Funções 1o grau
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Definição
Gráficos das Funções do 1º grau
Determinação da função dados dois pontos
Equações do 1º grau
Inequações do 1º grau
Uma função f : ℝ ⟶ ℝ é denominada função Afim, quando sua expressão algébricaé um binômio do primeiro grau, ou seja:
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃.
Exemplos:
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5
𝑓 𝑥 = −𝑥 + 3
𝑓 𝑥 =𝑥
2− 4
𝑓 𝑥 = 𝑒. 𝑥 + 𝜋
DEFINIÇÃO
Definição: Dada uma função qualquer f : ℝ ⟶ ℝ . Se tomarmos um ponto 𝑥 dodomínio da função e um ∆𝑥 ∈ ℝ, chama-se taxa de variação da função f nointervalo [𝑥, 𝑥 + ∆𝑥] o número :
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 =∆𝑦
∆𝑥=
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Conclusão : As Funções Afim se caracterizam porapresentarem uma inclinação constante (igual a 𝒂)no seu gráfico. Portanto, têm como gráfico uma reta.
No caso das Funções Afim, 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, e teremos:
∆𝑦
∆𝑥=
𝑎 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑏 − (𝑎𝑥 + 𝑏)
∆𝑥=
𝑎. ∆𝑥
∆𝑥= 𝑎
Notemos que a taxa de variação da função nointervalo [𝑥, 𝑥 + ∆𝑥] corresponde a inclinação da reta𝑷𝟏𝑷𝟐 , secante ao gráfico da função.
∆𝑦
∆𝑥
xx x+∆x
y = f (x+∆x) – f (x)
y
f (x)
f (x+∆x) P2
P1
x
O QUE CARACTERIZA A FUNÇÃO AFIM
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM
Como vimos anteriormente a inclinação do gráfico deuma função afim é constante.
x
y
Porém, há infinitas possibilidades de retas com a mesmainclinação. Como determinar qual delas corresponde areta procurada ?
Para isso, vamos investigar qual o valor de 𝑓(𝑥), para𝑥 = 0.
Conclusão : Dada uma função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃, oseu gráfico será uma reta com inclinação 𝒂, e queintercepta o eixo y no ponto (𝟎, 𝒃).
𝑓 0 = 𝑎. 0 + 𝑏 = 𝑏
b
𝑎 =∆𝑦
∆𝑥
•
𝑓(0)
Por isso as Funções Afim são também chamadas de Funções Lineares
Ou seja, dada uma função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 seugráfico é uma linha reta, cuja inclinação é constante eigual a 𝒂.
Função Constante: Função Identidade:𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑏
𝑥
𝑦
𝑎 = 0
𝑏 = 0 𝑒 𝑎 = 1•
CASOS PARTICULARES DE FUNÇÕES AFIM
𝒂 = 𝟎 significa inclinação zero, ou seja, uma reta horizontal. 𝒂 =
∆𝑦
∆𝑥= 1 , significa que a reta
é a bissetriz do 1º quadrante.
𝒃 = 𝟎, significa que a reta passa na origem;
𝑥
𝑦
•
𝑓 0 = 0
Diz-se que duas grandezas (x e y) são proporcionais quando existe uma relação dotipo 𝒚 = 𝒄. 𝒙 entra elas, onde 𝒄 é uma constante.
Nesse caso podemos ter as seguintes situações:
Quando: 𝑐 > 0
• 𝑥 cresce ⇒ 𝑦 cresce , se 𝑥 decresce ⇒ 𝑦 decresce;
• Se 𝑥 duplica ⇒ 𝑦 duplica , se 𝑥 triplica ⇒ 𝑦 triplica , etc.
• Neste caso diz-se que 𝑥 e 𝑦 são diretamenteproporcionais;
Quando: 𝑐 < 0
• 𝑥 cresce ⇒ 𝑦 decresce , se 𝑥 decresce ⇒ 𝑦 cresce;
• Neste caso diz-se que 𝑥 e 𝑦 são inversamenteproporcionais;
PROPORCIONALIDADE
𝑥
𝑦
𝑐 =∆𝑦
∆𝑥
𝑥
𝑦
𝑐 =∆𝑦
∆𝑥
MÉTODO PRÁTICO PARA DESENHAR O GRÁFICO
x
y
(0, 𝑏)•
• Primeiro: Sabemos que o gráfico é uma reta e,portanto, basta que tenhamos dois de seus pontospara poder traça-la;
Dada a função : 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 , como traçar seu gráfico ?
• Segundo : Sabemos que 𝑏 = 𝑓 0 , o que nosfornece o primeiro ponto (𝟎, 𝒃)
• Terceiro : Para obter mais um ponto da reta vamosfazer 𝑓 𝑥 = 0, que nos dará o ponto onde a retacruza o eixo 𝑥
𝑓 𝑥 = 0
Basta agora unir os dois pontos para traçar o gráfico.
Mas 𝑓 𝑥 = 0 ⇒ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑥 = −𝑏
𝑎Logo temos o segundo ponto (−
𝒃
𝒂, 𝟎)
(−𝑏
𝑎, 0)
•
FUNÇÕES LINEARES - EXEMPLOS
Funções Lineares Crescente e Decrescente
a. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 b. 𝑓 𝑥 =𝑥
2− 2 c. 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 3
Crescente : 𝒂 > 𝟎 Decrescente : 𝒂 < 𝟎
Esboce o gráfico das funções abaixo
x
y
(0,1)
𝑏 = 1 𝑒 𝑎 = 2
−1
2, 0
•
•
𝑏 = −2 𝑒 𝑎 =1
2
x
y
(0,−2)
4,0
•
•
x
y
(0,3)
3,0
•
•
𝑏 = 3 𝑒 𝑎 = −1
DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO AFIM CONHECENDO-SE DOIS PONTOS
Sabemos da geometria que uma reta fica perfeitamentedeterminada a partir de dois de seus pontos.
Mas como determinar a expressão algébrica de uma funçãoafim, a partir de dois de seus pontos 𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1 e𝑃1 = (𝑥2, 𝑦2)
Como os dois pontos pertencem a reta, suas coordenadasdevem satisfazer a equação 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 .
x
y
•
•𝑃2(𝑥2, 𝑦2)
𝑃1(𝑥1, 𝑦1)
Logo, podemos substituir os valores dos dois pontos dadosna expressão geral da função afim, o que nos fornecerá:
𝑎𝑥1 + 𝑏 = 𝑦1
𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑦2
Resolvendo o sistema linear acima, podemos obter os valores de 𝒂 𝑒 𝒃
Determinar as Funções Afim a seguir a partir dos pontos dados
𝑎 + 𝑏 = 1
2𝑎 + 𝑏 = −2 0𝑥 + 𝑏 = 03𝑎 + 𝑏 = 2
−2𝑎 + 𝑏 = 1𝑎 + 𝑏 = −2
EXEMPLOS
𝑃1 = (1,1)
𝑃2 = (2,−2)
𝑃1 = (0,0)
𝑃2 = (3,2)
𝑃1 = (−2,1)
𝑃2 = (1,−2)
Fazendo E2 – E1 temos :
𝑎 = −3
Substituindo em E1 :
−3 + 𝑏 = 1 ⇒ 𝑏 = 4
Logo temos :
𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 4
De E1 temos: 𝑏 = 0
Substituindo em E2 :
3𝑎 = 2 ⇒ 𝑎 =2
3
Logo temos :
𝑓(𝑥) =2
3𝑥
Fazendo E2 – E1 temos :
3𝑎 = −3 ⇒ 𝑎 = −1
Substituindo em E2 :
−1 + 𝑏 = −2 ⇒ 𝑏 = −1
Logo temos :
𝑓 𝑥 = −𝑥 − 1
EQUAÇÕES DO 1º. GRAUO ZERO DE UMA FUNÇÃO AFIM
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO LINEAR
x
Caso 1 : a > 0
x
Caso 2 : a < 0
Equações do 1º. Grau são equações do tipo :
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
x
y
b••
Zero ou Raiz𝑓(𝑥) = 0 Zero de uma função linear
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇔ 𝒙 = −𝒃
𝒂
𝑓 𝑥 > 0
𝒙 = −𝒃
𝒂
𝑓 𝑥 < 0
𝒙 = −𝒃
𝒂𝑓 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 < 0••
INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Sentenças do Primeiro Grau
Conjunto Solução de uma Inequação Regras de Manipulação algébrica
É o conjunto dos valores de 𝒙 quetornam a sentença verdadeira. Lembrar que ao multiplicar ambos
membros de uma desigualdadepor um número negativo, o sinalda desigualdade tem que serinvertido.
São sentenças que podem ser colocadas na forma:
𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝟎 ou 𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝟎
𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎 ou 𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝟎
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0}
Exemplos :
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0}
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0}
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0}
Exemplo:
−𝑥 ≥ −3⇒ 𝑥 ≤ 3
EXEMPOS - INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Determinar o conjunto solução das seguintes inequações
a. 2x - 5 > 0 b. 3 - 2x ≥ x - 12 c. - 4x ≤ 16
x
Neste caso 𝑎 = 2 > 0
𝑓 𝑥 > 0𝒙 = −
−𝟓
𝟐=
𝟓
𝟐
•
Logo :
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 >5
2
Colocando na forma padrão:
−𝑥 − 2𝑥 + 15 ≥ 0 ⇒
−3𝑥 + 15 ≥ 0
x
Neste caso 𝑎 = −3 < 0
𝑓 𝑥 ≥ 0 𝒙 = −𝟏𝟓
−𝟑= 𝟓
•
Logo :
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 5
x
Neste caso 𝑎 = −4 < 0
Colocando na forma padrão:
−4𝑥 − 16 ≤ 0
•
Logo :
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ −4
𝑓 𝑥 ≤ 0
𝒙 = −−𝟏𝟔
−𝟒= −𝟒
Exemplos: Determinar o conjunto solução dos seguintes sistemas
SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Conjunto Solução: O Conjunto solução de um sistema de inequações é formado pelainterseção dos conjuntos solução das desigualdades que compõe o sistema.
a. 2𝑥 − 3 < 14 − 3𝑥 < 13
b. 3𝑥 − 4 > 0−𝑥 + 5 ≥ 0
2𝑥 − 3 < 1 ⇒ 2𝑥 − 4 < 0 ⇒ 𝑥 = −−4
2= 2
1ª inequação:
4 − 3𝑥 < 13 ⇒ -3𝑥 − 9 < 0 ⇒ 𝑥 = −−9
−3= −3
2ª inequação:
⇒ 𝑆1 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 2
⇒ 𝑆2 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > −3
𝑎 > 0
𝑎 < 0
𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 = 𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 2 𝑒 𝑥 > −3
0-3 2
2𝑥 − 3 < 1 ⇒ 2𝑥 − 4 < 0 ⇒ 𝑥 = −−4
2= 2
1ª inequação:
4 − 3𝑥 < 13 ⇒ -3𝑥 − 9 < 0 ⇒ 𝑥 = −−9
−3= −3
2ª inequação:
⇒ 𝑆1 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 2
⇒ 𝑆2 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > −3
𝑎 > 0
𝑎 < 0
𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 = 𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 2 𝑒 𝑥 > −3
0-3 2
INEQUAÇÕES-PRODUTO E QUOCIENTE
São inequações nas quais aparecem produtos ou quocientes de monômios do1º grau. Para resolvê-las, devemos lembrar que um produto (ou quociente) seránegativo de seus fatores tiverem sinais contrários e positivo se os sinais forem iguais.
Exemplos: Determine o conjunto solução das seguintes inequações
a. 𝒙 − 𝟐 ∙ 𝟏 − 𝟐𝒙 ≤ 𝟎
𝑥 = 21º fator: 𝑎 > 0 e
x
𝑓 𝑥 > 0𝑥 = 2•
𝑓 𝑥 < 0
𝑥 =1
22º fator: 𝑎 < 0 e
𝑓 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 < 0•𝑥 =
1
2
𝑥 − 2 − − +
1 − 2𝑥 + − −
Produto − + −
𝒙 =𝟏
𝟐𝒙 = 𝟐
1 220••
b. 𝒙+𝟒
𝒙−𝟏≥ 𝟎
𝑥 = −41º fator: 𝑎 > 0 e
x
𝑓 𝑥 > 0𝑥 = −4•
𝑓 𝑥 < 0
𝑥 = 12º fator: 𝑎 > 0 e
𝑓 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 < 0
•𝑥 = 1
𝑥 + 4 − + +
𝑥 − 1 − − +
Quociente + − +
𝒙 = −𝟒 𝒙 = 𝟏
-4 20••
INEQUAÇÕES-PRODUTO E QUOCIENTE
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