FT2-Aula 2 fisica

Gravitação (Item 2)

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Prof. Dr. Bruno Barros Cunha Departamento de Física – DAFIS

Universidade Tecnológica do Paraná - UTFPR

Física 2

Visão Geral

2

1. Gravitação;

2. Princípio da superposição;

3. Proximidades da superfície da Terra;

4. Interior do planeta;

5. Energia potencial gravitacional;

6. Velocidade de escape;

7. Leis de Kepler;

8. Princípio da Equivalência;

9. Atividade Prática Supervisionada (APS)

Introdução

3

Um dos objetivos da física é compreender a força gravitacional, a força que nos mantém na superfície da Terra, mantém a Lua em órbita em torno da Terra e que mantém a Terra em órbita em torno do Sol.

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Também é a força que mantém as galáxias e seus corpos celestes unidos. Esta força é responsável por um das entidades mais misteriosas do universo, o buraco negro. Quando uma estrela consideravelmente maior que o Sol se apaga, a força gravitacional entre suas partículas pode fazer com que a estrela se contraia indefinidamente, formando um buraco negro. Apesar da força gravitacional não esteja totalmente compreendida, o ponto de partida para nosso entendimento é a lei da gravitação de Isaac Newton.

Introdução

Remco C. E. et al., An over-massive black hole in the compact lenticular galaxy NGC 1277, Nature, Vol.: 491, 729-731

Medições indicam que os buracos negros centrais têm em média 0,1% da massa de sua respectiva galáxia. No entanto a galáxia NGC 1277 tem um buraco negro com 14 % de toda massa da galáxia, sendo maior buraco negro conhecido.

A Lei da Gravitação de Newton

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Isaac Newton ao 23 anos de idade, demonstrou que não existe diferença entre a força que mantém a Lua em órbita e for responsável pela queda de uma maçã. Sua obra, Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, é considerada uma das mais influentes na história da ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica clássica.


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Newton concluiu que não só a Terra atrai as maças e a Lua, mas também cada copo do universo atrai todos os demais. Esta tendência dos corpos de se atraírem mutuamente é chamada de gravitação. A universalidade da gravitação não é óbvia para nós porque a força de atração que a Terra exerce sobre os corpos próximos é muito mais que a força de atração que estes corpos exercem uns sobre os outros. Newton propôs uma lei para essa força, a chamada lei da gravitação de Newton.

Newton) de gravitação da (lei 2

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r

mmGF

• Onde m1 e m2 são as massa das partículas; • r é a distância entre elas; • G é um constante conhecida como constante gravitacional;

²/³1067,6

²/².1067,6

11

11

skgm

kgmNG


7

Identificando a força gravitacional e sua direção.

Esta é a força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1.

Desenhamos o vetor com a origem na partícula 1, apontando para a partícula 2.

Um vetor unitário também aponta para a partícula 2.

A força gravitacional exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1 é uma força atrativa;

r̂2

21

r

mmGF

A força gravitacional exercida pela partícula 1 sobre a partícula 2 é igual em módulo da força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1 no entanto com sentido oposto. Outras partículas fora deste sistema não são capazes de blindar as interações que ocorrem entre as partículas 1 e 2 acima.


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Newton resolveu o problema da atração entre Terra e a maça provando um importante teorema, conhecido como teorema das cascas: Uma casca esférica homogênea de matéria atrai uma partícula que se encontra fora da casa como se toda a massa da casca estivesse concentrada no seu centro. Embora as forças tenham o mesmo módulo, produzem acelerações diferentes quando a maçã começa a cair.

Aceleração da maçã = 9,8 m/s² Aceleração da Terra = 1 ∙10-25 m/s²

Princípio da superposição

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Princípio da superposição trata-se de um princípio segundo o qual, em muitas circunstâncias, um efeito total pode ser calculado somando efeitos parciais. Em gravitação, esse princípio pode ser aplicado para calcular a força total a que uma partícula está submetida somando vetorialmente as forças que todas as outras partículas exercem sobre ela. De forma compacta através de um somatório No caso limite, podemos dividir o objeto de dimensões finitas em partes infinitesimais de mass

dm, cada uma das quais exerce uma força infinitesimal d𝐹 sobre a partícula. Nesse limite, o somatório da equação acima se torna uma integral, e temos Se o objeto é uma esfera ou uma casca esférica, podemos evitar a integração. Supondo que a massa do objeto está concentrada no centro

nres FFFFFF 151141312,1

n

i

ires FF2

1,1

FdF

1

A Gravitação nas Proximidades da Superfície da Terra

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Vamos supor que a distância é uma esfera uniforme de massa M. O módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre uma partícula de massa m, localizada fora da Terra a uma distância r do centro da Terra é dado por: A partícula quando liberada se movimenta em direção ao centro da Terra em função da força gravitacional com uma aceleração que chamaremos de aceleração da gravidade 𝑎𝑔.

De acordo com a segunda lei de Newton, temos: Substituindo na equação da força gravitacional podemos explicitar a aceleração da gravidade. Considerando a Terra um referencial inercial a aceleração da gravidade é igual da queda livre g de uma partícula , com valor de 9,8 m/s².

2r

MmGF

gmaF

2r

MGag


11

O valor de g poderá ser diferente de 9,8 m/s² por alguns motivos: 1. A massa da Terra não está distribuída uniformemente; 2. A Terra não é uma esfera perfeita; 3. A Terra está girando;

Núcleo Interno

Núcleo externo

Manto

Distância do centro

Den

sid

ade

Polo Norte

Balança

Caixote


12

Caixote


13

A rotação da Terra faz que aceleração de queda livre seja menor que a aceleração gravitacional. A diferença entre g e ag é igual a w2R sendo máxima no equador visto que o raio R da circunferência descrita pelo caixote é máximo no equador. Esta diferença é de apenas 0,034 m/s².

A Gravitação no interior da Terra

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O teorema das cascas de Newton também pode ser aplicado a uma situação na qual a partícula se encontra no interior de uma casca uniforme, para demonstrar o seguinte: Uma casca uniforme de matéria não exerce força gravitacional resultante sobre uma partícula localizada no seu interior. Isto significa que a resultante de todas as forças gravitacionais que agem sobre a partícula é nula.

Minterior

Considerando a massa da Terra uniformemente distribuída.

• A força gravitacional que age sobre uma partícula seria máxima na superfície da Terra e decresceria à media que a partícula se movesse para fora, afastando-se do planeta;

• Se a partícula se movesse para dentro, exemplo, penetrando no poço de uma mina, a força gravitacional sobre a partícula diminuiria progressivamente a medida que a partícula se aproximasse do centro da terra;

Considerando a massa da Terra não-uniformemente distribuída (caso real).

• A força aumenta e atinge um valor máximo a uma certa profundidade e depois começa a diminuir;

Energia Potencial Gravitacional

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Considere a energia potencial gravitacional U de duas partículas, de massa m e M, separadas por uma distância r . Escolhemos uma configuração de referência com U igual a zero. Para simplificar as equações r é tão grande que podemos considerá-la infinita. Como U = 0 para r = ∞, a energia potencial é negativa para qualquer distância finita e se tona progressivamente mais negativa à medida que as partículas se aproximam. A energia potencial dada pela a equação acima é uma propriedade do sistema de duas partículas. Não podendo ser dividida para cada partícula, entretanto, se M ≫m podemos considerar a energia potencial da partícula menor.

23

32

13

31

12

21

r

mGm

r

mGm

r

mGmU


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Interessados em obter a energia potencial gravitacional U no ponto P da trajetória de um objeto lançado verticalmente para cima a partir da superfície a uma distância radial R do centro da Terra. Devemos calcular o trabalho W em função da notação vetorial: (i)

A integral contém o produto escalar da força 𝐹 (𝑟) pelo vetor deslocamento diferencial 𝑑𝑟 ao longo da trajetória da bola. Podemos expandir esse produto como (ii)

onde phi é o ângulo entre 𝐹 (𝑟) e 𝑑𝑟 . Sendo M e m as massas da terra e do objeto respectivamente. Quando substituímos o ângulo por 180° e F(𝑟) pelo valor da equação abaixo (iii) obtemos

R

rdrFW

)(

cos)()( drrFrdrF

2r

MmGF

drr

GMmrdrF

²)(

Demonstração da Energia Potencial Gravitacional


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Substituindo na equação (i) onde W é o trabalho necessário para deslocar a bola do ponto P (a uma distância R) até o infinito. Podemos escrever esse trabalho (∆𝑈 = −𝑊)em termos de energias potenciais como Como a energia potencial no infinito 𝑈∞ é nula, U é a energia potencial em P e W é dado por Substituindo R por r, obtemos a equação (iv) que queríamos demonstrar (iv)

R

GMm

R

GMm

r

GMmdr

rGMmW

RR

0

²

1

WUU

R

GMmWU

Demonstração da Energia Potencial Gravitacional

Independência da Trajetória

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Terra

O trabalho da força gravitacional depende somente das trajetórias AB, CD e EF, pois é nulo nas demais trajetórias. Pois segundo a ilustração do trabalho a força aplicada é nula quando o ângulo entre a força e trajetória é de 90°.

Velocidade de Escape

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Quando lançamos um projétil para cima, normalmente ele diminui de velocidade, para momentaneamente e cai de volta em direção à Terra. Para velocidade acima da velocidade de escape (da terra) , a velocidade só se anula quando o projétil estiver uma distância infinita da terra. A velocidade de escape é uma velocidade na qual a energia cinética de um corpo é igual em magnitude à sua energia potencial em um campo gravitacional, Ela é normalmente descrita como a velocidade necessária para "libertar-se" de um campo gravitacional; Em uma distância infinita o projétil não possui energia potencial gravitacional U nem energia cinética K. Pela conservação de energia devemos considerar que a energia total do projétil na superfície do plante também deve ter sido nula, logo Portanto a velocidade de escape é dado por

0²2

1

R

GMmmvUK

R

GMv

2

Velocidade de Escape

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Ônibus Espacial Atlantis parte na missão STS-71. A necessidade de atingir a velocidade de escape não se aplica de forma estrita a veículos autopropulsionados e aqueles que não deixam a órbita da Terra, como o Ônibus Espacial. Os foguetes americanos são lançados na direção leste em Cabo Canaveral para aproveitar a velocidade local para o leste, de cerca de 1500 km/h em consequência da rotação da Terra.

Algumas Velocidades de Escape

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a O maior asteróide b Uma anã branca (estrela em um estágio final de evolução) que é companheira da estrela Sirus. c O núcleo desno de uma estrela que se transforma em supernova.

Planetas e Satélites: As Leis de Kepler

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Estas leis poderão ser utilizadas tanto para planetas em torno do sol como para satélites naturais e artificiais em torno da terra ou outro corpo qualquer cuja massa é muito maior que a do satélite.

m: massa do planeta; M: massa do Sol; F: foco da elipse ocupado pelo sol; F”: foco da elipse localizado no espaço vazio; ea: distância de qualquer foco ao centro da elipse; a: Semieixo maior da elipse. b: Semieixo menor da elipse. Rp: distância do periélio (ponto mais próximo do Sol); Ra: distância do afélio (ponto mais afastado do sol)

b


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A área da cunha sombreada é praticamente igual à área varrida no intervalo de tempo Δt pela

reta que liga o sol ao planeta, que estão separados pela distância r . A área ΔA da cunha é

aproximadamente igual à área de um triângulo de base 𝑟∆𝜃 e altura r. Consideramos à área de um triângulo quando Δt se aproxima de zero, logo

(v)

Onde w é a velocidade angula da reta que liga o Sol ao planeta.

O momento linear 𝑝 do planeta em relação ao Sol é dado pelo produto de r e 𝑝┴

(vi)

wrdt

dr

dt

dA²

2

1²

2

1


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Onde substituímos e 𝑣┴ por wr . Combinando as Eqs. (v) e (vi) obtemos

(vii)

De acordo com Equação (vii), a afirmação de Kepler de que dA/dt é constante equivale a dizer

que L é constante, ou seja, que o momento angula é conservado. A segunda lei de Kepler é,

portanto, equivalente à lei de conservação do momento angular.

A grandeza entre parênteses é uma constante que depende apenas da massa M do corpo central

em torno do qual o planeta gira. Esta equação é válida para órbitas elípticas, desde que r seja

substituído por a, o semi-eixo maior da elipse. Esta lei prevê que a razão T2/a³ tem praticamente o

mesmo valor.

m

L

dt

dA

2

períodos) dos (lei ³4

²2

rGM

T

³4

²2

aGM

T

Satélites: Órbitas e Energias

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Quando um satélite gira em torno da Terra em um trajetória elíptica, tanto a velocidade, que

determina a energia cinética K, como a distância ao centro da Terra, que determina a energia

potencial gravitacional U , variam com o tempo. Entretanto, a energia mecânica E do satélite

permanece constante.

Como a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra, atribuímos U e E do sistema

satélite-Terra apenas ao satélite.

A energia potencial do sistema é dada por

Com U = 0 para uma distância infinita. A variável r é o raio da órbita do satélite. Com M e m

sendo as massas da Terra e do satélite, respectivamente.

Para determinar a energia cinética escrevemos a segunda lei de Newton (F = ma) como

Sendo v²/r a aceleração centrípeta do satélite. Nesse caso a energia cinética é

r

vm

r

GMm ²2

r

GMmmvK

2²

2

1


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O que mostra que, para um satélite em uma órbita circular

A energia mecânica total do satélite em órbita é

(viii)

Este resultado mostra que, para um satélite em uma órbita circular, a energia total E é o negativo

da energia cinética K.

E = - K (órbita circular)

Para um satélite em uma órbita elíptica com semieixo maior a, podemos substituir r por a na

Equação (viii) para encontrar a energia mecânica:

2

UK

r

GMmE

r

GMm

r

GMmUKE

2

2

(órbita circular)

(órbita circular)


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De acordo com esta equação a energia total de um satélite em órbita depende apenas do semieixo maior da órbita, e não da excentricidade e. O que significa que um mesmo satélite teria a mesma energia mecânica total E nas quatro órbitas.

Einstein e a Gravitação

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O Princípio da Equivalência Segundo Einstein, ele começou a formula sua teoria da relatividade geral, a partir da seguinte pensamento: “Se uma pessoa cair livremente, não sentirá o próprio peso”, isto levou também à teoria da gravitação. O postulado fundamental dessa teoria da gravitação (da atração gravitacional entre objetos) é o chamado princípio da equivalência, segundo o qual a gravitação e a aceleração são equivalentes.

Nas duas situações: (a) – O sistema está sob ação da gravidade de 9,8 m/s²; (b) – O sistema está sob ação de uma aceleração de 9,8 m/s²; Em ambos os casos não há diferença na marcação da balança tão pouco alteração no movimento da bola.

Einstein e a Gravitação

A curvatura do espaço Einstein mostrou que a gravitação se deve a uma curvatura do espaço causada pelas massas (curvatura espaço-tempo); Quando a luz passa nas vizinhanças da Terra a trajetória da luz se encurva ligeiramente por causa da curvatura do espaço, um efeito conhecido como lente gravitacional. Devemos atribuir a gravitação à curvatura do espaço-tempo ou a uma força entre as massas? Ou devemos atribuí-la à ação de um tipo de partícula elementar chamado gráviton, como propõem algumas teorias físicas recentes? Simplesmente não sabemos.

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Atividade Prática Supervisionada (APS 2)

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. 8ª Edição V2 Capítulo 13 Problemas: 4, 6, 7, 11, 13, 15, 16, 17, 20, 25, 29, 31, 32, 35, 43, 47, 49, 52, 55, 59, 61, 69;

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Referências

http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=maior-buraco-negro

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