Frações Parciais
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Integrao por fraes parciais
Funo racional: quociente de dois polinmios, r(x) = p(x)/q(x).
Funo racional prpria: aquela na qual p(x) tem grau menor que q(x).
Para integrar r(x), devemos:
1) Dividir p(x) por q(x) se p tiver grau maior que q.
Obtemos, assim, a soma de um polinmio e de uma funo racional prpria:
).x(q/)x(p)x(p~)x(r~)x(p~)x(r
2) Escrever q(x) como o produto de fatores lineares e fatores quadrticos
irredutveis na forma
(ax + b)m ou (ax
2 + bx +c)
m.
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3) Escrever )x(q/)x(p)x(r~ como a soma de termos mais simples, as
chamadas fraes parciais:
).x(F)x(F)x(F)x(r~ n21
a. Para cada termo linear no repetido (ax + b) de q(x), geramos uma frao
na forma
bax
A)x(F
,
onde RIA uma constante (desconhecida).
b. Para cada termo linear repetido (ax + b)m de q(x), geramos m fraes
parciais na forma
.
bax
A
bax
A
bax
A)x(F
m
m
2
21
-
c. Para cada termo quadrtico irredutvel no repetido (ax2 + bx + c) de q(x),
geramos uma frao parcial na forma
cbxax
BAx)x(F
2
,
onde RIB,A so constantes (desconhecidas).
d. Para cada termo quadrtico repetido (ax2 + bx + c)
m de q(x), geramos m
fraes parciais na forma
m2mm
22
22
2
11
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA)x(F
.
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4) Determinar as constantes A1, A2, ... e B1, B2, ... igualando
).x(F)x(F)x(F)x(q/)x(p n21
e resolvendo o sistema linear associado.
5) Calcular a integral
dx)x(F)x(F)x(F)x(p~ n21 .
