Física I

2º Semestre de 2013

Instituto de Física- Universidade de São Paulo

Aula – 2 Vetores e Movimento Tridimensionais

Professor: Valdir Guimarães

E-mail: valdirg@if.usp.br

Vetores

Em 3D, muitas grandezas físicas são

representadas através de vetores.

Apresentam “módulo”, “direção” e

“sentido”.

Vetores não são

localizados no

espaço

Soma e subtração de vetores

Revisão sobre vetores (soma)

Regra do paralelogramo

Revisão sobre vetores (subtração)

Vetores

Em 3D, muitas grandezas físicas são

representadas através de vetores.

Apresentam “módulo”, “direção” e

“sentido”.

Vetores não são

localizados no

espaço

Vetores

Vetores não são

localizados no

espaço

Precisamos de um referencial

(3 eixos ortogonais entre si)

)ˆ,ˆ,ˆ( kji

Sistema de coordenadas cartesianas

)ˆ,ˆ,ˆ( r

Sistema de coordenadas esféricas

Sistema de coordenadas geográficas

Latitude e longitude

22° 54' 21.64"S 47° 03' 38.06"W

Sistema de coordenadas cilindricas parabólicas

Sistema de coordenadas cilindricas

)ˆ,ˆ,ˆ( zr

Vetores

kAjAiAA zyxˆˆˆ

Decomposição vetorial em coordenadas

Soma de vetores pelas coordenadas

BAC

kBAjBAiBAC zzyyxxˆ)(ˆ)(ˆ)(

kBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

kCjCiCC zyxˆˆˆ

222

zyx CCCC Módulo do vetor

Deslocamento

Vetor Posição

Deslocamento trajetória

kzjyixr

kzzjyyixxr

rrr

ˆˆˆ

ˆ)(ˆ)(ˆ)( 121212

12

kxjyixkrjrirr zyxˆˆˆˆˆˆ

Módulo do

deslocamento 222 zyxr kzjyixr

kzjyixr

ˆˆˆ

ˆˆˆ

2222

1111

velocidade e aceleração

Velocidade média Velocidade instantânea

t

rvmed

dt

rd

t

rv

t

0lim

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv ˆˆˆ

kvjvivv zyxˆˆˆ

Módulo da Velocidade

222

zyx vvvv

kzjyixr ˆˆˆ

kdzjdyidxrd ˆˆˆ

dt

kdz

dt

jdy

dt

idxv

dt

rd ˆˆˆ

Aceleração instantânea

dt

vd

t

va

t

0lim

kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdk

dt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx ˆˆˆˆˆˆ

2

2

2

2

2

2

kajaiaa zyxˆˆˆ

kvjvivv zyxˆˆˆ

Uma bola é lançada e sua posição é dada por r.

Encontre suas velocidades e acelerações como função do tempo.

Quais são as posição e velocidade iniciais ?

jttitr

jtsmtsmitsmmr

ˆ)9,46,1(ˆ)125,1(

ˆ])/9,4()/6,1[(ˆ])/12(5,1[

2

22

O projétil é lançado em uma trajetória

bidimensional, a partir da posição inicial

(r0), com uma velocidade inicial (v0), com

um ângulo θ em relação à horizontal,

ficando em sua trajetória, submetido à

uma aceleração vertical (-g).

Movimento de projéteis

Decomposição do movimento nas duas coordenadas

Equações do movimento

2

00

2

00

2)(

2)(

ta

tvyty

ta

tvxtx

y

x

ga

a

y

x

0

000

000

sin

cos

vv

vv

y

x

2

00

00

2)(

)(

tg

tvyty

tvxtx

y

x

Equação da trajetória (para x0=y0=0)

2

0

0

2)(

)(

tg

tvty

tvtx

y

x

2

2

00

0

2

000

0

2)(

)/(2

)/()(

/

xv

gx

v

vxy

vxg

vxvxy

vxt

xx

y

xxy

x

0

0

0

000

000

sin

cos

tgv

v

vv

vv

x

y

y

x

2

0

22

0

0cos2

)( xv

gxtgxy

trajetória é uma parabola

Tempo total de vôo (T)

2

0

0

2)(

)(

tg

tvty

tvtx

y

x

Para t=T, y=0

000

0

2

0

22

20

20

seng

v

g

vT

Tg

v

Tg

Tv

y

y

y

000

000

sin

cos

vv

vv

y

x

Alcance horizontal (R) quando x(T)= R

00

2

0

0

cossin2

g

vR

TvR x

0

2

0 2sin g

vR

Para qual ângulo D é máximo ?

2

0

0

2)(

)(

tg

tvty

tvtx

y

x

000

000

sin

cos

vv

vv

y

x

gtvv

vv

yy

xx

0

0

2

00

00

2)(

)(

tg

tvyty

tvxtx

y

x

Equação da velocidade

gtvdt

dyv

vdt

dxtv

yy

xx

0

0)(

Tempo de subida (Ts)

Para t=Ts, vy=0

Altura máxima (H)

gtvv

vv

yy

xx

0

0

000

0

sin

0

g

v

g

vT

gTv

y

s

sy

0

22

0

2

0

sin2

2

g

vH

Tg

TvH ssy

2

0

0

2)(

)(

tg

tvty

tvtx

y

x

000

000

sin

cos

vv

vv

y

x

Para qual ângulo H é máximo ?

Movimento Circular Uniforme

Aceleração centrípeta

r

vacentr

2

Período (T)

tempo necessário para uma volta completa

v

rT

T

rv

2

2

Calcule o módulo da

velocidade e o período de um

satélite com órbita “baixa”.

RT= 6370 km e g= 9,81 m/s2

Movimento Circular Uniforme

Aceleração centrípeta

Por semelhança de triângulos

t

r

r

v

t

v

rr

vv

r

v

r

v

Movimento Circular Uniforme

c

tt

ar

vv

r

va

t

r

r

v

t

v

2

00limlim

Aceleração centrípeta

Tratamento vetorial

rjRiRa

jRiRdt

vda

jRiRdt

rdv

22

22

)ˆsinˆcos(

ˆsinˆcos

ˆcosˆsin

Movimento Circular Uniforme

rr

vr

r

vrac

ˆ2

2

22

t

jRiRr

ˆsinˆcos

Movimento não retilíneo qualquer

dt

dvat

Além da aceleração centrípeta,

podemos ter também uma

componente da aceleração paralela

à direção do movimento

(aceleração tangencial) Aceleração total

tc aaa

Caso do movimento pendular

Movimento Circular

Analisando a aceleração

Pêndulo