÍ
Colégio de Implantação: Colégio Estadual Dr. Marins Alves de Camargo – Ens.
Fund. Médio e Profissionalizante.
Público Objeto da Intervenção: Alunos do Ensino Fundamental 7ª série (8º ano).
1.2 TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR
APRENDENDO GEOMETRIA COM SOFTWARE GEOGEBRA
1.3 TÍTULO
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO DE GEOMETRIA
PLANA
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2 Apresentação
Estamos vivenciando a modernidade, baseado nos processamentos das
informações, com as tecnologias de processamentos digitais. Estas tecnologias têm
aplicações em todas as áreas do conhecimento, e certamente no setor de formação
e educação os estudos de sua aplicabilidade, envolvendo a diversas tendências do
ensino da matemática, tem propiciado avanços significativos a partir do século xx.
Propomos nesta unidade didática a utilização do software Geogebra que é um
aplicativo de geometria dinâmica, onde professor e alunos desenvolverão tarefas, no
laboratório de informática visando uma melhor aprendizagem dos conceitos da
geometria plana.
O Trabalho com os alunos do ensino fundamental 7ª série (8ºano) busca uma maior
interação com as novas mídias no estudo de geometria plana, onde as tarefas
propostas serão desenvolvidas com conteúdos ligados aos elementos básicos da
geometria plana, como ponto; retas; planos, ângulos e triângulos.
As tarefas seguem uma ordem, onde professor e alunos discutem os conceitos
básicos dos conteúdos, e, em seguida com as orientações do professor, em um
processo de mediação, constroem com o auxilio do Geogebra, as figuras
representativas dos conceitos estudados.
Por que Aprender Geometria? E mais porque aprender usando novas Mídias?
Responder estas perguntas não é tarefa fácil, é tema que preocupam os educadores
matemáticos há décadas no Brasil; onde a deficiência do ensino nas escolas
brasileiras ou mesmo a quase ausência da geometria nos currículos escolares tem
levado diversos autores e autoridades educacionais a um constante debate da sua
importância.
O aprendizado da geometria com lacunas tem influenciado o desenvolvimento
matemático pleno dos alunos.
Em relação ao conhecimento geométrico, Lorezanto1995, ressalta que:
Sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguirão resolver as situações de vida que forem geometrizadas; também não poderão se utilizar da Geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e resolução de questões de outras áreas de conhecimento humano. Sem conhecer a Geometria a leitura interpretativa do mundo torna-
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se incompleta, a comunicação das idéias fica reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida. (LORENZATO, 1995, p. 5).
Veja a foto da Prefeitura de Paranavaí, figura1, onde podemos observar vários
elementos de geometria.
A geometria esta em toda a parte como podemos constatar na foto; e lidamos a todo
o momento e interagimos muitas vezes sem perceber, com idéias de plano,
paralelismo, perpendicularismos, semelhança, proporcionalidades e simetria, sem,
no entanto perceber o comprometimento, psicomotor e intelectual das crianças por
falta de uma aprendizagem de geometria adequada.
Justifica assim a importância do estudo da geometria como parte integrante da
matemática
E as Mídias entendida aqui como um conjunto de ferramentas, que nos ajudam a
desenvolver as tarefas diárias, são hoje oferecidas com as tecnologias das
informações (Tics), um conjunto de recursos didáticos pedagógicos, com variados
níveis de interatividades.
Nesse sentido os avanços tecnológicos disponíveis facilitam em muito o trabalho
pedagógico dos professores e “As Novas Tecnologias da Informação e
comunicação” (NTIC) podem e devem ser vistas como fortes aliados dos
educadores, e um a direito da sociedade.
Figura 1: Prefeitura Municipal de Paranavaí
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Neste sentido Borba e Penteado, afirmam:
O acesso à informática na educação de ser visto não apenas como um direito, mas como parte de um projeto coletivo que prevê a democratização de acesso à tecnologia desenvolvida por essa mesma sociedade. É dessas duas formas que a informática na educação deve ser justificada: alfabetização tecnológica e direito de acesso. (BORBA e PENTEADO, 2001 p.17).
De posse dos recursos tecnológicos, as novas mídias interativas da informática
possibilitam uma experimentação, com maior dinamismo das atividades de
investigação de conhecimentos matemáticos e geométrico.
Neste sentido, (D‟ AMBRÓSIO & BARROS, 1988) nos afirma:
Atividades com lápis e papel ou mesmo quadro de giz, para construir gráfico, por exemplo, se forem feitas com o uso dos computadores, permitem ao estudante ampliar suas possibilidades de abstração e investigação, porque algumas etapas formais do processo construtivo são sintetizadas. (D‟ AMBRÓSIO & BARROS, 1988).
Em um retrospecto histórico é possível detectar uma ligação do humano e não
humano, onde a interação com as diversas mídias reorganizam o pensamento
produzindo novos conhecimentos. Podemos compreender com base em (Borba,
2001) que não faz sentido à visão dicotômica, entre o homem e as mídias e justificar
a importância do uso das diversas tecnologias como recursos didáticos e
metodológicos:
Mais ainda, entendemos que conhecimento só é produzido com uma determinada mídia, ou com uma tecnologia da inteligência. É por isso que adotamos uma perspectiva teórica que se apoia na noção de que conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres humanos-com-mídias, ou seres humanos-com–tecnologias e não como sugerem outras teorias, por seres humanos solitários ou coletivos formados apenas por seres humanos (Borba 2001, p. 46).
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3 Interface Gráfica do Geogebra
O Geogebra é um software de geometria Dinâmica desenvolvido por Markus
Hohenwarter, para ser aplicado em sala de aula.
A “geometria Dinâmica” ou (GD) com seu dinamismo favorece o estudo das
propriedades geométricas das construções mantendo se os vínculos e possibilitando
novas observações, com possibilidades do surgimento de novos conceitos e ou
teorias, que um desenho estático produzido somente com a régua e compasso se
tornaria inimaginável.
O seu desenvolvimento teve inicio na Universidade de Salzburg em 2001, e por ser
um software livre em seu código fonte, tem agregado melhoria pelos colaboradores
em programação, aprimorando suas ferramentas tornando o software amigável aos
usuários.
No Paraná os professores podem dispor do software Geogebra com os recursos da
geometria dinâmica nos Laboratórios de informática, denominados de Laboratório do
Paraná Digital, desenvolvido pela Universidade Federal do Paraná que funcionam
com o sistema operacional Linux.
O Geogebra por ser multiplataforma pode ser executado tanto em Linux como
também no Windows.
Como o software é de uso livre com disponibilidade na internet no endereço
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR, com procedimentos e instruções para
download, inclusive em português.
No site GeoGebraWiki, esta disponível diversos materiais educativos para o uso em
geometria dinâmica com a utilização do Geogebra
O geogebra apresenta uma interface que facilita o trabalho do usuário com
experiência em ambientes informatizados, assim como para os iniciantes em
informática.
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Janela Gráfica
Para ter acesso o software Geogebra disponíveis nos laboratório do Paraná Digital,
instalados nas escolas do Estado do Paraná, devemos clicar em “Aplicativos” e
seguir o caminho “Educação-Matemática-GeoGebra”, como indicado na figura 2.
Figura 2: Iniciando o GeoGebra
Ao iniciar o programa Geogebra, figura 3, o usuário verá a interface de trabalho
principal com uma janela algébrica à esquerda e a direita uma janela gráfica com os
eixos coordenados.
Figura 3: Interface do Geogebra
Janela
Gráfica Janela
Algébrica
Entrada de
comandos
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O menu principal, apresenta acesso ás ferramentas para tratamento de arquivo,
ferramentas de edição, de exibição etc. Ao se clicar sobre cada uma dessas opções,
aparecerá janelas e paletas contendo novas opções e comandos a serem utilizados.
Logo abaixo do menu principal estão dispostos onze botões de desenho. Ao lado
dos botões de desenho aparece à direita um campo que mostra qual é a ferramenta
selecionada e uma breve descrição dela, veja a figura 4.
Figura 4: Botões indicativos de ferramentas
Cada um deles, quando selecionado em seu respectivo canto inferior direito, dá
acesso a um grupo de ferramentas de desenho.
Botões numerados facilitam a escolha das ferramentas, veja a figura 5.
Figura 5: Botões numerados
No grupo “Novo ponto”, figura 6, terá acesso às ferramentas “Novo ponto”,
“interseção de Dois objetos” e “Ponto médio”.
Figura 6: Novo ponto
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O grupo do botão “Mover”, figura 7, dá acesso ás ferramentas “Mover”, “Girar em
Torno de um Ponto” e “Gravar para a Planilha de Cálculos”.
Figura 7: Botão mover
O grupo do botão da figura 8; definido como; “Reta Definida por Dois Pontos”,
permite o acesso ás ferramentas, “Reta Definida por Dois Pontos”, „„Segmento
definido por Dois Pontos”; “Segmento com Comprimento Fixo”, “Semirreta Definida
por Dois Pontos”, “Vetor definido por Dois Pontos” e “Vetor a Partir de um Ponto”,
bastando dar um clique na opção desejada.
Figura 8: Reta definida por dois pontos
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O grupo do botão “Reta Perpendicular”, figura 9, dá acesso ás ferramentas “Reta
Perpendicular”, “Reta Paralela‟‟, “Mediatriz”, “Bissetriz”, „‟Tangentes”, “Reta Polar ou
Diametral”, “Reta de Regressão Linear” e “Lugar Geométrico”.
Figura 9: Reta perpendicular
Os polígonos estão no grupo do botão “Polígono”, figura 10, que dá acesso ás
ferramentas “Polígono” e “Polígono Regular”.
Figura 10: Botão Polígono
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O grupo do botão da figura 11; “circulo definido pelo centro e um de seus pontos”
nos dá acesso ás ferramentas ligados ao círculo e circunferência tais como: “Círculo
definido pelo centro e um de seus pontos”, “Círculo dados centro e raio”,
“Compasso‟‟, „‟Círculo definido por três pontos‟‟, „‟Semicírculo Definido por Dois
Pontos”, “Arco circular dados o centro e dois pontos‟‟, „‟Arco circuncircular dados
três pontos”, “Setor circular dados o centro e dois pontos” e „‟Setor circuncircular
dados três pontos”.
Figura 11: circulo definido pelo centro e um ponto
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O grupo do botão “Elipse”, figura 12, dá acesso ás ferramentas „‟Elipse‟‟, “Hipérbole‟‟,
“Parábola‟‟ e „„Cônica Definida por Cinco Pontos‟”.
Figura 12: Botão Elipse
.
O grupo do botão “Ângulo‟‟,veja a figura 13, dá acesso ás ferramentas, „‟Ângulo‟‟,
„‟Ângulo com amplitude fixa‟‟, „‟Distância, Comprimento ou Perímetro”, “Área” e
“Inclinação”.
Figura 13: Botão Ângulo
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O grupo do botão; “Reflexão com Relação a uma Reta”, figura 14; dá acesso ás
ferramentas: “Reflexão com Relação a uma Reta”, “Reflexão com Relação a um
Ponto”, “Girar em Torno de um Ponto por um Ângulo”, “Transladar Objeto por um
Vetor” e „‟ Ampliar ou Reduzir Objeto dados Centro e Fator da Homotetia”.
Figura 14: Reflexão com relação à reta
O grupo do botão “Seletor”, figura 15; dá origem ás ferramentas “Seletor”, “Caixa
para Exibir/Esconder Objetos”, “Inserir Texto”, “Incluir Imagem” e “Relação entre
Dois Objetos”.
Figura 15: Botão Seletor
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O grupo do botão “Deslocar Eixos”, figura 16; dá acesso ás ferramentas “Deslocar
Eixos”, “Ampliar”, “Reduzir”, “Exibir/Esconder Objetos”, “Exibir/Esconder Rótulo”,
“Copiar Estilo Visual” e “Apagar Objeto”.
Figura 16: Botão deslocar eixos
Um pouco mais á direita do campo de mensagem, existem dois botões para
desfazer (CTRL+Z) e refazer ações, veja a figura 17.
Figura 17: Botões Fazer e refazer
O software GeoGebra contém também no menu superior a opção “Ajuda” que no
caso de dúvidas pode trazer dicas úteis na aplicação dos diversos comando e
ferramentas ,veja a figura 18 .
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Figura 18: Menu com o botão Ajuda acionado
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4 TAREFAS DE GEOMETRIA COM GEOGEBRA
4.1 Tarefa 1: Elementos primitivos da geometria Euclidiana
Ponto, Reta e plano são noções primitivas da geometria euclidiana, estabelecidas
nos trabalhos Euclides de Alexandria (325-265 a.C.), em sua famosa obra de
sistematização do conhecimento de geometria, denominada de “Os Elementos”. As
noções de ponto, reta e plano são aceitas sem demonstração, nascidas de modo
intuitivo em nossa mente. Com base nelas torna-se possível estudar, compreender e
representar os fenômenos da realidade.
Na geometria o ponto é uma idealização que não apresenta dimensões, podemos
exemplificá-lo como uma marca de caneta em uma folha de papel; ou ainda através
das estrelas que visualizamos no céu, embora saibamos que estas são corpos
celestes.
A identificação dos pontos no plano é feita com letras maiúsculas do nosso alfabeto
como mostra as ilustrações.
Na figura 20 observamos, por exemplo, os pontos representando a constelação do
cruzeiro do sul, e na figura 21 têm a representação dos pontos A, B e C no papel.
A reta euclidiana é ilimitada. Para representá-la no papel desenha-se uma parte da
mesma e utiliza-se por convenção as letras minúsculas do alfabeto para identificá-
las. Pode-se considerar como exemplos de retas: as linhas que demarcam a
separação de uma pista de rolamento asfáltica, os cabos de aço bem esticados que
compõe as redes elétricas e telefônicas, como mostram as figuras, 22 e 23.
Figura 20: cruzeiro do sul Fonte: Wikipédia
Figura 21: representação de
pontos
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A figura 24, abaixo representa a reta a que passa pelos pontos A e B.
A representação do plano é feita considerando-se parte do mesmo, já que este
também é ilimitado, e sua identificação é feita utilizando–se, letras minúsculas do
alfabeto grego, α (alfa), β (beta) entre outras, como indicado na figura 25.
Figura 22: Faixa continua
Figura 24: representação de reta
Figura 23: Rede elétrica e telefônica
Figura 25: Representação de plano
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Uma folha de papel ou a superfície de uma mesa são consideradas uma
aproximação da ideia de plano. Veja a figura 26.
Ponto, Reta e Plano são elementos de um conjuntos de encadeamentos lógicos da
Geometria Euclidiana, os desenhos utilizados para representá-los são apenas
ilustrações gráficas, que podem auxiliar na compreensão da teoria.
TAREFA-1: Criar e nomear um ponto P e uma reta t, modificando suas
características visuais na janela gráfica do GeoGebra.
Objetivos específicos: Discutir e reconhecer os conceitos primitivos da geometria
euclidiana.
Utilizando o software GeoGebra representar ponto, reta no plano.
Sugestões de Encaminhamentos:
Fazer questionamentos em relação aos conceitos de ponto, reta e plano, verificar
como o educando concebe estas ideias. Pedir aos alunos que citem exemplos de
sua utilização no seu cotidiano.
Pode-se indicar para que os alunos realizem uma pesquisa bibliográfica sobre
Euclides, Tales de Mileto e Pitágoras, na qual busquem evidenciar as contribuições
que esses estudiosos deram à matemática e em especial a geometria.
Utilizando se o laboratório de informática, o Teve–Pendrive, sugere-se o
desenvolvimento das tarefas propostas, vistos que as novas tecnologias propiciam
um maior dinamismo nas construções geométricas, sem, no entanto dispensar
outros recursos.
Figura 26: Tampo da mesa como ideia de plano
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Construindo o ponto P:
Abra um arquivo novo como nome de taref1.
Escolha na barra de ferramenta o botão “Novo Ponto (B2); Figura 27 e clique na
janela gráfica.
Figura 27: Botões numerados
O GeoGebra marcará com o nome A o ponto na cor azul de forma automática, figura
28.
Figura 28: Botão Novo Ponto
Para alterar as características do ponto A, clique sobre ele com o botão direito do
mouse, escolha “propriedades”, figura 29.
Figura 29: Paleta Propriedades
Na janela propriedade escolha a paleta, “básico”. Apague o nome A e escreva P no
local; na mesma janela escolha a paleta “cor” e mude a cor do ponto para vermelho,
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e em seguida na paleta “Estilo” marque o “tamanho 4” utilizando o ponteiro
deslizante, clique em “fechar”.
As características já estarão modificadas. Veja a figura 30.
Construindo a reta t:
Na barra de ferramenta escolha “reta definida por dois pontos” (B3), clique na janela
gráfica, que é o nosso plano, e em outro lugar diferente do primeiro, e o GeoGebra
traçará a reta por estes pontos, definidos automaticamente pelo software como
ponto A e ponto B, e nomeia a reta como “a”; para mudar as características da
mesma basta clicar sobre a reta com o botão direito do mouse e escolher
“Propriedades”, mudando as características desejadas nas paletas, no exemplo
mudamos o nome da reta “a” para “ t ”,vejas a figuras 31 e 32.
Figura 32: Reta no GeoGebra
Figura 30: Mudança de Características
Figura 31: Reta definida por dois pontos
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Usando o botão “Mover” (B1) podemos mover os objetos construído o que facilita o
estudo de propriedades geométricas onde a dinâmica se faz necessário.
Para “fazer ou desfazer” uma construção podemos utilizar os botões localizado no
canto superior da tela, ou utilizar um Ctrl + Z para desfazer uma ação. Apontando o
cursor sobre o objeto e com um “DEL” o mesmo é apagado.
Salve a tarefa com o nome “taref1. ggb”.
Sugestões de Tarefas: As tarefas sugeridas têm como objetivos fixar conceitos de
geometria; a familiarização com o software GeoGebra nas atividades de construção
geométrica e também avaliar o processo com comentários e sugestões.
1) Construir 3 pontos A;B; C.
2) Renomear os ponto B e C para Fe G respectivamente, mudando suas cores pra
vermelho.
3) Utilizando as ferramentas “Um novo ponto (B2) crie um ponto A; e “Reta definida
por dois pontos” (B3), crie várias retas sempre tomando o ponto A como primeiro
ponto das retas. Quantos retas podem passar por A?
4) Quantas retas você pode traçar por dois pontos distintos ?
5) Dados três ou mais pontos diferentes de um plano, em que condições esses
pontos estarão alinhados?
4.2 Tarefa 2: Posições relativas de duas retas no plano
No plano, são duas as possibilidades de posições entre duas retas, são elas:
Retas paralelas: As retas não se cruzam, não apresentando pontos em comum.
Nesse caso denotamos a//b, veja a figura 33.
Figura 33: Retas paralelas
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Aplicações do conceito de paralelismo podem ser encontradas na arte, nas faixas de
segurança para pedestres entre outras aplicações. Como mostram as figuras 34, e
35.
Retas concorrentes: Retas que apresentam um único ponto em comum são ditas
concorrentes, como ilustra a figura a seguir 36.
Figura 34: faixas dos pedestres Figura 35: paralelas e artes
Figura 36: Retas concorrentes
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4.2.1 Segmentos de reta no plano.
Semirreta: Dado uma reta r e um ponto A que divide a reta em duas partes
denominadas semirretas. Para representar cada semirreta considere os ponto B e C
que estão em lados opostos em relação a A sobre a reta r.
A representação das semirretas de origem A, que passa por B e a representação da
semirreta de origem em A e que passa por C, é feita como indicado, na figura 37.
4.2.2 Segmento de reta: O conjunto de pontos de uma reta r, formados por A e
B e todos os pontos que estão no interior de A e B na reta, recebe o nome de
segmento de reta AB com extremidades A e B. A indicação é feita com uma barra
sobre as letras dos extremos do segmento .
No exemplo abaixo figura 38, temos os segmentos de reta , e .
TAREFA-2: Criar duas retas paralelas à reta r com as ferramentas apropriadas do
GeoGebra, modificando suas características visuais com espessura 3, e nas cores
preta ,azul e vermelha respectivamente.
Criar retas e segmentos concorrentes mudando suas posições relativas no plano.
Objetivos específicos: Identificar retas paralelas e transversais no plano com
auxilio do GeoGebra.
Determinar medidas de segmentos usando a ferramenta apropriada do GeoGebra.
Figura 37: semirretas de origem A
Figura 38: Segmentos de retas
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Sugestões de Encaminhamentos:
Fazer questionamentos em relação aos conceitos de paralelismo discutindo o
posicionamento de retas e pontos no plano. Verificar como o educando concebe
estas idéias e pedir que os mesmos dêem exemplos de sua utilização em seu
cotidiano.
O conceito de retas paralelas e transversais pode ser explorado em atividades que
envolvam trabalhos artísticos, utilizando de diversos materiais tais como recortes
com papel, barbantes.
Construindo segmentos e retas paralelas com o GeoGebra
Retas paralelas: Abra um arquivo novo como nome de taref2.
Trace uma reta r determinada por dois pontos A e B utilizando o botão (B3) clicando
na área gráfica.
Com o botão (B2) “Novo Ponto” marque os pontos C e D não pertencentes à reta r
Clique no botão (B4) e escolha a ferramenta “Reta Paralela”, clique em C e depois
em r, agora clique em D e na reta r.
O GeoGebra traçará as retas paralelas passando por C e D,veja a figura 39.
Com o botão “mover” (B1) clique na reta r mova a mesma descreva o que acontece.
Figura 39: retas paralelas no Geogebra
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Para mudar as características clique com o botão direito do mouse em cima de cada
reta e faça as alterações necessárias na janela propriedades, figura 40.
Salve a tarefa com o nome “taref2. ggb”.
Figura 40: Paleta de Propriedades
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4.3 TAREFA 3: Ponto médio
4.3.1 Ponto médio:
É o ponto pertencente a um segmento de reta que o divide em dois segmentos
congruente, conforme figura 41.
TAREFA-3: Determinar ponto médio de um segmento usando as ferramentas “Ponto
Médio ou centro” e “Distância ou Comprimento”.
Objetivos específicos: Determinar o ponto médio de um segmento utilizando as
ferramentas de medidas do GeoGebra.
Conferir através de medidas que um determinado ponto é ponto médio de um
segmento.
Sugestões de Encaminhamentos:
Exemplificar situações onde se pode aplicar a idéia de ponto médio ou centro, como
ponto de equilíbrio. Por exemplo, nos parques de diversões este conceito é visível
nas gangorras, que tanto diverte as crianças nas suas brincadeiras.
Utilizar a ferramenta ponto médio do GeoGebra para fazer a conferência das
medidas, indicando que o centro esta eqüidistante da extremidades.
Figura 41: Ponto médio
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Determinando o ponto médio do segmento e suas medidas.
Abra um arquivo novo como nome de taref3.
Com a ferramenta “Segmento definido por pontos”, botão (B3), crie um segmento
clicando em dois lugares do plano.
Em seguida usando o botão (B2), ”Ponto médio ou centro” clique no ponto A e em
seguida em B, o GeoGebra determina o centro C do segmento como ilustram as
figuras 42 e 43.
.
Com a ferramenta “Distância, Comprimento ou Perímetro” que está no botão (B8),
clique nos extremos do segmento determinando o seu comprimento total, e em
seguida clique no ponto C e em A e repita de C e em B, veja as figuras, 44 e 45.
Figura 44: Ponto médio e suas medidas
Figura 42: Novo Ponto
Figura 44: Ângulo
Figura 43: Ponto médio no GeoGebra
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As medidas conferem com a definição de ponto médio? Agora com o botão mover
(B1), mova o ponto A ou B descreva o que acontece com as medidas.
Salve arquivo com nome de “taref3”.
Sugestões de Tarefas:
As tarefas sugeridas terão como objetivos: fixar conceitos de geometria, a
familiarização com o software GeoGebra nas atividades de construção geométrica e
também avaliar o processo com comentários e sugestões.
1) Construir 3 pontos A;B; C e ligá-los com segmentos de reta.
2) Escrever as notações dos segmentos de forma apropriadas.
3) Utilizando as ferramentas “Um novo ponto (B2) “crie 5 pontos não alinhados e
ligue os com segmentos de reta de forma a formar uma figura fechada.
3) Determine a medida de cada segmento da questão 3 e calcule o perímetro da
figura formada.
4) Dado um segmento de 32 cm determine os pontos médios de forma sucessiva em
relação a uma da extremidades .Descreva o que esta acontecendo.É possível
escrever uma seqüência?
5) Com as ferramentas “Novo Ponto” e “Segmento definida por dois pontos”,trace o
trajeto da sua casa até a escola.
6) Calcule a distância dos segmentos em cm usando a ferramenta “distância (B8)”.
7) Construir com os recursos do GeoGebra a letra E, usando pontos e segmentos de
retas.
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4.4 TAREFA 4: Ângulos
4.4.1 Ângulos: Ângulo é a região do plano delimitada por duas semirretas de
mesma origem.
As semirretas são os lados do ângulo e a origem comum é o vértice. A notação para
representação do ângulo é: CÂB, figura 46.
Também é comum indicarmos a medida de um ângulo por letras minúsculas do
nosso alfabeto, ou letras do alfabeto grego como α,θ ,β.
Medidas de ângulos: A unidade de medida mais utilizada em geometria é grau. O
instrumento usado para fazer medidas de ângulo é o transferidor. Como mostra a
figura 47.
Usaremos uma ferramenta do GeoGebra para fazer as medidas de ângulos nas
construções, a ferramenta se encontra no botão (B8), figura 48.
Figura 47: Transferidor
Figura 48: Ângulo
Figura 46: Ângulo CÂB
31
4.4.1.1 Classificação dos ângulos quanto suas medidas.
Ângulo reto: É o ângulo que tem como medida 90º, figura 49.
Ângulo raso ou de 180º: É o ângulo que tem como medida 180º, também
chamado de ângulo de meia volta, figura 50.
Ângulo Agudo: Todo ângulo que tem medida entre 0º e 90º, figura 51.
Figura 49: Ângulo reto
Figura 50: Ângulo BÔD 180º
Figura 51: Ângulo agudo
32
Ângulo Obtuso: Todo ângulo com medida maior que 90º e menor que 180º figura 52.
Ângulos complementares: Ângulos adjacentes quando somados as suas medidas
resultam em 90º, figura 53.
Ângulos suplementares: Ângulos adjacentes que somados as suas medidas
resultam em 180º, figura 54.
Figura 53: Ângulos complementares
Figura 54: Ângulos Suplementares
Figura 52: Ângulo obtuso CÔD
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TAREFA-4: Construir com o GeoGebra um transferidor dinâmico com a ferramenta
ângulo com indicação da variação dos ângulos.
Objetivos específicos:
Reconhecer nomear ângulos.
Medir ângulos usando a ferramenta apropriada do GeoGebra
Classificar ângulos quanto a suas medidas
Sugestões de encaminhamentos: Explorar junto com os alunos os conceitos de
ângulos com exemplos do próprio ambiente, pode se indicar as articulações do
corpo que formam ângulos variados. Mostrar como se mede ângulos com o
transferidor tradicional. Em seguida construa no GeoGebra um transferidor dinâmico
e explorando com os alunos os conceitos estudados.
34
Construindo o transferidor dinâmico com o GeoGebra.
Abra um arquivo novo Taref4. Com a ferramenta segmento definido por dois pontos
(B3), trace um segmento CE.
Com a ferramenta ponto médio (B2) determine centro A do segmento CE.
Com a ferramenta reta perpendicular (B4) trace a perpendicular passando por A
dando um clique em A e no segmento CE.
Em seguida com o botão (B3), crie um segmento clicando no ponto A e em ponto
qualquer do quadrante formado anteriormente.
Usando agora o botão (B8), “Ângulo” meça o ângulo CÂB clicando com o mouse na
seguinte ordem; primeiro em C, depois A, e finalmente em B, lembrando que o
GeoGebra considera o segundo clique como sendo o vértice do ângulo medido,
figura 55.
Com a ferramenta Mover (B1) mova o ponto D e verifique as variações do ângulo.
Discutir com os alunos as classificações dos ângulos à medida que for movendo o
ponto D.
Salve a tarefa como “Taref4”.
Figura 55: Transferidor dinâmico
35
4.5 TAREFA 5: Construir com o GeoGebra a bissetriz de um ângulo.
Objetivos específicos: Determinar com o GeoGebra a semirreta com origem no
vértice que divide o ângulo e dois congruentes.
Sugestões de encaminhamentos: Pode se usar dobradura para mostrar a bissetriz
de um ângulo e conferir as medidas com uma transferidor convencional, em seguida
construir no GeoGebra modelos utilizando suas ferramentas.
Determinando a bissetriz de um ângulo. Abra um arquivo novo taref5. Com a
ferramenta segmento definido por dois pontos (B3) crie dois segmentos de tal forma
que o segundo segmento tenha origem em um extremo do primeiro segmento.
Com a ferramenta Ângulo (B8), determine a medida do ângulo ABC.
Agora com o botão (B4), “Reta Perpendicular” escolha a ferramenta “bissetriz” de um
ângulo clicando no ângulo ABC, o GeoGebra traça a bissetriz, marque um ponto D
sobre a reta mediatriz.
Com a ferramenta ângulo (B8), determine a medida dos ângulos BÂD e ângulo DÂC.
Figura 56.
Com o botão Mover (B1), mova os pontos A ou C e descreva o que acontece.
Salve a tarefa como “Taref5”.
Figura 56: Bissetriz de um ângulo
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Sugestões de Tarefas: As tarefas sugeridas terão como objetivos: fixar conceitos
de geometria, a familiarização com o software GeoGebra nas atividades de
construção geométrica e também avaliar o processo com comentários e sugestões.
1) Com as ferramentas segmentos definidos por dois pontos (B3), crie 4 ângulos
com 30º ,45º ,90º e 180º .
2) Construa ângulos retos com as ferramenta apropriadas do GeoGebra.
3) Construa ângulos rasos.
4) Calcula a medida do ângulo ABC representado na figura 57, e o valor de Xo,
sabendo que o segmento BD é a bissetriz do ângulo.
Figura 57: Atividades com bissetriz
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4.6 TAREFA 6: Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes formam quatro ângulos a, b, c e d. Os ângulos a e c , e os
ângulos b e d são chamados de opostos pelo vértice (O.P.V.).
Conforme a figura 58 tem se, que o ângulo a é formado pelo prolongamento dos
lados do ângulo c, o mesmo acontecendo com o ângulo b, formado pelo
prolongamento dos lados de d.
TAREFA-6: Construir com o GeoGebra um ângulo ângulos opostos pelo vértice e
verificar as sua propriedades.
Objetivos específicos: Reconhecer ângulos opostos pelo vértice através de
construções.
Resolver problemas a partir da propriedade dos ângulos opostos pelo vértice
(O.P.V.).
Sugestões de encaminhamentos: Pode se usar dobradura e modelos feitos de
madeira para mostrar os ângulos opostos pelo vértice. E também com as
ferramentas do GeoGebra, construir modelos dinâmicos para verificar propriedades
dos ângulos O.P.V.
Construindo um modelo de ângulo oposto pelo vértice com o GeoGebra.
Abra um arquivo novo taref6. Com a ferramenta “Reta definida por dois pontos”,
botão (B3) trace duas retas concorrentes no plano clicando em (tela).
Figura 58: Ângulos opostos pelo vértice
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Com a ferramenta “Interseção de dois objetos”, encontrada no botão (B2), marque a
intersecção das retas.
Clique no botão (B8) e com a ferramenta “Ângulo” faça a medidas dos ângulos
formados, lembrando que o GeoGebra faz medida no sentido anti-horário, inverta a
ordem dos cliques se não for o ângulo desejado.
Com o botão “Mover” (B1), mova as retas através dos seus pontos, e verifique a
propriedade dos ângulos opostos pelos vértices. Figura 59.
Salve a tarefa como “Taref6”.
Sugestões de Tarefas:
As tarefas sugeridas terão como objetivos fixar conceitos de geometria; a
familiarização com o software GeoGebra nas atividades de construção geométrica e
também avaliar o processo com comentários e sugestões.
1) Construa com as ferramenta do GeoGebra ângulos opostos pelo vértice e com a
ferramenta “ Mover” verifique a propriedade dos ângulos O.P.V.
2) Determine as medidas dos ângulos X e Y, sabendo que segmento EM é a
bissetriz do ângulo BÊC da figura 60.
Figura 59: Ângulos opostos pelo vértice
Figura 60: Cálculo com bissetriz
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4.7 TAREFA 7: Ângulos definidos por duas retas paralelas e uma reta transversal
Duas retas paralelas a e b e uma reta transversal t, determinam oitos ângulos que
apresentam propriedades importantes nas relações angulares. Figura 61.
TAREFA-7: Construir com o GeoGebra duas retas paralelas r e s cortada por um
transversal t, nomeando os ângulos formados.
Objetivos específicos: Reconhecer e nomear ângulos formados por uma reta
transversal a duas retas paralelas.
Verificar com GeoGebra as características dos ângulos, construindo um modelo
dinâmico.
Sugestões de encaminhamentos: Pode
se usar um modelo feito com madeira,
figura 62, ou outro material como palitos
de sorvetes no estudo das características
dos ângulos formados pela reta
transversal e duas retas paralelas;
permitindo assim que os alunos possam
manipular e descobrir importantes
relações entre os ângulos.
Com o GeoGebra o dinamismo do modelo
construído permite uma variação grande
dos ângulos com a movimentação da reta
Figura 61: Reta paralela , transversal e ângulos
Figura 62: material manipulável
40
transversal ou das retas paralelas, facilitando as observações e ajudando os alunos
nas conclusões referentes às características dos ângulos formados em função das
retas paralelas e da reta transversal.
Construindo um modelo dinâmico de retas paralelas e uma transversal.
Abra um arquivo novo taref7. Com o botão (B3) e usando a ferramenta “Reta
definida por dois pontos”, crie uma reta r clicando com o mouse em dois pontos da
janela gráfica.
Com a ferramenta “Reta paralela” botão (B4), trace uma paralela a reta r, clicando
com o mouse sobre a reta r e em um ponto fora da reta, à reta paralela será traçada,
para renomear a reta, clique sobre as retas e na paleta escolha “Renomear” e mude
o nome das retas se necessário. Figura 63.
Com o botão novo Ponto “(B2), marque sobre a reta transversal pontos auxiliares
para medir os ângulos através do GeoGebra.
Agora com o botão “Ângulo” (B8) faça a medidas dos oito ângulos, lembre-se que o
GeoGebra precisa de três pontos para medir os ângulos ,e em sentido anti-horário.
Agora com o botão “mover” (B1), clique com o lado esquerdo do mouse sobre a reta
r, movimentando-a. Descreva o que acontece quando movimentamos as retas.
Salve a construção como “taref7”
Figura 63: Modelo dinâmico no Geogebra
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Sugestões de Tarefas:
As tarefas sugeridas terão como objetivos: fixar conceitos de geometria, a
familiarização com o software GeoGebra nas atividades de construção geométrica e
também avaliar o processo com comentários e sugestões.
1-A partir da figura 64 destaque:
a) Os quatros ângulos da região interna e externa às retas r e s.
b) Quais são os ângulos opostos pelo vértice. Nomeie-os.
c) Quais são os ângulos colaterais internos e externos? O que eles têm em
comum?
d) Quais são os ângulos alternos internos e externos? O que eles têm em comum?
e) Destaque dois pares de ângulos suplementares.
2- Construa com o auxílio do GeoGebra, ângulos formados por uma reta transversal
e duas retas paralelas, nomeando após medi-los.
Figura 64: Ângulos com paralelas e transversais
42
4.8 TAREFA 8: Estudando os triângulos
Triângulo é um polígono de três lados.
Características dos Triângulos:
O triângulo é diferente de outros polígonos por apresentar uma rigidez, depois de
estabelecidos os seus lados.
Em qualquer triângulo a medida de um lado é sempre menor que a soma dos outros
lados, conferindo assim a existência do polígono.
É o único polígono que não tem diagonal.
A rigidez característica dos triângulos é usada nas estruturas que necessitam de
uma estabilidade mecânica conferindo maior segurança contra danos, é por isso que
os triângulos têm inúmeras aplicações praticas e utilitárias, como ilustra a figura 65.
No triângulo ABC, figura 66, temos:
Os vértices A, B e C.
Lados a, b e c.
E os ângulos α, β e γ.
.
Figura 65: cobertura da rodoviária: Paranavaí
Figura 66: Triângulo ABC
43
Nas tarefas seguintes serão estudados alguns elementos do triângulo tais como
soma dos ângulos internos do triângulo, e o circuncentro.
TAREFA-8: Determinar a soma dos ângulos internos de um triângulo usando
as ferramentas apropriadas do GeoGebra.
Objetivos específicos: Determinar a soma dos ângulos internos de um triângulo
usando as ferramentas do GeoGebra.
Verificar com uma construção dinâmica no GeoGebra que a soma dos ângulos
internos de um triângulos é 180º.
Sugestões de encaminhamentos: Usando de diversos materiais pode se construir
triângulos e recortando os vértices previamente destacado e colocando-os em justa
posição, confirma-se que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º,
isto considerando a geometria plana.
Com o GeoGebra o dinamismo do modelo construído permite uma variação grande
dos ângulos com a movimentação dos vértices do triângulo, permitindo uma
comprovação da propriedades que trata da soma dos ângulos internos de um
triângulo.
Explorando o conceito de ângulos opostos pelo vértice, e também os ângulos
formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal pode se provar a
propriedade de que a da soma os ângulos internos de um triângulo é 180º.
Determinando a soma dos ângulos internos de um triângulo com um modelo
dinâmico do GeoGebra.
Abra um arquivo novo taref8.
Com o botão “Novo ponto” (B2) marque três pontos na tela gráfica do GeoGebra,
clicando com o mouse na janela gráfica.
Com a ferramenta “Segmento definido por dois pontos”, botão (B3), crie um triângulo
ligando os pontos com segmentos.
Agora escolha a ferramenta “Reta paralela” no botão (B4), trace uma reta paralela
clicando no vértice A e no lado aposto a este vértice.
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Clicando na reta traçada com botão direito do mouse mude o estilo da mesma,
escolhendo na janela aberta “propriedades” em seguida clique em “Estilo”, figura 67
e escolha linha tracejada e clique em fechar. Pode se mudar outras características
na mesma janela.
Com a ferramenta “Novo ponto” (B2) marque dois pontos auxiliares na reta tracejada
em lados opostos em relação ao ponto A.
Com a ferramenta “Ângulo”, botão (B8) determine as medidas dos ângulos do
triângulo e os ângulos formados pela linha tracejada, veja figura 68.
.
Com o botão “Mover” botão (B1), mova os vértices do triângulo e descreva o que
acontece com os ângulos, e verifique se o modelo confirma a propriedade da soma
dos ângulos internos de triângulo.
Salve a tarefa como “Taref8”.
Figura 68: Geogebra e a soma dos ângulos internos do triângulo
Figura 67: Estilo
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4.9 TAREFA 9: Determinar o circuncentro de um triângulo usando o GeoGebra. Objetivos específicos: Determinar o circuncentro de um triângulo.
Traçar uma circunferência a partir do circuncentro.
Sugestões de encaminhamentos: Com papel construir triângulos e com
dobraduras adequadas determinar o ponto médio e a mediatriz que passa pelos
pontos médios, no encontro das mediatrizes localiza-se o circuncentro do triângulo.
Com um compasso traça-se uma circunferência, com centro no ponto de encontro
das mediatrizes, chamando a atenção dos alunos para o fato do circuncentro estar
equidistante dos vértices do triângulo. Com o GeoGebra o dinamismo do modelo
construído permite uma variação grande dos ângulos com a movimentação dos
vértices do triângulo, permitindo uma comprovação dessa importante propriedade do
circuncentro.
Determinando o circuncentro de um triângulo com recursos do GeoGebra..
Abra um arquivo novo taref9. Com a ferramenta “Polígono”, com o botão (B5) crie
um triângulo, clicando com o mouse em lugares diferentes da tela, voltado em
seguida ao primeiro ponto.
Escolha a ferramenta “Mediatriz”, botão (B4), trace as duas mediatrizes do triângulo
clicando com mouse em dois vértices de cada vez.
Agora como com a ferramenta “Ponto de intersecção”, botão (B2), clique sobre o
ponto de intersecção das duas mediatrizes,
figura 69.
Em seguida com botão (B4) trace a última
mediatriz, assim fica determinado o
circuncentro do triângulo.
Com o botão “mover”, (B1) mova os vértices
do triângulo e observe o circuncentro.
Descreva o que acontece, quando as
mediatrizes passam pelos vértices.
Tomando a ferramenta “Círculo definido pelo
centro e um de seus pontos”, botão (B5), clique no circuncentro e em um vértice do
triângulo figura 70.
Figura 69: circuncentro do triângulo
46
A circunferência passa nos vértice?
Com o botão “mover” (B1), mova os vértices do triângulo e faça as mediatrizes
coincidir com os mesmos, descreva o resultado.
Que tipo de triângulo se obtém como resultado da última ação?
Salve a tarefa como “Taref9”.
Sugestões de Tarefas:
As tarefas sugeridas terão como objetivos: fixar conceitos de geometria, a
familiarização com o software GeoGebra nas atividades de construção geométrica e
também avaliar o processo com comentários e sugestões.
1) Dado três pontos A, B e C, determine usando as ferramentas do GeoGebra,
“Novo ponto” e “Segmentos definidos por dois pontos” um triângulo.
2) Trace com a ferramenta “Polígono” um triângulo e determine as suas
mediatrizes.
3) Calcule a soma dos ângulos internos de um triângulo usando a ferramenta
“Ângulo” do GeoGebra.
4) Com o botão “Mover”, mova os vértices do triângulo da questão três e verifique
se o teorema da soma dos ângulos internos se mantém.
Figura 70: Circulo a partir do circuncentro
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5) Um mestre de obra está com o seguinte problema:
Ele tem que construir um coreto no centro de uma arena circular, mas após uma
chuva intensa a marcação do centro se perdeu,ficando apenas as marcações das
três entradas da arena.
Como você poderia ajudar o mestre de obra com seus conhecimentos de
circuncentro?
48
5 AVALIAÇÃO
A avaliação como parte do processo pedagógico e com uso de variados
instrumentos, e em momento oportuno, tem como objetivo o registro dos avanços
dos alunos. A avaliação no período de desenvolvimento da aplicação do material
didático buscará através de questionários informações sobre o uso da informática
como instrumento de estudo e pesquisa, e também detectar os níveis de interação
que os alunos têm com as mídias informatizadas.
O desenvolvimento das tarefas propostas neste material didático será acompanhado
dos registros em meios eletrônicos.
Após discutirem os conceitos propostos das tarefas, e construírem os objetos
geométricos na interface do Geogebra, cada aluno fará o devido registro em pastas,
com comentários das tarefas, em relação aos conceitos de geometria e da interface
de trabalho, buscando sempre uma interação com significado dos conteúdos
estudados.
Neste sentido a avaliação como um componente importante do processo de ensino,
buscará determinar resultados que possam reorientar o trabalho pedagógico,
propiciando aos alunos novas oportunidades de aprendizagem e também a reflexão
do professor sobre o seu fazer pedagógico, entendido que o processo de avaliação
deve ser feito ao longo do processo, com o objetivo principal de levar o educando a
uma prática social relevante.
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REFERÊNCIAS BORBA, MARCELO C. & PENTEADO, MIRIAN G. Informática e Educação Matemática. – Coleção Tendências em Educação Matemática. -2 ed.- Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2001. D‟AMBRÓSIO, U; BARROS, J. P. D. Computadores, escola e sociedade. São Paulo: Scipione 1988. Diretrizes Curriculares de Matemática para a educação do Ensino Médio. Curitiba: SEED, 2008. GERÔNIMO, JOÃO ROBERTO, Geometria Euclidiana Plana: Um estudo com o software Geogebra/ João Roberto Gerônimo,Rui Marcos de Oliveira Barros,Valdeni Soliani Franco .- Maringá: Eduem,2010. GIOVANI Junior, José Ruy. A conquista da Matemática, 8º ano/José Ruy Giovanni Junior,Benedicto Castrucci. -Ed. renovada. -São Paulo: FTD, 2009. -(coleção a conquista da matemática). LORENZATO, Sérgio. Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2009. (Coleção Formação de Professores). LORENZATO, Sérgio. Por que ensinar geometria? Revista da sociedade Brasileira de educação matemática. São Paulo, n. 4, p.3 -13 jan.1995. NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa. Aprendendo matemática com o Cabri-Géomètre Il e Il- PLUS . Volume único - Brasília: Ed. Do Autor, 2007. 278 p. il. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Superintendência da Educação. Diretoria de tecnologias educacionais. TV multimídia: pesquisando e gravando conteúdos no pen drive. -Curitiba: SEED- PR, 2008. -96p.
