3. FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

Em teoria de controle, funções chamada funções de transferência são comumente usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A função de transferência de um sistema de equação diferenciais lineares é definida como a relação da transformada de Laplace da saída para a transformada de Laplace da entrada.

Consideramos o sistema definido pela seguinte equação diferencial:

ad y

dta

d y

dta

dy

dta y b

d x

dtb

d x

dtb

dx

dtb xn

n

n n

n

n m

m

m m

m

m

1

1

1 1 0 1

1

1 1 0... ...

Onde y é saída do sistema e x é a entrada e n m.

A função de transferência do sistema é obtida tomando-se a transformada de Laplace de ambos os membros da equação.

função de transferência G ssaída

entradaLL

[ ]

[ ]condições iniciais nulas.

G sY s

X s

b s b s b s b

a s a s a s a

b s

a s

mm

mm

nn

nn

ii

i

m

ii

i

n( )( )

( )

...

...

1

11 0

11

1 0

0

0

Usando o conceito de função de transferência, é possível representar a

dinâmica do sistema pelas equações algébricas em "s".

A aplicabilidade do conceito da função de transferência é limitada aos sistemas de equações diferenciais lineares invariantes no tempo.

26

FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIAS DE SISTEMAS DINÂMICOS

Suponha a seguinte equação diferencial de ordem :

V CdT

dtwC T T Qi ( )

Se o processo está inicialmente no estado estacionário, portanto:

T T

T T

Q Qi i

i

0

0

0

A saída T está relacionada às entradas Ti e Q pelo balanço de energia no estado-estacionário.

0 wC T T Qi( )

Para eliminar a dependência do modelo das condições estacionárias, subtrai-se a relação no estado-estacionário da equação diferencial do modelo.

V CdT

dtwC T T T T Q Qi i ( ) ( )

V

w

d T T

dtT T T T

wCQ Qi i

( )( ) ( )

1

fazendo T T T T T T e Q Q Qi i i , temos:

V

w

dT

dtT T

wCQi

1

Substituindo :

V

we K

wC

1 temos:

dT

dtT T KQi

Aplicando Laplace:

sT s T T s T s KQ si' ' ' ' ' 0

27

Como T'(0) = 0 então:

sT s T s T s KQ si' ' ' '

s T s T s KQ si 1 ' ' '

T ss

T sK

sQ si' ' '

1

1 1

Portanto:

T s G s T s G s Q si' ' ' 1 2

Onde:

G ss1

1

1

G sK

s2 1

COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

1- É um modelo matemático expresso através de uma equação diferencial que relaciona a saída com a entrada.

2- Independe da magnitude e da natureza da entrada .

3- Inclui as unidades das entradas e saídas.

4- Não fornece informações sobre a estrutura física do sistema.

5- Pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-se entradas conhecidas e analisando as saídas.

28

PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

GANHO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A variação da saída no estado-estacionário é calculado diretamente, fazendo S = O. Em G(s) dá o ganho no estado-estacionário do processo, se ele existe.

O ganho no estado-estacionário é a razão entre a variação da saída com a variação da entrada.

Ky y

x x

b

a

2 1

2 1

0

0

Onde : 1 e 2 indicam diferentes estados-estacionários .

ORDEM DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A ordem da função de transferência é a maior potência de "s" no denominador do polinômio que é a ordem da equação diferencial equivalente. O sistema é chamado de n-ésima ordem.

CONSTANTE DE TEMPO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Se ambos o numerador e denominador forem divididos por ao polinômio característico (denominador) pode ser fatorado na forma de produto

( ) i si 1 . O termo em "s" é chamado constante de tempo (i) que dá uma

informação da velocidade e das características da resposta do sistema.

REALIZAÇÃO FÍSICA

Dado um sistema descrito por

G sb s b s b s b

a s a s a s am

mm

m

nn

nn( )

...

...

11

1 0

1 11

1 0

é fisicamente possível se .

29

PÓLOS E ZEROS

Dada a função de transferência:

G sb s b s b s b

a s a s a s am

mm

m

nn

nn( )

...

...

11

1 0

1 11

1 0

Esta expressão pode ser fatorada em

G s

b

a

s z s z s z

s p s p s pm

n

m

n

1 2

1 2

...

...

onde: zi são os zeros da função de transferência

pi são os pólos de função de transferência

Os pólos e zeros tem um papel importante na determinação do comportamento dinâmico do sistema.

Podemos visualizar o tipo de comportamento dinâmico associado a cada tipo de pólo:

distintos e reais; pares complexos e conjugados (a ± b j); múltiplos

raízes forma Lugar das

raízes

Comportamento

1 pólos reais e negativos p1 = -a1

y t C e a t 1

1

2 pólos reais e positivosp1 = a1

y t C ea t 11

3 pólos complexos conjugados com parte real negativa

p1 = - a + bip2 = - a - bi

y t e C bt C btat 1 2cos sen

4 pólos imaginários puros

p1 = bip2 = - bi

y t C bt C bt 1 2cos sen

5 pólos complexos conjugados com parte real positiva

p1 = a + bip2 = a - bi

y t e C bt C btat 1 2cos sen

30

PROCESSO

Os processos reais consistem na combinação de sistemas básicos elementares. É fundamental para o bom conhecimento desses processos entender o comportamento dos sistemas elementares.

SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

Sistemas de primeira ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por equações diferenciais de primeira ordem .

Modelo

ady

dta y bu1 0

Onde: y - Variável saídau - Variável entrada

a

a

dy

dty

b

au

dy

dty K up p

1

0 0

Parâmetros de dinâmica

p - constante de tempoKp - ganho do processo

Função de transferência

No domínio “s” temos:

p p

p

p

sy s y s K u s G sK

s

1

31

Exemplo

Um reator de mistura perfeita , com nível constante e reação de primeira ordem.

Balanço Material

VdC

dtF C C KCA

A A A 0

0

VdC

dtF K C FCA

A A

V

F K

dC

dtC

F

F KCA

A A

0

dC

dtC K CA

A p A 0

onde:

KF

F Ke

V

F Kp

No domínio "s" temos :

p A A p AsC s C s K C s 0

G s

C s

C s

Kp

sA

A p

01

A resposta dinâmica de primeira ordem depende do tipo de entrada

Resposta ao degrau

32

G s

C s

C s

Kp

sA

A p

01 (Função de transferência)

C sK

sC sA

p

pA

1 0

C sM

SA0 (Degrau)

C sK

s

M

SA

p

p

1

No domínio t (transformada inversa de Laplace)

C t K M eA p

tp

1

SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Sistema de segunda ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por equações diferenciais de segunda ordem.

Também pode ser composto por duas funções de transferência de ordem em série.

Modelo

ad y

dta

dy

dta y bu

a

a

d y

dt

a

a

dy

dty

b

au2

2

2 1 02

0

2

21

0 0

22

2 2d y

dt

dy

dty k up

se considerarmos n 1

e multiplicando todos os termos por n2 temos:

33

d y

dt

dy

dty k un n p n

2

22 22

Parâmetros de dinâmicos

Kp - Ganho estacionário do processo x - Fator de amortecimento - Determina a velocidade da resposta ( equivalente à constante de

tempo do processo )n - Freqüência natural de oscilação do processo.

Função de transferência

No domínio "s" temos

2 2 2s y s sy s y s K u sp

G s

y s

u s

K

s sp

2 2 2 1

ou

s y s sy s y s K u sn n p n2 2 22

G s

y s

u s

K

s sp n

n n

2

2 22

Há três formas importantes das funções de transferência de segunda ordem:

FormaFaixa doFator de

Amortecimento

característica de resposta do

sistema

características dos pólos (raízes)

1 > 1 sobre amortecido

pólos reais e distintos

2 = 1 criticamente amortecido

pólos reais e iguais

3 0 < < 1 sub amortecido

pólos complexos e conjugados

O caso mais importante é o sistema sub-amortecido.

34

Há uma série de parâmetros de interesse na resposta do sistema.

Freqüência de Oscilação Amortecida

d n dou

112

2

Período de Oscilação Amortecida

Pdd

2

Rise Time(tr) - tempo de subida - Tempo onde a resposta alcança o

novo estado-estacionário pela vez. É uma medida da velocidade de resposta do sistema ao degrau.

trd

2

Time to first peak (tp) - instante para o pico - Tempo em que o

sistema atinge o pico.

t pd

Settling Time - tempo de estabilização - Tempo requerido para que o processo tenha a resposta na banda de 5% do estado- estacionário

35

t sn

4

Overshoot - sobre-sinal - Quantidade máxima na qual a resposta ultrapassa o valor do estado-estacionário. É representado como uma fração do valor em estado-estacionário.

Oa

bes

1 2

Decay-ratio - razão de decaimento - Razão entre as amplitudes de dois picos consecutivos.

Dc

aO er s

22

1 2

SISTEMAS COM TEMPO MORTO

O tempo morto é uma característica presente em muitos processos, é conhecida como dinâmica de tubulação e a propriedade do sistema de responder a uma entrada após um certo tempo, td.

Modelo

y t x t td

Parâmetros de dinâmica

td - Tempo morto

Função de transferência

Gp s

y s

x se t d s

36

SISTEMA COM RESPOSTA INVERSA

A resposta inversa é o resultado de dois efeitos opostos.

Função de transferência

G sK s

s sonde

p a

a

1

1 10

1 2

ou

G sK

s

K

s

1

1

2

21 1

supondo K1 e K2 positivos, então K12 < K21.

37

PROCESSOS DE INTEGRADORES

Processos integradores são aqueles que não estabilizam com o tempo. Um caso típico é um sistema de nível de líquido.

Exemplo - Nível de Líquido

Adh

dtq qi

fazendo q q qi temos:

Adh

dtq

No domínio "s" temos

Ash s q s

h sAs

q s 1

h s

q s As

1

38