Física2paraaEscolaPolitécnica(4323102) P2-(11/10/2019) … · 2019-10-18 ·...
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Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)
Tabela 1: Respostas das alternativas corretas das questões Q1-Q4 para as diferentes provas.
Prova Q1 Q2 Q3 Q4A - 1235421698123 d e b dB - 1234412698123 b d a bC - 1234583698123 a c c eD - 1236514698123 c a e a
Critério Correção Dissertativas
Q5
• 1,5 ponto - a expressão correta com todos os valores numéricos corretos.
• 1,5-1,0 ponto - a expressão correta mas com algum erro (numérico, sinal, ....).
• 0,5 ponto - a expressão correta mas esqueceu de considerar a força peso.
Q6
• 1,5 ponto - a resposta correta (mostrando o desenvolvimento realizado), com a definiçãocorreta dos das grandezas.
• 1,0 ponto - usar a expressão para o movimento amortecido forçado, sem especificar queΩ.
• 0,5 ponto - usar a expressão para o movimento amortecido forçado mas especificar Ω
errado (por exemplo, Ω =√ω2
0 −γ2
4).
Q7
• 0,5 ponto - a resposta correta, fazendo a comparação entre os valores de γ/2 e ω0.
Q8
• 2,5 ponto - Fazer todo o desenvolvimento corretamente, mesmo utilizando respostas er-radas anteriores (de Q6 ou Q7), mas utilizando as condições iniciais para a solução geral.
• 2,0 até 0,5 - Fazer o desenvolvimento parcial, mesmo utilizando respostas erradas dositens anteriores, utilizando as condições iniciais para a solução geral. Erros relevantes: a)Subtrai-se 0,5 ponto da nota se não for explicitada a definição de ω da solução homogênea;b) Subtrai-se 0,5 ponto da nota se foi esquecido o fator e−γ/2t na solução homogêna. Ovalor da nota dependerá do desenvolvimento apresentado, e quais etapas foram realizadas.
• 0 - Escrever a expressão geral, e não aplicar as condições iniciais.
• 0 - Aplicar as condições iniciais para a solução particular ou solução homogêna, e nãopara a solução geral que é a soma das duas soluções.
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Utilize, para todas as questões, onde se fizer necessário:
• A aceleração da gravidade na superfície da Terra é representada por g.Quando necessário, adote para g o valor de 10 m/s2.
• A força viscosa é da forma ~fvisc = −b~v onde b é uma constante positiva e ~v o vetorvelocidade do corpo.
• x(t) = Ae−γ2tcos (ωt+ φ) onde ω =
√ω2
0 −γ2
4e γ = b
m.
• x(t) = (A+Bt)e−γ2t.
• x(t) = e−γ2t[a1e
βt + a2e−βt] onde β =
√γ2
4− ω2
0.
• x(t) = A(Ω) cos [Ωt+ φ(Ω)]
• A(Ω) = F0/m[(ω2
0−Ω2)2+γ2Ω2
]1/2 ; tanφ(Ω) = − γΩω20−Ω2 .
• Potência média: P = mγx2
• sin2(ωt+ φ) = cos2(ωt+ φ) = 1/2
• Despreze a massa da mola.
• Despreze o atrito com o ar.
Identidades trigonométricas
sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b
sin a+ sin b = 2 sin
(a+ b
2
)cos
(a− b
2
)sin a− sin b = 2 cos
(a+ b
2
)sin
(a− b
2
)
cos a+cos b = 2 cos
(a+ b
2
)cos
(a− b
2
)cos a−cos b = −2 sin
(a+ b
2
)sin
(a− b
2
)
Exponenciais complexas
eıθ = cos θ + ı sin θ sin θ =eıθ − e−ıθ
2ıcos θ =
eıθ + e−ıθ
2
2
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ENUNCIADO DAS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA Q1 até Q4
Enunciado da questão Q1.[1,0 ponto] Osciladores harmônicos amortecidos costumam ser modelados pela equação dife-rencial
d2x
dt2+ γ
dx
dt+ ω2
0x = 0. (1)
Uma maneira de encontrar as soluções desta equação diferencial é assumir a função tentativax(t) = ert como solução e encontrar quais os valores de r que realmente a tornam solução daequação diferencial (1). Fazendo a substituição de x(t) = ert em (1), vemos que os valores der que tornam a função tentativa solução de (1) são:
r1 = −γ2−√(γ
2
)2
− ω20 e r2 = −γ
2+
√(γ2
)2
− ω20 (2)
Os valores de r levam a três soluções distintas, as quais são classificadas conforme o radicandopresente em r1 e r2 seja maior, igual ou menor que zero. Com base nestas informações, escolhaa alternativa correta:
(a) Todas as três soluções da equação diferencial (1) referentes aos radicandos maior, menor ouigual a zero modelam oscilações, porque toda exponencial de um número real pode ser expressaem termos de funções periódicas, como senos e cossenos.
(b) Na situação onde r assume valores complexos, só a parte real de r tem significado físico.
(c) O caso onde ω0 > γ/2 corresponde ao único caso onde ocorrem oscilações porque podemosexpressar x(t) como uma função periódica.
(d) Se a frequência natural ω0 do sistema for muito maior que o fator dissipativo γ/2, a am-plitude de oscilação vai aumentando conforme o tempo passa.
(e) Quando γ/2 > ω0, o oscilador retorna muito mais rapidamente para a posição de equilíbriodo que quando γ
2= ω0.
Resolução da questão Q1.
(a) Errada - Apenas a solução com radicando menor que zero (γ2< ω0) terá comportamento
oscilatório.
(b) Errada - Tanto a parte real como a complexa têm significado físico. A parte real estárelacionada com a constante de decaimento da amplitude e a parte complexa com a frequência(ou período) de oscilação.
(c) Certa - Para o radicando menor que zero (γ2< ω0) o oscilador apresenta amortecimento
subcrítico, descrito por funções periódicas.
(d) Errada - Nenhuma das três soluções apresenta este tipo de comportamento em função dotempo. Em todos os casos, a amplitude decai com o tempo.
(e) Errada - O sistema volta mais rapidamente para a posição de equilíbrio quando γ2
= ω0.
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Enunciado da questão Q2.[0,5 ponto] O gráfico abaixo representa a posição de uma partícula x(t) em função do tempo t,para um oscilador harmônico amortecido. A amplitude inicial A, em cm, e a frequência angularω, em rad/s, desse oscilador são, respectivamente, dadas por:
(a) 2 e π/5
(b) 2 e 0,1
(c) 20 e π/5
(d) 200 e 0,1
(e) 200 e π/5
0
1
2
-1
-2x
(m)
t (s)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Resolução da questão Q2.
A frequência do movimento pode ser calculada conhecendo-se o período do movimento e usandoa relaçao ωT = 2π. Do gráfico tiramos que T = 10 s, logo
ω =2π
T=
2π
10⇒ T = π
5s
Pelo gráfico também tiramos que a amplitude inicial é 2 m ou 200 cm.
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Enunciado da questão Q3.[1,0 ponto] A amplitude de um oscilador harmônico com amortecimento subcrítico diminui1/e de seu valor inicial, em 10 s. O valor do tempo característico de decaimento deste oscilador é:
(a) 5 s
(b) 10 s
(c) 15 s
(d) 20 s
(e) 25 s
Resolução da questão Q3.
Para o oscilador harmônico com amortecimento subcrítico a amplitude A(t) no instante t édada por
A(t) = A0e− γ
2t = A0e
− tτ
sendo A0 a amplitude em t = 0 e τ do tempo característico de decaimento. Como a amplitudecai 1/e de seu valor inicial em 10 s podemos escrever:
A(t = 10 s)
A0
=1
e
ouA0e
− 10τ
A0
=1
e⇒ e−
10τ = e−1 ⇒ τ = 10 s
Tabela 2: Respostas do exercício para as diferentes provas.
Prova Decaimento (%) tempo (s) τ (s)
A (1/e) 10 10B 50% 14 20C 25% 21 15D 25% 7 5
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Enunciado da questão Q4.[1,5 ponto] Um sistema de suspensão mecânicaideal de massa m e constante elástica k oscila semamortecimento, sujeito à força externa da formaF (t) = 42 cos(ωt) (N). Um estudo demonstra que,quando o sistema atinge o regime estacionário, aamplitude de oscilação do sistema em função dafrequência angular da força externa se comportacomo na figura ao lado. O valor da constante elásticak do sistema de suspensão é:
w (rad/s)1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
5
6
7
8
A (
m)
w (rad/s)1 2 3 4 5 6 70
A (
m)
1
2
3
4
5
6
7
8
(a) 8 N/m
(b) 16 N/m
(c) 18 N/m
(d) 24 N/m
(e) 27 N/m
Resolução da questão Q4.
A amplitude de uma oscilação forçada, no regime estacionário, é descrita pela expressão
A(ω) =F0
m|ω20 − ω2|
(3)
onde ω0 =√k/m.
O gráfico mostra que a frequência natural de oscilação do sistema é ω0 = 3 rad/s. Além destainformação, podemos utilizar qualquer outro ponto do gráfico para determinar a amplitudepara uma dada frequência ω. Escolhemos, por conveniência, a frequência ω = 4 rad/s, quecorresponde à amplitude de oscilação A = 2 m. Substituindo na expressão (3) temos:
m =F0
A|ω20 − ω2|
=42
2|9− 16|= 3 kg. (4)
onde utilizamos F0 = 42 N, como indicado no texto do problema. Com isso o valor da constanteelástica vale:
k = m · ω20 = 3 · 32 = 27 N/m. (5)
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Tabela 3: Respostas do exercício para as diferentes provas.
Prova ω0 (rad/s) A(ω) m F0 (N) k (N/m)
A 4 A(5) = 2 27 24B 4 A(5) = 2 18 16C 3 A(4) = 2 28 18D 3 A(4) = 2 42 27
ENUNCIADO DAS QUESTÕES DISCURSIVAS Q5 até Q8
Uma mola de massa desprezível, comprimento L0 econstante k = 1, 125 × 104 N/m se encontra presaao teto. Na sua extremidade livre é pendurado umbloco de massa m = 50 kg. O sistema é abandonadoem um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscosoé ρ = 100 N.s/m, sob a ação da força peso (~Fp =
+mg ), da força da mola (~Fm = −ky ) e da forçaviscosa (~Fv = −ρdy
dt). A função que descreve a
posição do bloco no tempo, y(t), deste sistema seráescrita como:
y(t) = yp(t) + yh(t)
onde yp(t) é a solução particular (ou estacionária)da equação não-homogênea e yh(t) é a solução daequação diferencial homogênea. Adotando o eixo ycomo está indicado na figura, resolva as questõesQ5, Q6, Q7 e Q8.
0
ym
L0
Considere o bloco como partícula.Despreze a força de empuxo sobre obloco.
(Q5) [1,5 ponto] Escreva a equação diferencial que descreve o movimento deste oscilador,explicitando os valores numéricos dos coeficientes no sistema MKS.
Resolução da questão Q5.
A força resultante Fr no bloco é dada por:
~Fr = −ky − ρdydt
+mg
A expressão acima pode ser reescrita como:
md2y
dt2+ ky + ρ
dy
dt= +mg
Dividindo por m teremos:
d2y
dt2+ γ
dy
dt+ ω2
0y = g
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onde definimos ω20 = k/m e γ = ρ/m. Substituindo os valores numéricos obtemos ω0 =√
k/m =√
(1, 125× 104)/50 =√
225 = 15 rad/s e γ = ρ/m = 100/50 = 2 s−1 e a equaçãodiferencial que descreve o movimento deste oscilador será escrita como:
d2ydt2
+ 2dydt
+ 225y = +10
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(Q6) [1,5 ponto] Determine a solução particular yp(t) da equação diferencial não-homogênea.
Resolução da questão Q6.
A equação diferencial não homogênea descreve um oscilador amortecido forçado, que tem comosolução a função
yp(t) = A(Ω) cos(Ωt+ φ)
ondeA(Ω) =
F0/m[(ω2
0 − Ω2)2
+ γ2Ω2]1/2
etanφ(Ω) = − γΩ
ω20 − Ω2
expressões dadas na página 2 desta prova. Neste problema Ω = 0, logo
A(Ω = 0) =(F0/m)[
(ω20 − Ω2)
2+ γ2Ω2
]1/2=
g
ω20
⇒ A = mgk
etanφ(Ω) = − γΩ
ω20 − Ω2
= 0⇒ φ = 0
Logo, a solução particular é dada por:
yp(t) = mgk
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(Q7) [0,5 ponto] O movimento do oscilador descrito pela equação homogênea é crítico, sub-crítico ou supercrítico? Justifique sua resposta numericamente.
Resolução da questão Q7.
A equação homogênea descreve um oscilador harmônico amortecido que tem como possíveissoluções um movimento supercrítico (γ
2> ω0), crítico (γ
2= ω0) ou subcrítico (γ
2< ω0), de-
pendendo da comparação entre os valores de ω0 e γ/2. Neste problema, ω0 = 15 rad/s eγ/2 = 1 s−1. Logo
γ2< ω0 ⇒ movimento subcrítico
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Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)
(Q8) [2,5 pontos] Uma vez que no instante t = 0 a posição do bloco é y(t = 0) = 0 e a suavelocidade v(t = 0) = 0, determine a solução geral y(t). Resolva de forma literal, sem fazersubstituições numéricas.
Resolução da questão Q8.
A equação homogênea descreve um movimento subcrítico que tem como solução a função
yh(t) = Ae−γ2t cos(ωt+ ϕ)
onde
ω =
√ω2
0 −γ2
4=√
225− 1 =√
224 s−1
Assim, a solução geral fica:
y(t) = yp(t) + yh(t) = mgk
+ Ae−γ2t cos(ωt+ ϕ).
Impondo as condições que em t = 0, y(t) = 0 e v(t) = 0 obtemos as equações:
t = 0, y = 0⇒ A cosϕ+mg
k= 0⇒ A cosϕ = −mg
k(6)
t = 0, v = 0⇒ A(−γ2
) cosϕ− Aω sinϕ = 0 (7)
Substituindo (6) em (7) obtemos:
−γ2
(−mg
k
)− Aω sinϕ = 0
⇒ A sinϕ = mgγ2ωk
(8)
Elevando ao quadrado as expressões (6) e (8) e somando-as obtemos:
A =mg
k
√1 +
( γ2ω
)2
(9)
Substituindo 9 em 6 obtemos
ϕ = − cos−1
(1√
1 + (γ/2ω)2
). (10)
Assim, tendo-se determinado A e ϕ, a solução geral fica determinada.
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