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FRANCISCANO CENTRO UNIVERSITÁRIO Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª. Orientadora: Drª. ELENI BISOGNIN ELENI BISOGNIN Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Cigarro: Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Matemática uma Forma de Contextualizar a Matemática

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FRANCISCANO

CENTRO UNIVERSITÁRIO

Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVESAluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES

Orientadora: Drª. Orientadora: Drª. ELENI BISOGNINELENI BISOGNIN

Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do

Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Cigarro: uma Forma de Contextualizar a

MatemáticaMatemática

Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do

Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Cigarro: uma Forma de Contextualizar a

MatemáticaMatemática

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O USO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM MATEMÁTICA

  

Nesse trabalho de dissertação optamos pela utilização da metodologia da Modelagem Matemática por propiciar um estudo da matemática relacionando-o à situações da realidade.

A escolha do tema referente ao uso de drogas, em particular o uso do álcool e do cigarro, deu-se em comum acordo entre a professora da turma e os alunos.

Durante o desenvolvimento das etapas da Modelagem foi possível aos alunos pesquisarem sobre o tema escolhido, elaborar problemas, resolvê-los matematicamente e, sempre que possível, fizeram a análise crítica da solução.

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LANÇAMENTO DO TEMALANÇAMENTO DO TEMAO início do trabalho

foi no auditório do colégio. Na apresentação, foram utilizadas reportagens de revistas, dados estatísticos e montagens de fotos que permitiram que o assunto fluísse livremente. Os alunos puderam fazer colocações sobre o uso do álcool e do cigarro, comentando seus malefícios.

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Utilizamos uma linguagem própria à idade dos alunos.Mostramos percentuais estatísticos do consumo de álcool e de cigarro pelos jovens, no Brasil e em alguns países; reportagens da revista SAÚDE! de março de 2005, que falava sobre o consumo de álcool entre os jovens; reportagem da revista GALILEU de fevereiro de 2005, que tratava dos efeitos de uma bebedeira; reportagem da revista SUPERINTERESSANTE de junho de 2003, comentando a ascensão e queda do consumo de tabaco;reportagem do jornal A RAZÃO de 30 agosto de 2005 sobre esse assunto.

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Procuramos deixá-los interessados em buscar informações sobre o consumo de álcool e de cigarro e sobre seus efeitos no organismo humano.

Orientamos os alunos a coletarem informações em jornais, livros, revistas, internet, periódicos especializados, etc.

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CONFECÇÃO DE CARTAZESCONFECÇÃO DE CARTAZES 

Após a apresentação os alunos confeccionaram cartazes referentes ao tema. Abaixo estão algumas imagens.

Selecione a Figura

Clique aqui para ver o clip dos cartazes

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ATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOSATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOS

Após a confecção dos cartazes e ampla

discussão sobre o tema, levantamos junto com os

alunos, dados e, em função destes, criaram-se

situações problema.

A primeira atividade referiu-se ao Estudo

Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas

por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e

Superior de Santa Maria – RS.

Foi dado um pequeno texto retirado de uma

revista alertando que o álcool entra cada vez mais

cedo e em doses altíssimas na vida dos adolescentes.

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A seguir, apresentamos as seguintes A seguir, apresentamos as seguintes

atividades:atividades:

- Nos últimos anos, o percentual de estudantes do

Ensino Médio que usaram álcool tem aumentado

10% a cada ano.

- No ano 2000, havia, em Santa Maria,

aproximadamente 11000 estudantes do Ensino

Médio usuários de álcool.Com base nessas informações

perguntamos:

Qual a previsão do número de usuários de

álcool no Ensino Médio em Santa Maria, para os

anos de 2005, 2010, 2015 e 2020, caso a taxa de

crescimento permaneça constante?

ATIVIDADE 1ATIVIDADE 1

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Vamos considerar o número inicial de

estudantes que havia em Santa Maria no ano

2000, ou seja, 11000 estudantes e pela taxa de

crescimento , 10% , para obtermos o número de

usuários nos anos 2005, 2010, 2015 e 2020.

Dinâmica de Resolução da Atividade

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Para organizar os dados numa tabela, Para organizar os dados numa tabela,

indicou-se o ano 2000 como sendo o ano zero:indicou-se o ano 2000 como sendo o ano zero:

Em 2001 teremos:

11000 + 10/100 . 11000 = 11000 + 1100 = 12100 usuários

Em 2002:

12100 + 10/100 . 12100 = 12100 + 1210 = 13310 usuários

Em 2003:

13310 + 10/100. 13310 = 13310 + 1331 = 14641 usuários

Em 2004:

14641 + 10/100. 14641 = 14641 + 1464,1= 16105 usuários

Em 2005:

16105 + 10/100. 16105 = 16105 + 1610,5 = 17716 usuários.

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Tabela 1Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria.

Tempo(anos) Usuários (Álcool)

2000 11000

2001 12100

2002 13310

2003 14641

2004 16605

2005 17716

Fonte: Dados construídos a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS

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Dividindo-se o número de usuários de um ano pelo número de usuários do ano anterior, obteve-se uma constante

Considerando-se o número inicial de usuários, tem-se:

Valor inicial: 11000

Após 1 ano: 11000 . 1,1

Após 2 anos: 11000 . 1,1 . 1,1 = 11000 . (1,1)2

Após 3 anos: 11000 . (1,1)3 e

Após t anos: 11000 . (1,1)t

1,111000

12100

2000

2001

emusuários

emusuários

1,112100

13310

2001

2002

emusuários

emusuários

1,113310

14641

2002

2003

emusuários

emusuários

Falando-se numa linguagem mais Falando-se numa linguagem mais formal:formal:

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Esses valores foram analisados de maneira

crítica, e verificou-se sua compatibilidade com

a realidade, o que na Modelagem identifica-se

como “VALIDAÇÃO” do modelo encontrado.

Os alunos acharam que esses resultados

estavam altos demais. Concluiu-se então, que

para serem verdadeiros, a taxa de aumento

de usuários de álcool teria que ser mantida

constante, assim como o aumento na taxa de

crescimento do número de estudantes do

Ensino Médio também teria que ser

proporcional.

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Usando o programa Excel foi construído o gráfico da

Função Exponencial para analisar seu comportamento.

Inicialmente construiu-se uma tabela com os valores

encontrados:Tabela 2

Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria.

Tempo (anos) Usuários (MILHARES)

0 11

1 12,1

2 13,31

3 14,64

4 16,1

5 17,71

10 28,49

15 45,98

20 74,03

Fonte: Dados OBTIDOS a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.

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Usuários (Álcool)

010

203040

5060

7080

0 5 10 15 20 25

Usuários(Á lcool)

Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:

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Construir no Excel, o gráfico das funções

e compare-os. O que podemos concluir?

xxU )1,1.(11)( xxP )3,1.(11)( xxQ )5,1.(11)(

ATIVIDADE 2ATIVIDADE 2

Para construir o gráfico, elaborou-se uma tabela, usando a lei das funções para determinar pontos do seu gráfico.

Dinâmica de Resolução da Atividade

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Tabela 3Valores de U(x), P(x) e Q(x).

x

0 11 11 11

1 12,1 14,3 16,5

2 13,31 18,59 24,75

3 14,64 24,17 37,12

4 16,1 31,42 55,68

5 17,71 40,85 83,52

xxU )1,1.(11)( xxP )3,1.(11)( xxQ )5,1.(11)(

Fonte: Dados da autora

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Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:

0102030405060708090

1 2 3 4 5 6

y

x

Gráficos comparativos

U(x)P(x)Q(x)

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ATIVIDADE 3ATIVIDADE 3

O modelo matemático que nos dá o número de

usuários de álcool no Ensino Médio, em Santa

Maria, a partir do ano 2000 é:

Em que ano em que o número de usuários

chegará a 98,50 milhares?

ttU 1,1.11)(

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. Resolvendo fica , ou ainda

. Para descobrir “t”, usa-se a

calculadora, fazendo-se diversas substituições até

encontrar o valor mais aproximado, chegando-se,

assim, há 23 anos.

t1,1.1150,98 11

50,981,1 t

95,81,1 t

Igualando-se a lei da função a esse valor, pretende-se

encontrar o ano, que será representado por t.

Igualando-se os valores, obtém-se

Dinâmica de Resolução da Atividade

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Como o ano inicial (ano 0) é contado em

2000, passados 23 anos, conclui-se que o

número de usuários de álcool, no Ensino

Médio, em Santa Maria, chegará a 98,50

milhões, aproximadamente em 2023. Fazendo-

se a interpretação crítica do resultado

encontrado, conclui-se que ele não condiz com

a realidade, pois seria muito alto, mesmo para

2023. Faz-se necessário lembrar que as

populações crescem exponencialmente por um

certo intervalo de tempo. Quando são

transcorridos muitos anos, os crescimentos

populacionais deixam de ser exponenciais

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ATIVIDADE 4ATIVIDADE 4A atividade a seguir teve o objetivo de explorar várias situações relacionadas à Função Exponencial, principalmente no que se refere ao seu gráfico.

Estime em quanto tempo o número de Estime em quanto tempo o número de

usuários de álcool no Ensino Médio em usuários de álcool no Ensino Médio em

Santa MariaSanta Maria::dobrará

Construa no Excel o gráfico da função, Construa no Excel o gráfico da função, aparecendo as situações aparecendo as situações aa e e bb.

triplicará

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Dinâmica de Resolução da Atividade

a) Para descobrir o ano em que o número de

usuários vai dobrar, basta tomar o valor

inicial, que é de 11 milhares e calcular o

dobro, ou seja, 22 milhares. Como o

modelo matemático é descrito por

, para obter o dobro, ou seja,

22, procura-se o valor de t, tal que .

Fazendo-se ,isto é, t é

aproximadamente 7,5 anos. Portanto,

conclui-se que, para a população de usuários

de álcool no ensino Médio em Santa Maria

dobrar, seriam necessários,

aproximadamente, 7 anos e 6 meses.

ttU 1,1.11)(

22)( tUt1,1.1122

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c) Para construir o gráfico no Excel, constrói-se

inicialmen- te a tabela, incluindo-se os resultados

encontrados nas letras a e b:

b) Para o número de usuários chegar ao triplo,

basta triplicar-se o valor inicial, passando-se de

11 milhares para 33 milhares. De maneira

análoga a anterior, faz-se

, igualando-se , de onde se

conclui que o valor de t é de aproximadamente

11,5 anos.

Assim, descobre-se que seriam necessários 11

anos e 6 meses para que o número de usuários

de álcool no ensino Médio, em Santa Maria,

triplique.

33)( tU t1,1.1133

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Tabela 4Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria.

Tempo (anos) Usuários (Milhares)

0 11

1 12,1

2 13,31

3 14,64

4 16,1

5 17,71

7,5 22

11,5 33

Fonte: Dados construídos a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.

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Usuários Álcool

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12 14

Tempo (anos)

Usu

ário

(milh

ares

)

Gráfico da função:

Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS.

Pode-se observar, graficamente, o ano em que a população dobrou e também quando triplicou.

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ATIVIDADE 5ATIVIDADE 5

Como o modelo encontrado tem como ano 0 o ano

2000, e a pergunta refere-se ao ano 1990, isto é, há

dez anos atrás, deve-se usar para t 0 o valor -10:

ttU 1,1.11)( 18,438,0.111,1.11)10( 10 U milhares

Assim, o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria, no ano de 1990 é de 41804180.

Use o modelo que construímos para o número de

usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria

para estimar o número de usuários que havia em 1990,

admitindo-se que a taxa de crescimento é a mesma e

construa o gráfico no Excel, incluindo essa situação.

Dinâmica de Resolução da Atividade

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Figura 4 - Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS.

Construção do Gráfico

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ATIVIDADE 6ATIVIDADE 6

Identifique nas tabelas a seguir se elas representam

ou não os dados de uma Função Exponencial:

x y

0 20,0

1 21,0

2 22,10

3 23,2775

4 24,6425

5 26,2650

x y

0 20,0

1 21,0

2 22,05

3 23,1525

4 24,3101

5 25,5256

a) b)

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ATIVIDADE 7ATIVIDADE 7

O número de usuários (em milhares) de álcool numa cidade tem crescido nos últimos 6 anos segundo o gráfico da Função Exponencial dada abaixo:

a) Use o gráfico para estimar

em que ano a população

dobrou.

b) Verifique graficamente que

o tempo necessário para a

população duplicar não

depende do ponto onde se

começa a analisar.

0 1 2 3 4 5 6 7

800

700

600

500

400

300

200

100

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Considerando a população inicial como sendo

a ordenada inicial, percebe-se, pelo gráfico,

que esta é menor do que 100 e que, para

dobrar precisa de quase 2 anos, associando-a

à abscissa correspondente. Esse é o tempo

necessário para que qualquer valor da

população venha a dobrar, que nada mais é do

que o fator de crescimento desta função.

Dinâmica de Resolução da Atividade

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ATIVIDADE 8ATIVIDADE 8

Pesquise a população do estado de São

Paulo no ano 2000, após descubra o número de

dependentes de álcool nessa população e a taxa

de crescimento do número de dependentes a cada

ano.

Responda às seguintes questões:Responda às seguintes questões:

a) Qual é o modelo matemático que descreve o

número de dependentes de álcool a partir do

ano 2000, em função do tempo t?

b) Se essa taxa permanece constante, qual será a

previsão para o número de dependentes em

2010?

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Obteve-se as seguintes informações:Obteve-se as seguintes informações:

no ano 2000, a população do Estado de São

Paulo era de aproximadamente 37 milhões,

segundo dados do Instituto Brasileiro de

Geografia e Estatística (IBGE),

aproximadamente 6,6% da população eram

dependentes de álcool nesse ano;

a taxa de crescimento do número de

dependentes era de 1,4% a cada ano (IBGE,

2005 e CEBRID, 2000).

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Primeiramente, calcula-se o número

inicial de dependentes no ano 2000, que

corresponde a 2,44 milhões. Sabendo a taxa

anual de dependentes, que é de 1,4% , ou

seja, 0,014 , encontra-se o fator de

crescimento, que é 1,014.

Dinâmica de Resolução da Atividade

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Tabela Representativa dos Dependentes de

Álcool no Estado de São Paulo.

Tempo (anos) Dependentes (Álcool)

0 2,44

1 2,47

2 2,50

3 2,54

Fonte: Dados da autora.

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ATIVIDADE 9ATIVIDADE 9

Em 2000, a população do Rio Grande do Sul

era de 10 milhões. Supondo que a porcentagem do

número de dependentes de álcool seja a mesma de

São Paulo, ou seja, 6,6% da população e que a taxa

de crescimento do número de dependentes também

é de 1,4% ao ano, pede-se:

a) O modelo matemático para o número de dependentes de álcool no RS, desde o ano 20002000, em função do tempo tt.

b) Se essa taxa permanecer constante, qual a previsão para o número de dependentes nos anos 20052005,

20102010 e 20202020 ?

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Dinâmica de Resolução da Atividade

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Dinâmica de Resolução da Atividade

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ATIVIDADE 10ATIVIDADE 10

O risco de acidentes automobilísticos cresce com a

quantidade de álcool ingerido. Usando como

referência o número de cálices de vinho ingeridos,

tem-se a seguinte tabela do risco de acidentes (em

porcentagem):

Risco de acidentes automobilísticos Risco de acidentes automobilísticos

em função do número de cálices ingeridosem função do número de cálices ingeridos..

Nº de CálicesRisco de Acidentes

(%)

0 0,95

1 1,23

2 1,59

3 2,05

4 2,64

Fonte: Dados adaptados (BASSANEZI, 2002, p.275).

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a) O modelo matemático que indica o risco de acidentes automobilísticos, em função do número de cálices de vinho bebidos.

Sabendo-se que a taxa de risco é constante, pede-se:Sabendo-se que a taxa de risco é constante, pede-se:

Dinâmica de Resolução da Atividade

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a) Primeiramente, sugere-se que se encontre o fator de

crescimento, usando-se os valores fornecidos na tabela:

Calculando-se os quocientes 1,23/0,95=1,29 ,

1,59/1,23= 1,29 , 2,05/1,59=1,29 , etc... , obtém-se

resultados constantes, pois, como foi dito, o risco de

acidentes cresce exponencialmente em função do

numero de cálices de vinho ingeridos. Esse resultado

encontrado, 1,29 , representa o fator de crescimento

da função. Dada a Função Exponencial R(c)=bac , indica-

se por c o número de cálices de vinho ingeridos e R (c) o

risco de se sofrer um acidente em função do número de

cálices ingeridos.

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Conhecido o fator de crescimento a=1,29 e a

porcentagem de risco de 0,95 , correspondente a b,

encontra-se o modelo matemático R(c ) = 0,95 . 1,29c ,

que permite calcular o risco (em %) de se sofrer um

acidente automobilístico, em função do número de

cálices de vinho ingeridos.

b) Quantos cálices devem-se ingerir para se ter a

“certeza” de sofrer um acidente?

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Na verdade, “certeza de sofrer um acidente” é

uma maneira relativa de se falar, pois, na prática,

ninguém tem certeza absoluta de que irá sofrer um

acidente. A “certeza” de acidente está relacionada a

um risco de 100%, ou seja, a partir do modelo

, iguala-se a 100 e obtém-se o resultado

. Ao se resolver, encontra-se a equação exponencial

, onde se obtém para c o valor aproximado

18,3. Será necessário, portanto, ingerir

aproximadamente 18,3 cálices de vinho para se ter a

“certeza” de sofrer um acidente.

Na verdade, “certeza de sofrer um acidente” é

uma maneira relativa de se falar, pois, na prática,

ninguém tem certeza absoluta de que irá sofrer um

acidente. A “certeza” de acidente está relacionada a

um risco de 100%, ou seja, a partir do modelo

, iguala-se a 100 e obtém-se o resultado

. Ao se resolver, encontra-se a equação exponencial

, onde se obtém para c o valor aproximado

18,3. Será necessário, portanto, ingerir

aproximadamente 18,3 cálices de vinho para se ter a

“certeza” de sofrer um acidente.

ccR 29,1.95,0)( c29,1.95,0100

26,10529.1 c

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c) Construa o gráfico da função no Excel, incluindo o número de cálices encontrados na letra b.

Tabela indicando a porcentagem do risco de acidentes automobilísticos em função do número de cálices de vinho ingeridos.

Nº de CálicesRisco de Acidentes

(%)

0 0,95

1 1,23

2 1,59

3 2,05

4 2,64

18,3 100

Fonte: Dados adaptados (BASSANEZI, 2002, p.275).

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Gráfico correspondente ao risco de acidentes

Risco de Acidente

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20

Nº de cálice

Ris

co

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d) Se o teor alcoólico no sangue, ao se ingerir um

cálice de vinho é de 0,0146% e de acordo com a

legislação brasileira (anterior à lei atual em

vigor), uma pessoa está incapacitada para dirigir com

segurança se tiver um teor alcoólico superior a 0,08%,

qual o número máximo de cálices de vinho que

uma pessoa pode beber para passar no teste do

bafômetro?

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Para saber o número máximo de cálices de

vinho que uma pessoa pode ingerir para passar no

teste do bafômetro, basta dividir o número máximo

permitido de teor alcoólico, ou seja, 0,08 , pelo teor de

um cálice de vinho, 0,0146 , ou , seja:

5 5 é o maior número de cálices permitido.

Dinâmica de Resolução

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ATIVIDADE 11ATIVIDADE 11

Em 1987, na cidade de Porto Alegre, o número de

pessoas que havia feito uso de álcool na vida era de

aproximadamente 2,12 milhões. Em 1989, esse

número era de aproximadamente 2,24 milhões.

a)Sabendo-se que esse crescimento é exponencial,

qual é o modelo matemático para determinar o

número de usuários de álcool, em função do tempo t,

desde 1987?

b)Use o modelo encontrado para predizer o número

de usuários em 2005, 2010 e 2015.

c)Em que ano o número total de usuários chegará a

6,5 milhões?

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Tempo (anos)Usuários (Álcool)

2,12

2,24

Usuários de álcool em Porto Alegre

Fonte: Dados encontrados no referencial

mencionado

0t1987

2t1989

Dinâmica de Resolução da Atividade

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Pensa-se, então, em como encontrar a lei da

função dados dois dos seus pontos. Como já são

conhecidos os conceitos relacionados à Função

Exponencial, generaliza-se , sendo t o

tempo em anos a partir de 1987, U(t) o número de

usuários de álcool em Porto Alegre, a o fator de

crescimento e b o número inicial de usuários em 1987.

No ano 0 (1987), o número de usuários é 2,12,

substituindo-se na função

, encontra-se para b o valor 2,12. Para o

ano 2 (1989), o número de usuários é 2,24, ao substituir

na função, encontra-se , chegando-se na

equação , ou seja, . Obtém-se o

modelo: , em milhões, que descreve o

número de usuários de álcool, em Porto alegre, a partir

de 1987.

Pensa-se, então, em como encontrar a lei da

função dados dois dos seus pontos. Como já são

conhecidos os conceitos relacionados à Função

Exponencial, generaliza-se , sendo t o

tempo em anos a partir de 1987, U(t) o número de

usuários de álcool em Porto Alegre, a o fator de

crescimento e b o número inicial de usuários em 1987.

No ano 0 (1987), o número de usuários é 2,12,

substituindo-se na função

, encontra-se para b o valor 2,12. Para o

ano 2 (1989), o número de usuários é 2,24, ao substituir

na função, encontra-se , chegando-se na

equação , ou seja, . Obtém-se o

modelo: , em milhões, que descreve o

número de usuários de álcool, em Porto alegre, a partir

de 1987.

tabtU .)(

0.12,2 ab

06,12 a2.12,224,2 a

03,1a ttU 03,1.12,2)(

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Usa-se o modelo matemático encontrado para

predizer o número de usuários para os próximos anos

(2005, 2010 e 2015). Para 2005, subtrai-se (2005 –

1987) para encontrar o número de anos transcorridos

até então, encontrando-se 18 anos. Ao substituir

, pode-se descobrir que o número de

usuários de álcool em Porto Alegre em 2005 é de

aproximadamente 3,60 milhões de usuários. Para 2010,

serão transcorridos 23 anos (2010 – 1987): ,c

encontrando-se aproximadamente 4,18 milhões

de usuários. Para 2015, serão passados 28 anos (2015

– 1987), para se saber o número de usuários, faz-se a

substituição, ,c , encontrando-

se 4,85 milhões de usuários.

Usa-se o modelo matemático encontrado para

predizer o número de usuários para os próximos anos

(2005, 2010 e 2015). Para 2005, subtrai-se (2005 –

1987) para encontrar o número de anos transcorridos

até então, encontrando-se 18 anos. Ao substituir

, pode-se descobrir que o número de

usuários de álcool em Porto Alegre em 2005 é de

aproximadamente 3,60 milhões de usuários. Para 2010,

serão transcorridos 23 anos (2010 – 1987): ,c

encontrando-se aproximadamente 4,18 milhões

de usuários. Para 2015, serão passados 28 anos (2015

– 1987), para se saber o número de usuários, faz-se a

substituição, ,c , encontrando-

se 4,85 milhões de usuários.

1803,1.12,2)18( U

2303,1.12,2)23( U

2803,1.12,2)28( U

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Respondendo-se ao último questionamento, em

que ano o número de usuários atingirá o valor de 6,5

milhões, pensa-se em igualar a função a este valor:

. Encontrando-se a equação exponencial ,

de onde se obtém para t o valor aproximado de 38

anos. Somando-se 1987 + 38 = 2025, logo, o número

de usuários chegará a 6,5 milhões na cidade de Porto

Alegre, aproximadamente no ano 2025.

Respondendo-se ao último questionamento, em

que ano o número de usuários atingirá o valor de 6,5

milhões, pensa-se em igualar a função a este valor:

. Encontrando-se a equação exponencial ,

de onde se obtém para t o valor aproximado de 38

anos. Somando-se 1987 + 38 = 2025, logo, o número

de usuários chegará a 6,5 milhões na cidade de Porto

Alegre, aproximadamente no ano 2025.

t03,1.12,25,6

07,303,1 t

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ATIVIDADE 12ATIVIDADE 12

O estudo realizado por Menezes em 2004, na

Universidade Federal de Pelotas, mostrou que a

prevalência de tabagismo entre os estudantes de

medicina tem caído nos últimos anos. A taxa de

decrescimento encontrada é em torno de 0,95% ao

ano.

Utilizando essa mesma taxa para o

decrescimento do número de usuários de tabaco entre

os estudantes da Universidade Federal de Santa Maria,

e sabendo-se que, no ano 2000, havia

aproximadamente 5479 usuários, qual é a previsão

para os anos 2005, 2010, 2015 e 2020, supondo-se

que a taxa de decrescimento mantenha-se constante?

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Dinâmica de Resolução da Atividade

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Tempo (anos) Usuários (Tabaco)

0 5479

1 5424

2 5370

3 5316

5 5205

10 4931

15 4712

20 4493Fonte: Dados encontrados a partir

dos referenciais citados.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo (anos)

Us

rio

s

Usuários de tabaco na Universidade Federal de Santa Maria.

Usuários de tabaco

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ATIVIDADE 13ATIVIDADE 13

A taxa de eliminação de etanol em um homem que

ingeriu 7 garrafas de cerveja é de aproximadamente 8%

por hora. Se 340ml de cerveja possuem 20ml de etanol,

pede-se:

a) Construa uma tabela comparativa entre o resíduo de cerveja e o de etanol.

b) Qual é o modelo matemático que representa o resíduo de cerveja no organismo, com o passar das horas?

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c) Qual é o modelo matemático que representa o resíduo de etanol no organismo, com o passar das horas?

d) Após 8 horas, qual o resíduo de etanol no organismo?resíduo de etanol no organismo?

e) Analise graficamente quanto tempo levará até que o etanol desapareça do organismo.

f) Faça um gráfico comparativo dos modelos encontrados em bb e cc.

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a) A relação que foi dada é que 340ml de cerveja

possuem 20ml de etanol, sendo assim, pensa-se em

quantos ml possuem 7 garrafas de cerveja. Sabendo-

se que 1 garrafa de cerveja possui 600ml, conclui-se

que, se o indivíduo ingeriu 7 garrafas de 600ml,

ingeriu um total de 4200ml.

Para descobrir quanto de etanol há em 4200ml de

cerveja, faz-se uma regra de três. Se uma lata de

cerveja de 340ml corresponde a 20ml de etanol, então

4200ml de cerveja corresponde a um valor

aproximado de 247ml.

Dinâmica de Resolução da Atividade

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Calcula-se a seguir o fator de decrescimento para se

saber qual é o fator multiplicativo da função, a fim de

se construir a tabela. Como a taxa de eliminação é de

0,080,08, o fator de decrescimento é 0,920,92.

Calcula-se a seguir o fator de decrescimento para se

saber qual é o fator multiplicativo da função, a fim de

se construir a tabela. Como a taxa de eliminação é de

0,080,08, o fator de decrescimento é 0,920,92.

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Conhecendo-se o valor inicial de cerveja (4200ml), o

valor inicial de etanol (247ml) e o fator multiplicativo

(0,92), obtém-se a tabela:

Resíduo de cerveja e resíduo de etanol.

Tempo (horas) Resíduo Cerveja Resíduo Etanol

0 4200 247

1 3864 227,24

2 3554,49 209,06

3 3270,49 192,34

4 3008,85 176,95

Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.

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b) O modelo matemático que representa o resíduo de

cerveja no organismo é c(t)=4200.(0.92)t

c) O modelo matemático que representa o resíduo de

etanol no organismo é E(t)=247.(0.92)t

d) O resíduo de etanol no organismo após 8h,é

E(8)=247.(0.92)s, obtendo-se 125,97. Portanto, após

8 horas da ingestão de 7 garrafas de cerveja, ainda

haverá 125,97ml de etanol no organismo.

d) O resíduo de etanol no organismo após 8h,é

E(8)=247.(0.92)s, obtendo-se 125,97. Portanto, após

8 horas da ingestão de 7 garrafas de cerveja, ainda

haverá 125,97ml de etanol no organismo.

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Para observar graficamente

quanto tempo será necessário

para que o etanol desapareça do

organismo, foi construída a

tabela de valores e o gráfico

correspondente.

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Resíduo de etanolTempo (horas) Resíduo (Etanol)

0 247

1 227,24

2 209,06

3 192,34

4 176,95

10 106,21

20 46,93

30 19,76

40 9,88

50 4,94

60 1,73

70 0,74

80 0,25

90 0,15

1000 0,05

Fonte: Dados encontrados a partir

dos referenciais citados.

e) Pela análise da tabela e do gráfico, conclui-se que

levará em torno de 60 horas para o etanol desaparecer do

organismo.

Reísduo Etanol

050

100150200250300

0 20 40 60 80 100

Tempo(h)

Res

ídu

o

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f) Tabela de valores comparativos entre os dois modelos

Resíduo de etanol e resíduo de cerveja.

Tempo (horas) Resíduo Etanol Resíduo Cerveja

0 247 4200

1 227,24 3864

2 209,06 3554,88

3 192,34 3270,49

4 176,95 3008,85

10 106,21 1806

20 46,93 798

30 19,76 336

40 9,88 168

50 4,94 84

60 1,73 29,4

70 0,74 12,6

80 0,25 4,2

90 0,15 2,52

1000 0,05 0,84

Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.

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Gráfico Comparativo

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 20 40 60 80 100

Tempo (horas)

Res

ídu

o

Resíduo Etanol

Resíduo Cerveja

Gráfico comparativo entre o resíduo de etanol e o resíduo de cerveja.

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ATIVIDADE 14ATIVIDADE 14

Estime a meia-vida do etanol e da cerveja no

organismo, quando ingeridos 247ml e 4200ml,

respectivamente. Após, construa os gráficos no Excel

para observar essas duas situações.

Dinâmica de Resolução da Atividade

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Resíduo de cerveja e resíduo de etanol no organismo.

Tempo (horas) Resíduo (Cerveja)

Resíduo (Etanol)

0 4200 247

1 3864 227,24

2 3554,88 209,06

3 3270,49 192,34

4 3008,85 176,95

8 2100 123,5

Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.

Resíduo Etanol e Cerveja

0

1000

2000

3000

4000

5000

1 2 3 4 5 6

Tempo(h)

Re

síd

uo

s

Resíduo (Cerveja)

Resíduo (Etanol)

Gráfico do resíduo de etanol e do resíduo de

cerveja.

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ATIVIDADE 15ATIVIDADE 15

Quando uma pessoa fuma um cigarro,

aproximadamente 0,4 mg de nicotina são absorvidas

pelo sangue. Aproximadamente 35% da nicotina é

eliminada pelo sangue a cada hora.

a) Encontre o modelo matemático que permite

saber o nível de nicotina no sangue depois de

fumar um cigarro.

b) Use o modelo para estimar em quanto tempo a

quantidade de nicotina no sangue chegará a

0,005mg.

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Dinâmica de Resolução da Atividade

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Atualmente, morrem 3,5 milhões de pessoas por ano,

no mundo, vítimas do fumo e sabe-se que a taxa de

mortes cresce 4% a cada ano.

a) Encontre o modelo que representa o

crescimento do número de mortes a cada ano, a

partir de 2003.

b) Estime o número de mortes em 2010, 2020 e

2030, se a taxa de crescimento permanecer

constante.

ATIVIDADE 16ATIVIDADE 16

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a) O número de pessoas que morriam vítimas do

fumo em 2003 era de 3,5 milhões e a taxa de

crescimento do número de mortes é de 4% ao ano.

Para encontrar o modelo, calcula-se o fator

de crescimento, 1,041,04 (1 + 0,4).(1 + 0,4). Usa-se t para

representar o tempo dado em anos, M(t)M(t) para

representar o número de mortes e, assim,

constrói-se o modelo que permite determinar o

número de pessoas que morrem por ano, vítimas

do cigarro, a partir de 2003.

Dinâmica de Resolução da Atividade

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b) Para estimar o número de mortes nas próximas

décadas, deve-se levar em conta que o ano inicial é

2003, sendo assim, para 2010 são transcorridos 7 anos.

Logo obtém-se, aproximadamente 4,26 milhões de

mortes.

Em 2020, terão passados 17 anos, portanto resulta,

6,8 milhões de mortes.

Para 2030, transcorrerão 27 anos, e ter-se-á 10,09

milhões de mortes.

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ATIVIDADE 17ATIVIDADE 17

Sabe-se que, na última década do século XX, o consumo

mundial de cigarros cresceu 1,5% (contrastando com o

crescimento de 23,5% da penúltima década). No ano

2000, foram consumidos, no mundo, 5500 bilhões de

cigarros. Supondo que a taxa de crescimento do

consumo, por década, permaneça constante (1,5%),

pergunta-se:

Qual é o modelo exponencial para o

consumo mundial de cigarros nas

próximas décadas?

Qual é o modelo exponencial para o

consumo mundial de cigarros nas

próximas décadas?

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Dinâmica de Resolução da Atividade

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SUGESTÕES DE ATIVIDADES SUGESTÕES DE ATIVIDADES

Calcule a lei da função exponencial que passa pelos pontos (1,6) e (2,9) . A seguir, construa no Excel o gráfico dessa função.

Observe as curvas que representam o crescimento do uso de álcool em diferentes cidades. Qual cidade

a) tem a maior taxa de crescimento?

b) tem a menor taxa de crescimento?

c) tem a maior população inicial?

d) tem a menor população inicial?

e) quais cidades têm a mesma taxa de crescimento?

Atividade 1

Atividade 2

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Determine quais as funções que são exponenciais. Para as que representam função exponencial, determine a lei através dos dados apresentados na tabela.

x 0 1 2 3

y 1000 1200 1440 1728

a)

b)

c)

t 0 1 2 3

L(t) 300 308 320,2 335,5

t 0 10 20 30

Q(t) 200 208 216,32 224,97

Atividade 3

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Seja uma função exponencial. Se

e ,

encontre

a) o fator de crescimento

b) a taxa de crescimento

C) a fórmula para

)(xf8,28)8( f

)(xf

6,25)7( f

Atividade 4

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Seja uma função exponencial tal que

e

Quais desses valores são possíveis e

quais são impossíveis?

a) b) c)

f 512)0( f

1250)4( f

800)2( f 881)2( f 981)2( f

Atividade 5

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Determine quais das seis funções abaixo representam

uma função exponencial da forma e quais não

representam. Explique a sua resposta.

xaby .

Atividade 6

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Determine quais as funções abaixo são exponenciais.

Para as que representam função exponencial,

determine a lei através dos dados apresentados na

tabela.x 0 1 2 3

y 2000 1800 1620 1458

x 0 1 2 3

y 300 240 190 150

x 0 10 20 30

y 400 288 207,36 149,30

Atividade 7

a)

b)

c)

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Qual dos seguintes pares de pontos determinam uma

função exponencial da forma . Para as que

determinam faça um esboço do gráfico e indique o sinal

de b e analise o fator a, se ou se .

xaby .

1a 10 a

Atividade 8

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Identifique quais as situações que representam função

exponencial crescente, função exponencial

decrescente, função linear crescente ou decrescente,

ou não representam função.

a) O preço da cerveja aumenta em média 24% ao ano.

b) O número de dependentes de álcool entre os

habitantes de uma cidade aumenta em média em 300

pessoas por ano.

c) O consumo de cigarros caiu em média 0,5% ao ano

na Espanha entre 1980 e 1997.

d) O número de usuários de cigarro cresceu em média

5% ao ano de 1994 a 1996 entre os jovens espanhóis.

e) O número de internações no setor de psiquiatria

para dependentes de álcool, de um determinado

hospital, tem se mantido constante nos últimos anos.

Atividade 9

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Observe os gráficos abaixo que representam diferentes

funções que descrevem estatísticas sobre o consumo

de álcool e tabaco. Identifique aquela em que

a) o consumo aumentou de

10% a cada ano.

b) o consumo aumentou de

6% a cada ano.

c) o consumo caiu de 5% a

cada ano.

d) o consumo permaneceu

constante.

Atividade 10

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Encontre as possíveis equações dos gráficos das

funções exponenciais de a, b e c.

Atividade 11

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a) Se a dosagem de ampicilina é 250 mg, escreva a

função usada como modelo do nível de ampicilina

no sangue, em função do tempo, se foi tomada

uma dose.

b) Estime quanto tempo levará para que o nível de

ampicilina no sangue caia para 1 mg.

Atividade 12

A quantidade da droga ampicilina (na forma de

penicilina) na corrente sangüínea decresce

aproximadamente 42% a cada hora.

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a) Construa a função do modelo do nível de morfina no

sangue após tomar uma dose.

b) Quanto de morfina permanece no sangue após 4

horas?

c) Estime quanto tempo levará para que o nível de

morfina no sangue caia para 0,2 mg.

Atividade 13

Num hospital é administrada a um paciente 3 mg de

morfina para o controle da dor. Aproximadamente 31%

de morfina é eliminada do sangue a cada hora.

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Seja uma função exponencial tal que e

. Quais desses valores são possíveis e quais são

impossíveis?

f 96)1( f 6)5( f

24)3( f 51)3( f 65)3( fa) c)b)

Atividade 14

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Construa no Excel o gráfico das seguintes funções, no

mesmo sistema de coordenadas observando-as e

comparando-as. O que podemos concluir?

Atividade 15

( ) 2xf x a) , ,( ) 2 5xg x ( ) 2 5xh x

( ) 2xf x b) , ,3( ) 2xg x 3( ) 2xh x

( ) 2xf x c) , ( ) 2xg x

d) , 1

( )2

x

f x

1( )

2

x

g x