Funções potência da forma - professores.uff.br · técnicas usadas na demonstração das...
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Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 08
Parte 8 Matemática Básica 1
Funções potência da forma f (x) = xn,com n ∈ N
Parte 8 Matemática Básica 2
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x �→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Parte 8 Matemática Básica 3
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x �→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par (isto é, f (−x) = f (x) para todo x ∈ R).
(2) A função f é crescente em [0,+∞[.Prova: use a identidade
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0,+∞[. Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Parte 8 Matemática Básica 4
Folha 1
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x �→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar (isto é, f (−x) = −f (x) para todo x ∈ R).
(2) A função f é crescente em R =]−∞,+∞[.Prova: use a identidade
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R =]−∞,+∞[. Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Parte 8 Matemática Básica 5
Proposição
Seja f : R → R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Parte 8 Matemática Básica 6
Revisão: funções da forma x elevado a n
Parte 8 Matemática Básica 7
Funções potência: a função raizquadrada
Parte 8 Matemática Básica 8
Folha 2
A função raiz quadrada
f : [0,+∞[ → [0,+∞[x �→ y = f (x) = x2
� Já demonstramos que f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é injetiva.
� Já mencionamos que f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
� Logo f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é bijetiva e, portanto, inversível.
� A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremosa notação √
x
para representarf−1(x).
� Note então que, se a ≥ 0, então√
a é o único número real ≥ 0 que, elevadoao quadrado, dá o número real a.
Parte 8 Matemática Básica 9
Explicando. . .Se a ≥ 0, então
√a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞[ → [0,+∞[x �→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞[ → [0,+∞[x �→ y = f−1(x) =
√x
� a ≥ 0, pois como vamos calcular√
a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, queé igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞[.
�√
a é único, pois se não fosse único, f−1 não seria uma função.
�√
a ≥ 0, pois√
a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual aodomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞[.
�√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
Parte 8 Matemática Básica 10
A função raiz quadrada
(Ir para o GeoGebra)
Parte 8 Matemática Básica 11
Propriedades
� ∀a ∈ R,√
a2 = |a|.
� ∀a, b ≥ 0,√
a · b =√
a ·√
b e ∀a, b ≤ 0,√
a · b =√−a ·
√−b.
� ∀a ≥ 0, ∀b > 0,√
ab=
√a√b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,√
ab=
√−a√−b.
� A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√b.
� ∀a, b ≥ 0,√
a + b ≤ √a +
√b.
Parte 8 Matemática Básica 12
Folha 3
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale tambémque p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que√
a2 = p = |a|.
Parte 8 Matemática Básica 13
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,√
a · b =√
a ·√
b e ∀a, b ≤ 0,√
a · b =√−a ·
√−b.
Demonstração. Considere o número p =√
a · √b. Note que p =√
a · √b ≥ 0 comoproduto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (
√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (√
a ·√
b)2 = (√
a)2 · (√
b)2 = a · b.
Como√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-se que
√a · b = p =
√a · √b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0,
√a · b =
√−a · √−bfica como exercício.
Parte 8 Matemática Básica 14
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0, ∀b > 0,√
ab=
√a√b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,√
ab=
√−a√−b.
Demonstração. Considere o número p =√
a/√
b. Note que p =√
a/√
b ≥ 0 comodivisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (
√a/
√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√a√b
)2
=(√
a)2
(√
b)2=
ab.
Como√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-se que
√a/b = p =
√a/
√b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√a/b =
√−a/√−b fica como exercício.
Parte 8 Matemática Básica 15
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√b.
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,√
b > 0, b − a > 0 e√b +
√a > 0. Uma vez que
(b − a) = (√
b −√a) · (
√b +
√a),
podemos escrever que √b −√
a =b − a√b +
√a.
Assim,√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular,
√a <
√b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então√
a ≤ √b.
Parte 8 Matemática Básica 16
Folha 4
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,√
a + b ≤ √a +
√b.
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e√
a +√
b ≥ 0como soma de dois números ≥ 0. Note também que
√a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√b ⇒ a + b ≤ a + 2 · √a ·
√b + b ⇒ a + b ≤ (
√a +
√b)2.
Como 0 ≤ a + b ≤ (√
a +√
b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√a + b ≤
√(√
a +√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√(√
a +√
b)2 = |√a +√
b| = √a +
√b.
Portanto, vale que√
a + b ≤ √a +
√b.
Parte 8 Matemática Básica 17
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,√
a + b ≤ √a +
√b.
Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, porexemplo, a = 9 e b = 16:
√a + b = 5 < 7 = 3+4 =
√a+
√b. Quando vale a igualdade?
Resposta:
a, b ≥ 0 e√
a + b =√
a +√
b ⇔ a = 0 ou b = 0.
Parte 8 Matemática Básica 18
Exercício
As funções f (x) =
√x − 1x − 2
e g(x) =√
x − 1√x − 2
são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, porexemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2,+∞[ e Dg = (2,+∞[.
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞[, as duas funções sãoiguais:
f∣∣∣∣(2,+∞[
= g∣∣∣∣(2,+∞[
.
Parte 8 Matemática Básica 19
Funções potência: a função raizn-ésima
Parte 8 Matemática Básica 20
Folha 5
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞[ → [0,+∞[x �→ y = f (x) = xn , com n par.
� Já demonstramos que f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é injetiva.
� Já mencionamos que f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
� Logo f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é bijetiva e, portanto, inversível.
� A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
� Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Parte 8 Matemática Básica 21
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : ]−∞,+∞[ → ]−∞,+∞[x �→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
� Já demonstramos que f : ]−∞,+∞[→]−∞,+∞[ é injetiva.
� Já mencionamos que f : ] − ∞,+∞[→] − ∞,+∞[ é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
� Logo f : ]−∞,+∞[→]−∞,+∞[ é bijetiva e, portanto, inversível.
� A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
� Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Parte 8 Matemática Básica 22
A função raiz n-ésima
(Ir para o GeoGebra)
Parte 8 Matemática Básica 23
Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0,+∞[.
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Parte 8 Matemática Básica 24
Folha 6
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
� Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
� Se n é par, ∀a, b ≥ 0, n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0, n√
a · b = n√−a · n
√−b.
� Se n é par, ∀a ≥ 0, ∀b > 0, n
√ab=
n√
an√
be ∀a ≤ 0, ∀b < 0, n
√ab=
n√−an√−b
.
� A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
� Se n é par, ∀a, b ≥ 0, n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Parte 8 Matemática Básica 25
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
� Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
� Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
� Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab=
n√
an√
b.
� A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
� Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0, n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Parte 8 Matemática Básica 26
Observações
� As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−i bi .
� Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1 − 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3√−1.
Parte 8 Matemática Básica 27
Mais propriedades
� Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
� Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
� Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
� Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Parte 8 Matemática Básica 28
Folha 7
Funções da formax elevado a menos n
Parte 8 Matemática Básica 29
Funções da forma x elevado a menos n
y = f (x) = x−n =1xn , com n ∈ N e x �= 0
(1) f é uma função par se n é um número par e f é uma funçãoímpar se n é um número ímpar.
(2) f é uma função decrescente no intervalo (0,+∞[.
(3) Se 0 < x < 1, então1xn <
1xn+1 .
(4) Se 1 < x , então1
xn+1 <1xn .
Parte 8 Matemática Básica 30
Funções da forma x elevado a menos n
Parte 8 Matemática Básica 31
Funções da forma x elevado a menos n
Parte 8 Matemática Básica 32
Folha 8
Funções da forma x elevado a p/q(fração irredutível)
Parte 8 Matemática Básica 33
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível)
y = f (x) = xp/q, com p ∈ Z−{0}, q ∈ N e p/q fração irredutível
(1) Se p > 0, q > 0 e q é par, então, por definição,
xp/q =q√
xp
para todo x ≥ 0.
(2) Se p > 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição,
xp/q =q√
xp
para todo x ∈ R.
Parte 8 Matemática Básica 34
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível)
y = f (x) = xp/q, com p ∈ Z−{0}, q ∈ N e p/q fração irredutível
(1) Se p < 0, q > 0 e q é par, então, por definição,
xp/q =1
x−p/q =1
q√
x−p
para todo x > 0.
(2) Se p < 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição,
xp/q =1
x−p/q =1
q√
x−p
para todo x ∈ R− {0}.
Parte 8 Matemática Básica 35
Exemplos
x5/3 =3√x5, ∀x ∈ R. x3/8 =
8√x3, ∀x ≥ 0.
x−5/4 =1
x5/4 =1
4√
x5, ∀x > 0.
x−2/3 =1
x2/3 =1
3√
x2, ∀x �= 0.
Parte 8 Matemática Básica 36
Folha 9
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível)
Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível?
3/2 = 6/4 mas
2√x3 está definida para x ≥ 0
enquanto que
4√x6 está definida para x ∈ R.
Parte 8 Matemática Básica 37
E potências irracionais?
Parte 8 Matemática Básica 38
Como calcular 3√
2?
Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de√
2!
Aproximação de√
2 Aproximação de 3√
2
1.4 31.4 = 375 = 4.6555367217460790 . . .
1.41 31.41 = 3141100 = 4.7069650017165727 . . .
1.414 31.414 = 3707500 = 4.7276950352685357 . . .
1.4142 31.4142 = 370715000 = 4.7287339301711910 . . .
1.41421 31.41421 = 3141421100000 = 4.7287858809086143 . . .
Parte 8 Matemática Básica 39
Folha 10