UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

INTRODUÇÃO A FÍSICA QUÂNTICA

BELÉM-PA

INTRODUÇÃO

Veremos como mais detalhe nesse trabalho sobre a Introdução a Mecânica

Quântica é uma teoria baseada no uso do conceito de uma unidade quantum para

descrever as propriedades dinâmicas de partículas subatômicas e as suas interações.

Começaremos a falar sobre a radiação do corpo Negro, efeito fotoelétrico e o efeito

Compton. E como a mecânica quântica foi importante para suas explicações como foi

iniciado pelo físico alemão Max Planck que postulou em 1900 que a energia só pode ser

emitida ou absorvida em pequenas unidades chamadas quanta. Também fundamental ao

desenvolvimento de Teoria Quântica é o Princípio de Incerteza formulado pelo físico

alemão Werner Heisenberg em 1927: é impossível determinar com precisão absoluta, no

mesmo instante, a posição e o momento de uma partícula. Quanto mais precisão

buscarmos em um aspecto, mais prejudicado vai ficar outro.

Nos 18o e 19o séculos, a mecânica clássica (Newtoniana) parecia descrever

precisamente o movimento dos corpos. No final do 19o e início do 20o séculos, porém,

achados experimentais elevaram dúvidas sobre a perfeição de teoria Newtoniana. Entre

as observações mais novas estavam as linhas que aparecem nos espectros de luz

emitidas por gases aquecidos, ou gases nos quais descargas elétricas acontecem.

Um dos aspectos principais da mecânica quântica é o seu caráter probabilístico,

que contrasta fortemente com o determinismo da física clássica. A impossibilidade de se

obter uma informação exata e completa a respeito de um sistema impressionou muito

quando a mecânica quântica foi descoberta.

Radiação Térmica.

A radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura é chamada radiação

térmica. Todo corpo emite esse tipo de radiação para o meio que o cerca, e dele o

absorve.

A matéria em estado condensado emite um espectro contínuo de radiação, que é

praticamente independente do material particular do qual o corpo é composto, mas

dependem bastante da temperatura.

Determinado tipo de corpo quente que emite espectros térmicos de caráter

universal, onde suas superfícies absorvem toda radiação térmica incidem sobre ele é

denominado corpo negro.

A distribuição espectral da radiação do corpo negro é especificada pela quantidade

RT (ν) chamada radiância espectral, que é definida de forma que RT (ν) d ν seja igual à

energia emitida por unidade de tempo em radiação de freqüência compreendida no

intervalo de ν a ν + d ν por unidade de área de uma superfície a temperatura absoluta

T.

Um exemplo de corpo negro pode ser considerado como um objeto que contém

uma cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifício. A radiação térmica que incide

sobre o orifício vindo do exterior entra na cavidade e é refletida repetida vezes pela suas

paredes e eventualmente por elas absorvidas.

Define-se densidade de energia ρT(ν), proporcional a radiância espectral RT (ν),

como a energia contida em um volume unitário da cavidade a temperatura T no

intervalo de freqüência ν a ν + d ν.

No início do século XX, Rayleigh e jeans, fizeram o cálculo da densidade de

energia da radiação do corpo negro, que mostrou uma série divergência entre a física

clássica e física Moderna os resultados experimentais obtiveram a equação:

ρT(ν)dν = 8.π. ν2 . K. T dν / C

3 (1)

O gráfico abaixo representa (Linha pontilhada) previsão de Rayleig – Jeans e os

resultados experimentais.

Fig.1 Resultado experimental e clássico.

O físico Max Planck apresentou seu artigo no ano de 1900, intitulado “Sobre a

teoria da Lei de distribuição de energia do espectro Normal”. Com ele, deu sua grande

contribuição, inaugurando à quântica. Para resolver este problema da radiação, do corpo

negro, considerou a energia como se ele fosse uma variável discreta em vez de uma

variável contínua. Com isso, verificou a proporcionalidade entre a variação de energia

∆E e a sua freqüência ν da radiação de acordo com a equação.

∆E = h. ν (2)

Onde h é a constante de proporcionalidade denominada de constante de Planck,

cujo valor experimental vale h = 6,63 x 1034

J.s.

A equação obtida por Planck para energia total média:

Ē = h.ν / eh.ν/ kT

– 1 (3)

E para densidade de energia:

ρT(ν)dν = 8.π. ν2 .h. ν. Dν / C

3. (e

h.ν/ kT – 1) (4)

Que estão em total acordo com os dados experimentais.

Efeito Fotoelétrico.

O efeito fotoelétrico é caracterizado pela emissão de elétrons pelas superfícies

livres de determinado metais, quando sujeitos à radiação de certos comprimentos de

onda.

Fig.2 Efeito Fotoelétrico.

Ao incidirmos um feixe de luz no catodo, os elétrons são liberados pela lâmina e

atraídos pelo anodo, é proporcional à intensidade da radiação monocromática que atinge

o catodo.

O gráfico abaixo representa a variação de corrente fotoelétrica em função do

potencial V do catodo.

Fig3. Variação de corrente fotoelétrica em função do potencial V

Einstein deu uma interpretação das leis do efeito fotoelétrico, supondo uma

estrutura corpuscular de energia h.ν, os fótons ou quanta de luz, que podem ser

completamente absorvidos pelos átomos da lâmina metálica. A energia de cada fóton

absorvido por um átomo é transformada em energia interna deste. Se h.ν for muito

grande, um elétron pode ser libertar do átomo, havendo emissão fotoelétrica. O

potencial Vo corresponde ao limiar da emissão fotoelétrica e permite determinara

energia cinética máxima dos elétrons emitidos pelo metal. A equação abaixo é

interpretada, então, supondo uma estrutura corpuscular da luz.

e.Vo = h.ν – W (5)

A energia cinética K = e.Vo com qual um elétron escapa do metal deve ser a

energia do fóton, h.ν, diminuída do trabalho necessário para que o elétron escape do seu

meio.

Einstein, então, generalizou a idéia de Planck. Já que a quantização é necessária

para levar em conta a radiação do corpo negro e os calores específicos dos sólidos.

Efeito Compton.

Uma confirmação do conceito do fóton como um pacote concentrada foi fornecida

em 1923 por A.H Compton, que recebeu em 1927 o prêmio Nobel por esse trabalho.

Compton fez incidir um feixe de luz monocromática de raios-X, de comprimento de

onda λ bem definida, em um bloco de grafita e mediu a intensidade dos raios-X em

função do seu comprimento de onda em diversos ângulos de espalhamento.

A figura mostra o dispositivo experimental usado por Compton. Os comprimentos

de onda são medidos, observando-se as reflexões de Bragg. Sua intensidade são

medidas por meio de um detector, como, por exemplo, uma câmera de ionização.

Fig.4 Efeito Compton.

Nota-se que embora o feixe incidente consista, essencialmente, de um único

comprimento de onda λ, os raios X espalhados pela grafita apresentam picos de

intensidade em dois comprimentos de onda; um deles coincide com o feixe incidente; o

outro λ’ supera o primeiro de um valor ∆λ, chamada desvio de Compton, varia com o

ângulo segundo o qual se observam os raios X espalhados e é fornecido pela seguinte

equação:

Logo, o desvio de Compton, ∆λ, depende apenas do ângulo de espalhamento θ e,

não do comprimento de onda inicia λ.

A existência de uma onda espalhada, de comprimento de onda λ’, não poderá ser

explicada se os raios X incidentes forem considerados como ondas eletromagnéticas da

teoria de Maxwell.

Compton conseguiu explicar os seus resultados experimentais, postulando que o

feixe incidente de raios X não se comportava como uma onda, mas como um conjunto

de fótons de energia E = h.ν e que esses fótons sofriam colisões, do tipo das bolas de

bilhar, com os elétrons livres do bloco de espalhamento. Os fótons “de recuo”,

emergentes do bloco constituíam a radiação espalhada. Como o fóton incidente transfere

parte de sua energia ao elétron com que colide, o fóton espalhado terá uma menor E’.

Deverá ter, portando, uma freqüência menor ν´ = E’/ h, o que implica apresentar um

maior comprimento de onda λ´= c / ν´. Essa explicação nos conduz, então, a diferença

entre os comprimentos de onda ∆λ.

A figura a seguir, mostra um fóton, de comprimento de onda λ chocando-se com

um elétron em repouso. Na colisão, o fóton é espalhado de um ângulo θ e adquire um

comprimento de onda maior de λ´, enquanto o elétron se desloca com uma velocidade V

na direção dada pelo ângulo φ

Fig5. Colisão do fóton.

Postulado de de Broglie e Dualidade Onda Partícula.

Broglie foi um físico experimental Frances que apoiou o ponto de vista de

Compton em relação à natureza corpuscular da radiação. Em sua tese de doutorado,

propôs a existência de ondas de matéria, onde cinco anos mais tarde recebeu o Prêmio

Nobel em Física.

A hipótese de de Broglie era do que o comportamento dual, isto é, onda-partícula

da radiação também se aplicava à matéria. Assim como um fóton tem associado a ele

uma onda luminosa que governa seu movimento, também uma partícula material (um

elétron, por exemplo) tem associada uma onda de matéria que governa seu movimento.

Ele propôs que os aspectos ondulatórios de matéria fossem relacionados com seus

aspetos corpuscular, exatamente de forma quantitativa com que esses aspectos são

relacionados para a radiação Então, a energia total E está relacionada à freqüência ν,

tanto para matéria quanto para a radiação, dada pela equação:

E = h.ν (7)

E o momento p está associado do comprimento de onda λ, de acordo com:

P = h / λ (8)

A natureza ondulatória da matéria pode ser verificada pelos fiscos Elasser,

Thomson, Davisson e Gernir.

Niels Bohr resumiu a situação onda-partícula em seu princípio da

complementaridade. Os modelos corpusculares e ondulatórios são complementares, se

uma medida prova o caráter ondulatório da radiação onda matéria, então é impossível

provar o caráter corpuscular na mesma medida, vice-versa. A escolha de que modelo

usar é determinado pela natureza medida. Além disso, nossa compreensão da radiação

onda matéria está incompleta a menos que levemos em consideração tanto as medidas

que revelem os aspectos ondulatórios quanto os que revelem os corpusculares. Portanto,

a radiação e matéria não são apenas ondas ou apenas partículas.

A complementaridade implica então em compreender a dualidade onda-partícula

como a necessidade do recurso as duas representações, excludentes em uma dada

experiência, para descrever exaustivamente as ações pode detecções da radiação e da

matéria.

O princípio da Incerteza.

Heisenberg e Bohr mostraram que a interpretação probabilística é fundamental em

mecânica quântica e deve-se abandonar o determinismo.

Este princípio também chamado princípio de indeterminação afirma que uma

experiência não pode determinar simultaneamente o valor exato de uma componente de

momento (px, por exemplo) de uma partícula e também o valor exato da coordenada

correspondente, x. Em vez disso, a precisão de nossa medida está em si, de tal forma

que:

∆px .∆x ≥ ħ / 2 (9)

Logo, nenhuma componente de movimento de um elétron (partícula), livre ou

ligado, poderá ser avaliado com precisão ilimitado.

A constante de Planck, h, provavelmente não apareceu em qualquer outra fórmula

de com um significado mais profundo do que a equação acima. Se fosse igual a zero, em

vez de h, estariam corretas as noções clássicas sobre a partícula e órbitas. Seria possível,

então, medir-se com precisão ilimitada a posição e o momento. O aparecimento de h

significa que as idéias clássicas são incorretas; o valor de h informa sob que

circunstâncias devem ser substituídas os conceitos clássicos pelos quânticos.

A relação de incerteza revela por que e possível, tanto para a luz quanto para a

matéria, possuir uma natureza dualística de onda e corpuscular. E porque ambos os

conceitos, tão obviamente contraditórios, nunca poderão ser confrontados em uma

mesma experiência. Se criar uma situação que obrigue o elétron a revelar fortemente o

seu caráter ondulatório, a sua natureza corpuscular tornar-se-á inerentemente indistintas.

Modificando – se as condições, de modo a evidenciar mais fortemente seu caráter

corpuscular, a sua natureza ondulatório ficará necessariamente distintas. A matéria e a

luz comportam-se como moedas, capazes que são de mostrar uma face de cada vez, mas

não as duas ao mesmo tempo.

Modelos Atômicos.

i) Modelo de Thomson.

J.J Thomson, por volta de 1910, propôs uma tentativa de descrição, ou modelo, de

um átomo, segundo o qual os elétrons carregados negativamente estariam localizados no

interior de uma distribuição contínua de carga positiva, conhecida como “pudim com

passas”.

Em um átomo que esteja em seu estado de energia possível, os elétrons estariam

fixos em suas posições de equilíbrio. Em átomos excitados, os elétrons vibrariam em

torno de suas posições de equilíbrio. Como a teoria do eletromagnetismo prevê um

corpo carregado acelerado, como um elétron vibrando, emite radiação eletromagnética,

era possível entender qualitativamente a emissão de radiação por átomos excitados. No

entanto, esse modelo não estava em concordância quantitativa como os dados

experimentais.

ii) Modelo de Rutherford

Na estrutura do átomo, todas as cargas positivas, e conseqüentemente toda sua

massa, são suposta concentradas em uma pequena região no centro chamado núcleo

com elétrons girando ao seu redor.

Criou esse modelo através de sua experiência do espalhamento de partículas α em

uma lâmina de ouro.

iii) Modelo de Bohr

Em 1913, Niels Bohr, baseado em investigações do espectro do átomo de

hidrogênio, desenvolveu um modelo que apresentava concordância qualitativa com os

dados espectroscópios.

Elaborou quatro postulados para explicar seu modelo atômico. Estes postulados

são:

1- Um elétron em uma átomo se move em uma órbita circular em torno de um

núcleo sob influencia da atração colombiana entre o elétron e o núcleo,

obedecendo às leis da mecânica clássica L = n. ħ n=1,2,3 ...

2- Em vez da infinidade de órbita que seriam possíveis, segunda a mecânica

clássica, um elétron só pode se mover em uma órbita na qual seu momento

angular orbital L é um múltiplo inteiro de ħ.

3- Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron que se move em uma

dessas órbitas possíveis não emite radiação eletromagnética. Portando sua

energia total E permanece constante.

4- É emitida radiação eletromagnética se um elétron, que se move inicialmente

sobre uma órbita total Ei, muda seu movimento descontinuamente de forma a se

mover em uma órbita de energia total Ef. A freqüência da radiação emitida ν é

igual à quantidade (Ei – Ef ) devida a constante de Planck h.

Logo,

A freqüência ν é função dos estados quânticos inicia (ni) e final (nf ).

O modelo de Bohr consegue prever as séries espectrais de Lymon (nf = 1), Balmer

(nf = 2) e Paschen (nf = 3 ).

Fig.6 Séries Espectrais.

O Princípio da correspondência.

Estes princípios enunciados por Bohr em 1923 constituem.

1- As previsões da teoria quântica para o comportamento de qualquer sistema físico

devem corresponder às previsões da física clássica no limite no qual os números

quânticos que especificam o estado de um sistema se tornam muito grandes.

2- Uma regra e seleção são validas para todos números quânticos possíveis.

Portando, todas as regras de seleção que são necessárias para obter a

correspondência exigida no limite clássico (n grande) também se aplicam no

limite quântico (n pequeno).

Teoria de SchrÖdinger da Mecânica Quântica.

A teoria Schrödinger propõe um método para a descrição em um caso mais geral,

do comportamento de partículas em qualquer sistema microscópico, através da idéia dos

estados estacionária dos átomos correspondentes a onda, estacionário de matéria.

A grandeza mais importante na descrição de Schrödinger (Mecânica Ondulatória)

é a função de onda Ψ, que mede a “perturbação” ondulatória das ondas matéria.

A função Ψ = Ψ(x,t) em uma dimensão é a solução da equação de Schrödinger,

descrita abaixo.

Onde V(x,t) é a energia potencial da partícula. Devido a solução de a equação ser

imaginária, Max Born em 1926 foi o primeiro a sugerir que , o valor da probabilidade

P(x,t) = Ψ*(x,t) Ψ(x,t) = Ψ2

(x,t) exprimiria a probabilidade de partícula estar nesse

ponto, pois no leva a um número real. Mas exatamente, considerando- se um elemento

de volume dV que contenha esse ponto. Esta interpretação de Ψ fornece uma relação

estatística entre a partícula e a onda associada, diz-nos onde a partícula provavelmente

estará e não onde de fato está.

O colapso do pacote de onda e o gato de Scrödinger.

Desde 1927, Heisenberg e Born tinha introduzida a idéia do que se tornamos uma

partícula descrita quanticamente por um “pacote de onda”, durante um processo de

medição de posição dessa partícula ocorre uma redução deste “pacote de onda”.

O matemático Jhon Von Neuman realizou um estudo sobre as estruturas

matemática mais geral compatíveis com os diversos formalismos da teoria quântica.

Com isso ele evidenciou o problema do espalhamento do “pacote de onda”.

Ele analisou o processo da medição na nova teoria, tratando o aparelho de

medição como um objeto descrito pela teoria quântica e obteve o acoplamento entre os

estados do aparelho e do sistema-acoplamento descrito por uma superposição de autos-

estado e mostrou a necessidade de admitir que, durante um processo de medição o

processo sofre uma evolução descontinua, logo não descrita pela equação de

Schrödinger, sendo reduzido “colapso” a um dos autos estados.

A experiência conhecida como “O gato de Schrödinger” descrever a situação de

colapso proposta anteriormente. Imaginemos uma caixa fechada, onde um sistema

quântico (um átomo radioativo, por exemplo) com 50% de chance de emitir, ou não,

após um certo intervalo de tempo, uma determinação da partícula, é acoplada (através

de um contador Geiger, por exemplo) a um disparador capaz de deflagrar a quebra de

um frasco onde há uma substância letal. Dentro da caixa temos também um gato, que ali

foi colocado vivo. Schrödinger então nos pergunta pelo estado do sistema macroscópico

(caixa,gato, substância letal e sistema quântica), decorrido aquele certo intervalo de

tempo. A solução de Von Nwmann descrever o estado como a combinação linear “gato

vivo” e “gato morto”. Este estado quântico será reduzido (colapso) a uma das hipóteses

quando um observador abrir a caixa.

Fig7. O gato de Schrödinger.

Conclusão.

Concluímos, portanto, que a Mecânica Quântica, é uma teoria usada em casos que

envolvem corpos microscópicos e velocidades altas, como os elétrons e prótons. Suas

principais conclusões são que, em estados ligados, a energia se troca de modo

descontínuo; e que é impossível atribuir ao mesmo tempo uma posição e uma

velocidade exatas a uma partícula. E que a participação de Albert Einstein, Max Planck,

Louis de Broglie e Thomas Young, entre outros físicos, foram expressivas para o

desenvolvimento da Física Quântica, uma teoria que representou uma revolução na

maneira de ver o mundo.

APÊNDICE

Equação do Efeito Compton

A energia de um fóton incidente de raio-X vale:

E = h.ν (1)

A energia total relativística de uma partícula (elétron) em termos da massa de

repouso mo e sua velocidade v é:

E = mo. c2 / (1- v

2/c

2 )

1/2 (2)

O momento do fóton pode ser calculado da relação geral de energia relativística

total E.

E2 = c

2. p

2 + (mo .c

2 )

2 (3)

Para o fóton mo = 0, então a equação (3) reduz-se a:c =

p = E / c = h.ν / c (4)

Ou

p = h / λ (5)

A conservação do momento para a colisão do fóton e do elétron, conforme a figura

vale:

po = p1.cosθ + p.cosφ (6)

p1.senθ = p.senφ (7)

Elevando (6) e (7) ao quadrado, temos:

(po - p1.cosθ)2 = p

2.cos

2φ (8)

p12.sen

2θ = p

2.sen

2φ (9)

Desenvolvendo e somando (8) e (9):

po2 - p1

2.cos

2 θ – 2. po.p1cosθ = p

2.cos

2φ +

p1 - p1.cos2 θ = p

2 - p

2cos

2φ

Então:

po2 - p1

2 – 2. po.p1cosθ = p

2 (10)

Pela figura, a energia do fóton Eo antes da colisão pode ser escrita como:

Eo = k + E1

k = Eo - E1

ou

k = c ( po - p1) (11)

Aplicando E = k + mo.c2 em (3), temos:

( k + mo. c2 )

2 = c

2 . p

2 + (mo. c

2 )

2

k2 + mo .c

4 + 2.k.mo .c

2 = c

2 .p

2 + mo .c

4

p2 = k

2 / c

2 + 2. k. mo = [c (po – p1 )]

2 / c

2 + 2.c.( (po – p1 ). mo (12)

Comparando (12) e (10), obtemos.

po2 - p1

2 – 2. po.p1cosθ = po

2 + p1

2 – 2. po.p1 + 2.c. ( po - p1

).mo

- 2. mo.c.( po - p1 ) = - 2. po - p1 + 2. po.p1cosθ

- 2. mo.c.( po - p1 ) = 2. po p1 (1 – cosθ)

po - p1 / po .p1 = (1 - cosθ)/ mo.c

1/p1 – 1/p0 = (1 - cosθ)/ mo.c x h

h/p1 – h/p0 = h.(1 - cosθ)/ mo.c

∆λ = λ1 – λo = h.(1 - cosθ)/ mo.c CQD

Cálculo do operador :

Temos que,

Onde,

Assim,

Portanto,

Propriedade do comutador entre Sx e Sy :

Portanto,

Cálculo dos coeficientes das matrizes :

Seja a matriz,

Onde,

Assim,

Portanto,

Seja a matriz,

Onde,

Assim,

Logo,