I) Funções vetoriais a valores reais -...

Funções de várias variáveis

I) Funções vetoriais a valores reais:

Sendo I um intervalo da reta real: domínio da função fExemplo:

Curvas no espaço tri-dimencional R3

Quando uma partícula se movimenta no espaço R3, ela descreve

uma curva r(t) denominada trajetória.

(t))f(t),....,f(t),(ff(t) t

n21

n RR If:

(t))f(t),f(t),(ff(t) t

321

3

RR If:

))(),(),(((t))r(t),r(t),(r(t)r t

],[

321

3

tztytx

RbaI:r

P(t)

r(t)It

r

0 X

Y

r: vetor posição em relação ao origem de coordenadas

r=(x,y,z); {x=x(t),y(t),z(t)}

Uma curva plana é um conjunto r de pares ordenados de reais ( f(t), g(t) ), em que f(t) e g(t) são funções reais contínuas em um intervalo I.

I

tf

gP

Y

y

0 x X

r =(x,y) curva no plano R2

x = f(t) equaçãoy = g(t) paramétrica

http://www.mat.ufpb.br/sergio/curso/graficos_vet.html

usando Maple

> restart; #helicoide

> with(plots):

> a:=3: v:=2: # dados para ajustar a curva

> spacecurve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t=0..5*Pi, axes=box,

labels=[x,y,z], thickness=2);

> restart; #cicloide

> with(plots):

> v:=2:w:=1:R:=2:

> plot( [v*t-R*sin(w*t), R-R*cos(w*t), t=0..5*Pi],

scaling=constrained, thickness=2, color=blue,labels=[x,y]);

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/ci

cloide.htm

Domínio e imagem de uma função vetorial.

D t )),(),(),(()( t

: 3

tztytxtf

RRDf

O domínio de f=Domín(f)=D1∩D2∩D3

D1=domínio de x(t), x: D1 R

D2=domínio de y(t), y: D2 R

D3=domínio de z(t), z: D3 R

Exemplo: seja ),1()( tttf Determine o domínio D de f

D1: t-1 ≥ 0, t ≥ 1 ou seja t ϵ [1,∞>

D2: t ϵ <-∞,∞>

D= D1∩ D2= [1,∞>, a imagem esta formada pela figura:

yxtytx 1 ,,1 2, isto é uma parábola com vértice

em (0,1), aberta para +y.

Regras básicas de derivação de uma funçãovetorial.

Limite e continuidadeDefinição: Sejam r uma curva no espaço, tal que

r(t)=(x(t),y(t),z(t)) = x(t) i+ y(t) j + z(t) k,

Logo, dizemos que r tem limite em L a media que t se aproxima a to e escrevemos assim:

Continuidade:Uma função vetorial r(t) serácontínua em um ponto t=t0, no seu domíniose

3 02 01 0

321 0

lz(t) lim,ly(t) lim,l x(t)lim

),l,l,(lLr(t)lim

tttttt

tt

),)(z),(y),((x)(r(t)rlim 0000 0tttttt

Derivada de uma função vetorialDefinição: Seja r uma curva no espaço, ela é derivável outem derivada, se as derivadas das componentes x,y,z estãobem definidas.

Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial. Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A função r´(t) é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t).

),dt

dz,

dt

dy,

dt

dx(

t

r(t)-t)r(tlim)´(

0

t

dt

drtr

Algumas regras úteis para deriva de funções vetoriais.

L

P0

0 Y

X

Z

P

V

Equação vetorial da reta L

Seja P=(x,y,z) ϵ L,

P0=(x0,y0,z0) ϵ L,

V é um vetor paralelo a L.

Logo:

é a equação vetorial de L

Forma paramétrica:

x=x0 + vx t

Y=yo + vy t

z=z0 + vz t

Sendo v=(vx,vy,vz)

t}{: 0 VPPL

ExercíciosExercício 1.- Determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t)de uma partícula que descreva a seguinte curva (trajetória)r(t)=(2t, 3t2,3t+4)m.

Exercício 2.- Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva, definida assim:

R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v=R.w =2.a) Determine a posição e a velocidade no instante t=0s, e t=3π/2.b) Determine o vetor unitário tangente à trajetória no instante t=3π/2, e a equação da reta tangente a curva α no instante t=3π/2.

2: RI

Rcos(wt)),-RRsin(wt),-(vtα(t)t:α

Integral de uma função vetorialSeja f(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, se as componentes de f são integráveis sobre I=[a,b],então

Exemplo: Calcular a integral da funçãof(t)= ((cos(w t))2, v t, t3+2t+1)

Comprimento de arco para curvas lisasQuando uma partícula percorre uma determinadaTrajetória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimento desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se denominacomprimento de arco

ktzjtyitxdttf

b

a

b

a

b

a

b

a

))(())(())(()(

Comprimento de arco 22 dydxdl

Definição: O comprimento de uma curva lisa

r(t)=x(t) i + y(t) j + z(t)k, t ϵ [a,b] que aumenta conforme

t aumenta de t=a ate t=b é

dtdt

dz

dt

dy

dt

dxL

b

a

)()()( 222

Comprimento de arco

Se

então a formula do comprimento de arco fica

Exemplo: Determine o comprimento de arco

da ciclóide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0 e t= 2pi

0 2 t

),,( zyx vvvdt

drv

dttrdtvL

b

a

b

a

|)('|||

FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO

t

t

t

t

vdtdt

rdts

00

dt ||)(

)(tvdt

ds

s(t) é o comprimento da curva r(t) desde o instante t0 ate o instante t. Sendo v o módulo da velocidade, ou chamadatambém como velocidade escalar. Usando um pouco de cálculo

Importante:Como s=s(t) entãoLogo : O comprimento de arco de uma curva arbitrária nãoDepende da parametrização.

dtdt

dsds

ds || |)(

|

1

0

1

0

st

tds

rddt

dt

trdL

“O comprimento de arco de uma curva entre dois pontos é invariante pela reparametrização”

Exercícios1.- estude a continuidade da função vetorial f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2pi.2.- Determine o limite da função vetorial f(t)=(2t3,4t2,3t+4) quando t se aproxima a t0=1.3.-Do exercício anterior determine f´(t) para todo t ϵ R. qual é o ângulo que forma o vetor f´(t) como o vetor f(t) no instante t.4.-Determine a função comprimento de arco s(t) para a ciclóide do exercício 2.

TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOS

ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53

Movimento de uma partícula no espaço R3

Sabemos que 1T.T ,||

v

V

V

VT

0. Tdt

Td

vTtV .)(

Analisemos a velocidade de uma partícula

Derivando esta equação temos

ds

Td 2vTaa t Definamos :

||ds

TdK

Curvatura K

v

T

dt

dsdt

dT

ds

TdK

||||||

Definiçõ: Vetor unitario Normal

ds

Td

k

ds

dTds

Td

N1

||

k

1

Seja o radio de curvatura

FinalmenteN

2

vTaa t

Aceleração instantâneaa

dt

dvaT Aceleração tangencial

2vacpta Aceleração centrípeta ou radial

Sempre orientada á parte concava

Da trajetória.

Triedro de Frenet-Serret

NTB Vetor binormal

Exercícios

1.- Provar que

2.- Provar que

3.- Provar que

1|| B

v

Va

V

VaaT

.

||

.

3

||

v

aVk

Exercícios.. Continua

4.- Em relação á ciclóide estudada no começo

a) Determine o vetor T, N,B para a ciclóide no instante

t=3pi/2.

b) Determine a aceleração tangencial e a aceleração

centrípeta para todo instante t. Particularize para

t=3pi/2

c) Determine a curvatura k(t) para todo instante de

Tempo.

c) Interprete seus resultados.


5.- Seja uma partícula descrevendo uma helicóide

r(t)=(2cos(t), 2sen(t),2t) no espaço R3

a) Determine a velocidade e a aceleração instantânea

para todo instante t.

b) Determine o vetor unitario tangente T, para todo

instante t.

c) Determine a equação da reta tangente a helicóide no

Instante t=pi/4.

d) Determine a função comprimento de arco s(t) em

função do tempo t.

e) Determine a aceleração tangencial e a aceleração

centrípeta para todo instante t. Particularize para

t=pi/4.


f).- Determine os vetores N e B para todo instante t.

http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_2.htm


http://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/



Equação de um plano.

Seja um plano M imerso no espaço euclidiano R3 onde

n é um vetor perpendicular ao plano M, então

conhecendo um ponto Po=(xo,yo,zo) que pertence ao

plano P, podemos determinar a equação algébrica que

obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.

Basicamente, ela disse que toda reta contida no plano

(ou todo vetor contido no plano), é perpendicular ao

vetor normal n.

dado n=(a,b,c)

0. PPn o(O produto escalar entre n e P0P é nulo)

Seja P=(x,y,z) um ponto arbitrario do plano M

Equação de um plano.

Onde a constante d pode se achar avaliando a

equação em qualquer ponto que pertence ao plano.

0 dczbyax

r

n

C

A

José Maria

Plano_08

Paralelismo entre rectas e planos o vector director (da recta r) é perpendicular

ao vector (n) normal ao plano

n

s

A

D

C

José Maria

Plano_09

Perpendicularidade entre rectas e planos

o vector director da recta (s ) é colinear

com o vector (n) normal ao plano

n

p

José Maria

P lano_10

Paralelismo entre dois planos

os vectores normais aos planos ( n e p )

são colineares

Interseção de dois planos

n1=(a1,b1,c1)

n2=(a2,b2,c2)

||||

.)cos(

21

21

nn

nn

21211121. ccbbaann

Exercícios.

Exercício 1.- Seja M um plano paralelo ao plano xy

localizada a uma distancia c da origem de coordenadas.

Determine a equação deste plano.

Exercício 2.-Encontre a distancia do ponto Q=(1,2,1)

ao plano M com equação x+y+z=6

Exercício 3.- Seja os planos

M1 : 3x+2y+z+4=0, M2: z=0,

a) Determine o ângulo entre estes planos

b) Determine a equação da reta proveniente da

interseção dos dois planos.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/geometriaeuclid

eana.htm

Site recomendado para entender melhor a geometria euclidiana

I) Funções vetoriais a valores reais -...

Documents

Transcript of I) Funções vetoriais a valores reais -...