Fisica General. Serie Bachiller

38

3CONTENIDO

Características de un vector

Cómo establecer la escala de un vector

Vectores coplanares, no coplanares, deslizantes y libres

Sistema de vectores colineales

Sistema de vectores concurrentes o angulares

Resultante y equilibrante de un sistema de vectores

Propiedades de los vectores

Suma de vectores Composición y

descomposición rectangular de vectores…

Vectores unitarios Suma de dos vectores

angulares o concurrentes Suma de más de dos

vectores concurrentes o angulares

Método del triángulo Producto de un

vector por un escalar Producto escalar

de dos vectores Producto vectorial

de dos vectores Actividad experimental 4:

Equilibrio de fuerzas colineales y de fuerzas angulares o concurrentes

Resumen Autoevaluación Coevaluación Glosario

En nuestra vida diaria constantemente nos referimos a diferen-tes magnitudes físicas. Por ejemplo, cuando compramos azúcar

pedimos 1 kg, 2 kg, 5 kg o un costal de 50 kg. De igual manera, al hablar de la temperatura del ambiente nos referimos a 2O °C, 25 °C, 30 °C o 45 °C, según la estación del año. Al buscar un terreno para construir una casa, especificamos si lo deseamos de 120 m2, 200 m2 o 300 m2. En los casos anteriores, al hablar de masa, temperatura y área o superficie, respectivamente, para definirlas bastó señalar la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medi-da. Éstas y otras magnitudes, como la longitud, el tiempo, el volu-men, la densidad y la frecuencia, reciben el nombre de magnitudes escalares. Por definición: una magnitud escalar es aquella que que-da perfectamente definida con sólo indicar su cantidad expresada en números y la unidad de medida.

Existen otros tipos de magnitudes que para definirlas, además de la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida, se necesita indicar claramente la dirección y el sentido en que actúan; estas magnitudes reciben el nombre de vectoriales. Por ejemplo, cuando una persona visita la ciudad de México y nos pre-gunta cómo llegar al Castillo de Chapultepec, dependiendo de dón-de se encuentre le diremos aproximadamente a qué distancia está y la dirección a seguir. Lo mismo sucede cuando hablamos de la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo, pues aparte de señalar su magni-tud debemos especificar si la fuerza se aplicará hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda, hacia el frente o hacia atrás. Además de los dos ejemplos anteriores de desplazamiento y fuerza, existen entre otras las siguientes magnitudes vectoriales: velocidad, aceleración, impulso mecánico y cantidad de movimiento.

Cualquier magnitud vectorial puede ser representada gráfica-mente por medio de una flecha llamada vector, la cual es un seg-mento de recta dirigido. Para simbolizar una magnitud vectorial trazamos una flechita horizontal sobre la letra que la define; vea-mos: y

, d

, F

y a

representan un vector velocidad, desplazamiento, fuerza y aceleración, respectivamente. Si se desea expresar sólo la magnitud del vector, la letra se coloca entre barras: |y

|, |d

|, |F

| y |Wa| o simplemente se escribe la letra sola. De acuerdo con nuestro ejemplo, sólo se escribiría la letra ya sea y, d, F o a. De esta ma-nera, la fuerza, misma que es una magnitud vectorial se represen-ta por F

y la magnitud de la fuerza por |F

| o por F. En este libro,

en la mayoría de los casos, escribiremos únicamente la letra sin la flecha arriba, cuando hagamos referencia sólo a la magnitud del vector de que se trate. En algunos casos, como el producto escalar y vectorial, colocaremos entre las barras a las letras que se repre-sentan sólo el valor o magnitud de los vectores. Un conjunto for-mado por dos o más vectores es un sistema de vectores. Un sistema de vectores coplanares es aquel en el cual los vectores se encuentran en el mismo plano, o sea, en dos ejes; si están en diferente plano, o en tres ejes, son no coplanares. Un sistema de vectores colineales se presenta cuando los vectores se localizan en la misma dirección o línea de acción. Un sistema de vectores es angular o concurrente cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruza en algún punto; el punto de cruce constituye el punto de aplicación de los vectores. Para sumar magnitudes vectoriales necesitamos utilizar métodos especiales, ya sean gráficos, como el del paralelogramo y el del polígono, o analíticos, porque los vectores no pueden sumarse aritméticamente por tener dirección y sentido.

39

Vectores

Física General

40 Grupo Editorial Patria

1 Características de un vector

Un vector cualquiera tiene las siguientes caracterís-ticas:

1. Punto de aplicación u origen.

2. Magnitud, intensidad o módulo del vector. Indica su valor y se representa por la longitud del vector de acuerdo con una escala convencional.

3. Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, puede ser horizontal, vertical u oblicua.

4. Sentido. Queda señalado por la punta de la flecha e indica hacia dónde actúa el vector. El sentido de éste se puede identificar de manera convencional con sig-nos (1) o (2) (figura 3.1).

En la figura 3.1 (a) se representan dos vectores (V

1 y V

3), cuya dirección es vertical, pero uno es vertical hacia arriba, es decir, positivo (por convención); el otro es vertical hacia abajo, o sea, negativo. También se aprecian dos vectores (V

2 yV

4), cuya dirección es horizontal, pero uno es horizon-tal a la derecha, es decir, positivo (por convención), y el otro es horizontal a la izquierda, o sea, negativo.

En la figura 3.1 (b) se muestran dos vectores (F

1 y F

2), cuya magnitud (1O N) y dirección (horizontal) es la misma; sin

Para representar un vector necesitamos una escala con-vencional, la cual estableceremos según nuestras necesi-dades, de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le desee dar. Si queremos representar un vector en una cartulina no usaremos la misma escala que si lo hacemos en una hoja de nuestro cuaderno. Por ejemplo, si se desea representar en la cartulina un vector fuerza de 350 N dirección horizontal y sentido positivo, pode-mos usar una escala de 1 cm igual a 10 N; así, con sólo medir y trazar una línea de 35 cm estará representado. Pero en nuestro cuaderno esta escala sería muy grande, lo recomendable es una escala de 1 cm 5 100 N, por lo que dicho vector estará representado por una flecha de 3.5 cm de longitud, es decir:

F1 10 N F2 10 N

()a)

O E

N

S

()

()

()

b)

nv1

nv2

nv3

nv4

figura 3.1

a) Representación del sentido de los vectores por medio de signos convencionales de acuerdo con un sistema de coordenadas carte-sianas y a los puntos cardinales. En b) se observan gráficamente dos vectores cuya dirección y magnitud es la misma, pero su sen-tido es diferente.

En general, lo recomendable es usar escalas de 1:1, 1:10, 1:100 y 1:1 000, siempre que sea posible. Por ejemplo, si te-nemos cuatro vectores, todos ellos de dirección horizontal y con el mismo sentido (1), cuyos valores son:

F1 5 3.5 N; F2 5 40 N;

F3 5 580 N; F4 5 4 200 N

y queremos representarlos gráfica e individualmente en nuestro cuaderno, las escalas recomendables serían:

Para F

1 : 1 cm 5 1 N; para F

2 : 1 cm 5 10 N

para F

3 : 1 cm 5 100 N; para F

4 : 1 cm 5 1 000 N

2 Cómo establecer la escala de un vector

embargo, su sentido es diferente, F

1 es (1) o a la dere-cha, y F

2 es (2) o a la izquierda.

Escala: 1 cm 5 100 NF 5 350 N (La longitud del vector es de 3.5 cm)

Nota: Con respecto a las características de un vector, algunos autores sólo manejan tres: punto de aplicación, magnitud y dirección, en donde la dirección se define como el ángulo que forma la línea de acción del vector con respecto al eje X positivo, por lo que el sentido es una consecuencia de la dirección. Por nuestra parte, con fines didácticos que facilitan hablar de equilibrante y resultante, fuerzas colineales, negativo de un vector, tercera ley de Newton, etc., nos referimos al sentido como una característica más de un vector.

VectoresUNIDAD 3

41Grupo Editorial Patria

3

4

5

Vectores coplanares, no coplanares, deslizantes y libres


Sistema de vectores concurrentes o angulares

Los vectores son coplanares si se encuentran en el mis-mo plano, o en dos ejes, y no coplanares si están en dife-rente plano, es decir, en tres ejes (X, Y, Z) (figura 3.2).

Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción (figura 3.3).

ZX

Y

mn

un

sn

rn

nn

tn

b) Vectores no coplanares

a) Vectores coplanares

na

nb

nc

figura 3.2

En a) se observan cuatro vectores coplanares ( Wr, Ws, Wt, Wu ), en b) se mues-tran dos vectores no coplanares ( Wm y Wn ).

Vectores deslizantes. Son aquellos que se pueden des-plazar o deslizar a lo largo de su línea de acción, es de-cir, en su misma dirección (Ver en esta unidad la sección 7, Propiedades de los vectores).

Vectores libres. Son aquellos que no tienen un punto de aplicación en particular. En la siguiente figura se mues-tran tres vectores libres, representados por

a b c ,

a b c

y

a b c

:

Fn

1

Fn

2

Fn

4

Fn

3

Fn

1

nd2

nv1

nv2

nd1

Fn

2

Fn

3

1)

2)

3)

figura 3.3

Sistema de vectores concurrentes o angulares.

figura 3.4

Tres ejemplos de vectores concurrentes o angulares.

Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruza en algún punto; el punto de cruce constituye el punto de aplicación de los vectores (figura 3.4). A estos vectores se les llama angulares o concurrentes porque forman un ángulo entre ellos.

LENOVO

Lápiz

Física General


La resultante de un sistema de vectores es el vector que produce, él solo, el mismo efecto que los demás vectores del sistema. Por ello, un vector resultante es aquel capaz de sustituir un sistema de vectores.

La equilibrante de un sistema de vectores es el vector que es capaz de cancelar el vector resultante de un sistema de vectores. Por tanto, tiene la misma magnitud y dirección que la resultante, pero con sentido contrario (figura 3.5).

a) Igualdad de dos vectores

Dos vectores son iguales cuando su magnitud, direc-ción y sentido también son iguales. Esta propiedad po-sibilita el traslado de un vector en un diagrama, siempre y cuando se haga en forma paralela a dicho vector. En la siguiente figura se observan los vectores

a b c ,

a b c

y

a b c

, los cuales son iguales entre sí, no obstante que su punto de aplicación u origen no es el mismo.

7

6

Propiedades de los vectores

Resultante y equilibrante de un sistema de vectores

nR

nE

nv1

nv2

Equilibrante

Resultante

figura 3.5

Tres ejemplos de vectores concurrentes o angulares.

y

x

na

nb

nc

nR 5

na 1

nb

nR 5

nb 1

na

Ley conmutativa de la adición de vectores:na 1

nb 5

nb 1

na

na n

ana

nb

nb

nb

a) b) Adición

Sólo se pueden sumar dos o más vectores si tienen las mismas unidades de medida. Por ejemplo, no es posible sumar un vector fuerza con un vector desplazamiento. Las magnitudes escalares tampoco se pueden sumar si no tie-nen las mismas unidades de medida. Por ejemplo, no se puede sumar el tiempo con el volumen.

c) Negativo de un vector

El negativo de un vector cualquiera, por ejemplo de un vector

a b c , se define como aquel vector que sumado

al vector

a b c , da un resultado igual a cero. Por tanto,

a b c 1 (2

a b c ) 5 0. En conclusión, el negativo de un vector tie-

ne la misma magnitud y dirección de dicho vector, pero su sentido es contrario.

d) Ley conmutativa de la adición de vectores

Cuando se suman dos vectores, la resultante de la adi-ción es la misma, sin importar el orden en que se su-men los vectores. Por ejemplo, al sumar un vector

a b c

con un vector

a b c

, la resultante será la misma si se suma a b c 1

a b c

, o bien, se suma

a b c

1

a b c . La adición vectorial y la

adición escalar siguen las mismas reglas. Por ejemplo, es lo mismo sumar 3 1 2 que 2 1 3. En la siguiente figura se demuestra la ley conmutativa:

e) Propiedad de transmisibilidad del punto de aplicación

El efecto externo de un vector deslizante no se modifica si es trasladado en su misma dirección, es decir, sobre su propia línea de acción. Por ejemplo, si se desea mo-ver un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerza, el resultado será el mismo si empujamos el cuerpo o si lo jalamos (figura 3.6).

VectoresUNIDAD 3


f) Propiedad de los vectores libres

Los vectores no se modifican si se trasladan paralela-mente a sí mismos (figura 3.7). Esta propiedad la utilizare-mos al sumar vectores por los métodos gráficos del para-lelogramo, triángulo y polígono, los cuales estudiaremos más adelante.

Cuando necesitamos sumar dos o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritmética-mente. Por ejemplo, 2 kg 1 5 kg 5 7 kg; 20 m2 1 l0 m2 1 5 m2 5 35 m2; 3 h 1 4 h 5 7 h; 200 K 1 100 K 5 300 K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como

8 Suma de vectores

figura 3.6

Propiedad de transmisibilidad del punto de aplicación de un vector.

a)

b)

F1 5 40 N

F2 5 30 N

F1 5 40 N

40°

40°

F2 5 30 N

figura 3.7

Propiedad de los vectores libres. En a) vemos dos vectores libres; en b) los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos.

Resolución de problemas de suma de vectores

1 Un jinete y su caballo cabalgan 3 km al norte y después 4 km al oeste.

Calcular:

a) ¿Cuál es la distancia total que recorren?

b) ¿Cuál fue su desplazamiento?

Solución:

a) Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al su-mar aritméticamente las dos distancias:

d t 5 d1 1 d25 3 km 1 4 km 5 7 km

b) Para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corres-ponde a una distancia medida en una direc-ción particular entre dos puntos (el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el pri-mer desplazamiento de 3 km realizado al nor-te, representado por d

1, y después el segundo

desplazamiento de 4 km al oeste representa-do por d

2 (figura 3.8). Posteriormente, unimos el

origen del vector d

1 con el extremo del vector d

2 a fin de encontrar el vector resultante R

equivalente a la suma vectorial de los dos des-plazamientos. El origen del vector resultante R

es el mismo que tiene el origen del vector d

1, y su extremo coincide con el del vector d

2. Para calcular la magnitud de R

medimos su

ya mencionamos aparte de magnitud tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una sim-ple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero en ambos casos se consideran, además de la magnitud del vector, su dirección y sentido.

Escala: 1 cm 5 1 km N(km)

E(km)

a 5 37°

R 5 5 km1

2

3

1234O

S

0

(Oriente)(Poniente)

nd2

nd1

figura 3.8

Suma vectorial de dos desplazamientos: Wd1 1 Wd2.

Física General


longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo a que forma. Así, encontramos que

R

5 5 km con un ángulo a de 37º en dirección noroeste.

2 Una lancha de motor efectúa los siguientes des-plazamientos: 300 m al oeste, 200 m al norte, 350 m al noreste y 150 m al sur.

Calcular:

a) ¿Qué distancia total recorre?

b) Determinar gráficamente cuál es su despla-zamiento resultante, en qué dirección actúa y cuál es el valor de su ángulo medido res-pecto al oeste.

Solución:

a) La distancia total es igual a: d t 5 d 1 1 d 2 1 d 3 1 d 4

d t 5 300 m 1 200 m 1 350 m 1 150 m 5 1 000 m

b) Como se ve en la figura, el desplazamiento total de la lancha es de 300 m en una direc-ción noroeste que forma un ángulo de 80.5º medido con respecto al oeste.

3 Una ardilla camina en busca de comida efec-tuando los siguientes desplazamientos: 15 m al sur, 23 m al este, 40 m en dirección noreste con un ángulo de 35º medido respecto al este, 30 m en dirección noroeste que forma un ángulo de 60º medido con respecto al oeste, y finalmente 15 m en una dirección suroeste con un ángulo de 40º medido respecto al oeste.

Calcular:

a) ¿Cuál es la distancia total recorrida?

b) Mediante una escala conveniente represente gráficamente los desplazamientos; determi-ne la magnitud del desplazamiento resultan-te, la dirección en que se efectúa y el valor del ángulo formado respecto al este.

Solución:

a) La distancia total es igual a:

dt 5 15 m 1 23 m 1 40 m 1 30 m 1 15 m 5 123 m

b) Al medir el desplazamiento resultante en-contramos que es igual a 38 m en una direc-ción noreste con un ángulo de 40º medido respecto al este.

Escala: 1 cm 5 100 m

R 5 300 m

d1 5 300 m

d 2 5

200

m

d 3 5

350

m d4 5 150 m

80.5°

N

O

S

E

Escala: 1 cm 5 100 m

O

N

E

S

d4 5 30 md5 5 15 m

d R 5

38 m

d1 5 15 m

d2 5 23 m

d3 5 40 m

40°

60°

40°

35°

Ejercicios propuestos

1 Un ciclista efectúa dos desplazamientos, el pri-mero de 7 km al norte y el segundo de 5 km al este.

Calcular:

a) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el de-portista?

b) Encuentre gráficamente cuál es su desplaza-miento resultante, así como la dirección en que actúa y el valor del ángulo medido res-pecto al este.

2 Un jugador de fútbol americano efectúa los si-guientes desplazamientos: 6 m al este, 4 m en

VectoresUNIDAD 3


Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equi-valente, el cual contenga un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el pro-cedimiento se llama descomposición. Si el sistema equi-valente tiene un número menor de vectores, el procedi-miento se denomina composición.

En la siguiente figura, se muestra un vector

a b c cuyo punto

de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector

a b c trazamos una línea per-

pendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores

a b c

x y

a b c

y así formados reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector

a b c . Este proce-

so se conoce como descomposición de un vector en sus

componentes rectangulares y se les llama rectangulares porque las componentes forman entre sí un ángulo recto (90°). También se les denominan componentes perpen-diculares.

Revisemos el siguiente ejemplo:

Encontrar gráfica y analíticamente las componentes rec-tangulares del siguiente vector:

dirección noreste y finalmente 2 m al norte.

Calcular:

a) ¿Cuál es la distancia total que recorre?

b) Encuentre en forma gráfica cuál fue su des-plazamiento resultante, en qué dirección actúa y cuál es el valor del ángulo medido respecto al este.

3 Un camello en el desierto realiza los siguientes desplazamientos: 3 km al sur, 4 km al este, 2.5 km en dirección noreste con un ángulo de 37° medi-do respecto al este y 2.4 km al norte.

Calcular:

a) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el ca-mello?

b) Determine gráficamente cuál fue su despla-zamiento resultante, su dirección y el valor del ángulo medido respecto al este.

4 Una lancha de vela realiza los siguientes des-plazamientos: 300 m al oeste, 200 m al norte, 350 m en dirección noroeste formando un ángulo de 40º medido respecto al oeste, 600 m al sur y fi-nalmente 250 m en dirección sureste formando un ángulo de 30º medido respecto al este.

Calcular:

a) ¿Cuál es la distancia total recorrida?

b) Determinar gráficamente la magnitud del desplazamiento resultante, la dirección en que se efectúa y el valor del ángulo formado respecto al oeste.

9 Composición y descomposición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos

X

Y

nan

ay

nax

X

Y

Escala: 1 cm 5 10 N

30°

F 5 40 m

Solución por el método gráfico

Para encontrar en forma gráfica las componentes rectan-gulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1 cm 5 10 N.

Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30° con el transportador. Después, a partir del extremo del vector,

Física General


trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y. En el punto de intersección del eje X, quedará el extremo del vector componente F

x. En

el punto de intersección del eje Y quedará el extremo del vector componente F

y. En ambas componentes su origen

será el mismo que tiene el vector F cuya magnitud es de

40 N, el cual estamos descomponiendo:

gulo rectángulo al proyectar una línea hacia el eje de las X y otro al proyectar una línea hacia el eje de las Y. Trabajaremos sólo con el triángulo rectángulo formado al proyectar la línea hacia el eje de las X. Las compo-nentes perpendiculares del vector F

serán: para F

x el

cateto adyacente y para F

y el cateto opuesto al ángulo de 30°. Por tanto, debemos calcular cuánto valen estos dos catetos; para ello, utilizaremos las funciones trigo-nométricas seno y coseno (ver Nociones Matemáticas en el apéndice de este libro).

Cálculo de Fy :

sencateto opuesto

hipotenusa

y

30º 5 5F

F

despejamos Fy :

Fy 5 F sen 30º 5 40 N 3 0.5 5 20 N

Cálculo de Fx :

cos º30 5 5cateto adyacente

hipotensa

F

FX

despejamos Fx :

Fx 5 F cos 30º 5 40 N 3 0.8660 5 34.64 N

Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcu-lar la magnitud de F

y y F

x en forma gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes en forma gráfica estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir la magnitud de las componentes. En cambio, en forma analítica se eliminan estos errores y la magnitud de las componentes es obtenido con mayor precisión.

Escala: 1 cm 5 10 N

Y

X35°

F 5 40 N

Fx 5 34 N

Fy 5 20 N

nFx 5 ?

n F y 5

?

Para encontrar la magnitud de la componente en X del vector F

es decir F

x, basta medir con la regla la longitud, y

de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4 cm que representan 34 N.

Para hallar la magnitud de la componente en Y del vec-tor F o sea F

y es suficiente medir con la regla la longitud,

y según la escala encontrar su magnitud que en este caso es de casi 2.0 cm, es decir, de 20 N.

Solución por el método analítico

A fin de determinar la magnitud de las componentes en forma analítica observemos que se forma un trián-

Resolución de problemas de descomposición y composición rectangular de vectores

1 Encontrar en forma gráfica y analítica los com-ponentes rectangulares o perpendiculares del siguiente vector:

Solución:

En forma gráfica, de acuerdo con una escala convencional de 1 cm = 1 N las componentes rectangulares tienen los siguientes valores:

Método analítico:

Fy 5 F sen 45º 5 3 N 3 0.7071 5 2.1213 N

Fx 5 2F cos 45º 5 23 N 3 0.7071 5 22.1213 N

El signo menos de la componente en X, es decir, F

x se debe a que su sentido es a la izquierda.

45°

Y

X

F 5 3 N

VectoresUNIDAD 3


45°

Y

X

F 5 3 NFx 5 22.1 N

Fy 5 2.1 N

Escala: 1 cm 5 1 N

Fn

x 5 ?Fn

y 5

?

90°

F1 5 40 N

F2 5 30 N

40°

F 5 80 N

Fnx

Fny

Escala: 1 cm 5 10 N

53°

R 5

50

N

F1 5 40 N

F2 5 30 N

2 Mediante una cuerda un niño jala un carro con una fuerza de 80 N, la cual forma un ángulo de 40º con el eje horizontal como se ve en la figura.

Calcular:

a) La magnitud de la fuerza que jala el carro horizontalmente.

b) La magnitud de la fuerza que tiende a levan-tar el carro.

Solución:

Método gráfico del paralelogramo:

Para encontrar la resultante, es decir, aquel vec-tor capaz de sustituir un sistema de vectores al usar el método gráfico, basta con trazar primero las componentes F

1 y F

2 utilizando una escala conveniente y, después, una paralela a F

1, a par-

tir de F

2 y una paralela a F

2 a partir de F

1. La resultante será la línea que une el origen de los dos vectores con el punto donde hacen intersec-ción las dos paralelas. Este método se llama del paralelogramo, porque se forma un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

La resultante tiene su origen en el mismo punto que las componentes. Medimos la longitud de la resultante y vemos que aproximadamente mide 5 cm, éstos equivalen a 50 N y el ángulo de la resultante a 53º.

Si se desea que el sistema quede en equilibrio, será necesario tener un vector de la misma magnitud y dirección de la resultante, pero de sentido contrario; a este vector se le llama equi-librante.Solución:

a) La fuerza que jala el carro horizontalmente es la componente horizontal (F

x ) de la fuerza

de 80 N, cuya magnitud es:

Fx 5 F cos 40º

Fx 5 80 N 3 0.7660 5 61.28 N

b) La fuerza que tiende a levantar el carro es la componente vertical (F

y ) de la fuerza de 80

N, cuya magnitud es:

Fy 5 F sen 40º

Fy 5 80 N 3 0.6428 5 51.42 N

3 Dadas las componentes rectangulares de un vec-tor, encontrar el vector resultante por los metodos gráfico y analítico. Encuentre también el ángulo que forma la resultante respecto al eje horizon-tal.

Método analítico:

Para encontrar analíticamente la magnitud de la resultante utilizaremos el Teorema de Pitá-

Física General



1 Encontrar por el método gráfico y analítico las componentes rectangulares de los siguientes vectores:

a)

F 5 33 N

50°

b)

F 5 2.5 N

35°

c)

F 5 200 N

60°

2 Con ayuda de una cuerda se jala un bote apli-cando una fuerza de 400 N, la cual forma un ángulo de 30° con el eje horizontal, como se ve en la figura siguiente:

a) Determinar con el método analítico la magnitud de la fuerza que jala el bote horizontalmente.

b) Calcular en forma analítica la magnitud de la fuerza que tiende a levantar el bote.

F 5 400 N

30°

3 Determinar gráfica y analíticamente las compo-nentes perpendiculares de la fuerza de 2 200 N que ejerce el cable para sostener un poste, como se aprecia en la siguiente figura:

F 5 2 200 N

40°

4 Encontrar gráfica y analíticamente la magnitud de las componentes perpendiculares de los si-guientes vectores, cuyos ángulos están medidos respecto al eje horizontal positivo, es decir, el

eje X positivo:

a) Fx 5 320 N

] 25º

b) d 5 45 m

] 70º

c) v 5 8 m/s

] 130º

goras, pues observamos que este vector es la hi-potenusa y F

1 y F

2 son los catetos (revisar la sec-ción 6 de nociones de matemáticas en el ápendice de este libro).

5 5

R F F5 1 5 1 5

a 5

12

22 2 240 30 50 N

tancateto opuesto

cateeto adyacenteN

30 N40

1 333.

Para calcular el ángulo que forma la resultante, utilizamos la función tangente:

5 5

R F F5 1 5 1 5

a 5

12

22 2 240 30 50 N

tancateto opuesto

cateeto adyacenteN

30 N40

1 333.

[ a es igual a un ángulo cuya tangente es 1.333.

a 5 53.1° 5 53°6’.

VectoresUNIDAD 3


5 Por medio de los métodos gráfico y analítico, ha-llar para cada uno de los casos el vector resultan-te y el ángulo que forma respecto a la horizontal.

a)

90°

F1 5 3 N

F2 5 2.5 N

b)

90°

d1 5 25 m

d2 5 35 m

c)

90°

v1 5 400 m/s

v2 5 320 m/s

6 La magnitud resultante de la suma de dos velo-cidades perpendiculares equivale a 100 m/s. Si una de las velocidades tiene una magnitud de 60 m/s, calcular la magnitud de la otra veloci-dad.

10 Vectores unitarios

Cuando descomponemos un vector en sus componen-tes rectangulares, algunas veces se considera útil em-plear vectores unitarios en las direcciones de los ejes de las coordenadas rectangulares o cartesianas. Un vector unitario es aquel que tiene una magnitud igual a uno y no tiene dimensiones. Se utiliza con el único fin de especificar una dirección determinada, ya que no tiene ningún otro significado físico.

En un sistema de coordenadas rectangulares es común utilizar los símbolos especiales

∧i,

∧j y

∧k para representar

vectores unitarios en las direcciones y sentidos positivos de los ejes X, Y y Z, respectivamente. Por tanto, los vec-

tores unitarios ∧i,

∧j y

∧k, forman un conjunto de vectores

perpendiculares entre sí, tal como se aprecia en la figura anterior:

Vale la pena señalar que no es forzoso que los vectores ∧i,

∧j y

∧k estén localizados en el origen del sistema de coor-

denadas, ya que como todos los vectores, también ellos se pueden trasladar a cualquier lugar en el espacio de las coordenadas con la condición de que conserven su misma dirección y sentido respecto a los ejes de las co-ordenadas.

Así pues, las componentes rectangulares de un vector

a b c

en función de los vectores unitarios, se expresan de la siguiente manera:

A

x 5 Ax

∧i

A

y 5 Ay

∧j

A

z 5 Az

∧k

Ax, A y y Az representan respectivamente la magnitud de la componente en X, en Y y en Z, toda vez que como ya señalamos, la magnitud de cada vector unitario es igual a la unidad, es decir: i 5 j 5 k 5 1.

En la siguiente figura observamos un vector

a b c

en un pla-no con coordenadas cartesianas o rectangulares X, Y, di-cho vector puede especificarse como un vector unitario en los siguientes términos:

j

k

i

Y

X

Z

Física General


11 suma de dos vectores angulares o concurrentes

a b c

5 bx

∧i 1 by

∧j

Como se observa, las componentes de

a b c

en las coorde-nadas X y Y, son bx y by. El producto de la componente

bx y el vector unitario ∧i es el vector bx

∧i, mismo que es

paralelo al eje X y su magnitud es bx. Por tanto, el vector bx

∧i es otra posibilidad de representar la componente rec-

tangular en el eje X del vector

a b c

, es decir, a

a b c

x. De igual manera, by

∧j es un vector de magnitud by paralelo al eje Y

y el vector by

∧j es otra posibilidad de representar a

a b c

y, que

es la componente rectangular en el eje Y del vector

a b c

.

Cuando en forma gráfica se desean sumar dos vecto-res concurrentes se utiliza el método del paralelogramo, ya descrito en la sección anterior. Mientras que para en-contrar la resultante por el método analítico se usará el teorema de Pitágoras si los dos vectores forman un ángu-lo de 90°, pero si originan cualquier otro ángulo se usará la Ley de los Cosenos y para calcular el ángulo de la resultante se aplicará la Ley de los Senos. (Ambas leyes están descritas en la sección de Nociones Matemáticas que se encuentra en el apéndice de este libro.)

Ejemplo:

Por los métodos gráfico y analítico hallar la resultante y el ángulo que forma con la horizontal en la siguiente suma de vectores:

Y

X

nby

nbx

nb 5 bx i 1 by j

30°

F 2 5 38 N

F

1 5 30 N

Escala: 1 cm 5 10 N

nR 5 ?

F2 5 38 N

F 1 5

30 N

a 5 ?

Ángulo formado por los dos lados en el triángulo que estamos trabajando

Lado desconocido nR

Lado conocido Fn

2Lado conocido F1

30°

F 1 5 30 N

F2 5 38 N

nR 5 ?

a b 5 150°

Respuestas:

R 5 65 N

a 5 13.2º 5 13º 129

Método analítico

Para calcular la resultante debemos encontrar uno de los tres lados de un triángulo oblicuo, cuyos lados conocidos son F

1 y F

2. Aplicamos la ley de los cosenos, tomando en cuenta que en el triángulo oblicuo el ángulo b formado por los dos vectores es de 150°. Veamos:

Método gráfico

Establecemos primero la escala y trazamos los vectores con su ángulo de 30°. Dibujamos la paralela de cada vec-tor y obtenemos el paralelogramo. Medimos la resultan-te y el ángulo formado.

Aplicamos la ley de los cosenos para encontrar la resul-tante:

R F F F F

R

5 1 2 b

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2

30 38 2 30 38 150

cos

cos °°

R 5 1 2 3 3 32

5 1 5

900 1444 2 30 38 0 8660

2 344 1 974 48 4

.

. 3318 48

30 0

1 1

.

sen sensen

sen

sen

F R F

Ra5

ba 5

b

a 53

[

N ..

..

5

65 7150 2282

N5

Sustituyendo:R F F F F

R

5 1 2 b

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2

30 38 2 30 38 150

cos

cos °°

R 5 1 2 3 3 32

5 1 5

900 1444 2 30 38 0 8660

2 344 1 974 48 4

.

. 3318 48

30 0

1 1

.

sen sensen

sen

sen

F R F

Ra5

ba 5

b

a 53

[

N ..

..

5

65 7150 2282

N5

Como el ángulo formado por los dos lados conocidos es mayor de 90º, buscaremos el coseno de 150º de acuerdo con la siguiente expresión:

cos 150º 5 2cos (180º 2 150º) 5 2cos 30º

Leemos en la calcualdora el valor del coseno del ángulo de 30° y le agregamos el signo menos:

cos 30º 5 0.8660 [ 2cos 30º 5 20.8660

VectoresUNIDAD 3


R F F F F

R

5 1 2 b

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2

30 38 2 30 38 150

cos

cos °°

R 5 1 2 3 3 32

5 1 5

900 1444 2 30 38 0 8660

2 344 1 974 48 4

.

. 3318 48

30 0

1 1

.

sen sensen

sen

sen

F R F

Ra5

ba 5

b

a 53

[

N ..

..

5

65 7150 2282

N5

5 65.715 N

Para calcular el ángulo a que forma la resultante respec-to a la horizontal, aplicamos la ley de los senos:

R F F F F

R

5 1 2 b

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2

30 38 2 30 38 150

cos

cos °°

R 5 1 2 3 3 32

5 1 5

900 1444 2 30 38 0 8660

2 344 1 974 48 4

.

. 3318 48

30 0

1 1

.

sen sensen

sen

sen

F R F

Ra5

ba 5

b

a 53

[

N ..

..

5

65 7150 2282

N5Como b 5 150º tenemos que sen b 5 sen 150º.

Como el ángulo es mayor de 90º encontramos el valor del sen 150º de acuerdo con la siguiente expresión:

sen 150º 5 sen (180º 2150º) 5 sen 30º 5 0.5

Sustituyendo:

R F F F F

R

5 1 2 b

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2

30 38 2 30 38 150

cos

cos °°

R 5 1 2 3 3 32

5 1 5

900 1444 2 30 38 0 8660

2 344 1 974 48 4

.

. 3318 48

30 0

1 1

.

sen sensen

sen

sen

F R F

Ra5

ba 5

b

a 53

[

N ..

..

5

65 7150 2282

N5

a 5 ángulo cuyo seno es 0.2282

a 5 13.2° 5 13°129

Resolución de problemas de la suma de dos vectores angulares o concurrentes por los métodos gráfico y analítico

1 En la siguiente suma de vectores encontrar, por los métodos gráfico y analítico, la resultante y el ángulo que forma con el eje horizontal. 5 5

R F F F F5 1 2

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2 40

250 400 2 250 400 0

cos °

..

.

s

7660

62 500 160 000 153 200

69 300 263 25

1

5 1 2

N

F

een sensen

sen

sen.

a5

ba 5

b

a 53

R F

R[

1

250 0 6428

263

N

...

cos

250 6104

2 18

300 450

2 12 2

1

22

N5

5 1 2

5 1

F F R F R

F

°22 2 300 450 0 9511

90 000 202 500 256 797

357

2 3 3 3

5 1 2

5

.

003 188 95

18

181 2 1

2

5

a5 a 5

.

sen sensen

sen

s

N

F F F

F°°

[

een.

..a 5

35

300 0 3090

188 950 4906

N

N

Cálculo del ángulo que forma la resultante:5 5

R F F F F5 1 2

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2 40

250 400 2 250 400 0

cos °

..

.

s

7660

62 500 160 000 153 200

69 300 263 25

1

5 1 2

N

F

een sensen

sen

sen.

a5

ba 5

b

a 53

R F

R[

1

250 0 6428

263

N

...

cos

250 6104

2 18

300 450

2 12 2

1

22

N5

5 1 2

5 1

F F R F R

F

°22 2 300 450 0 9511

90 000 202 500 256 797

357

2 3 3 3

5 1 2

5

.

003 188 95

18

181 2 1

2

5

a5 a 5

.

sen sensen

sen

s

N

F F F

F°°

[

een.

..a 5

35

300 0 3090

188 950 4906

N

N

Sustituyendo:

5 5

R F F F F5 1 2

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2 40

250 400 2 250 400 0

cos °

..

.

s

7660

62 500 160 000 153 200

69 300 263 25

1

5 1 2

N

F

een sensen

sen

sen.

a5

ba 5

b

a 53

R F

R[

1

250 0 6428

263

N

...

cos

250 6104

2 18

300 450

2 12 2

1

22

N5

5 1 2

5 1

F F R F R

F

°22 2 300 450 0 9511

90 000 202 500 256 797

357

2 3 3 3

5 1 2

5

.

003 188 95

18

181 2 1

2

5

a5 a 5

.

sen sensen

sen

s

N

F F F

F°°

[

een.

..a 5

35

300 0 3090

188 950 4906

N

N


a 5 37.6º 5 37º369

2 Dos personas jalan, mediante una cuerda cada una, un baúl de madera, como se ve en la figura:

140°

F1 5 250 N

F2 5 400 N

Este

18°

Fn

2 5 ?

F1 5 300 N

a 5 ?

Lado desconocido nR

Lado conocido Fn

2

Lado conocido F1

140°

R 5 260 N

F 1 5

250 N

F2 5 400 N

nR 5 ?

a 5 37°

40° 5 b a 5 ?

Escala: 1 cm 5 100 N

Solución:

Método gráfico:

Método analítico:

Recordar: Para la ley de los cosenos debemos utilizar el ángulo formado por los dos lados co-nocidos en el triángulo oblicuo que estamos tra-bajando.

Cálculo de la resultante:

5 5

R F F F F5 1 2

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2 40

250 400 2 250 400 0

cos °

..

.

s

7660

62 500 160 000 153 200

69 300 263 25

1

5 1 2

N

F

een sensen

sen

sen.

a5

ba 5

b

a 53

R F

R[

1

250 0 6428

263

N

...

cos

250 6104

2 18

300 450

2 12 2

1

22

N5

5 1 2

5 1

F F R F R

F

°22 2 300 450 0 9511

90 000 202 500 256 797

357

2 3 3 3

5 1 2

5

.

003 188 95

18

181 2 1

2

5

a5 a 5

.

sen sensen

sen

s

N

F F F

F°°

[

een.

..a 5

35

300 0 3090

188 950 4906

N

N

Una de las personas aplica una fuerza F1 de 300 N con un ángulo de 18° respecto al este. De-terminar gráfica y analíticamente la fuerza F2 que debe aplicar la otra persona y el ángulo que debe formar respecto al este para que el baúl se desplace hacia el este con una fuerza resultante de 450 N.

Solución:

Método gráfico:

Se establece una escala conveniente: 1 cm 5 100 N. Se traza la fuerza F1 de 300 N con un ángulo

Física General


de 18° respecto al este. Después se traza la re-sultante R

cuya magnitud es de 450 N dirigida

al este. Unimos el extremo de F

1 con el extremo de R

y esta línea representará la paralela de la fuerza F

2 buscada. Medimos su valor y el ángu-

lo formado respecto al este. Trazamos con estos datos la fuerza F

2 y encontramos una magnitud

de 190 N con un ángulo a de 29º respecto al este, como se ve en la siguiente figura:

formado por los dos lados conocidos en nuestro triángulo es de 18º.

5 5

R F F F F5 1 2

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2 40

250 400 2 250 400 0

cos °

..

.

s

7660

62 500 160 000 153 200

69 300 263 25

1

5 1 2

N

F

een sensen

sen

sen.

a5

ba 5

b

a 53

R F

R[

1

250 0 6428

263

N

...

cos

250 6104

2 18

300 450

2 12 2

1

22

N5

5 1 2

5 1

F F R F R

F

°22 2 300 450 0 9511

90 000 202 500 256 797

357

2 3 3 3

5 1 2

5

.

003 188 95

18

181 2 1

2

5

a5 a 5

.

sen sensen

sen

s

N

F F F

F°°

[

een.

..a 5

35

300 0 3090

188 950 4906

N

N

Sustituyendo:

5 5

R F F F F5 1 2

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2 40

250 400 2 250 400 0

cos °

..

.

s

7660

62 500 160 000 153 200

69 300 263 25

1

5 1 2

N

F

een sensen

sen

sen.

a5

ba 5

b

a 53

R F

R[

1

250 0 6428

263

N

...

cos

250 6104

2 18

300 450

2 12 2

1

22

N5

5 1 2

5 1

F F R F R

F

°22 2 300 450 0 9511

90 000 202 500 256 797

357

2 3 3 3

5 1 2

5

.

003 188 95

18

181 2 1

2

5

a5 a 5

.

sen sensen

sen

s

N

F F F

F°°

[

een.

..a 5

35

300 0 3090

188 950 4906

N

N

Cálculo del ángulo a que forma F

2, aplicando la ley de los senos:

5 5

R F F F F5 1 2

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2 40

250 400 2 250 400 0

cos °

..

.

s

7660

62 500 160 000 153 200

69 300 263 25

1

5 1 2

N

F

een sensen

sen

sen.

a5

ba 5

b

a 53

R F

R[

1

250 0 6428

263

N

...

cos

250 6104

2 18

300 450

2 12 2

1

22

N5

5 1 2

5 1

F F R F R

F

°22 2 300 450 0 9511

90 000 202 500 256 797

357

2 3 3 3

5 1 2

5

.

003 188 95

18

181 2 1

2

5

a5 a 5

.

sen sensen

sen

s

N

F F F

F°°

[

een.

..a 5

35

300 0 3090

188 950 4906

N

NSustituyendo:

5 5

R F F F F5 1 2

5 1 2 3 3 3

12

22

1 2

2 2

2 40

250 400 2 250 400 0

cos °

..

.

s

7660

62 500 160 000 153 200

69 300 263 25

1

5 1 2

N

F

een sensen

sen

sen.

a5

ba 5

b

a 53

R F

R[

1

250 0 6428

263

N

...

cos

250 6104

2 18

300 450

2 12 2

1

22

N5

5 1 2

5 1

F F R F R

F

°22 2 300 450 0 9511

90 000 202 500 256 797

357

2 3 3 3

5 1 2

5

.

003 188 95

18

181 2 1

2

5

a5 a 5

.

sen sensen

sen

s

N

F F F

F°°

[

een.

..a 5

35

300 0 3090

188 950 4906

N

N


a 5 29.4º 5 29º249

Nota: Existe una pequeña diferencia entre el resul-tado obtenido gráficamente y el obtenido ana-líticamente; sin embargo, este último es más preciso.

Escala: 1 cm 5 100 N

Lado conocido Fn

1

Lado desconocido F2

R 5 450 N

Lado conocido nR

18°29°

29°

F2 5 190 N

F1 5 300 N

a 5 ?

Método analítico:

Como desconocemos F

2 y conocemos F

1 y R

aplica-mos la ley de los cosenos. Si sabemos que el ángulo


1 Encontrar por los métodos gráfico y analítico la resultante, así como el ángulo que forma con el eje horizontal en cada una de las siguientes su-mas de vectores.

a)

Fn

1 5 2 N

Fn

2 5 3 N35°

b)

F1 5 35 N

F2 5 25 N

120°

c)

2 Determinar por los métodos gráfico y analítico la fuerza F2 y el ángulo correspondiente para que la lancha de la figura siguiente se mueva hacia el este con una fuerza resultante de 650 N.

a 5 ?

F1 5 400 N

Este

Fn

2 5 ?

20°

3 Determinar gráficamente el peso de un cuerpo que está suspendido y sostenido por dos cuer-das, como se ve en la figura:

F

1 5 51 NF

2 5 43 N

60°

VectoresUNIDAD 3


4 Encuentre en forma gráfica el peso de un cuer-po que se encuentra suspendido del techo por dos cuerdas, las cuales ejercen una fuerza cu-yas magnitudes son de 320 N y 400 N, y forman un ángulo de 80°.

5 Dos caballos arrastran un tronco mediante sen-das cuerdas que llevan atadas a uno de los ex-tremos de dicho tronco. Uno de los caballos ejer-ce una fuerza de 500 N hacia el este y el otro una fuerza de 800 N en dirección noreste. Deter-minar gráfica y analíticamente la magnitud de la fuerza resultante, así como el ángulo formado respecto al este.

6 Mediante dos cables enganchados en la proa, un barco es remolcado por dos lanchas de motor. Una lleva una velocidad de 18 m/s al sur y la otra una velocidad de 15 m/s con dirección suroeste, formando un ángulo de 60° respecto al sur. En-contrar por cualquiera de los métodos mencio-nados la magnitud de la velocidad resultante del barco y el ángulo que forma respecto al sur.

7 Una lancha de motor lleva una velocidad de 16 m/s al cruzar perpendicularmente hacia el norte la corriente de un río cuya velocidad es de 4 m/s al este. Determinar gráfica y analíticamente la velocidad resultante que lleva la lancha y el án-gulo formado respecto a la corriente del río.

12 Suma de más de dos vectores concurrentes o angulares

Método gráfico del polígono

Para sumar más de dos vectores angulares o concurren-tes en forma gráfica, se utiliza el llamado método del polígono. Dicho método consiste en trasladar paralela-mente a sí mismo cada uno de los vectores sumados,

de tal manera que al tomar uno de los vectores como base los otros se colocarán uno a continuación del otro, poniendo el origen de un vector en el extremo del otro y así sucesivamente hasta colocar el último vector. La re-sultante será el vector que una el origen de los vectores con el extremo libre del último vector sumado y su sen-tido estará dirigido hacia el extremo del último vector.

Resolución de problemas de la suma de más de dos vectores angulares o concurrentes

Encontrar en forma gráfica y analítica la resultante de la suma de los siguientes vectores. Determinar también el ángulo que forma la resultante respecto al eje horizontal.

Solución:

entonces trasladamos el origen de F

2 al extremo de F

1; el origen de F

3 al extremo de F

2 ; y el origen de F

4 al extremo de F

3. La resultante será el vector que una

el origen de F

1 con el extremo de F

4:

25°

40°

F1 5 2.5 N

F4 5 2 N

F3 5 4 N

F2 5 3 N

R 5 5.6 Na 5 26.5° 5 26° 30’

Escala: 1 cm 5 1 N

26.5°

25°

40°Fn

2

Fn

3

Fn

4

Fn1

nR 5 ?

Método gráfico del polígono:

Para hallar la resultante podemos tomar como base cualquiera de los cuatro vectores. Si tomamos a F

1,

Física General


Método analítico:

Para encontrar la resultante por el método analítico se procede de la siguiente forma:

Paso 1. Descomponer cada vector en sus compo-nentes rectangulares.

Paso 2. Calcular la magnitud de la componente en X, usando la función coseno y la magnitud de la componente en Y, con la función seno para cada vector. (Si la componente es hori-zontal a la derecha o vertical hacia arriba, es positiva. Si la componente es horizontal a la izquierda o vertical hacia abajo, es ne-gativa.)

Paso 3. Al conocer las magnitudes de todas las com-ponentes en X y en Y para cada vector, hacer la suma de las componentes en X y en Y, de tal forma que el sistema original de vectores se reduzca a dos vectores perpendiculares: uno, representando la resultante de todas las componentes en X, y otro, representando la resultante de todas las componentes en Y.

Paso 4. Encontrar la magnitud resultante de los dos vectores perpendiculares utilizando el teo-rema de Pitágoras.

Paso 5. Por medio de la función tangente calcular el ángulo que forma la resultante con la ho-rizontal. Veamos:

Cálculo de las componentes de cada vector:

F

1 : F1x 5 0

F1y 5 F1 5 2.5 N

F

2 : F2x 5 F2 cos 25º 5 3 N 3 0.9063

5 2.7189 N

F2y 5 F2 sen 25º 5 3 N 3 0.4226

5 1.2678 N

F

3 : F3x 5 F3 5 4 N

F3y 5 0

F

4: 2 F4x 5 2F4 cos 40º 5 22 N 3 0.7660

5 21.532 N

2F4y 5 2F4 cos 40º 5 22 N 3 0.6428

5 21.2856 N

Cálculo de la magnitud de la resultante de la suma de todas las componentes en el eje X, es decir, Rx:

R x 5 SFx 5 F2x 1 F3x 1 (2F4 x)

En función de sus magnitudes y tomando en cuenta sus sentidos, tenemos que

R x 5 2.7189 N 1 4 N 2 1.532 N

5 5.1869 N

Nota: La letra griega S, llamada sigma, indica suma.

Como se observa R

x es positiva, lo que quiere decir que es horizontal hacia la derecha.

Cálculo de la magnitud de la resultante de la suma de todas las componentes en el eje Y, es decir, R

y :

R y 5 SFy 5 F1 y 1 F2 y 1 (2F4 y)

En función de sus magnitudes y tomando en cuenta sus sentidos, tenemos:

R y 5 2.5 N 1 1.2678 N 2 1.2856 N

5 2.4822 N

Como se observa R

y es positiva, lo que quiere decir que es vertical hacia arriba.

Al encontrar R

x y R

y todo nuestro sistema inicial se redujo a dos vectores rectangulares:

25°

40°

F2 5 3 N

F1 5 2.5 N

F4 5 2 N

Fn4y

Fn2

y

Fn

2x

Fn

4x

Fn

3 5 4 N

Rx 5 5.1869 N

Ry

5 2

.482

2 N

nR 5 ?

a 5 ?

Al trazar las componentes rectangulares para cada vector tenemos que:

F

1 no tiene componente horizontal, porque está to-talmente sobre el eje vertical positivo.

F

2 tiene componente horizontal y componente ver-tical, ambas son positivas.

F

3 no tiene componente vertical, pues está total-mente sobre el eje horizontal positivo.

F

4 tiene componente horizontal y componente ver-tical, ambas son negativas.

La magnitud de la resultante se calcula con el teo-rema de Pitágoras:

VectoresUNIDAD 3


5 5

R R R

R

R

R

x y

y

5

5 1 5

a 5

2 2

2 25 1869 2 4822 5 75( . ) ( . ) . N

tanxx

2 48225 1869

0 4785..

.Cálculo del ángulo a formado por la resultante:

5 5

R R R

R

R

R

x y

y

5

5 1 5

a 5

2 2

2 25 1869 2 4822 5 75( . ) ( . ) . N

tanxx

2 48225 1869

0 4785..

.

a 5 ángulo cuya tangente es 0.4785

a 5 25.6º 5 25º369

Al comparar los resultados obtenidos por el méto-do gráfico y el analítico, se observa una pequeña diferencia, la cual, como ya señalamos anterior-mente, se debe a que por el método gráfico estamos expuestos a cometer varios errores al medir los vec-tores y los ángulos. Por tanto, la ventaja de utilizar el método analítico es que nos dará un resultado más confiable.


1 Encontrar la magnitud resultante de las siguien-tes fuerzas concurrentes, así como el ángulo que forma respecto al eje X positivo, utilizando el método gráfico del polígono:

F1 5 40 N

45°

60°

Y

X

F2 5 35 N

F3 5 40 N

F4 5 30 N

2 Determinar por el método gráfico del polígono la magnitud resultante de las siguientes fuerzas concurrentes, así como el ángulo formado res-pecto al eje X positivo. Los ángulos de las fuer-zas están medidos respecto al eje X positivo.

F1 5 200 N a 30º; F2 5 300 N a 90º

F3 5 150 N a 120º; F4 5 250 N a 220º

3 Encontrar por el método gráfico del polígono y por el método analítico de las componentes rectangulares la magnitud resultante de las si-

guientes velocidades y el ángulo que ésta forma respecto al eje X positivo:

v3 5 45 m/s

v1 5 35 m/s

v2 5 30 m/s

60°

30°

Y

X

4 Hallar gráfica y analíticamente la magnitud re-sultante de la suma de los siguientes vectores. Determinar también el ángulo formado con res-pecto al eje X positivo.

F1 5 3 N

45°

20°

50°

30°

F2 5 3.5 N

F3 5 2.5 N

F4 5 4 N

F5 5 3 NF6 5 2 N

13 Método del triángulo

El método del triángulo se utiliza para sumar o res-tar dos vectores no concurrentes, es decir, que no tienen

ningún punto en común. Este método se basa en el prin-cipio de los vectores libres, ya mencionado en la sección 3 de esta unidad.

Física General


Resolución de problemas del método del triángulo

Para sumar los vectores trasladamos el origen de cualquiera de ellos al extremo del otro y la resultante será el vector que una el origen de uno con el extremo del otro. El sentido estará dirigido del origen al extremo.

Como el resultado es el mismo si trasladamos el origen de F

2 al extremo de F

1 o el origen de F

1 al

extremo de F

2, podemos comprobar que con los vectores también se cumple la Ley Conmutativa de la Adición F

1 1 F

2 5 F

2 1 F

1.

2 Hallar la resta de los vectores

a b c

2

a b c

por el mé-todo gráfico del triángulo y encuentre también el resultado de la resta

a b c

2

a b c .

50° 20°

nb 5 35 N

na 5 25 N

Solución:

Para encontrar la resta de estos vectores debe-mos revisar el siguiente concepto, es decir, pro-ducto de un vector por un escalar.

1 Encontrar por el método gráfico del triángulo la resultante de la suma de los siguientes vectores:

40°

F1 5 40 NF2 5 30 N

Solución:

a)

Escala: 1 cm 5 10 N

40°

F1 5 40 N

F 2 5

30

N

R 5 64 N

b)

Fn

1 5 40 N

Fn

2 5

30 N

nR 5 64 N

14 Producto de un vector por un escalar

El producto de un escalar k y de un vector r se escribe:

k r y se define como un nuevo vector cuya magnitud es k

veces mayor que la magnitud de r.

Por ejemplo:

si r 5 5 N y k 5 6

k r 5 6 3 5 N 5 30 N

El nuevo vector tiene el mismo sentido que r si k es positi-

vo; sin embargo, si k es negativo, el vector resultante cam-biará su sentido y magnitud, o sólo su sentido, es decir:

si r 5 4 N y k 5 21

k r 5 21 3 4 N 5 24 N

De manera que el nuevo vector es opuesto al vector r, con

la misma magnitud y dirección, pero con sentido contra-rio. La suma de un vector r

con su vector opuesto es igual

a cero:

Wr 1 (2 Wr ) 5 0

De acuerdo con el concepto visto, podemos definir la res-ta de dos vectores como la suma al vector minuendo del vector opuesto del sustraendo:

a b c 2

a b c

5

a b c 1 (2

a b c

)

Por tanto, la resta de los vectores

a b c

2 Wb del ejemplo 2 de la sección anterior que había quedado pendiente, es:

R 5 49 N

a 5 25 N

2b 5 35 N

2a 5 25 N

b 5 35 N

R 5 49 N

La resta de los vectores

a b c

2

a b c

es:

a b c

2

a b c 5

a b c

1 (2

a b c )

VectoresUNIDAD 3


Resolución de un problema de producto escalar

Resolución de un problema de producto vectorial

El producto escalar de dos vectores, llamado también producto punto, da como resultado una magnitud esca-lar, pues carece de dirección y sentido. Por definición, el producto escalar de dos vectores es igual a multiplicar la magnitud de un vector por la componente perpendicu-lar del otro vector en la dirección del primero.

De donde: a b c ?

a b c

5 ab cos u

Algunas magnitudes físicas que resultan del producto escalar de dos vectores son: el trabajo mecánico, la po-tencia eléctrica y la densidad de energía electromag-nética.

15 Producto escalar de dos vectores

Calcular el producto escalar de los siguientes vec-tores:

d 5 4 m

F 5 3 N

35°

El producto vectorial de dos vectores, llamado también producto cruz, da como resultado otro vector, el cual siempre es perpendicular al plano formado por los dos vectores que se multiplican.

a b c 3

a b c

5 Wc

Por definición, la magnitud del producto vectorial de dos vectores es igual a multiplicar la magnitud de un vector por la componente perpendicular del otro respecto al primero.

u

a b c 3

a b c

u 5 ab sen u

En el producto vectorial el orden de los factores debe to-marse en cuenta, pues no es lo mismo

3 que

3

.

Solución:

F

? d

5 Fd cos 35º

F

? d

5 3 N 3 4 m 3 0.8192 5 9.83 N m

En el producto vectorial de

a b c

y

a b c

la multiplicación de ab sen u nos proporciona únicamente la magnitud del vector

a b c

, porque si deseamos conocer su sentido se debe usar la regla de la mano derecha, misma que describire-mos en el ejemplo de la resolución de un problema de producto vectorial. La dirección, como ya mencionamos, siempre es perpendicular al plano formado por los vec-tores que se multiplican.

Algunas magnitudes físicas que resultan del producto vectorial son: el momento de una fuerza, la fuerza que recibe una carga en movimiento al penetrar a un cam-po magnético y la cantidad de movimiento angular.

16 Producto vectorial de dos vectores

Calcular el producto vectorial de los siguientes vectores, F

y d

determinando el sentido del vector resultante

a b c

.

Solución:

Para conocer únicamente la magnitud del resultado del producto vectorial F

3 d

, tenemos:

nc

40°

F 5 25 N

d 5 5 N0

Física General


u F 3 d

u 5 Fd sen 40º

uF 3 d

u 5 25 N 3 5 m 3 0.6428 5 80.35 Nm

La dirección del vector resultante es perpendicular al plano de F

y d

, por lo que la dirección es como si saliera de la hoja. El sentido del vector resultante se determina con la regla de la mano derecha, que a continuación se explica:

Se analiza primero la dirección que llevará la resul-tante, la cual resulta perpendicular al plano forma-do por F

y d

. Consideramos la dirección del vector resultante como si fuera un eje, alrededor de él ce-rramos los dedos de la mano derecha con el pulgar extendido. Las puntas de los dedos señalarán el sentido del giro producido por el efecto de la fuerza; mientras el dedo pulgar indicará el sentido del vec-tor resultante. Como se podrá comprobar, el sentido del vector resultante

a b c

es hacia arriba, como está re-presentado en la figura de la pagina anterior.

Actividad experimental 4

Equilibrio de fuerzas colineales y de fuerzas angulares o concurrentes

Objetivo Encontrar la resultante y la equilibrante de un sis-tema de fuerzas colineales y de fuerzas angulares o concurrentes.

Consideraciones teóricas

Para definir las magnitudes escalares sólo se requie-re la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida. Ejemplos: longitud, masa y vo-lumen. Las magnitudes vectoriales son las que para definirse, además de la cantidad expresada en núme-ros y el nombre de la unidad, necesitan que se señale la dirección y el sentido. Ejemplos: desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza. Cualquier magnitud vectorial puede ser representada en forma gráfica por medio de una flecha llamada vector. Gráficamente, un vector es un segmento de recta dirigido. Un vector cualquiera tiene las siguientes características: a) pun-to de aplicación; b) magnitud; c) dirección; e) sentido. Para representar un vector gráficamente se necesita una escala, la cual es convencional porque se estable-ce de acuerdo con la magnitud del vector y el tama-ño que se le quiera dar. Una recomendación práctica es utilizar escalas sencillas, como 1:1, 1:10, 1:100 y 1:1 000, cuando sea posible.

Un sistema de vectores es colineal cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o lí-nea de acción.

Un sistema de vectores es angular o concurrente cuando la dirección o línea de acción de los vecto-

res se cruza en algún punto; dicho punto constituye el punto de aplicación de los vectores. La resultante de un sistema de vectores es aquel vector que pro-duce el mismo efecto de los demás vectores inte-grantes del sistema. El vector capaz de equilibrar un sistema de vectores recibe el nombre de equili-brante, tiene la misma magnitud y dirección que la resultante, pero con sentido contrario. Para sumar magnitudes vectoriales empleamos métodos gráfi-cos, como el del paralelogramo o el del polígono, y métodos analíticos, porque los vectores no pueden sumarse aritméticamente por tener dirección y sen-tido.

El efecto que una fuerza produce sobre un cuerpo depende de su magnitud, así como de su dirección y sentido, por tanto, la fuerza es una magnitud vec-torial. Para medir la intensidad o magnitud de una fuerza se utiliza un instrumento llamado dinamóme-tro, su funcionamiento se basa en la Ley de Hooke, la cual dice: dentro de los límites de elasticidad las deformaciones sufridas por un cuerpo son directa-mente proporcionales a la fuerza recibida. El dina-mómetro consta de un resorte con un índice y una escala graduada; la deformación producida en el resorte al colgarle un peso conocido, se transforma mediante la lectura del índice en la escala gradua-da, en un valor concreto de la fuerza aplicada. La unidad de fuerza usada en el Sistema Internacional es el newton (N ), aunque en ingeniería se utiliza todavía mucho el llamado kilogramo-fuerza (kgf ) o kilopondio: 1 kgf 5 9.8 N. También se utiliza el gramo-fuerza (g f ) o pondio: 1 kgf 5 1 000 gf .

Material empleadoTres dinamómetros, tres prensas de tornillo, una re-gla graduada, un transportador, una argolla metálica, tres trozos de cordón, un lápiz y tres hojas de papel.

VectoresUNIDAD 3


Desarrollo de la actividad experimental

1. A la mitad de un lápiz ate dos cordones de tal manera que uno quede a la izquierda y otro a la derecha. Pídale a un compañero sujetar uno de los extremos y usted tire del otro, evitando mover el lápiz. ¿Qué se puede concluir de la magnitud de las dos fuerzas que actúan sobre el lápiz? Para cuantificar la magnitud de las fuerzas enganche un dinamómetro en cada extremo de los cordones y vuelvan a tirar de ambos dinamómetros sin mo-ver el lápiz. Registren las lecturas que marcan los dinamómetros. ¿Cómo son esas lecturas?

2. Sujete tres cordones a la argolla metálica como se ve en la figura 3.9. Con ayuda de otros dos compa-ñeros tire cada uno un extremo de los cordones, de tal manera que la argolla no se mueva. ¿Cuál es su conclusión acerca de las fuerzas que actúan so-bre la argolla? Enganche un dinamómetro a cada extremo de los cordones y monte un dispositivo como el mostrado en la figura 3.10. Registre la lectu-ra de cada dinamómetro cuando el sistema quede en equilibrio.

3. Coloque debajo de la argolla una hoja de papel y trace sobre ella las líneas correspondientes a las posiciones de los cordones. Anote en cada trazo la magnitud de la lectura de los dinamómetros, así como el ángulo que forman entre sí, medido con su transportador. Con los trazos hechos en la hoja y mediante una escala conveniente, represente el diagrama vectorial. Considere la fuerza F

3, la cual

se lee en el dinamómetro C, como la equilibran-te de las otras dos fuerzas: F

1 y F

2. Compare la magnitud de F

3, leída en el dinamómetro, con la

obtenida gráficamente al sumar F

1 y F

2 por el mé-

todo del paralelogramo. ¿Cómo son ambas mag-nitudes? Cualquiera de las fuerzas puede ser la equilibrarte de las otras dos, por ello F

2 es la equi-

librante de F

1 y F

3, así como F

1, es la equilibrante de F

2 y F

3. Reproduzca un sistema similar al de la figura 3.10, pero con ángulos diferentes, trace un diagrama vectorial representativo de esta nueva situación; sume dos vectores cualesquiera por el método del paralelogramo y compare la magni-tud de la resultante obtenida con la tercera fuerza. ¿Cómo son estas magnitudes?

90°

Fn

3

Fn

2Fn

1

figura 3.9

Sistemas de fuerzas concurrentes.

figura 3.10

Lectura de la magnitud de las fuerzas concurrentes mediante el uso de los dinamómetros.

a

c

b

Prensa de tornillo

Dinamómetro

Física General


Resumen

1. Para definir las magnitudes escalares sólo se re-quiere la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida. Ejemplo: longi-tud, masa y volumen. Las magnitudes vectoria-les son aquellas que para definirse, además de la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad, necesitan que se señale la dirección y el sentido. Ejemplos: desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza. Cualquier magnitud vecto-rial puede ser representada en forma gráfica por medio de una flecha llamada vector. Gráficamen-te, un vector es un segmento de recta dirigido.

2. Todo vector tiene las siguientes características: a) Punto de aplicación. b) Magnitud: intensidad o módulo del vector. c) Dirección: que puede ser ho-rizontal, vertical u oblicua. d) Sentido: queda seña-lado por la punta de la flecha, se puede identificar de manera convencional con signos (1) o (2).

3. Para representar un vector se necesita una esca-la convencional, la cual se establece de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le quiera dar. Una recomendación práctica es utilizar escalas sencillas, como 1:1, 1:100, 1:1 000, cuando sea posible.

4. Los vectores que se localizan en un mismo plano, es decir, en dos ejes, reciben el nombre de copla-nares. Son no coplanares cuando se ubican en di-ferente plano, es decir, en tres ejes (X, Y y Z ). Los vectores deslizantes son aquellos que se pueden desplazar o deslizar a lo largo de su línea de ac-ción, o sea, en su misma dirección. Los vectores libres son aquellos que no tienen un punto de apli-cación en particular.

5. Un sistema de vectores colineales se presenta cuan-do dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción. Un sistema de vecto-

res es angular o concurrente cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruza en algún punto; el punto de cruce constituye el punto de aplicación de los vectores.

6. Un vector resultante es aquel capaz de sustituir un sistema de vectores. El vector que es capaz de cancelar el vector resultante de un sistema de vectores recibe el nombre de equilibrante, tiene la misma magnitud y dirección que la resultante, pero con sentido contrario.

7. Los vectores tienen las siguientes propiedades: a) Igualdad de vectores. Dos vectores son iguales cuando su magnitud, dirección y sentido también son iguales. b) Adición. Sólo se pueden sumar dos o más vectores si tienen las mismas unidades de medida. c) Negativo de un vector. El negativo de un vector Wa es aquel vector que sumado al vector Wa da un resultado igual a cero. d) Ley conmutati-va de la adición de vectores. Cuando se suman dos vectores, la resultante de la adición es la misma sin importar el orden en que se sumen los vectores. e) Transmisibilidad del punto de aplicación. El efecto externo de un vector deslizante no se modifica si es trasladado en su misma dirección, es decir, sobre su propia línea de acción. f) Vectores libres. Los vec-tores se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos.

8. Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente que contenga un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descompo-sición. Si el sistema equivalente tiene un núme-ro menor de vectores, el procedimiento se llama composición. Se llaman componentes de un vector aquellos que lo sustituyen en la descomposición. Las componentes rectangulares o perpendiculares

1 ¿Qué condición se debe cumplir para que un cuerpo esté en equilibrio?

2 ¿Cómo lograron que el lápiz no se moviera?

3 ¿Qué sistema de fuerzas contruyeron de acuerdo con el punto 1 de su actividad experimental?

4 ¿Cómo se determina la resultante de dos fuerzas concurrentes en forma gráfica?

5 ¿Cómo define a la resultante de un sistema de fuerzas?

6 ¿Qué características tiene la equilibrante de un sistema de fuerzas?

7 ¿Qué método gráfico utilizaría para sumar tres o más fuerzas concurrentes?

8 ¿Por qué decimos que cualquiera de las fuerzas concurrentes puede considerarse como la equilibrante de las otras fuerzas que forman al sistema?

Cuestionario

VectoresUNIDAD 3


de un vector se pueden encontrar en forma grá-fica haciendo lo siguiente: se traza el vector de acuerdo con una escala convencional y a partir del extremo del vector se dibuja una línea hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y. En el punto de intersección del eje X quedará el extremo del vector componente F

x. En el punto de intersec-

ción del eje Y quedará el extremo del vector com-ponente F

Y. A fin de encontrar en forma analítica

las magnitudes de las componentes rectangula-res o perpendiculares, se usan las expresiones: FX 5 F cos u para la componente horizontal y, FY 5 F sen u para la componente vertical.

9. Un vector unitario es aquel que tiene una mag-nitud igual a 1 y no tiene dimensiones, se utiliza con el único fin de especificar una dirección de-terminada, ya que no tiene ningún otro signifi-cado físico.

10. Para hallar la resultante, es decir, aquel vector capaz de sustituir a un sistema de vectores, se pueden usar métodos gráficos como el del para-lelogramo cuando se trata de sumar dos vectores angulares o concurrentes o el del polígono cuan-do se suman más de dos vectores concurrentes. Si la resultante se desea encontrar por métodos ana-líticos se usa el teorema de Pitágoras, siempre y cuando los dos vectores formen un ángulo de 90°; pero si forman cualquier otro ángulo se empleará la ley de los cosenos, y para calcular el ángulo de la resultante se aplicará la ley de los senos. Cuan-do se trata de encontrar por el método analítico la suma de más de dos vectores concurrentes, se procede de la siguiente forma: a) Se descompone cada vector en sus componentes rectangulares. b) Se calcula la magnitud de la componente en X usando la función coseno y la magnitud de la componente en Y usando la función seno. c) Se hace la suma de las componentes en X y en Y, de tal forma que el sistema original de vectores

se reduzca a dos vectores perpendiculares. d) Se encuentra la resultante de los dos vectores per-pendiculares utilizando el teorema de Pitágoras. e) Se determina el ángulo que forma la resultan-te con la horizontal, por medio de la función tan-gente.

11. El método del triángulo se utiliza para sumar o restar dos vectores libres, es decir, dos vectores que no se localizan en un solo punto fijo en el espacio.

12. El producto de un escalar k y de un vector r se

escribe: kr y se define como un nuevo vector

cuya magnitud es k veces la magnitud de r. Si k

vale 1 y su signo es negativo, al multiplicarlo por el vector r

se obtendrá un nuevo vector opuesto

al vector r, el cual tendrá la misma magnitud y

dirección pero diferente sentido.

13. El producto escalar de dos vectores, llamado también producto punto, da como resultado una magnitud escalar. Por definición, el producto escalar de dos vectores es igual a multiplicar la magnitud de un vector por la componente per-pendicular del otro vector, en la dirección del primero:

a b c

?

a b c

5 ab cos u.

14. El producto vectorial de dos vectores, llamado también producto cruz, da como resultado otro vector que siempre es perpendicular al plano formado por los dos vectores multiplicados:

a b c

3 a b c

5

a b c

. Por definición, la magnitud del producto vectorial de dos vectores es igual a multiplicar la magnitud de un vector por la componente perpendicular del otro vector con respecto al primero: )

a b c

?

a b c

) 5 ab sen u. Esta expresión re-presenta únicamente la magnitud del vector

a b c

, de manera que si se desea conocer su sentido se debe usar la regla llamada de la mano derecha. La dirección siempre es perpendicular al plano formado por los vectores multiplicados.

Autoevaluación

Escriba en su cuaderno las respuestas a las siguien-tes preguntas. Si se le presentan dudas al responder vuelva a leer la sección correspondiente del libro, la cual viene señalada al final de cada pregunta para su fácil localización.

1 Defina qué es una magnitud escalar y mencione tres ejemplos. (Introducción de la unidad 3)

2 Defina qué es una magnitud vectorial y nombre tres ejemplos de ellas. (Introducción de la uni-dad 3)

3 Explique por medio de un dibujo qué es un vec-tor y cuáles son sus características. (Introducción de la unidad 3 y Sección l)

4 Dibuje dos vectores que tengan la misma magni-tud y dirección, pero diferente sentido. (Sección l)

5 Dibuje los siguientes vectores, utilizando una escala conveniente para cada caso: a) F

5 5 000

N dirección vertical; b) v

5 23.5 m/s dirección horizontal; c) d

5 45 m, ] 5 30° respecto al eje

horizontal. (Sección 2)

6 Represente en forma gráfica dos vectores copla-nares y dos vectores no coplanares. (Sección 3)

Física General


24 Al sumar más de dos vectores usando el método gráfico del polígono, ¿importa el orden en que se sumen los vectores? Sí o no y por qué. (Sec-ción 12)

25 Describa brevemente por el método analítico en qué consiste el procedimiento para encontrar la resultante de la suma de más de dos vectores concurrentes. (Sección 12)

26 Explique por medio de un dibujo el método grá-fico del triángulo. (Sección 13)

27 Si un vector r tiene una magnitud de 50 N direc-ción horizontal y se multiplica por un escalar k, cuál sería el nuevo vector en cada caso si k tiene los si-guientes valores: a) k 5 21; b) k 5 10; c) k 5 20.5. (Sección 14)

28 Cuando se multiplican dos vectores y se obtie-ne una magnitud escalar, ¿qué nombre recibe el producto de los vectores? (Sección 15)

29 Si se realiza el producto escalar de un vector s

y uno p

, ¿cómo se expresa matemáticamente di-

cho producto? (Sección 15)

30 ¿Qué tipo de producto se efectúa cuando al mul-tiplicar un vector d

por otro vector Wh se obtiene

un nuevo vector z? (Sección 16)

31 Para conocer la magnitud del producto vectorial de los vectores d

y h

, ¿qué expresión matemáti-ca se usa? (Sección 16)

32 Mencione dos ejemplos de magnitudes físicas que sean el resultado de un producto: a) escalar; b) vectorial. (Secciones 15 y 16)

CoevaluaciónInstrucciones: Consolide su aprendizaje, para ello lea y conteste en una hoja las siguientes preguntas. Luego, intercambie con un(a) compañero(a) sus res-puestas. Coméntenlas, pónganse de acuerdo y den respuestas comunes. Discútanlas con las demás pa-rejas y enriquezcan sus conocimientos con las apor-taciones de todos.

1 Investigue en la bibliografía, en Internet o pre-guntando a algún conocido, cómo se construye una cometa o papalote. Construya uno y póngalo a volar. Después, conteste lo siguiente:

a) ¿Cómo explica la causa del vuelo de su cometa o papalote?

b) ¿Cómo puede lograr que una cometa vuele más alto o bajo?

7 Explique qué es un sistema de vectores colineales y cite un ejemplo observable en su entorno. (Sec-ción 4)

8 Explique qué es un sistema de vectores concurren-tes y dibuje un ejemplo observable en su vida coti-diana. (Sección 5)

9 ¿Cómo se define la resultante de un sistema de vectores y cómo la equilibrante? (Sección 6)

10 Dé un ejemplo de su vida cotidiana en el cual se compruebe el principio de transmisibilidad del punto de aplicación de un vector. (Sección 7)

11 Mencione en qué consiste la propiedad de los vectores libres. (Sección 7)

12 Explique por qué no es posible sumar aritméti-camente los vectores y diga de qué manera sí se puede hacer. (Sección 8)

13 ¿Utilice un ejemplo de su entorno que le sea útil para explicar la diferencia que existe entre dis-tancia y desplazamiento? (Sección 8)

14 Explique, mediante un ejemplo gráfico, en qué consiste el procedimiento llamado descomposi-ción rectangular de un vector. (Sección 9)

15 Describa brevemente en forma analítica cómo se encuentran los componentes rectangulares o perpendiculares de un vector. (Sección 9)

16 ¿Por qué es más preciso emplear un método ana-lítico que uno gráfico? (Sección 9)

17 Explique en qué consiste el método gráfico del paralelogramo para encontrar la resultante de la suma de dos vectores concurrentes. (Sección 9)

18 Si se le pide encontrar analíticamente la resul-tante y el ángulo que ésta forma respecto al eje horizontal de dos vectores concurrentes que componen un ángulo de 90°, ¿qué conocimientos de trigonometría aplicaría? (Sección 9)

19 Explique qué es un vector unitario y para qué se utiliza. (Sección 10)

20 Al sumar vectores concurrentes, ¿cuándo se uti-liza la ley de los cosenos y la ley de los senos? (Sección 11)

21 Al aplicar la ley de los cosenos, ¿qué ángulo nos interesa para calcular la resultante de la suma de dos vectores concurrentes? (Sección 11)

22 Si en un triángulo oblicuángulo el ángulo que forman los dos lados conocidos mide 130º, ¿cuán-to vale el coseno de 130°? (Sección 11)

23 Describa por medio de un dibujo, en qué consis-te el método gráfico del polígono para encontrar la resultante de la suma de más de dos vectores concurrentes. (Sección 12)

VectoresUNIDAD 3


Glosario

Equilibrante de un sistema de vectores

Es el vector que es capaz de cancelar el vector de la fuerza resultante de un sistema de vectores. Por tanto, tiene la misma magnitud y dirección que la resultante, pero con sentido contrario.

Magnitud escalar

Es aquella que queda perfectamente definida con sólo indicar su cantidad expresada en números y la unidad de medida.

Magnitud vectorial

Es aquella que para quedar definida, además de la can-tidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida, necesita indicarse claramente la dirección y el sentido en que actúa.

Resultante de un sistema de vectores

Es el vector que produce por sí solo el mismo efecto que los demás vectores del sistema.


Cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción.

Sistema de vectores angulares o concurrentes

Cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruza en algún punto.

¿Qué le resultará más conveniente, empujar o jalar la carretilla para poder subir cada uno de los es-calones? ¿Por qué?

Vector

Segmento de recta dirigido.

Vectores coplanares

Son aquellos que se localizan en el mismo plano, es de-cir, en dos ejes (X, Y).

Vectores deslizantes

Son aquellos que se pueden desplazar o deslizar a lo largo de su línea de acción, es decir, en su misma direc-ción.

Vectores libres

Son aquellos que no tienen un punto de aplicación en particular.

Vectores no coplanares

Son aquellos que se localizan en diferente plano, es de-cir, en tres ejes (X, Y, Z).

Vectores unitarios

Son aquellos que tienen una magnitud igual a 1 y no tienen dimensiones. Se utilizan con el único fin de espe-cificar una dirección determinada.

2 Necesita subir una carretilla a la planta alta de una casa utilizando la escalera.

Fisica General. Serie Bachiller

Documents

Transcript of Fisica General. Serie Bachiller