Um conjunto é o agrupamento de um ou mais elemento (O conjunto vazio é exceção). Esses elementos podem ser qualquer objeto imaginável, desde bolinhas de gude a espécies de mamíferos. Portanto, conjunto é um conceito muito amplo e sem restrições na sua utilização.

Diariamente, usamos o conceito de conjuntos para especificar grupos de objetos, pessoas, cores, etc. Com o objetivo de fazer a união ou intersecção deles. Por exemplo, podemos dividir pessoas por etnia, religião, sexualidade. Por não haver limites em sua utilização, eles estão presentes em várias áreas do conhecimento como na Física, Química, Biologia, Engenharias, História, Sociologia, Filosofia. Uma delas é a Matemática.

Na matemática, são usados os conjuntos numéricos, conjuntos compostos por números. A maioria dos livros de matemática conceituam conjuntos numéricos como: os conjuntos cujos elementos são números que apresentam características comuns entre si. Desse modo, o dividimos em cinco conjuntos numéricos fundamentais: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.

Conjunto dos números Naturais: N

São os números mais simples. Foram desenvolvidos por pastores, mercadores e, mais tarde, por matemático para fazer contagens de objetos como ovelhas, pedras ou moedas. Esse conjunto inicia-se com o zero, que representa o nada, e aumenta-se de um em um. O processo pode se repetir infinitamente e, por conseguinte, não tem fim.

Conjunto dos números Inteiros: Z

São todos os números que estão dentro do conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos: “os negativos”. Os números negativos, que são representados pelo sinal de menos, foram desenvolvidos para representar a ausência ou a falta de um objeto. Segundo Leda Bastoni, os números negativos surgiram com o desenvolvimento da álgebra que na época dos antigos gregos se resumia a equações do primeiro e segundo grau. O conjunto dos números inteiros abrange todos os números positivos e negativos que só podem ser encontrados com somas e multiplicações e o número zero.

Conjunto dos números Racionais: Q

Engloba este conjunto aqueles números que fazem parte dos números Inteiros, acrescentando-se os números decimais finitos e os decimais infinitos periódicos (aqueles que repetem uma sequência de algarismos), conhecidos como dizima periódica.

Conjunto dos números Irracionais: I

É composto pelos decimais infinitos não periódicos (um belo exemplo disso seria o π). Decimais infinitos não periódicos são aqueles números que têm parte decimal

e que essa além de ser infinita repete-se sem periodicidade, ou seja, não há como formar um padrão desses algarismos.

Conjunto dos números Reais: R

Podemos afirmar que é a mãe de todos os conjuntos anteriores, todos os anteriores fazem parte dele. Assim, também podemos dizer que é a união dos Irracionais com os Racionais. Abrange todos os números conhecidos com exceção dos números complexos que apresentam um conceito bastante abstrato e não serão abordados aqui.

Conjunto Vazio: { }

Como o próprio nome diz, é um conjunto que não possui elementos. É importante perceber que o número zero, que representa o nada, é um elemento numérico. E por isso não se deve confundir um conjunto que apresenta apenas o zero (um elemento) com o conjunto vazio.

Uma Função é, de uma forma bem simples, uma relação de correspondência entre dois ou mais conjuntos. Pense em quaisquer dois conjuntos. Um chama-se A e outro, B. Um elemento qualquer de A terá um correspondente em B. O conjunto A recebe o nome de Domínio e o B, Imagem.

A função está presente em nosso dia a dia. No simples ato de comprar pães já a utilizamos: precisando apenas relacionar a quantidade de pães comprados com o valor gasto, é uma forma de função, no qual dizemos que o preço a pagar é (y) e a quantidade de pães (x), podendo, assim, criar a função. Usamos o mesmo princípio para uma variação da posição (s) em função do tempo (t) e velocidade (v) na Física.

Existem vários tipos de função: função Bijetiva, Injetiva, Sobrejetiva, linear, modular, trigonométrica, logarítmica, entre outras, mas vamos abordar apenas a Injetiva, já que ela será a única usada nesse artigo.

Função Injetiva

Uma função Injetiva é aquela que apresenta um valor de imagem diferente para cada elemento distinto do Domínio. Em outras palavras, que os elementos de A apresentam apenas uma correspondência em B.

Agora que sabemos o que é uma função, podemos chegar ao nosso objetivo que é conceituar a função biométrica. Imagine que estamos em período de eleições. Chega o primeiro domingo de Outubro, dia das votações, e você vai até a sua seção de votação. Após fazer a identificação com o mesário, você vai até a cabine de votação e exerce seu direito de cidadão de um país democrático. Esse será o cenário da nossa analogia.

Durante o processo de votação, todo eleitor tem que se identificar. A identificação é necessária por dois motivos:

Primeiramente, para registrar que você votou. Assim, torna-se possível saber quantas pessoas votaram no fim do dia (somando todos que foram identificados) ou quantas deixaram de votar (subtraindo esse valor do total que era esperado e sem considerar o voto facultativo de maiores de 70 anos, menores de 18 com mais de 16 anos e analfabetos1).

O segundo motivo é uma prevenção contra pessoas que tentem votar novamente no mesmo dia (uma vez que já votei, se eu tentar votar de novo, estará registrado que já votei naquele dia e serei impedido) ou contra pessoas que tentem se passar por outras (por isso que é exigido documentos com foto). O principal motivo da implantação da leitura biométrica da digital nas seções eleitorais é aumentar a segurança do sistema eleitoral brasileiro. Com ela, fica muito mais difícil que alguém se passe por outro sem ser percebido. Como dito, as digitais são “únicas” e por isso é EXTREMAMENTE improvável que duas pessoas diferentes tenham as suas digitais iguais.

Vimos que uma função transforma cada elemento de certo conjunto (Domínio) em outro elemento (a Imagem). Podemos aplicar essa ideia para a urna ou para qualquer sistema de identificação biométrica, a Função Biométrica.

Você eleitor! Ao colocar o dedo na máquina que realizará a leitura da tua digital, está exercendo a função de elemento do Domínio. Sendo assim, todas as pessoas que já votaram naquele dia fazem parte de um conjunto chamado Domínio da Função Biométrica. Para quem é mais familiarizado com conceitos da informática, o elemento do Domínio é o valor da entrada, a informação que é inserida na máquina.

Tendo o domínio, podemos entender melhor nossa Função Biométrica. Durante o processo da identificação, o microcomputador do aparelho recebe uma informação, a fotografia da sua digital (elemento do Domínio). Ele analisa-a e registra a presença do eleitor. Você acaba de se tornar a imagem da Função Biométrica e todos esses elementos são armazenados em outro conjunto o Conjunto Imagem. Pode-se interpretar a Imagem como o conjunto formado pelas saídas que microcomputador fornece ou as confirmações das presenças dos eleitores.

Como dito antes, uma mesma pessoa não pode votar duas vezes e nem se passar por outra. A Função Biométrica obedece a essas duas exigências, mas como? Para que alguém não vote duas vezes, na Função Biométrica, não pode haver duas imagens iguais (Lembrando que a confirmação da presença de cada eleitor são os elementos imagem). A minha digital só confirma o meu voto (afinal, é única) e, assim, não há como haver duas imagens iguais, a menos que eu tente votar mais de uma vez no mesmo dia. Dessa forma, chega-se à conclusão que a Função Biométrica deve ser uma Função Injetiva! É durante a análise da fotografia que o microcomputador vê se esse mesmo elemento já votou (se o seu voto já foi confirmado).

Também podemos fazer outros exemplos. O Alfonso, um banqueiro muito rico, tem um cofre que se abre apenas com identificação da sua íris. Chamaremos essa íris

1 Dados tirados do site do TSE

que abre o cofre de íris-chave. Perceba que podemos aplicar a Função biométrica a esse exemplo também (com algumas alterações).

Nosso Domínio para o cofre continua sendo o mesmo. Ele é a entrada que daremos ao leitor biométrico. O leitor do cofre fotografará a íris de quem tentar usa-lo. Essa fotografia será analisada por um microcomputador e será comparada com a íris-chave.

O Conjunto Imagem será formado pela saída que o nosso microcomputador dará. Essa saída é uma confirmação que o cofre dá comunicando que minha tentativa foi válida (não necessariamente o cofre vai abrir). Notem que não é necessário haver algo como um HD para salvar todas as íris que serão usadas no leitor do cofre, a menos que se queira ter algo como um histórico de quem acessou o cofre, mas essa é outra história.

O microcomputador será responsável por todas essas tarefas: Captar o elemento do Domínio, Analisar e confirmar ou não a liberação do cofre. Cabe a ele comparar o elemento do Domínio à íris-chave. Se e somente se forem iguais, o cofre abrirá. É fácil perceber que a Função Biométrica continua sendo Injetiva, mas necessita de um tratamento especial para a nossa íris-chave. Quando ela for “detectada” pelo microcomputador, a porta do cofre deve abrir.

Concluímos, depois desses dois exemplos, que para garantir a segurança de uma informação, todos os sistemas de identificação biométrica necessitam obedecer às características de uma Função Injetiva.

A ideia de uma Função Injetiva nos garante a integridade, a confidencialidade e disponibilidade que são vitais para um sistema biométrico. Tendo em vista que uma função Injetiva reserva um elemento de Imagem distinto para cada elemento do Domínio, cada usuário do serviço biométrico tem direito a um distinto elemento da Imagem que só ele pode acessar. O usuário é portador de uma característica única, digital ou qualquer outra característica única dele, e, com ela, ele terá acesso a seus dados guardados. Assim que se garante a segurança do processo e a validade da Função Biométrica.

Referências:

LEDA MARIA BASTONI TALAVERA, Uma abordagem histórica dos números negativos. Disponível em http://www.ccuec.unicamp.br/revista/infotec/artigos/leda.html. Acesso em 13 de Mai. 2015.