Resumo Especificao de Filtros Filtro de Butterworth Filtro de Chebyshev Filtros de Primeira Ordem Filtros de Segunda Ordem

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IntroduoOs primeiros filtros construdos eram circuitos LC passivos. Estes filtrosfuncionam bem em altas frequncias mas em baixas frequncias (de DC a100KHz) as bobines so grandes, tem caractersticas no ideais e soimpossveis de fabricar em circuito integrado e pouco compatveis amontagem de circuitos impressos modernos.Neste captulo so estudados filtros sem bobinas como o filtro activo RC efiltros de condensadores comutados.Os filtros RC activos utilizam amplificadores operacionais juntamente comresistncias e condensadores e so fabricados na forma discreta comtecnologia hybrid thick-film e hybrid thin film.Mas estas tecnologias, na produo em larga escala, no atingem os baixospreos de solues totalmente integradas. Actualmente a soluo mais vivelpara a realizao dum filtro totalmente integrado a tcnica de condensadorescomutados.

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Funo de Transferncia do FiltroAfuno de transferncia T (s) dada porT (s) = Vo(s)Vi(s)Sendo s = jwT ( jw) = |T ( jw)|e j(w)

A funo de ganhoG(w) = 20log |T ( jw)| ,dBA funo de atenuaoA(w) =20log |T ( jw)| ,dBA fase do sinal de entrada alterada segundo a funo (w).

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Tipos de Filtro

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Especificao de filtros passa-baixoA caractersticade transmisso de umfiltro passa baixo especificadapor quatro parmetros:

Uma frequncia superiorda banda passante wp

A mxima variaopermitida da banda passanteAmax (tipicamente de 0.05dB

a 3dB). A frequncia inferior da banda de rejeio ws Atenuao mnima na banda de rejeio Amin (tipicamente de 20dB a

100dB).

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Especificao de filtros passa-baixoA razo ws/wp usualmente usada como a medidada transio rpida entre a bandapassante e a banda de rejeio e chamada factor de selectividade.Alm da especificao da respostaem amplitude h aplicaesem que a resposta em fase do filtro especificada para o projecto.

Torna-se no entanto mais complexo quando preciso obedecer a umaespecificao em amplitude e fase.Geralmente feita uma aproximao duma funo de transferncia sespecificaes atravs de programas de computador ou tabelas de projecto defiltros. Em casos simples a aproximao pode-se fazer atravs de expressesem forma fechada (no recorrentes).

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Especificao de filtros passa-bandaAfigura mostra as especificaes detransferncia do filtro passa-bandae a resposta do filtro queobedece a essas especificaes.Note-se que neste casoexistem duas bandas de transio.

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Funo de Transferncia do FiltroA funo de transferncia genrica T (s) de um filtro pode ser escrita na forma:T (s) = aMs

M+aM1sM1+...+a0sN+bN1sN1+...+b0

= aM(sz1)(sz2)...(szM)(sp1)(sp2)...(spN)O grau do denominador, N, a ordem do filtro. Para um filtro ser estvel ograu do numerador deve ser igual ou inferior ao denominador.As razes do numerador z1,z2, . . . ,zM so os zeros e as razes do denominadorp1, p2, . . . , pN so os plos da funo de transferncia ou modos naturais.Plos ou zeros complexos aparecem em pares conjugados.

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Funo de Transferncia do Filtro

A banda de rejeio do filtro para ter valor de zero ou pequeno precisa de teros zeros nessa banda. O filtro acima tem valor de ganho de zero ( em dB)em wl1 e wl2. Isto corresponde a dois pares de zeros conjugados s = jwl1 es = jwl2. Quando w ento o ganho tende para zero ( em dB). Entoo filtro tem pelo menos um zero em infinito. A diferena de grau entre odenominador e o numerador o nmero de zeros no infinito.

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Funo de Transferncia do Filtro

Para o filtro ser estvel todos os plos devem estar no semi-plano esquerdo ouseja os plos p1, p2, . . . , pN devem ter as partes reais negativas. Todos os plosesto perto da banda passante o que d ao filtro o ganho na banda passante.

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Funo de Transferncia do Filtro

O filtro acima tem valor de ganho de zero ( em dB) em wl1 e wl2. Istocorresponde a dois pares de zeros conjugados s = jwl1 e s = jwl2.Quando w w 0 ento o ganho tende para zero ( em dB). Ento ofiltro tem pelo menos um zero em infinito e zero. A diferena de grau entre odenominador e o numerador o nmero de zeros no infinito.

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Funo de Transferncia do FiltroObservamos aquique no h valoresfinitos de w naqual a atenuao (valor deganho zero). Entoos zeros estotodos em infinito.A funo de

transferncia deste filtro do tipoT (s) = a0

sN+bN1sN1+...+b0Quase todos os filtros que vo ser estudados tm os zeros no eixo imaginriona banda de rejeio, w = 0 ou w = . Para obter grande selectividade osplos sero complexos conjugados excepto quando as ordens so mpares.Quanto mais selectivo um filtro maior a ordem e mais prximos esto osplos do eixo imaginrio.

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Filtro de ButterworthOszeros da funo transferncia esto todosem infinito. A amplitude da funo detransferncia para um filtro de Butterworthde ordem N com uma frequnciasuperior da banda passante wp dado por:|T ( jw)|= 1

1+2(

wwp

)2NPara w = wp|T ( jwp)|= 1

1+2O parmetro determina o valor de Amax.A mxima variao na banda passante: Amax = 20log

1+ 2. A partir de Amax,

o valor de dado por =

10Amax/101.

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Filtro de ButterworthPode ser mostrado que as primeiras2N1 derivadas de |T | relativamentew zero em w = 0. Esta propriedadefaz da resposta do filtro de Butterworthbastante plana em w = 0, isso justifica onome em ingls de maximally flat responseNa frequncia inferiorda banda de rejeio w = ws a atenuaodo filtro de Butterworth dada porA(ws) =

20log[

1/

1+ 2 (ws/wp)2N]=

10log[1+ 2 (ws/wp)2N

]Esta equao pode ser usada para calcular a ordem do filtro que o menorinteiro N que d A(ws)> Amin.

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Filtro de ButterworthOs plos ou modos naturais do filtroButterworth de ordem N esto num circulode raio w0 = wp (1/)1/N e esto espaadospor ngulos de pi/N com o primeiro ploa um ngulo de pi/2N do eixo imaginrio.A funo de transferncia dada porT (s) = Kw

N0

(s+p1)(s+p1)...(s+pN)(1)

Podemos encontrar a funotransferncia atravs do procedimento

Determine de =

10Amax/101 Determine a ordem do filtro de A(ws) = 10log

[1+ 2 (ws/wp)2N

]com

A(ws)> Amin. Usar a figura para determinar os plos. Usar a equao (1) para determinar a funo transferncia.

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Filtro de ChebyshevAs figurasmostram filtrosde Chebyshevde ordempar e mpar.Os filtrosde Chebyshevexibem umaresposta de

igual-ripple na banda passante e decresce continuamente na banda de rejeio.O nmero de mximos na banda passante o nmero de plos do filtro. Todosos zeros do filtro de Chebyshev esto no infinito. A amplitude da funotransferncia dum filtro de Chebyshev com limite da banda passante wp |T (s)| = 1

1+2cos2[Ncos1(w/wp)]w6 wp

|T (s)| = 1

1+2cosh2[Ncosh1(w/wp)]w> wp

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Filtro de ChebyshevPara a frequncia superior da banda passante w = wp|T ( jwp)|= 1

1+2O parmetro determina o ripple na banda passanteAmax = 10log

(1+ 2

)A partir de Amax o valor de determinado por: =

10Amax/101

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Filtro de ChebyshevA atenuao atingida pelo filtro de Chebyshev no principio da banda derejeio (w = ws) dada porA(ws) = 10log

[1+ 2cosh2

(Ncosh1 (ws/wp)

)] (1)Com esta expresso pode obter-se a ordem do filtro N de forma a obter umAmin (encontrar o menor N para o qual A(ws)> Amin).Os plos do filtro de Chebyshev so dados porpk =wpsen

( 2k1N

pi2)

senh( 1

N senh1 1

)+ jwpcos

( 2k1N

pi2)

cosh( 1

N senh1 1

)k = 1,2, . . . ,N (2)

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Filtro de ChebyshevA funo transferncia do filtro de Chebyshev pode ser escrita comoT (s) = Kw

Np

2N1(sp1)(sp2)...(spN) (3)aonde K o ganho do filtro.O filtro de Chebyshev com as especificaes pretendidas pode ser encontradoatravs dos seguintes passos:

Determine de =

10Amax/101 Determine a ordem do filtro de (1) do acetato anterior. Determinar os plos de (2) do acetato anterior. Usar a equao (3) para determinar a funo transferncia.

O filtro de Chebyshev para obter as mesmas especificaes que o filtro deButterworth requer uma ordem menor.

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Filtro de primeira e segunda ordemFiltros de primeira e segunda ordem podem ser combinados em srie paraobter um filtro de ordem mais elevada. Com filtros activos RC a resistncia desada dum andar aproximadamente nula no sendo preciso tomar em conta acarga do andar seguinte.Em realizaes activas h mais versatilidade do que nas realizaes passivas. possvel configurar os ganhos e alterar alguns parmetros sem afectaroutros. No entanto os amplificadores operacionais limitam a resposta em altafrequncia dos circuitos activos.A funo de transferncia de primeira ordem dada porT (s) = a1s+a0

s+w0Esta funo transferncia caracteriza o filtro de primeira ordem com um modonatural em s =w0 e um zero em s =a0/a1 e um ganho em alta frequnciaque se aproxima de a1. Os coeficientes do numerador, a0 e a1, determinam otipo de filtro.

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Filtro de primeira ordem

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Filtro Passa-Tudo de primeira ordem

O filtro passa-tudo um caso particular interessante.O zero e o plo da funo transferncia esto localizados simtricamente emrelao ao eixo jw. De notar que o ganho do filtro passa tudo idealmenteconstante em todas as frequncias e a sua fase varia com a frequncia.Os filtros passa-tudo so usados em filtros deslocadores de fase e em sistemasde equalizadores de atraso que causam que o atraso do sistema para todas asfrequncias sejam constantes.

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Filtro de segunda ordemA funo de transferncia geral de segundaordem (ou biquadrtica) tem a formaT (s) = a2s

2+a1s+a0s2+(w0/Q)s+w20

Em que os plos so dados porp1, p2 = w02Q jw0

1 (1/(4Q2))

So interessantes oscasos em que os plos so tais que Q > 0.5.Este parmetro determina quanto prximosos plos esto do eixo imaginrio.Quanto maior o valor do factor dequalidade Q mais prximos esto os plosdo eixo imaginrio e mais selectivo se torna

o filtro. Um valor infinito do factor de qualidade Q os plos esto no eixoimaginrio o que implica que o filtro pode manter oscilaes. Um valornegativo de Q implica que os plos esto no semi plano direito o que faz ofiltro produzir oscilaes.

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Filtro de segunda ordemOs zeros da funo so determinados pelos coeficientes do numerador a0, a1 ea2. Os valores dos zeros determinam o tipo de filtro pretendido (Passa-Baixo,Passa-Alto, Passa-Banda, Rejeita-Banda).Nas figuras que se seguem todos os filtros de segunda ordem tem um par deplos complexos com parmetros w0 e factor de qualidade Q.No caso do filtro passa-banda quando Q aumenta a largura de banda do filtrodiminui.

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Filtro de segunda ordem

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Filtro de segunda ordem

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Filtro de segunda ordem

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