Formulação Diferencial das Equações de Transporte

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Formulação Diferencial

das Equações de

Transporte


Forma Integral das Equações de Transporte

• O TTR permite escrever as Equações de Transporte a partir

do conceito de Volume de Controle:

b

(B/M)

Source

Massa 1 0

Movimento V

1a Lei e

2a Lei s

( )r

VC SC SC VC

Source S

dd n V dA J dA f d

dtb b

CVCS

dgndA

T

( ) VCSCSC

k dqdAVndAnq

T

SC VC

k PsdT

qdAn

T

q

J e f são fontes genéricos associados a SC e ao VC


Teorema de Gauss

• O Teorema de Gauss transforma a avaliação de uma

integral de superfície em integral de volume.

• Ele aplica-se a grandezas escalares, vetoriais e

tensorias:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

VCSC

VCSC

VCSC

d Adn

dVAdVn

d Adn

TT

é o operador nabla, f é o gradiente de um escalar (vetor); xV é

o rotacional de um vetor (vetor) e .T é o divergente de um tensor

(vetor).


Forma Generalizada Eq Transporte

• Aplicando a regra de Leibniz e reconhecendo Vr = Vf – Vb:

( )r

VC SC SC VC

Source S

dd n V dA J dA f d

dtb b

( ) ( )b f b

VC SC SC SC VC

dd n V dA n V V dA J dA f d

dt b b b

• Simplificando chega-se numa forma com a velocidade do

fluido, ou simplesmente, V:

( )VC SC SC VC

dd n V dA J dA f d

dtb b


Aplicação do Teorema de Gauss

• Aplicando o Teorema de Gauss à Equação de Transporte

vamos transformar os termos de superfície em volume:

( )

( )( )

VC SC SC VC

VC

dd n V dA J dA f d

dt

T. Gaus

dV J f d 0

dt

b b

b b


Forma Diferencial

• Como representação Integral acima o tamanho do VC é arbitrário, para a identidade ser válida para qualquer volume é necessário que seu argumento seja nulo!

( )( )

VC

V J f d 0 t

b b

( )( )

fonte de fonte de VolumeSuperfícieadvectivo ou

transiente convectivo

V J ft

b b


Equação da conservação da

massa, forma diferencial


Equação Diferencial da Massa

• A equação da Massa é obtida fazendo-se b = 1 e J

= f = 0,

• Note que para fluidos incompressíveis, isto é,

constante, ela se reduz para:

( ) 0Vt

0V


Equação Diferencial da Massa

• Desmembrando o segundo termo da equação vamos

encontrar:

• Para um fluido incompressível, a sua densidade não

varia ao longo de uma linha de corrente, logo D/dt =

0 portanto:

( ) 0Vt

0V

0VDt

D ou 0VV

t

DtD

Veja discussão sobre escoamento estratificado no material do curso


Função Corrente e Eq. Massa (Lagrange 1781)

• A função corrente é um conceito matemático,

• sempre satisfaz a equação da massa.

• Em regime permanente ela é coincidente com as linhas de

corrente.

• A equação da massa 2D e incompressível, para um sistema

cartesiano ou polar, reduz para:

A definição da função corrente é:

Verifique que sempre satisfaz eq. Massa!


As Linhas de e as Linhas de Corrente

• Para coordenadas cartesianas,

• Para = constante, d = 0 e

• Note que a sua definição coincide com a definição de

linha de corrente; somente para regime permanente.

dyudxvdyy

dxx

d

u

v

dx

dyou

dy

v

dx

u

000


Tubo de Corrente

• Duas linhas de corrente definem um tubo de corrente, pq não

há velocidade normal às linhas por definição!

• Considere dois tubos espaçados por uma distância Dx,Dy, a

vazão volumétrica que passa por eles é:

( ) ( ) DD dxvyudAnVQ

12Q

A diferença entre duas linhas de

corrente define a vazão no tubo!

Deve-se atribuir um valor a uma

única linha de corrente, os valores

das demais vem da integração.

Dx<0

Dy>0

x

y

2

1


A Função Corrente e a Vorticidade

• Para escoamentos 2D a vorticidade se reduz a apenas uma

componente:

• Então para um escoamento 2D e irrotacional a função corrente

é determinada satisfazendo a equação de Laplace:

2z

z

xxyyx

v

y

u

02


Por que Função Corrente?

• A função corrente sempre satisfaz a equação da massa.

• Esta propriedade da função corrente é muito utilizada em modelos

analíticos de escoamento pois possibilita a eliminação da equação

da massa. Ela também é igualmente utilizada em métodos

numéricos.

• As soluções analíticas obtidas neste curso serão baseadas nesta

propriedade da função corrente que, junto com a equação da

vorticidade, reduzirão o sistema de equações diferenciais parciais

em uma equação diferencial ordinária de ordem elevada!

Referências• Os slides neste tema trouxeram uma breve introdução do

conceito de função corrente.

• No link (CINEMÁTICA) há uma dedução detalhada sobrefunção corrente, suas propriedades e uma lista dereferências sobre o assunto.

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/CINEMAT.pdf


Forma conservativa e não-

conservativa das equações

de transporte


Forma Conservativa e Não-Conservativa

• A equação de transporte acima está na sua forma Conservativa. Os termos transiente e convectivos podem ser desdobrados :

• Nota-se que a forma Conservativa mantinha implicitamente a equação da massa. Após a simplificação chega-se a forma Não-Conservativa

• ou expressa por meio da derivada Total:

( ) ( ) fJVt

b

b

( ) fJVt

Vt

0

b

b

b

V J ft

b b

DJ f

Dt

b


Derivada Substantiva ou Total

• A derivada total tem um significado especial. Ela representa com a taxa de variação de uma propriedade seguindo uma partícula, isto é um conceito Lagrangeano.

• Frequentemente o Db/Dt é expresso por:

• Note que (V.) resulta num escalar, – se b for escalar o produto (V.). b é escalar;

– se b for um vetor, o produto (V.). b será um vetor!

b

b V

t

b

b

b V

tDt

D

( )D

VDt t

b b b


Correspondência entre T.T.R e a Derivada Total

• Foi visto que o termo de transporte do T.T.R. representa a taxa de variação seguindo o sistema expressa por propriedades do V. C.:

( )r

VC SC

dd n V dA

dtb b

• A aplicação do Teorema de Gauss com o uso da regra de Leibniz e da velocidade do fluido foi visto que:

( )( )

( )r

VC SC VC

dd n V dA V d

dt t

bb b b

• Extraindo a equação da massa fica:

( )r

VC SC VC

D Dt

dd n V dA V d

dt t

b

b b b b

• A taxa de variação de b num volume infinitezimal do sistema equivale à derivada total


Equação da quantidade de

movimento, forma

diferencial


Equação Diferencial da Q. Movimento

• A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se b=V, J = T e f = g,

• A Equação da Q. Movimento é vetorial, possui 3 componentes,

• Todos os termos possuem unidades de Força/Volume (N/m3)

• O termo VV é um produto diádico, possui natureza tensorial e representa o fluxo de Q. movimento que cruza a S.C.

( ) ( ) gVVt

V

T


Equação Diferencial da Q. Movimento

Forma Não-Conservativa

• Desmembrando os termos de transporte e eliminando a equação da massa encontra-se:

• A derivada total da velocidade DV/Dt dá a aceleração seguindo uma partícula!

• Note que a derivada total resgata o conceito da análise de Sistemas pois ele segue uma partícula infinitesimal com identidade fixa!

( ) ( ) gVVt

V

T

( )g

Dt

VD ou gVV

t

V

TT


PARTIÇÃO DO TENSOR DE TENSÕES

• O Tensor de tensões é decomposto em duas parcelas:

uma correspondendo a tensão hidrostática e outra à

tensão viscosa.

• 1a parcela - tensor é isotrópico e refere-se a pressão

estática do fluido.

• 2ª parcela - deve-se ao movimento relativo das partículas

de fluido e a viscosidade; este tensor é simétrico (veja

demo no cap de Formulação Diferencial da Apostila)

• Equação Q. Movimento com partição das tensões

P T I T ij ij ijou P T T

( )V DVV V P g ou P g

t Dt

' 'T T

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/INTRODUCAO MECANICA FLUIDOS.pdf


Equação da energia cinética,

forma diferencial


Equação de Transporte da Energia Cinética, K

• Multiplicando-se ambos os lados da Eq. NS por V

vamos encontrar:

DVV V P V V g

Dt T

( ) KDt

DVV

2

1

Dt

DV

Dt

DV

D

K V P V V gDt

T

• A energia cinética por unidade de massa K é:

• E sua equação de transporte é:


Equação da Diferencial da Energia ‘e’

• A equação da Energia é obtida fazendo-se b = e, J = -qk + T.V e f = q’’’;

• O lado esquerdo representa o transporte da energia.

• O lado direito representa os termos de calor e trabalho (1a lei)

e também um fonte de energia volumétrico.

• Na forma não conservativa:

( )( ) ( )k

eVe q V q

t

T

( )k

Deq V q

Dt T


Equação de Transporte de ‘e’

• Neste estágio é conveniente substituir T = -P+T’ e

expandir os termos na eq. da energia. Vamos utilizar a

forma não-conservativa:

( ) ( )

( ) ( )

qqVVVPPVDt

De

qqVVPDt

De

k

VVP

k

T

:TT

T

T’:V é o produto ‘escalar’ entre o tensor desvio da tensão e o tensor deformação do fluido, seu resultado é um escalar. Veja definições no capitulo 1 do curso


Modos de Energia ‘e’

• Vamos considerar três modos de energia: interna, cinética e

potencial:

• onde û é a energia interna, g a aceleração da gravidade e r

o vetor posição

rgVV2

1ue

ˆ

( )

( ) VgrDt

Dg rg

VDt

DVVV

2

1

Dt

DVV

2

1

Dt

uD u

ˆ

ˆ

VgDt

VDV

Dt

uD

Dt

De

ˆ

• A derivada total em

termos das parcelas de ‘e’

fica sendo:

Nota: g.r possui sinal ‘-’ pq a en. Potencial cresce com z, e como g está no

sentido contrário. Quando z aumenta, E.P. aumenta portanto DEP = - g. Dr>0


Equação de Transporte da Energia Interna, û

• Subtraindo a Equação da Energia Cinética da

Equação de ‘e’ vamos ter:

( ) ( )PV T V

k

ˆDu DVV V g V P P V V T T : V q q

Dt DtDV

V V g V P V TDt

ˆDu P V

Dt

k T : V q q

q VPVq Dt

uDk

:T

ˆ


Equação Diferencial da 2a Lei

• A 2a Lei é obtida fazendo-se b = s, J = -qk/T e f = q’’’/T,

• Os primeiro e segundo termos (lado direito) referem-se à

produção ou à destruição de s devido a transferência de calor

na fronteira e devido a geração de energia internamente ao

volume.

• O último termo refere-se a produção de entropia devido as

irreversibilidades do sistema.

• Na forma não-conservativa:

( )( ) k

s q qVs Ps

t T T

kqDs q Ps

Dt T T


1a e 2a Leis Forma Não-Conservativa

• De maneira similar a equação da massa e Q. de

movimento, os termos transiente e convectivos

podem ser desmembrados , a equação da massa

eliminada e gerando a forma não conservativa da 1a

e 2a leis:

( )

PsT

q

T

q

Dt

Ds

qVqDt

De

k

k

T


Notas Finais da Parte I

• As equações de transporte, especificamente a Quantidade

de Movimento, Energia e 2a Lei (Os) estão expressas em função do campo de tensões T’.

• Não é possível resolvê-las nesta forma porque não se conhece como o campo de tensão T’ se comporta em

função campo de velocidades.

• É necessário estabelecer as equações constitutivas para o

fluido onde será modelado como a tensão varia com o

campo de velocidades, nosso próximo tópico.


Parte II

Equações Constitutivas


Introdução

• Por equação constitutiva entende-se ‘modelos’ que expressam uma

variável em função de outra.

• Por exemplo, a tensão em função da taxa de deformação do fluido.

• Estes ‘modelos’ não são leis físicas mas podem representar sob

condições estabelecidas o comportamento físico do fluido.

• Nesta seção serão desenvolvidas equações constitutivas para a

– Tensão T em função da taxa de deformação do fluido ,

– Taxa de Calor por condução térmica no fluido, qk, em função da

tempetura.

• Das duas equações a mais envolvente é a equação constitutiva para

tensão, vamos começar por ela.


Sobre a Natureza da Tensão T

• As tensões que agem no fluido podem ser Normais ou

Cisalhantes;

• Além disto, no estado estático (sem movimento relativo) só

agem tensões normais enquanto que para fluido em

movimento surgem tensões normais e cisalhantes devido

ao atrito (deslizamento) entre as camadas de fluido.

• A tensão T é divida em duas partes, uma devido a pressão

P (forças normais) e outra denominada por desvio da tensão, T’ associada ao movimento relativo das partículas

no fluido:

TPT


A Pressão

• A pressão é um tensor isotrópico, isto é, ela não depende

da orientação, seus elementos da diagonal são iguais e

fora da diagonal são nulos, por isto o tensor pode ser

representado por um único escalar:

P00

0P0

00P

PPDy

PDx

PDA


Propriedades do Tensor Desvio das Tensões, T’

• O tensor desvio das tensões existe somente se houver

movimento relativo entre as partículas de fluido.

• T’ij é devido a viscosidade e possui tensões normais e

cisalhantes,

• Ele é simétrico, isto é, os elementos fora da diagonal são idênticos, T’ij = T’ji (veja demo no cap de Formulação Diferencial

da Apostila e também ‘Forma Dif. Eq. Transporte)

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-5 & 6-EQ. DIFERENCIAL/stress.mov

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/INTRODUCAO MECANICA FLUIDOS.pdf

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/EQ TRANSPORTE/EQ TRANSPORTE.pdf


Similaridades Sólido - Fluido

• Uma tensão aplicada a um corpo sólido causa uma

deformação, lei de R. Hooke (1635-1703)

• Fluido se deforma continuamente quando sujeito a uma tensão.

Por similaridade, foi proposto que a tensão é proporcional a

taxa de deformação

dy

dG

Coeficiente

Lamé (N/m2)Deformação

( )dy

du

dy

dtd

viscosidade

(N.s/m2)Taxa

Deformação


i. t = 0, M e N alinhados e dl = 0,

ii.t = dt, M’ deslocou dl em relação M

iii.Deformação: = arcTan(l/y)

iv.Taxa Deformação: d/dt

y

Filme: deformação

Taxa de deformação numa direção

A taxa de deformação é um fenômeno local, ponto N e sua vizinhança

(dy)

u0+du

u0

onde du é a vel. relativa entre M e N e (dl/dy)2<<1 para Dt0.

A taxa de deformação é d/dt = du/dy .

( )

derivada arc tan

2t 0

d 1 d dt du 1lim

dt dy dy s1 yD

A taxa de deformação é: ,

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/V6_1.mov


Viscosidade Dinâmica (Absoluta)

• Fluidos Newtonianos (água, todos os gases e maioria dos

líquidos) são aqueles que apresentam uma relação linear entre

a tensão e a taxa de deformação.

xy(N/m2)

du/dy (1/s)

sm

gkou

m

sN

dy/du 2

• A viscosidade é uma propriedade do fluido e tem natureza

escalar.

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-5 & 6-EQ. DIFERENCIAL/V1_1.mov


Extensão para Escoamentos 3D

A relação tensão x deformação 1D pode

ser estendida para escoamentos 3D a

partir do conhecimento da taxa de

deformação nas três direções.


Tensor Deformação, Dij

Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por

Em notação vetorial,

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

DDD

DDD

DDD

x

u

333231

232221

131211

j

iji,D

TT Vou Vgrad

DD


Operação com Tensores

Qualquer tensor pode ser decomposto em uma parte simétrica e

outra anti-simétrica:

( ) ( )

Simétrico- AntiTensorSimétrico Tensor

2

1

2

1ij,ji,ij,ji,ji, DDDDD

O tensor desvio de tensões T’ é um tensor simétrico veja

demonstração em ‘Forma Dif. Eq. Transporte.

Para que T’ seja linearmente proporcional a deformação ele

deve ser proporcional a parte simétrica de Dij!

Isto é, somente deformação linear e angular causam tensão,

rotação não causa tensão!

( )TVV2

1S



( )dy

du

dy

dtd

viscosidade

(N.s/m2)Taxa

Deformação

Equação Constitutiva

para Fluido Newtoniano e Incompressível

• Para fluidos incompressíveis ( constante)

• Note que para um caso de tensão simples, o segundo

termo reduz para:

i, j i, j i, jP 2 T S

xx yx

xy yy

2 =

u u v2

x y x

v u v2

x y y

S

Nota: i,j é o delta de Kronecker


Forma Geral do Tensor de Tensões

Para um fluido compressível, pode-se mostrar que a relação entre

tensão e deformação é expressa por:

i, j i, j i, j i, jP V 2 S T

onde e representam o 1º e o 2º coeficientes de viscosidade

do fluido. Stokes, propôs que = -(2/3) , então:

( )2i, j i, j i, j i, j3

P V 2 S T

Note que para um fluido incompressível, .V = 0 o tensor coincide com a relação dada no slide anterior.

O termo associado ao 2º coeficiente da viscosidade está relacionado com a compressibilidade.

(i) Este termo passa ser significativo p/ Mach > 0.3;

(ii) A hipótese de Stokes baseia-se na 2ª lei da termodinâmica.


Porque Tensão e Deformação são Linearmente

Dependentes?

• A relação = du/dy é um modelo linear! Portanto não há

razão alguma que na natureza os fluidos devam seguir

este modelo.

• A busca por uma relação linear baseia-se no princípio de

Occam .

• Todos os gases seguem o modelo linear entre tensão e

deformação;

• Água, óleos em geral e uma grande maioria de líquidos

podem ser bem representados por este modelo;

• Mas há líquidos que não são representados: tintas,

fluidos biológicos, emulsões em geral.

http://en.wikipedia.org/wiki/Occam's_razor


Fluidos Newtonianos Generalizados

• Eles descrevem fluidos com comportamento não-linear

tensão x deformação mas não reproduzem efeitos de:

– tensão normal,

– efeitos dependentes do tempo,

– ou efeitos elásticos


Fluidos Newtonianos Generalizados

• Uma relação ‘mais’ geral

entre tensão e deformação:

• n – índice de comportamento do escoamento.

• k – índice de consistência.

n = 1, fluido newtoniano, k =

n > 1, fluido dilatante (shear thickening)

n < 1 fluido pseudo plástico (shear thinning)

n > 1

n < 1

Como explicar o filme do link acima?

http://www.youtube.com/watch?v=f2XQ97XHjVw


• Shear thickening fluids of this sort are being researched for bullet resistant

body armor[2], useful for their ability to absorb the energy of a high velocity

projectile impact but remain soft and flexible while worn. Some shear

thickening fluids are also used in all wheel drive systems utilizing a viscous

coupling unit for power transmission.

• A familiar example of the opposite, a shear thinning fluid, or pseudoplastic

fluid, is paint: one wants the paint to flow readily off the brush when it is

being applied to the surface being painted, but not to drip excessively.

• There are fluids which have a linear shear stress, shear strain relationship,

that requires a finite yield stress before they begin to flow. That is the shear

stress, shear strain curve doesn't pass through the origin. These fluids are

called Bingham plastics. Several examples are clay suspensions, drilling

mud, toothpaste, mayonnaise, chocolate, and mustard. The classic case is

ketchup which will not come out of the bottle until you stress it by shaking.

• There are also fluids whose strain rate is a function of time. Fluids that

require a gradually increasing shear stress to maintain a constant strain rate

are referred to as rheopectic. An opposite case of this, is a fluid that thins out

with time and requires a decreasing stress to maintain a constant strain rate

(thixotropic).

http://en.wikipedia.org/wiki/Dilatant

http://en.wikipedia.org/wiki/Body_armor

http://en.wikipedia.org/wiki/All_wheel_drive

http://en.wikipedia.org/wiki/Viscous_coupling_unit

http://en.wikipedia.org/wiki/Shear_thinning

http://en.wikipedia.org/wiki/Paint

http://en.wikipedia.org/wiki/Bingham_plastic

http://en.wikipedia.org/wiki/Ketchup

http://en.wikipedia.org/wiki/Rheopectic

http://en.wikipedia.org/wiki/Thixotropic


Effects of Rheology on Non-Newtonian Impact

• At impact, the drop experiences a

large shear rate which rapidly

decreases as the drop deforms. For

non-Newtonian fluids, the effective

viscosity of the fluid depends on the

shear rate. Therefore one would

expect that the effective viscosity of

a shear thickening fluid such as

cornstarch in water (images in the

middle) would behave like a highly

viscous fluid at shortly after impact

and would gradually spread as a

less viscous fluid as time

progressed.

Sure enough, the cornstarch / water mixture behaves more similar to the highly

viscous glycerol (images on the right) than the lower viscosity water (images on

the left) at short times.

However at later times, one sees that the cornstarch / water fluid spreads out

significantly faster than its glycerol counterpart - suggesting a lower effective

viscosity. Such experiments provide another method to investigate the rheology of

complex fluids.

watershear

thickningglicerol viscous


Viscosidade Aparente, h

• É uma conveniência matemática ajustar a relação tensão x taxa deformação na forma de modelos lineares.

• Desmembrando a tensão em um termo linear e outro com potência (n-1):

• A viscosidade aparente é h = k(du/dy)^(n-1).

• Note que h não é mais propriedade do fluido mas também depende do campo de velocidades. h pode variar ponto a ponto no campo do escoamento.

• Esta característica de depender do campo de velocidades é também encontrada em modelos de viscosidade turbulenta!


Equação Constitutiva para Fluido Newtoniano Generalizado

• Gases tem comportamento Newtoniano, porém líquidos podem apresentar um comportamento não linear. Os chamados fluidos Newtonianos Generalizados tem uma lei constitutiva dada por:

( )SIT S2P h

onde S é um escalar com dimensão de (1/s) e é definido pelo

produto escalar do tensor S

S:S21S

e h é uma função tipo lei de potência de S,

( )1nkS

h

S:S é o produto escalar entre dois tensores, veja definição em na aula 1


REOLOGIA

Fluidos comportamento Não-linear

tensão x deformação

Sólidos comportamento Não-linear

tensão x deformação

Materiais comportamento

Visco-elástico

Fluido Newtoniano Comportamento

Puramente Viscoso Linear

Mecânica dos Fluidos

Sólido Hookeano Comportamento

Puramente Elástico Linear

Mecânica dos Sólidos

du/dy

tan =

tan = G

Campo da Reologia


Difusão de Calor, Lei de Fourier

• A condução ou difusão de calor tem natureza

vetorial e é dada pela Lei de Fourier:

• onde k é o coeficiente de condução ou difusão

térmica, W/moC.

2km

W Tkq


Difusão de Massa, Lei de Fick

• O fluxo de massa por difusão de uma espécie em outra é

proporcional ao gradiente de concentração mássica da espécie

:

• m’’ é o vetor fluxo de massa (kg/s)/m2;

• é a densidade da mistura;

• Dj é o coef. difusão de massa, (m2/s);

• wj é a fração mássica ou concentração do componente j,

• A fração mássica é definida wj = mj/M, mj e M representam a

massa do componente j e a massa da mistura.

2jjjs.m

kg wDm


Notas Finais

• As equações constitutivas para tensão, calor e massa

permitem que as equações de transporte de Q. Movimento e

Energia sejam escritas em termos das variáveis básicas:

Velocidades, Pressão e Temperatura.

• Na Parte III desta aula vamos retornar às Equações de

Transporte para fazermos esta substituição e chegarmos a

sua forma final!


Retorno às Equações Diferencias de

Transporte

Parte III


Equação de Navier Stokes

Substituindo a Eq. constitutiva da Tensão para fluido Newtoniano vamos chegar às Equações de Navier-Stokes (NS):

( )( )

VVV P g

t

T'

( )( ) i, j

V 2VV P V 2 g

t 3

i,jδ S

onde

A Eq. acima é válida para escoamentos compressíveis, com viscosidade variável (regime laminar ou turbulento?)

Filmes: (1), (2) e (3).

( )T1 V V2

S

A Eq. Transporte de Q. Movimento é:

( )2i, j i, j i, j i, j3

P V 2 S TLembre que:

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-5 & 6-EQ. DIFERENCIAL/step-trans.mpg

step-trans.mpg

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-5 & 6-EQ. DIFERENCIAL/vortex_ring.mpg

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-5 & 6-EQ. DIFERENCIAL/tandem2.8d_15.avi

tandem2.8d_15.avi


Equação de Navier Stokes Compressível

chega-se as Equações de Navier-Stokes (NS) para um fluido compressível com constante:

( )( ) ( ) 2

V 1VV P V V g

t 3

Para constante e considerando a identidade:

T 22 S V V V V


Eq. Navier-Stokes constante e incompressível

Para e constantes tem-se que, .V =0, e ela simplifica para:

Esta é a forma mais popular das Equações de Navier Stokes:

fluido incompressível e com viscosidade constante.

( )( ) 2

2

VVV P V g

t

ou

DV P V g

Dt

( )( ) ( ) 2

V 1VV P V V g

t 3

Para eq. N-S p/ constante e compressível é:


A Função Dissipação,

• O trabalho realizado pelas tensões para ‘deformar’ o fluido converte

‘energia mecânica’ do escoamento em ‘energia térmica’ .

• O nome dissipação sugere conversão de en. mecânica

transformada em en. Térmica. A função dissipação é um termo que

introduz irreversibilidades no escoamento. Para um fluido Newtoniano

ela é definida:

ou em notação indicial:

é a função dissipação, sempre positiva para atender 2a lei.

( ) ( )2

0

= função dissipação

2 2: V V 2 : : V 2 : 0

3 3

T I : S S S S R S S

22

ji i

i j i

VV V2 10

3 x 2 x x

( )

2222222

y

W

z

V

z

U

x

W

x

V

y

U

z

W

y

V

x

U2V

3

2

Veja em ‘Forma Dif. Eq. Transporte’. em coordenas cilindrico polares, e abaixo em coordenadas cartesianas.



Equação de Transporte da Energia Interna, û

• Substituindo as equações constitutivas para o tensor desvio

da tensão e da condução vamos ter:

• Dû/Dt é o transporte de energia interna;

• kT é fluxo calor líquido por condução na S.C.;

• -P.V é trabalho de compressão, fluidos compr.;

• é a função dissipação, converte trabalho de deformação

em energia interna ;

• q’’’ representa geração volumétrica de energia dentro do

volume (reação química, radiação outras fontes).

qVPTkDt

uD

ˆ


Equação de Transporte da Entalpia, h

• O termo do trabalho de pressão pode ser escrito em função

da equação da massa:

• Substituindo a definição: h = û+P/ na equação de û, chega-

se a forma não-conservativa da Equação de Transporte da

Entalpia:

• ou a sua forma conservativa:

1 D D P DPP V P

Dt Dt Dt

qDt

DPTk

Dt

Dh

( ) ( ) qDt

DPTkhV

t

h

veja mais detalhes na apostila ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.



Equação Transporte da Entalpia Total, h0

• A entalpia específica e a entalpia total de um fluido

compressível são definidas por:

• Somando à equação da entalpia a energia cinética:

( ) ( )VV21hh e Puh 0

ˆ

( )

gVqTk 2V3

2V

t

P

Dt

Dh

gV 2V3

2VPVVV

2

1

Dt

D

qTk Dt

DP

Dt

Dh

Viscosos Termos

0

S

S


Equação Transporte da Entalpia Total, h0

• Em geral a entalpia total é empregada para escoamentos

compressíveis onde o termo de trabalho das forças de

campo é desprezível, neste caso:

• Para tornar sua representação mais compacta é freqüente

agrupar os termos viscosos num único operador:

qTk 2V3

2V

t

P

Dt

Dh

Viscosos Termos

0

S

( ) qTk VVt

P

Dt

Dh

Viscosos Termos

0

T


Equação de Transporte da Temperatura

A partir da Equação de transporte da Entalpia e da relação

termodinâmica para uma substância pura:

onde b é o coef expansão volumétrica,

Pode-se mostrar que a forma não-conservativa da

Equação de Transporte para Temperatura é:

e a sua forma conservativa:

P

DT DPC k T T q

Dt Dt b

( )p

P T

1 Th hdh dT dP C dT dP

T P

b

( )P

1 Tb

( )( ) ( )P P

T DPC C VT k T T q

t Dt

b

veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.



Equação de Transporte da Entropia

• A equação de transporte de ‘s’ é:

• O termo de produção, Ps, é determinado a partir da relação

termodinâmica para uma substância pura:

• Substituindo na relação acima a equ. de Ds/Dt e a de Dh/dt

(seção anterior) vamos encontrar:

• As irreversibilidades estão associadas a uma troca térmica com

diferença de temperatura ou ao trabalho viscoso realizado pelo

fluido

veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.

Ds k T q Ps

Dt T T

dP Dh Ds 1 DPdh Tds T

Dt Dt Dt

( )2

s 2

k TP 0

T T



Notas Finais

• Estas são as formas finais de algumas das equações de

transporte.

• Há diversas outras que não foram abordadas neste aula, entre

elas: transporte de um escalar, e transporte de vorticidade.

• As duas últimas estão na brochura anexa para referência.

• O próximo desafio será simplificar algumas equações e

procurar expressá-las numa única Equação Geral de

Transporte.


Forma Geral das Equações de Transporte

• O método dos volumes finitos parte da forma conservativa das Eq. Transporte. Considere uma variável escalar genérica:

( ) ( ) SVt

onde é o coef. difusivo definido por:

T

T

L

L

PrPr

• O fonte S tem natureza diversa:

i) representam as condições de contorno do fenômeno;

ii) modelam a ação de forças ou energia de novos

mecanismos físicos ou ;

iii) representam todos os outros termos da eq. particular que

se quer representar e que não são representados pelo lado

esquerdo da equação!


Notação Indicial Eq. Geral de Transporte

( ) ( ) SVt

( )S

xV

xt jj

j

onde j pode variar de 1 a 3 representando cada uma das direções ortogonais.

é uma variável genérica (escalar ou vetorial)

A Eq. de Transporte em Notação vetorial

também pode ser representada em notação indicial pelos operadores


Eq. Geral Escalar e Termos Fontes

( ) onde S

xV

xt jj

j

e k ,w ,h T, h,

PrPr

m0

T

T

qx

PV

t

P

ii

b

PiiPPii

P C

1

xx

Tk

C

q

Cx

PV

t

P

C

T

qx

K

Cp

k

x2

x

V

3

2

xV

t

P

jiij

j

j

ii

S

m

kCP

kC

2

1k1

kP

k

CPr

ph

ScD

Prw

1Prk

1Pr

h

T

h0

wm

k

k

CPr

pT

k

CPr

ph0

Pr S


Tabela Equações de Transporte

• Obtenha no link abaixo uma tabela extraída do Bird,

Stewart and Lightfoot que descreve as componentes das

equações de transporte nos sistemas de coordenadas

cartesiano, cilindrico-polar e esférico.

• TABELAS EQUAÇÕES DE TRANSPORTE

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-5 & 6-EQ. DIFERENCIAL/Tabela Eq NS.pdf


Referências

[1] White, F.M.; "Viscous Fluid Flow", McGraw Hill (1974)

[2] Moore, F.K.; "Theory of Laminar Flows", Princeton Un. Press (1964)

[3] Rosenhead, L.; "Laminar Boundary Layers", Oxford (1963)

[4] Warsi, Z.U.A., "Fluid Dynamics: Theoretical and Computational Approaches", CRC (1993)

[5] Panton, R. “Incompressible Flow”, John Wiley (1984)

[6] Tennekes, H. and Lumley, J.L., “A First Course in Turbulence”, MIT Press, 1972,

[7] Reynolds W.C. and Perkins, H.C., “Engineering Thermodynamics”, Mc Graw Hill, (1977)

[8] Hinze, J.O., “Turbulence”, McGraw Hill, (1959)

[9] Townsend, A.A., “The Strucuture of Turbulent Shear Flow”, Cambridge Un. Press, 2nd ed., (1976).

[10] Wilcox, D.C., “Turbulence Modeling for CFD”, 2nd ed., DCW Industries, (1998).

[11] Astarita, G. and Marrucci, G., “Principles of Non-Newtonian Fluid Mechanics” , McGraw Hill(1974)


FIM


Apêndice

• Este apêndice traz notas de aula para a dedução da

equação da massa e de N-S.

• Se trata de uma sequencia de 4 aulas que apresentam a

forma diferencial da eq. da massa; a derivada

substantiva; o tensor deformação, rotação e a equação

constitutiva e por fim a eq. NS.

• O material traz passo a passo todas as etapas e talvez

pode ajudar os alunos que estão vendo este assunto pela

primeira vez.

• Acesse o link: Graduação Navier-Stokes.

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-5 & 6-EQ. DIFERENCIAL/NS-Graduacao.pdf

Formulação Diferencial das Equações de Transporte

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