Aula 5 Funes lineares ou afim.

Objetivos: . Definir funes lineares ou Afim.

. Resolver situaes problemas com aplicaes de funes afim.

. Aplicaes de inequaes lineares em problemas de otimizao de custos.

Na nossa aula anterior, chegamos expresso de uma funo linear, a partir da construo de uma equao da reta. Vimos que uma funo linear pode ser escrita na forma y = ax + b, onde o parmetro a representa o coeficiente angular da reta e o parmetro b, chamado de coeficiente linear, corresponde ao ponto onde a reta intercepta o eixo y.

Definio formal: Funo linear uma funo que varia a uma taxa constante em relao varivel independente. O grfico de uma funo linear uma linha reta.

Situao problema: A gua potvel utilizada em propriedades rurais, de modo geral, retirada de poos com o auxlio de uma bomba-d'gua eltrica. Em certo stio, para abastecer o reservatrio de gua, utilizada uma bomba-d'gua com capacidade para bombear 15 litros por minuto. Essa bomba ligada automaticamente quando o reservatrio est com 250 litros de gua e desligada ao ench-lo.

a) Com essas informaes, escreva uma frmula que permita calcular a quantidade de gua contida no reservatrio em funo do tempo em que a bomba permanece ligada, considerando que no haja consumo de gua durante esse perodo.

b) Qual o volume no reservatrio aps 20 minutos de funcionamento da bomba?

c) Caso o volume total de seu reservatrio seja de 2000 litros, quanto tempo demoraria para ench-lo?

d) Construa um grfico representativo e interprete o mesmo?

Soluo: a) y = ax + b y = 15x + 250

tempo em que a bomba

quantidade de litros de permanece ligada

gua

y = 15 x + 250

litros de gua quantidade inicial de litros de

bombeados por minuto gua no reservatrio

b) Aps 20 minutos: y = 15 . 20 + 250

y = 300 + 250

y = 550 litros

c) para um volume de 2000 litros, teremos:

2000 = 15x + 250

2000 250 = 15 x

1750 = 15 x

x = 1750/15

x = 116,67 minutos

d) Construo do grfico:

y(litros)

550

500

250

0 10 20 x (minutos)

Interpretao: Calcule a inclinao desta reta. O que se observa?

a = yB yA a = 550 250 = 300 = 15xB xA 20 0 20

Portanto, o coeficiente angular representa a taxa de variao da minha funo, que no nosso problema corresponde quantidade de litros que estar sendo bombeado por minuto.

O ponto onde a reta intercepta o eixo y, corresponde ao valor da quantidade inicial de gua no reservatrio (coeficiente linear).

Observao: A funo linear tambm pode ser expressa na forma:

f(x) = ax + b

Sugestes de pesquisa:1) Quando se vai furar um poo em uma propriedade, o mesmo pode ser artesiano ou semi artesiano. Qual a diferena entre os dois?

2) Quais as tcnicas usadas na perfurao de um poo semiartesiano e um artesiano?

3) A gua retirada destes poos pode ser usada sem fazer analise da qualidade da mesma?

4) Nas cidades, geralmente o abastecimento de gua feito pela Sabesp ou em algumas cidades pela prefeitura. Pergunta-se: permitido abrir poos semiartesianos ou artesianos em uma residncia urbana?

5) Como se procede para determinar o local de abertura de um poo?

Tipos de Grfico:

a) Quando a > 0 b) Quando a 0) ou negativa (y 0

y 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0

Unifeob: Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Fundamentos de Matemtica

Atividades de Funes Lineares

1) O custo de um fabricante de pisos cermicos consiste em um custo fixo de R$ 40,00 e um custo varivel de

R$ 10,00 por m produzido. Expresse o custo total em funo do nmero de m produzidos e desenhe o grfico associado. 2) Uma firma de cartes de crdito calcula que a dvida mdia D dos portadores de cartes de crdito era de R$ 7.853,00 no ano 2000 e R$ 9.127,00 em 2005. Suponha que essa divida aumenta a uma taxa constante.a) Expresse D como uma funo linear de t, o nmero de anos aps o ano 2000 e desenhe o grfico correspondente.

b) Use a funo obtida para estimar qual foi a divida mdia dos usurios de cartes no ano de 2010.

c) Em que ano, aproximadamente, a dvida mdia dos usurios de cartes de crdito ser duas vezes maior que no ano de 2000?

3) Uma construtora compra R$ 180.000,00 em equipamentos; esses equipamentos sofrem uma depreciao linear que reduz seu valor para R$ 130.000,00 em 5 anos.

a) Expresse o valor dos equipamentos em funo do tempo e desenhe o grfico associado.

b) Determine o valor dos equipamentos 3 anos aps a aquisio.

c) Aps quanto tempo os equipamentos perdem totalmente o valor? Para o empresrio, talvez no seja interessante esperar tanto tempo para se desfazer dos equipamentos. Discuta os fatores que o empresrio pode levar em conta para decidir qual a melhor ocasio para vender os equipamentos.

4) Em algumas regies do mundo, observou-se que o nmero N de mortes por semana est relacionado concentrao x de dixido de enxofre no ar. Suponha que tenha havido 97 mortes quando x = 100 mg/m e 110 mortes quando x = 500 mg/m.

a) Qual a relao funcional entre N e x?

b) Use a funo obtida no item (a) para determinar o nmero de mortes por semana quando x = 300 mg/m.c) Para que concentrao de dixido de enxofre 100 pessoas morrem por semana?

d) Leia a respeito dos efeitos da poluio sobre a taxa de mortalidade. Escreva um texto dissertativo com pelo menos 20 linhas, a respeito do assunto e dizendo se possvel e de que forma um Engenheiro pode contribuir para a reduo destes ndices de mortalidade devido poluio do ar.

5) Durante uma seca, os moradores do condado de Marin, na Califrnia, tiveram que enfrentar uma sria escassez de gua. Para combater o desperdcio, as autoridades aumentaram drasticamente as tarifas. O preo para uma famlia de quatro pessoas passou a ser de 1,22 dlares por 100 ps cbicos de gua para os primeiros 1.200 ps cbicos, 10 dlares por 100 ps cbicos para os 1.200 ps cbicos seguintes e 50 dlares por 100 ps cbicos para consumos maiores.

a) Expresse o valor de gua para uma famlia de quatro pessoas em funo do consumo de gua em centenas de ps cbicos.b) Faa um grfico representativo do custo em funo do consumo de gua.

c) Qual a relao entre 1 m e 1 p?

d) Faa uma pesquisa a respeito de como cobrado o custo de gua de sua cidade em funo do consumo.

e) Na sua cidade existe um plano para diminuio de consumo de gua, caso ocorra uma estiagem considervel? Como este plano?

f) Voc como um futuro Engenheiro Civil, poderia criar um plano para diminuio deste consumo, que no se baseasse somente no aumento de preo por consumo? De que maneira?6) Uma Empresa de Mquinas de Terraplenagem A cobra R$ 90,00 a ttulo de deslocamento da mquina mais R$ 20,00 por hora trabalhada. Outra empresa B cobra R$ 95,00 mais R$ 15,00 por hora trabalhada. Se voc tiver que contratar uma destas empresas, em que condies contrataria A ou B, para obter um lucro maior?7) Para que valores de x o volume do prisma B maior que o volume do prisma A?

A B

x + 3

3

5 x + 1

2 5

8) Um aluno do curso de Engenharia Civil representou a casa onde mora por meio do esquema.

a) Quais so as medidas reais da cozinha da casa deste aluno, sabendo que essa casa tem 10 m de comprimento por 7,5 m de largura?

b) Qual foi a escala utilizada por ele ao fazer o esquema de sua casa?

c) Escreva uma funo que permita calcular as medidas reais m, em metros, de cada cmodo da casa, por meio das medidas x, em centmetros, indicadas no esquema.

d) Qual a constante de proporcionalidade da funo que voc escreveu no item c?

e) Faa um esquema representativo de sua casa, usando este conceito.

9) A figura abaixo representa um terreno em formato triangular e outro em formato retangular, com as medidas de seus lados em funo de uma varivel x. 102x 2x 2x 2x x 10a) Qual a funo que expressa o permetro p de cada terreno, em relao medida x?

b) Qual o maior valor inteiro que x pode assumir para que o permetro do terreno triangular seja menor que o retangular?

10) Quando h reduo no preo de um produto, geralmente a procura dos consumidores por ele se torna maior. Em Economia, essa situao representa a chamada lei de demanda, segundo a qual, ao reduzir o preo de determinado produto, a quantidade demandada, ou seja, a quantidade mxima do produto que os compradores esto dispostos a adquirir aumenta.Em relao ao mercado, acontece uma situao inversa. Quando o preo de um produto sofre uma elevao, h um aumento na quantidade ofertada; quando o preo reduzido, a quantidade ofertada diminui. Esta a chamada lei da oferta, tambm utilizada em Economia.

Quando as variaes de preo tendem a no ocorrer, pode-se dizer que h um equilbrio no mercado. Esse equilbrio acontece para o preo do produto em que a quantidade ofertada igual quantidade demandada, ou seja, compradores adquirem e vendedores comercializam a quantidade desejada. Veja no quadro abaixo o preo e a quantidade diria de demanda e oferta de certo produto.

PreoQuantidade diria demandadaQuantidade diria ofertada

R$ 45,0065120

R$ 40,0075105

R$ 35,00 8590

R$ 30,009575

a) Em relao ao quadro apresentado, represente os dados graficamente e escreva a funo f que associa o preo x quantidade diria demandada pelos consumidores e a funo g que associa o preo x quantidade diria ofertada pela distribuidora.b) Utilizando as duas funes, determine o ponto de equilbrio do mercado.

c) Pensando agora, se esses produtos fossem apartamentos que uma construtora de sua propriedade estivesse vendendo no mercado e que estivesse havendo um excesso de oferta, que estratgias voc proporia para tentar uma quantidade maior de vendas?

d) Se a demanda por apartamentos estiver superior quantidade de apartamentos colocados venda, o que isto poderia acarretar?