Fisica moderna relatividade_1

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Relatividade Restrita FSC5163 - Física 3

Aula I

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Bibiografia:

Capítulo 1 – Relatividade ICapítulo 2 – Relatividade II (até página 64)Física Moderna – 3ª edição - Paul A. Tipler, Ralph A. Llewellyn

Capítulo 42 – Relatividade página 123Fundamentos de Física – Ótica e Física Moderna – Volume 4 – 4ª edição

Halliday, Resnick e Walker

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Conhecimento Científico no Final do Século XIXConhecimento Científico no Final do Século XIX

Em 1900 alguns físicos pensavam que a física estava praticamente completa.

Lord Kelvin recomendou que os jovens não se dedicassem à física, pois só faltavam alguns detalhes pouco interessantes, como o refinamento de medidas.

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Lord Kelvin, no entanto, mencionou que havia “duas pequenas nuvens” no horizonte da física:

- os resultados negativos do experimento de Michelson e Morley;

- a dificuldade em explicar a distribuição de energia na radiação de um corpo negro.

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A ruptura da física clássica ocorreu em muitos setores ao mesmo tempo:

- os resultados negativos do experimento de Michelson e Morley contrariava a relatividade newtoniana;

- o espectro de radiação de um corpo negro não estava de acordo com as previsões da termodinâmica;

- o efeito fotoelétrico e os espectros dos átomos não podiam ser explicados pela teoria eletromagnética;

- os fascinantes fenômenos associados aos raios X e à radioatividade pareciam ser totalmente fora do contexto da física clássica.

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Século XXSéculo XX

- Mecânica Quântica e Relatividade:

formuladas no início do século XX, dissiparam essas “nuvens escuras” de Kelvin, e forneceram respostas para todos esses enigmas e muito mais.

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Física ModernaFísica Moderna

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Princípio da Relatividade:

-> Invariância das equações que expressam as leis da física:

As leis da física descobertas na Terra seriam as mesmas qualquer que fosse o ponto tomado como centro, ou seja, as mesmas equações seriam obtidas fosse qual fosse a origem do sistema de coordenadas.

-> O caráter relativista das leis da física começou a ser reconhecido:

Muito cedo na história da física clássica: ANTES de Galileu e Newton, Nicolau Copérnico, já havia mostrado que o cálculo dos movimentos dos planetas se tornaria mais simples e preciso se o antigo sistema aristoteliano, baseado na idéia de que a Terra é o centro do universo, fosse substituído por um modelo no qual os planetas se moviam em torno do Sol, e não a Terra. Em sua teoria, a localização da Terra não era considerada como especial ou previlegiada. É a escolha da origem do referencial copernicano no Sol que permite uma descrição simples do movimento planetário.

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Relatividade Clássica:

REFERENCIAIS: Quais são os referenciais em que as leis físicas são válidas?

→ Somente nos referenciais inerciais!

As Leis de Newton, que descrevem o movimento em sistemas mecânicos, não se aplicam a sistemas que possuam uma aceleração em relação a um referencial inercial; nenhum sistema acelerado é um referencial inercial.

NEWTON descobriu que, usando-se um certo tipo de referencial, torna-se muito mais simples determinar os movimentos a partir de suas causas: o referencial inercial. Qualquer referencial fixo em relação às estrelas fixas é um referencial inercial. Qualquer referencial em movimento com velocidade constante em relação a um referencial inercial também é inercial. Como essa velocidade é arbitrária, há uma infinidade de referenciais inerciais, cada um dos quais em movimento relativo com velocidade constante em relação a qualquer outro. Em muitas situações, o referencial terrestre pode ser considerado inercial como boa aproximação.

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Transformação de Galileu: ˆ ˆ ˆ (Referencial R);

ˆ ˆ ˆ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ (Referencial R )́;

ˆ ˆ ˆ (Origem O ́wrt R)

Componentes cartesianas:

´ / ´ / ´

´ / ´ / ´

´ / ´ / ´

x x x x x

y y y y y

z z z z z

r xx yy zz

r x x y y z z

R Xx Yy Zz

x x X v v V a a

y y Y v v V a a

z z Z v v V a a

r R r

´ / ´ / ´

´ ´

v v V a a

F ma ma F

Validade:

-> os eixos de R´ permaneçam paralelos aos eixos de R (direções dos eixos R´ // aos R);

-> a origem O´ se mova em MRU relativamente a R.

Todo referencial que esteja se movendo com velocidade constante em relação a um referencial inercial também é um referencial inercial. As Leis de Newton são invariantes em todos os referenciais inerciais.

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Transformação de Galileu:

As Leis de Newton são invariantes, ou seja, conservam a mesma forma em qualquer referencial que esteja se movendo com velocidade constante em relação a um referencial inercial.

De acordo com as Leis de Newton:

- NÃO EXISTE uma posição especial ou privilegiada para medir o espaço e o tempo;

- NÃO EXISTE nenhuma velocidade especial ou privilegiada para o referencial inercial usado nas medidas: todos os

referenciais inerciais são equivalentes;

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Transformação de Galileu:

É impossível detectar um movimento retilíneo uniforme de um referencial em relação a outro qualquer. Galileu deu o exemplo de experiências de mecânica feitas no porão de um navio, com as escotilhas fechadas, que seriam incapazes de distiguir se o navio estaria ancorado ou em movimento retilíneo uniforme.

Princípio da Relatividade Newtoniana: As Leis de Newton são invariantes em todos os referenciais inerciais.

• Esse princípio deixa de valer para referenciais não-inerciais: aparecem as forças de inércia (centrífuga, Coriolis, etc.).

A transformação de Galileu envolve a suposição implícita de que os intervalos de tempo medidos pelos relógios dos dois observadores são iguais, isto é, que t=t´.

A transformação de Galileu envolve a suposição implícita de que os intervalos de tempo medidos pelos relógios dos dois observadores são iguais, isto é, que t=t´.

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A velocidade da Luz

A visão de Newton foi extremamente bem-sucedida na descrição de fenômenos que vão do movimento de um projétil ao movimento de planetas, mas não conseguiu descrever os fenômenos eletromagnéticos.

A Teoria do Eletromagnetismo de Maxwell, foi um dos grandes trunfos da

ciência do século XIX. Fenômenos físicos aparentemente descorrelacionados, envolvendo a eletricidade, o magnetismo e a ótica passaram a ser compreendidos em termos de um único conjunto de leis e princípios físicos fundamentais.

Uma consequência fundamental dessa teoria é a propagação de ondas

eletromagnéticas. O exemplo mais importante de onda eletromagnética é a luz. Ele calculou a velocidade destas ondas e pôde expressá-la em termos de duas constantes fundamentais da eletrostática e da magnetostática: a permissividade elétrica do vácuo 0 e a permeabilidade magnética do vácuo 0, de uma forma

muito simples:

Unificação: eletricidade+ótica+magnetismo

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0 0

13 10 /c m s

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A velocidade da Luz

Todas as ondas eletromagnéticas, e não apenas a luz se propagam no

vácuo com a velocidade c, não importando o valor do comprimento de onda, nem os detalhes do processo de geração da onda - por exemplo, se o emissor da onda está ou não em movimento. Essa é uma previsão fundamental das equações de Maxwell: c é uma constante universal da Física, que representa a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo. Entretanto, a noção de uma velocidade absoluta, representada por uma constante universal, está em conflito direto com algumas das noções básicas da Mecânica.

Apesar da completa equivalência entre os referenciais inerciais, a

descrição do movimento de uma dada partícula é diferente em dois referenciais distintos. Em particular, a velocidade de uma dada partícula em relação a um referencial inercial R difere da velocidade da mesma partícula em relação a um outro referencial R´ pela lei de composição de velocidades de Galileu:

v

´v

´v v V

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A velocidade da Luz

Se, no referencial R, a velocidade de propagação é c, então, de acordo

com a lei de composição de velocidades de Galileu, a velocidade no referencial R´, em movimento com velocidade V, ao longo da mesma direção e sentido da propagação da luz, seria c-V.

a velocidade da luz valeria c apenas num referencial específico

é derivada das equações de Maxwell, seria preciso concluir também que estas só valeriam nesse referencial especial. Que referencial especial seria esse?

Todas as ondas mecânicas correspondem à propagação de perturbações de um meio material.

Onde não há meio material, não há propagação!

8

0 0

13 10 /c m s

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A velocidade da Luz

Ondas numa corda

- referencial “natural” é aquele em que ela está em repouso e onde cada ponto executa um movimento transversal à direção de extensão da corda, à medida que ela se propaga;

- a velocidade de propagação depende das propriedades físicas da corda:

v = (T/)1/2

Som: sólido, líquido ou gasoso.

Deveria haver um meio suporte para propagação das OEM:

- Se o éter existe de fato e o observador se move em relação a ele, assim como pode se mover em relação ao ar, então, devemos compor as velocidades da luz e do observador.- Se o éter não existe, a velocidade da luz é absoluta e, portanto, sua medida não dependerá do observador.

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A velocidade da Luz

Durante o século XIX, e mesmo nas primeiras décadas após a formulação do eletromagnetismo por Maxwell, acreditava-se que a luz também só poderia se propagar através de um meio material.

Então deveria existir um meio material ocupando todo o espaço entre

as estrelas e os planetas, já que a luz se propaga das estrelas até o nosso planeta.

Este meio material hipotético, conhecido pelo nome de éter, estaria em repouso em relação às estrelas.

Para ser consistente com o caráter transverso das ondas

eletromagnéticas, o éter deveria ser rígido, como no exemplo da corda vibrante tensionada. Ao mesmo tempo, o éter não poderia oferecer resistência ao movimento dos corpos celestes, o que parecia estar em contradição com a primeira condição!

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A velocidade da Luz

No referencial terrestre, a velocidade de propagação de um feixe

de luz ao longo da direção de movimento do planeta Terra seria c´=c-V; onde V é a velocidade da Terra. Por conseguinte,

e c´ variaria com a direção de propagação.

Se acreditássemos na existência do éter, então, o referencial

especial onde valeriam as equações de Maxwell, e onde a velocidade da luz seria c, seria o referencial Copernicano das estrelas fixas, pois nele o éter estaria em repouso. Deveria ser possível, por experiências de propagação da luz, detetar um movimento retilíneo uniforme em relação a ele, ou seja, o princípio da relatividade não seria válido na eletrodinâmica.

A equação de composição das velocidades de Galileu mostra que não

é possível manter o princípio da relatividade com validade simultânea das equações de Maxwell e das leis da Mecânica Newtoniana: uma das duas teria de ser abandonada!

´c c

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A velocidade da Luz

Teria de ser válida, portanto, uma das seguintes opções:

1) A mecânica newtoniana e as equações de Maxwell são válidas, mas o princípio da relatividade não se aplica a todas as leis físicas: existe um referencial absoluto (o éter), onde a velocidade da luz é c em todas as direções, e deve ser possível, por meio de experiências eletromagnéticas, detetar um movimento retilíneo e uniforme em relação ao referencial absoluto do éter.

2) O princípio da relatividade aplica-se a todas as leis físicas e à mecânica newtoniana é correta. Nesse caso, as equações de Maxwell teriam de ser modificadas, e deveria ser possível observar desvios das leis da eletrodinâmica clássica.

3) O princípio da relatividade aplica-se a todas as leis físicas, e as equações de Maxwell são corretas. Nesse caso, a mecânica newtoniana e a transformação de Galileu não podem ser corretas: deve ser possível observar desvios das leis da mecânica newtoniana => única compatível com os fatos experimentais.

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O experimento de Michelson e Morley

Teste experimental da primeira opção. Se ela fosse válida, deveria ser possível

detetar um movimento retilíneo uniforme em relação ao éter usando a lei de

Galileu de composição de velocidades c´= c-V: a velocidade da luz num referencial em movimento relativo ao éter deveria ser diferente em direções diferentes.

Um referencial onde o Sol estaria em repouso é com boa aproximação um referencial inercial. A velocidade de translação da Terra (V) em relação a esse referencial é da ordem de 30km/s. Pela lei de composição de velocidades, isso daria origem a desvios da ordem de

na velocidade de propagação da luz.

Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887, Albert

Michelson, em colaboração com Edward Morley, procuraram detetar esses

desvios usando o interferômetro de Michelson. Não observaram

nenhum deslocamento, o que permite descartar a opção 1.

4/ 10V c

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- Seus braços têm comprimentos L1 e L2

- F é a fonte de luz- DF é uma placa semiespelhada divisora do feixe- E1 e E2 são espelhos

- A é o anteparo

1) A Terra está se movendo em relação ao hipotético éter com velocidade V na direção L1.

Como c e V são paralelos ao longo de L1 temos:

c

c´V

c

c´

V

Tempo total para ida e volta ao longo de L1:

1 1 1 1 11 2 2 2 2

22

2 2 2

11

onde

L L L c L c Lt

c V c V c V V cc

c

V

c

Ida: Volta:

L1

L2F

E1

E2

22


2) Percurso na direção L2. Visto do referencial do éter

o percurso é oblíquo.

c c´

V


cc´

V

O1 O2

E

2

L2


2 2 2´ 1

onde

c c V c

V

c

2 2 22 2 2 2

2

1 1 1

L L Lt

c c c

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A diferença de caminho ótico entre os dois percursos é:

1 2 11 2 22 2 2 2

2 2 2( )

(1 ) 1 1 1

L L LL c t t L

c c

´ 1 21 2 22

´ ´ ´ 21 2 12 2

2 2; ´

11

2( )

1 1

L Lt t

cc

LL c t t L

Se girarmos agora de 900 o dispositivo todo, os papéis de L1 e L2 são

intercambiados. A figura observada anteriormente sofrerá um deslocamento correspondente ao caminho ótico:

´1 22 2

2 1( ) 1

1 1L L L L

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Os Postulados de Einstein

No início do século XX, a Física se encontrava num impasse. E ao invés de modificar o Eletromagnetismo de Maxwell, era necessário romper com a mecânica newtoniana. Einstein apresentou as bases da Teoria da Relatividade no artigo “Sobre a Eletrodinâmica de Corpos em Movimento”.

Para derivar a lei de composição das velocidades de Galileu, é preciso adotar o conceito newtoniano de tempo absoluto, isto é, supor que o tempo é o mesmo para todos os referenciais inerciais.

Einstein descartou essa hipótese (que parece tão natural) e REFORMULOU o conceito de tempo, levando a uma completa revolução das leis da Mecânica.

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Teoria da Relatividade:

-> É composta por duas teorias bem diferentes, a restrita (1905) e a geral (1916).

RESTRITA: trata da comparação entre os movimentos observados em diferentes referenciais que estejam se movendo com velocidade constante uns em relação aos outros.

GERAL: trata de referenciais acelerados e dos efeitos da gravidade. É importante para a cosmologia e para o estudo dos eventos que ocorrem nas proximidades de massas muito grandes (estrelas).

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Os Postulados de Einstein

A Teoria da Relatividade Restrita de Einstein é derivada a partir de dois

postulados fundamentais:

Princípio da Relatividade Restrita: As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

As equações de Maxwell são confirmadas como leis físicas válidas, e daí decorre:

Princípio da constância da velocidade da luz: A velocidade da luz no vácuo (OEM), c, é a mesma em todas as direções e em todos os referenciais inerciais, e é independente do movimento da fonte.

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Tempo e Simultaneidade

Analisar detalhadamente o problema da contagem de tempo, tomando como base

os dois postulados anteriores.

Os intervalos de tempo entre dois eventos não são, em geral, iguais para diferentes referenciais.

O conceito de tempo está diretamente relacionado à noção de eventos

simultâneos.

A noção de simultaneidade não é absoluta:

2 eventos que são simultâneos para um determinado referencial inercial

ocorrem em instantes de tempo diferentes para outro referencial.

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EXEMPLO:Uma fonte de luz (lâmpada), F, e dois detetores de luz, D1 e D2, são fixados sobre uma plataforma que se

movimenta com velocidade V constante ao longo do eixo OX do referencial S (que supomos ser inercial). - D1, D2 e F estão alinhados ao longo da direção paralela

ao eixo OX;- As distâncias entre D1 e F e entre F e D2, são iguais.

- O referencial S´ acompanha o movimento

da plataforma e, portanto, está em movimento

em relação a S com velocidade V ao longo do

eixo OX é o referencial próprio ou referencial de repouso do conjunto (por construção, a fonte, os detetores estão em repouso

no referencial S´).

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EXEMPLO:

A fonte F é ligada. A luz emitida por ela se propaga atéchegar aos detetores D1 e D2.

- Pelo princípio da relatividade, a propagação da luz em S´ ocorre como em qualquer outro referencial inercial. Para ambos os sentidos de propagação ao longo do eixo O´X´, a velocidade vale c.

- Como os detetores D1 e D2 estão à mesma distância da

fonte F, eles irão detetar a luz simultanemente.

- O início da detecção de luz por D1 e D2 do ponto de

vista do referencial S´ são silmultâneos.

Referencial S´

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- Pelo princípio da invariância da velocidade da luz o estado de movimento da fonte F (com velocidade V) não modifica a velocidade de propagação da luz, que também vale c para os dois sentidos de propagação ao longo do eixo X.

- Enquanto a luz se propaga a partir de F, o detetor D1

se aproxima e detetor D2 se afasta de F.

- Como a velocidade é a mesma nos dois sentidos de propagação, a detecção em D1 é anterior à detecção de

D2 do ponto de vista do referencial S.

Referencial S

Os dois eventos são simultâneos do ponto de vista do referencial S´ mas não do ponto de vista do referencial S → A simultaneidade é relativa. Ela não é uma propriedade absoluta ou intrínseca de dois eventos dados, devendo sempre ser definida em relação a um dado referencial.

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Intervalo relativístico

No espaço-tempo quadridimensional da relatividade, pode-se definir uma medida para um dado par de eventos, chamada intervalo relativístico que é uma propriedade intrínseca do par de eventos considerado e, portanto, é invariante quando tomamos diferentes referenciais inerciais.

2 2 21 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )PP x x y y z z

Rotações Espaciais

A distância entre dois pontos espaciais quaisquer P1 e P2 é

invariante por qualquer rotação dos eixos coordenados, porque ela representa uma distância (ou comprimento) que é uma propriedade intrínseca do par de pontos P1 e P2 e, portanto,

independe da escolha dos eixos coordenados:

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- A fonte F é ligada e começa a emitir luz- O detetor D começa a detectar a luz emitida por F.

Num certo referencial inercial S:- as coordenadas do evento “fonte é ligada” são (t1,x1,y1,z1);

- as coordenadas do evento “detecção por D” são (t2,x2,y2,z2);

- a distância percorrida pela luz da fonte até o detetor vale: 2 2 2

2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z

- O tempo transcorrido entre o instante da emissão da luz e o instante de sua detecção vale t2 – t1.

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2 2 22 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z c t t

Pelo postulado da invariância da velocidade da luz, a velocidade de propagação vale c no referencial S, mesmo que a fonte esteja em movimentoem relação a S.

Portanto, a distância percorrida satisfaz a relação:

d = c(t2-t1)

E as coordenadas espaço-temporais dos eventos satisfazem a equação:

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´ ´ 2 ´ ´ 2 ´ ´ 2 ´ ´2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z c t t

Referencial S´: descrição dos mesmos dois eventos

As coordenadas espaço-temporais serão, em geral, diferentes:

evento “fonte ligada”: (t´1,x´

1,y´1,z´

1)

evento “detecção por D”: (t´2,x´

2,y´2,z´

2)

Entretanto, a equação anterior continuará sendo satisfeita, já que pelo postulado da invariância da velocidade da luz, a velocidade depropagação também vale c em S´:

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2 2

2 1

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1

( )

2

( ) ( ) ( ) ( )

0

c t t

s c t t x x y y z z

s

O que as coordenadas dos eventos nos referenciais S e S´ têm em comum???

Ambos os conjuntos satisfazem à mesma equação!

OBJETIVO: definir um intervalo relativístico (s) que seja

invariante quando muda-se de referencial.

Referencial S:

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2 ´ ´ 22 1( )

2´ 2 ´ ´ 2 ´ ´ 2 ´ ´ 2 ´ ´ 22 1 2 1 2 1 2 1

2´

( ) ( ) ( ) ( )

0

c t t

s c t t x x y y z z

s

O que as coordenadas dos eventos nos referenciais S e S´ tem em comum???

Referencial S´:

Portanto, s=s´ pode ser nulo, positivo ou negativo.Embora o transcurso de tempo seja diferente para diferentes referenciais, é possível definir uma grandeza invariante: o intervalo relativístico. Todos os referenciais inerciais medem o mesmo intervalo relativístico entre dois eventos dados.

Exercícios:

Solução:

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