Funções
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Tipos de Função As funções possuem algumas propriedades que as caracterizam f : A→B. Função sobrejetora Função injetora Função bijetora Função inversa Função sobrejetora : uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for especificadamente igual ao contradomínio, Im = B. Por exemplo, se temos uma função f : Z→Z definida por y = x +1 ela é sobrejetora, pois Im = Z. Função injetora: uma função é injetora se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas. Por exemplo, dada a função f : A→B, tal que f(x) = 3x. Função bijetora : uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Por exemplo, a função f : A→B, tal que f(x) = 5x + 4. Note que ela é injetora, pois x1≠x2 implica em f(x1) ≠f(x2) É sobrejetora, pois para cada elemento em B existe pelos menos um em A, tal que f(x)=y. Função inversa : uma função será inversa se ela for bijetora. Se f : A→B é considerada bijetora então ela admite inversa f : B→A. Por exemplo, a função y = 3x-5 possui inversa y = (x+5)/3.
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Tipos de Funo
As funes possuem algumas propriedades que as caracterizam f : AB.
Funo sobrejetoraFuno injetoraFuno bijetoraFuno inversa
Funo sobrejetora: uma funo sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for especificadamente igual ao contradomnio, Im = B. Por exemplo, se temos uma funo f : ZZ definida por y = x +1 ela sobrejetora, pois Im = Z.
Funo injetora: uma funo injetora se os elementos distintos do domnio tiverem imagens distintas. Por exemplo, dada a funo f : AB, tal que f(x) = 3x.
Funo bijetora: uma funo bijetora se ela injetora e sobrejetora. Por exemplo, a funo f : AB, tal que f(x) = 5x + 4.
Note que ela injetora, pois x1x2 implica em f(x1) f(x2) sobrejetora, pois para cada elemento em B existe pelos menos um em A, tal que f(x)=y.
Funo inversa: uma funo ser inversa se ela for bijetora. Se f : AB considerada bijetora ento ela admite inversa f : BA. Por exemplo, a funo y = 3x-5 possui inversa y = (x+5)/3.
Podemos estabelecer a seguinte diagramao:
Note que a funo possui relao de AB e de BA, ento podemos dizer que ela inversa.
Composio de trs ou mais funes
Sabemos que uma funo uma relao existente entre duas variveis, onde uma depende do valor da outra, formando assim pares ordenados que podem ser representados no plano cartesiano. Observe alguns exemplos de funes e suas definies:
f(x) = 2x + 1 note que f leva cada valor de x ao resultado 2x + 1.
g(x) = 2x note que f leva cada valor de x ao resultado 2x.
Mas, e se quisermos chegar a um determinado resultado aplicando um nmero real sucessivamente lei das funes: f e g? Para esse tipo de situao utilizamos as propriedades de uma funo composta, nesse caso devemos originar uma nova funo, observe: h(x) = g(f(x)), funo h a composta de g com f.
f(x) = 2x + 1 e g(x) = 2x
h(x) = g(f(x)) h(x) = g(2x+1) h(x) = 2 * (2x+1) h(x) = 4x + 2
Exemplo 1 Dada as funes f e g de domnio real definidas por f(x) = 3x 2 e g(x) = 4x + 1. Determine a lei que define:
a) f(g(x)) f( 4x + 1) 3( 4x + 1) 2 12x + 3 2 12x +1
b) g(f(x)) g(3x 2) 4(3x 2) + 1 12x + 8 + 1 12x + 9
Exemplo 2 Sejam as funes f(x) = 2x 6 e g(x) = x + 10, determine o valor de:
a) f(g(2) f(2 + 10) f(2) 2*2 6 4 6 2
b) f(g(5) f(5 + 10) f(15) 2*15 6 30 6 24
c) g(f(6)) g(2*(6) 6) g(12 6) g(18) 18 + 10 8
d) g(g(3) g(3 + 10) g(13) 13 + 10 23
Representao esquematizada de funes compostas:
Por Marcos NoGraduado em MatemticaEquipe Brasil Escola
