Função modular

Função modular

• Distância entre dois pontos do eixo real• Consideremos uma pessoa localizada no ponto A de

abscissa 5 do eixo real, no qual a unidade adotada é o quilômetro.

Prof. Meire de Fátima

-A distância da pessoa, em relação à origem do referencial é de 5 km.

- Se a pessoa estivesse do outro lado ou seja na posição –5 km, estaria também a 5 km de distância da origem, só que em sentido contrário ao positivo ( adotado)


Definição:

• Sejam A e B dois pontos do eixo real com abscissas xa e x b , e indica-se por d AB ou

d BA a diferença x b - xa

d BA = x b - xa

A B

XA XB


Módulo de um número real

• Módulo de um número real é a distância entre dois pontos do eixo das abscissas.

• | x | = d AB = x b - xa = 5 – (0) = 5

• | x | = d CA = xA – x c = 0 – (-5) = 5

• | 5 | = 5 • | - 5 | = 5 -5 0 5

C A B


PROPRIEDADES DOS MÓDULOS

• P1- | x | ≥ 0, qualquer que seja x R ∈• P2- | x | = 0 ↔ x = 0

• P3 - | x | = d ↔ x = ± d, com d R ∈ +

• P4 - | x | . | y | = | xy | ∀ x, y ∈ R • P5 - | x | n = x n ⇒ n é par ∀ x, com x R e n ∈ IN∈

P6- 0y e IRy}com{x,y},{x,,||

|| ≠⊂∀=y

x

y

x


Como construir gráfico da função modular:

f(x) = |x|

Isto implica em duas situações:

F(x) = x , se x ≥ 0 e f(x) = - x, se x < 0

Assim construímos uma tabela, aplicando as duas sentenças:

x y

-3 3

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

3

2

1


Seja f(x) = | x – 1 | x – 1 ≥ 0 x ≥ 1 | x – 1 | = 0 - ( x – 1 ) < 0 -x +1 < 0 -x < -1 x > 1 Dom(f) = IR Im(f) = [0, +∞[

1

1

y

x


Um outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau , sendo f(x) = |x2 – 4| , assim : , assim temos o gráfico:


EQUAÇÕES MODULARES

Observe a seguinte situação:

Uma indústria teve, no ano de 2007, um faturamento de R$ 400.000,00. No ano de 2008, o faturamento dessa indústria apresentou uma diferença de R$ 45.000,00, em relação ao ano anterior. Como não sabemos se a diferença de R$ 45.000,00, foi para mais ou para menos. Então chegamos a seguinte situação:

F – 400.000,00 = 45.000,00 ou 400.000,00 – F = 45.000,00

Para representar estas duas equações ( F é a incógnita), podemos utilizar o módulo considerando a diferença de R$ 45.000,00 como valor absoluto:

| F – 400.000,00| = 45.000,00 que é uma equação com a incógnita em módulo.

Obtemos então duas sentenças e resolvemos as duas:

| F – 400.000| = ± 45.000 F – 400.000 = + 45.000 ou F – 400.000 = - 45.000

F = 45.000 + 400.000 F = - 45.000 + 400.000

F = 445.000 F = 355.000

Assim o faturamento pode ter sido de R$ 445.000,00 ou de R$ 355.000,00


Mais um exemplo:

Resolver a equação | x2 – 5x | = 6

| x2 – 5x | = ± 6

x2 – 5x = + 6

x2 – 5x = - 6

x2 – 5x = + 6 x2 – 5x = - 6

x2 – 5x - 6 = 0 ∆= 49 X´ = 6 e x” = -1

x2 – 5x + 6 = 0∆= 1X’ = 3 e x” = 2

Logo, S = { -1, 2, 3, 6 }


Agora, observe este exemplo:

|3x-4| ≤ -1

Como 3x – 4 é um número positivo, pois está em módulo, NÃO HAVERÁ NENHUMA

SOLUÇÃO PARA A SITUAÇÃO ACIMA. POS, NÃO HÁ UM NUMERO MAIOR QUE ZERO QUE SEJA MENOR OU IGUAL A -1

ASSIM A SOLUÇÃO É O CONJUNTO VAZIO

S = ∅


CONCLUINDO;

SE a é um número positivo, temos

| x | > a qualquer que seja a pertencente aos números reais

SE a é um número negativo

|x | > a ⇒ ∀ x ∈ IR ⇒ S = IR

| x | < a ⇒ não existe x ∈ IR ⇒ S = vazio


INEQUAÇÕES MODULARES

As inequações modulares do tipo |f(x)| > a ( ou com as relações ≥ , ≤ , < ), com a ∈ IR, podem ser resolvidas por meio das propriedades:

P8- |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a , ∀ a, com a ∈ I ≤ R.

Exemplo:

| x | ≤ 5 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5

P9- |x| < a ⇔ -a < x < a , ∀ a, com a ∈ I ≤ R.

Exemplo:

|x| < 4 ⇔ -4 < x < 4


P10 - |x| ≥ x ⇔ x ≤ - a ou x ≥ a, ∀ a, com a ∈ IR.

Exemplo:

|x| ≥ 6 ⇔ x ≤ -6 ou x ≥ 6

P11-| x | > a ⇔ x < - a ou x > a , ∀ a, com a ∈ IR.

Exemplo:

| x | > 2 ⇔ x < - 2 ou x > 2


Resolver em IR a inequação | 3x –1 | ≤ 8

Pela propriedade P8, temos:

| 3x – 1 | ≤ 8 -8 ≤ 3x – 1 ≤ 8 .

Esta desigualdade é equivalente a:

3x – 1 ≤ 8 ou 3x – 1 ≥ -8

3x ≤ 8 +1 3x ≥ -8 + 1

3x ≤ 9 3x ≥ -7

x ≤ 3 x ≥ -7/3

O conjunto solução S do sistema è:

-7/3

3

-7/3 3S = { x ∈ IR / -7/3 ≤ x ≤ 3 }

I

II

I ∩II


Resolver a inequação: | x2 – 5x | > 6

Pela propriedade P11 Temos:

| x2 – 5x | > 6 ⇒ x2 – 5x < - 6 ou x2 – 5x > 6

Resolvendo por Bháskara as duas inequações, obtemos:

x2 – 5x + 6 < 0 ou x2 – 5x - 6 > 0

X’ = 2 ou x” = 3 x’ = -1 ou x” = 6


Agora é com você:

Resolva em IR as inequações modulares:

a) | 3x + 2 | ≥ 5

b) |x2 + x – 1 | < 1

c) | 2x + 1 | ≤ 2

d) | 3x – 7 | < -1

e) 1 < | x | < 4

Vamos lá você consegue!

Prof. Meire.


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