Formação continuada em Matemática

Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ

Matemática 1º Ano – 3º Bimestre / 2012

Tarefa 1

Plano de trabalho

Função Polinomial do 2º Grau

Cursista: Adrienne de Oliveira Souza

Tutor: Rômulo da Macena

Sumário

Introdução................................................................................3

Desenvolvimento.....................................................................4

Avaliação...............................................................................28

Referências...........................................................................29

INTRODUÇÃO

Esse plano de trabalho foi elaborado com objetivo de guiar a

construção do conhecimento dos alunos sobre função polinomial

do 2º grau, sua representação gráfica e aplicações em problemas

do cotidiano.

A abordagem se guiou da forma mais prática e ilustrativa, para

sanar ao máximo a dificuldade dos alunos na compreensão da

Matemática, para isso são utilizados recursos digitais e jogos

educativos, além da generalização do conteúdo.

O conteúdo foi introduzido com uma aplicação prática da função

polinomial do 2º, para a percepção da diferença entre a função do 1º

grau e a do 2º grau e descobrimento de que alguns fenômenos não

se relacionam proporcionalmente (linearmente).

O conteúdo necessita para melhor compreensão reforço da idéia de

coordenadas de pontos e marcação dos mesmos no plano

cartesiano, que já foi abordado no primeiro bimestre, e relembrar

potenciação durante as aulas, de acordo com a percepção de

dificuldade, pois estes serão muito utilizados.

DESENVOLVIMENTO

ATIVIDADE I

Habilidade relacionada: H62 – Reconhecer a representação

algébrica da função polinomial do 2º grau.

Pré-requisitos:Conceito de função;resolução de equações do 2º grau.

Tempo de duração: 100 minutos

Recursos educacionais utilizados: Vídeo “Esse tal de Bháskara”,

vídeo “Telecurso – Aula 31: A função do 2° grau”, jogo das equações e

livro didático adotado pela escola.

Organização da turma: Individual.

Objetivos: Relembrar a equação polinomial do 2º grau e apresentar

todos os assuntos que serão trabalhados no tema principal. Mostrar

aos alunos a importância do tema que será estudado e sua

aplicabilidade em assuntos do cotidiano, para aguçar a vontade de

aprender.

Metodologia adotada:

Apresentar os vídeos para os alunos com o objetivo de relembrar a equação polinomial do 2º grau e informar todos os aspectos do tema do conteúdo a ser trabalhado, função polinomial do 2º grau. Após isso descrever exemplos de aplicações e a definição da função.

http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ava/file.php/3/Matematica_conteudo/Midia

teca/Imagens/003_nova.jpg

http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ava22/file.php/6/midiateca/midiateca_1ser

_img1.png

Dentre as aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são: Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental. Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica, uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente. Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis. Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na

vertical, a curva descrita pelo objeto é uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.

Chama-se função polinomial do 2º grau, ou função quadrática, qualquer

função f de em dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c

são números reais e . Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero,

quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 (Completa) f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 (Incompleta) f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 (Completa) f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 (Incompleta) f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 (Incompleta) Os números reais a, b e c são os coeficientes da função quadrática.

Exercícios de fixação: Utilizar exercícios do livro sobre identificação de

funções quadráticas e dos coeficientes de cada. Jogar em grupos o “Jogo das equações”(fórum temático 1) para relembrar equações polinomiais do 2˚ grau.

ATIVIDADE II

Habilidade relacionada: H62 – Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial do 2º grau.

Pré-requisitos: Plano Cartesiano; gráficos de funções. Tempo de duração: 100 minutos Recursos educacionais utilizados: Folhas de papel quadriculado ou

milimetrado. Organização da turma: Turma disposta em pequenos grupos de 2 ou

3 alunos. Objetivos: Auxiliar o aluno a perceber o formato do gráfico da função

quadrática.

Metodologia adotada: Construção do gráfico através de tabela de valores.

Como vimos no vídeo na aula anterior gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Para construir o gráfico da função quadrática, primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

Ex.1: y = x2 + x

x y=f(x)

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Ex.2: f(x) = -x2 + 8x -12

Podemos observar pelos exemplos que a parábola pode ter

concavidade voltada para cima, exemplo 1, ou voltada para baixo, exemplo 2. Agora cada grupo deve escolher 4 funções do livro didático e fazer o

gráfico de cada uma no papel milimetrado, como nos exemplos dados. O

x y=f(x)

1 -5

2 0

3 3

4 4

5 3

6 0

7 -5

professor deverá circular pela sala, para analisar o nível de aprendizado de cada grupo e retirar duvidas durante todo processo. O resultado deve ser pontuado de acordo com cada ultrapassar de barreira.

Depois cada grupo deve expor os seus gráficos na sala de aula.

ATIVIDADE III Habilidade relacionada: H62 – Reconhecer a representação

algébrica ou gráfica da função polinomial do 2º grau. H66 - Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.

Pré-requisitos: Identificar a parábola como sendo o gráfico da função quadrática.

Tempo de duração: 100 minutos Recursos educacionais utilizados: Vídeo “Roda de samba”, Folhas

de atividades Organização da turma: Turma disposta em pequenos grupos de 2 ou

3 alunos. Objetivos: Relacionar a concavidade da parábola e o coeficiente a;

identificar o ponto (0,c) como o ponto em que a parábola intersecta o eixo y; perceber que o vértice da parábola corresponde ao ponto extremo da função quadrática.

Metodologia adotada:

Apresentar o vídeo para iniciar a aula.

http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ava/file.php/3/Matematica_conteudo/Midiat

eca/Imagens/005.jpg

Já sabemos que a função quadrática é representada graficamente por uma parábola.

Função quadrática – Representação gráfica

Parábola côncava para cima. Parábola côncava para baixo.

1_ A seguir você encontra funções quadráticas representadas através da sua

lei algébrica e também da sua representação gráfica. Identifique o sinal do coeficiente (positivo ou negativo) e a concavidade da parábola (para cima ou para baixo) em cada item proposto.

Observando a concavidade e o sinal do coeficiente a, você seria capaz de relacioná-los?

Obs.: Esperar os alunos concluírem que o sinal do coeficiente a e a concavidade da parábola estão relacionados.

Percebe-se então que:

2_ Determine a concavidade da parábola associada a cada uma das funções

quadráticas a seguir:

i. j(x) = x2 - 2x

ii. h(x) = 3x2 - 2x + 1

iii. k(x) = 1 - x2

iv. f(x) = 6x - 3x2

v. g(x) = - 2(3 - x)(x – 4)

vi. n(x) = - x2 - 6x + 5

vii. p(x) = 9x2 + 4x

viii. m(x) = 2 + 2x - x2

3_ Agora, você deve identificar o ponto em que cada parábola intersecta o eixo vertical e o valor do coeficiente c das funções quadráticas.

Gráfico e lei algébrica Ponto de interseção entre a parábola e o

eixo y

Coeficiente c

I

II

III

IV

V

VI

Você seria capaz de escrever uma relação entre o coeficiente e a ordenada (y) do ponto de intereseçâo entre a parábola e o eixo y?

Na função quadrática, de forma geral f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são os coeficientes, o coeficiente c é a ordenada do ponto em que a parábola que representa essa função intersecta o eixo y. A figura a seguir exibe esta relação.

4_ Completa a tabela com o que se pede:

Gráfico e Lei Algébrica

Val

ore

s d

e x

par

a o

s q

uai

s a

fun

ção

é c

resc

ente

Val

ore

s d

e x

par

a o

s q

uai

s a

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ção

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ecre

scen

te

Po

nto

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__ q

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par

tes

igu

ais

O que você observa a partir de suas respostas? Na função quadrática, de forma geral f(x) = ax2 + bx + c e sempre representada por uma parábola, o vértice é o ponto onde a função passa de crescente a decrescente, se ela tem concavidade voltada para baixo, ou de decrescente a crescente, se ela tem concavidade voltada para cima.

O vértice então será, nas parábolas com concavidade voltada para baixo, o ponto mais alto da função – PONTO DE MÁXIMO – e a sua ordenada, yv, será o

maior valor assumido pela função quadrática – VALOR MÁXIMO. Da mesma maneira, se a concavidade é voltada para cima, o vértice será o ponto mais baixo – PONTO DE MÍNIMO – e sua ordenada, yv, será o menor valor assumido pela função – VALOR MÍNIMO.

ATIVIDADE IV

Habilidade relacionada: H62 – Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial do 2º grau. H66 - Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.

Pré-requisitos: Trinômio Quadrado Perfeito, Quadrado da Soma, Quadrado da Diferença.

Tempo de duração: 100 minutos.

Recursos educacionais utilizados: Folhas de atividades

Organização da turma: Turma disposta em pequenos grupos de 2 ou

3 alunos.

Objetivos: Determinar as raízes das funções quadráticas a partir da sua forma canônica.

Metodologia adotada:

Uma maneira diferente de encontrar raízes das funções quadráticas

Quando vimos a resolução da equação polinomial do 2º grau, calculava-se

as raízes através da fórmula de Bháskara, onde

. Agora vamos

achar as raízes sem recorrer a fómula.

Resolvamos, então, as equações que aparecem abaixo, nesta ordem. a. x2 –1 = 0 b. x2 + 4 = 0

Essas foram bem fáceis! Vamos agora tentar resolver essas...

c. (x – 5)2 = 0 d. (x + 3)2 = 0

E essas, como você resolveu? Também não são difíceis, não? Vamos às próximas.

e. (x – 2)2 – 1 = 0 f. (x + 4)2 – 8 = 0

Descreva sua resolução! Mais algumas...

g. (x – 2)2 – 1 = 0 h. (x + 7)2 + 8 = 0 i. (x + 2)2 + 9 = 0 j. (x – 5)2 – 3 = 0

Houve algo diferente com alguma destas? Como você resolveu o problema? Exemplos de resolução esperados.

(x – 2)2 – 1 = 0 x= 1 ou x= 3

(x + 2)2 + 9 = 0 , Não existe raiz real

Tente agora essas:

k. 2(x – 1)2 – 4 = 0 l. 3(x + 5)2 + 1 = 0 m. 6(x – 2)2 – 10 = 0 n. 12(x – 12)2 + 12 = 0

Para completar, só mais algumas...

o. –(x – 1)2 – 4 = 0 p. –2(x – 4)2 + 8 = 0 q. –3(x + 2)2 + 9 = 0 r. –7(x – 4)2 – 7 = 0

O que você percebeu em relação à resolução destas? O que elas apresentam de diferente das anteriores? Como você resolveu esse problema?

Agora, vamos conhecer uma técnica de resolução de equações quadráticas conhecida por “completando quadrados”. Para isso, vamos relembrar um importante produto notável:

Esse produto notável é conhecido como “quadrado da soma de dois termos” ou “quadrado da diferença de dois termos”. O resultado desta potência é conhecido como “trinômio quadrado perfeito”. Seu desenvolvimento surge da multiplicação de

ou . Sua tarefa neste momento é acrescentar termos às expressões abaixo

mostradas de maneira que eles se tornem trinômios quadrados perfeitos e que

possam ser escritos na forma fatorada ou .

Expressões Termo a ser

acrescentado Forma Fatorada

x2 – 4x + 4 x2 – 4x + 4 = (x – 2)2

x2 + 6x

x2 – 5x

x2 +3x

x2 - 8x + 2 + 14 x2 - 8x + 2 + 14 = x2 - 8x + 16 = (x – 4)2

x2 - 2x + 4 -3 x2 - 2x + 4 -3 = x2 - 2x + 1 = (x – 1)2

x2 - 7x - 9

x2 + 13x -1

ATIVIDADE V Habilidade relacionada: H62 – Reconhecer a representação

algébrica ou gráfica da função polinomial do 2º grau. H66 - Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.

Pré-requisitos: Trinômio Quadrado Perfeito, Quadrado da Soma, Quadrado da Diferença.

Tempo de duração: 100 minutos

Recursos educacionais utilizados: Folhas de atividades

Organização da turma: Turma disposta em pequenos grupos de 2 ou 3 alunos.

Objetivos: Determinar as raízes das funções quadráticas a partir da sua forma canônica e quantidade de raízes.

Metodologia adotada:

Agora você já conhece uma ferramenta poderosíssima em matemática e

que poderá ajuda-lo em diversas outras áreas da própria matemática. Vamos usá-la para achar raízes de funções quadráticas, ou seja, para resolver equações do 2º grau? A ideia é usar a técnica de completar quadrados para reescrever a função quadrática (ou a equação do 2º grau) da maneira como aparecem escritas nos itens g a r desta lista. Ao trabalho!

Você sabia que é justamente este o caminho utilizado pelos matemáticos

para escrever a fórmula resolutiva da equação do 2º grau, conhecida como fórmula de Bháskara? Vamos tentar juntos refazer este processo?

Isso significa usar a técnica de completar quadrados para a função f(x) =

ax2 + bx + c e determinar suas raízes. Mãos à obra!

, colocando a em evidência nos dois primeiros termos

do trinômio;

, completando quadrados;

, passando o termo

para fora dos

parênteses multiplicado por a

, fatorando o trinômio quadrado perfeito e

operando;

, achando as raízes;

Generalizando esta ideia, podemos concluir que uma função quadrática pode ser apresentada na forma geral, que você já conhecia, dada por f(x) = ax2 + bx + c, ou na forma canônica, dada por f(x) = a(x – m)2 +k. Vamos agora observar os gráficos de algumas funções quadráticas dadas na forma geral e na forma canônica. Complete a tabela abaixo:

Função quadrática a b c m k Vértice

O que você percebeu? Debata com seus colegas e relate aqui. A seguir, responda às perguntas:

a. Como você pode encontrar o vértice da parábola a partir da função quadrática a ela relacionada na forma geral?

b. Como você pode encontrar o vértice da parábola a partir da função quadrática a ela relacionada na forma canônica?

c. Escreva a lei algébrica na forma canônica de uma função quadrática que tem vértice (1,2) e a = 1.

d. Escreva a lei algébrica na forma geral da função quadrática dada no item anterior.

e. Escreva a lei algébrica da função que tem vértice em (2,4) e que intersecta o eixo y em y = 3. A seguir, determine suas raízes, esboçando seu gráfico.

Quantidade de raízes: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor

obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando , positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando , zero, há duas raízes reais iguais;

quando , negativo, não há raiz real.

ATIVIDADE VI

Habilidade relacionada: H62 – Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial do 2º grau

Pré-requisitos: Reconhecimento do gráfico da função quadrática e de suas propriedades.

Tempo de duração: 100 minutos Recursos educacionais utilizados: Programa “Anatomia de uma

função quadrática”, laboratório de informática. Organização da turma: Turma disposta em pequenos grupos de 2 ou

3 alunos. Objetivos: Revisar cada ponto da matéria através dos programas

disponíveis no site e ver como cada coeficiente altera o gráfico da função.

Metodologia adotada: Aplicação das atividades do site http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html, para revisar a matéria de funções polinomiais do 2º grau.

Revisão

Função quadrática, f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a 0

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠0, é uma curva chamada parábola.

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zeros da função polinomial do 2º Grau:

Quantidade de raízes:

quando , positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando , zero, há duas raízes reais iguais;

quando , negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

AVALIAÇÃO

A avaliação deve ser feita a cada passo do desenvolvimento, todas as tarefas feitas em sala devem ser pontuadas, a de construção de gráficos e as de construção do conhecimento, participação e interesse durante as aulas devem ser levados em conta. Além disso, a utilização da prova do SAERJ, que avalia de modo mais abrangente cada aluno deve ser corrigido e pontuado, a cada bimestre. As avaliações durante o processo de aprendizagem são feitas em grupo, então torna-se necessário uma melhor avaliação individual, para isso utilizaremos duas avaliações individuais, com e sem consulta, assim fechando a avaliação do aprendizado.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ROTEIROS DE AÇÃO – Função Polinomial do 2˚ Grau – Curso de Aperfeiçoamento oferecido por CECIERJ referente ao 1˚ ano do Ensino Médio – 3˚ bimestre / 2012 – http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ava22/course/view.php?id=6 acessado em 01/09/2012. Conexões com a Matemática, vol. 1 / Juliane Matsubara Barroso - 1ᵃ Ed – São Paulo: Moderna, 2010. Tele aulas – Tele curso 2000 Endereços eletrônicos acessados, ao longo do trabalho: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_01_introducao.php http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoQuadratica.aspx http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-segundo-grau.htm http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ava/file.php/3/Matematica_conteudo/Midiateca.jpg http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/saerj.asp