DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

MATEMATICA II - 2014/2015

Ficha pratica 1

1. Sejam (x1, x2), (y1, y2) R2 e R. Diga, justificando, se R2 munido com as operacoes +e

, definidas a seguir, e espaco vectorial real:

(a) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2), e (x1, x2) = (x1, x2);

(b) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0), e (x1, x2) = (x1, x2).

2. Diga quais dos seguintes conjuntos sao linearmente independentes:

(a) Em R3, {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)};

(b) Em R4, {(1, 0,1, 0), (4, 0,3, 1), (2, 0,1, 1)}.

3. Calcule o unico valor de a que faz com que os vectores de R4, ~u = (1, 0, 0, 2), ~v = (1, 0, 1, 0) e

~w = (2, 0, 1, a), sejam linearmente dependentes.

4. Verifique se os vectores de P2[x] (espaco vectorial dos polinomios de grau menor ou igual a 2),

p(x) = 2 x, q(x) = 2x x2 e r(x) = 6 5x+ x2, sao linearmente dependentes.

5. Dos seguintes conjuntos diga quais sao subespacos vectoriais:

(a) A = {(x, y) R2 : x = 0};

(b) B = {(x, y, z) R3 : x+ y + z = 0};

(c) C = {(x, y, z) R3 : x+ y + z = 1}.

6. Seja {~u,~v, ~w} uma base de um espaco vectorial real E e ~c = 2~u+ ~v ~w E.

(a) Mostre que os vectores ~u+ ~c, ~v e ~w sao linearmente independentes.

(b) Diga, justificando, se {~u+ ~c, ~v, ~w} constitui uma base de E.

7. Seja G um subespaco de R3, tal que: G = (1, 1,1), (2, 1,1), (0,1, 1).

(a) Caracterize o subespaco G.

(b) Determine uma base de G e a respectiva dimensao.

(c) Determine, se possvel, as coordenadas do vector (0, 3,3) relativamente a` base de G que

indicou na alnea anterior.

8. Considere o subespaco vectorial de R4: A = {(x, y, z, w) R4 : x = y z = w}.

(a) Determine uma base de A e indique a sua dimensao.

(b) Caracterize o subespaco B = (1, 1, 0, 0), (2, 0, 1,1) R4.

(c) Determine A B e indique a dimensao de A+B.

9. Sejam F = {(x, y, z, w) R4 : x + y + z = 0 x = w} e G = {(x, y, z, w) R4 : x = y = 0}

subespacos vectoriais de R4.

(a) Determine F G e indique a sua dimensao.

(b) Sabendo que dim(F ) = 2 mostre que F+G=R4.