funções vetoriais introdução
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FUNES VETORIAIS:
INTRODUO
Docente: Bnia RilhoE-mail: [email protected]
Definio:
ktzjtyitxtrr
ou
jtyitxtrr
)()()()(
)()()(
++==
+==
C
x y
z
As funes x(t), y(t) e z(t) so as componentes de r.
EX: ktjttittttr3232
),,()( ++==
Seja D um subconjunto de IR. Uma funo vetorial de umavarivel , r, com domnio D, uma correspondncia que a cadanmero real t de D associa somente um vetor r(t) em IRn.
plano
espao
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Domnio de uma funo vetorial
o conjunto de todos os valores admissveis para t. Quando ele noestiver especif icado, convencionamos que ser a interseco dosdomnios naturais das funes componentes.
ktjeitrt++= )1(lnEX:
{ }
+==
==
==
Dtz
Dey
Dtx
t
11ln[ [ ] [+= ,11,0D
Grficos de funes vetoriaisDefinimos o grfico de r(t) como a curva paramtrica descrita por suascomponentes. Tal curva traada num sentido especfico medida quet cresce. Esse sent ido chamado de ORIENTAO ou DIREO decrescimento do parmetro.
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Construa o grfico das funes vetoriais a seguir:
)2,3,1()(1. ttttrEX =
),,(cos)(2. tsentttrEX=
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)3,2,cos2()(3. sentttrEX =
FORMA VETORIAL DE UMSEGMENTO DE RETA
Vimos em lgebra Linear que: tvrr += 0
Equao vetorial da reta
Como ,temos:01 rrv =
)( 010 rrtrr += ou 10)1( trrtr +=
que a forma vetorial de uma reta por 2 pontos.
Se quisermos representar apenas o segmento que vaide r0 a r1 temos que restringir .10 t
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CLCULO DE FUNESVETORIAIS
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Limites
0)()( limlim ==
LtrLtratat
Definio: Seja r(t) uma funo vetorial definida para todo t de algumintervalo aberto contendo o nmero a, exceto que r(t) no precisa estardefinida em a. Escrevemos:
Lr(t)
r(t)-L Ltr )( a distncia entre os
pontos finais de r(t) e L quandoesses vetores esto posicionadoscom mesmo ponto inicial.
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TEOREMA
ktzjtyitxtr
ktzjtyitxtr
atatatat)(lim)(lim)(lim)(lim
)()()()(
++=
++=
Sempre que existirem os limites das funes componentes.
Seja a funo vetorial: , encontre o limite da funoquando .
EXEMPLO:
Aplicando LHpital:
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CONTINUIDADE
Dizemos que uma funo vetorial contnua em x=a se:
)(lim)()
)(lim)
)()
trariii
trii
ari
at
at
=
DERIVADASDefinio: Se r(t) for uma funo vetorial, definimos a derivada de r emrelao a t como a funo vetorial r dada por:
h
trhtrtr
h
)()(lim)('
0
+=
Notao: ');(';);( rtrdt
drtr
dt
d
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Interpretao geomtrica da derivada
0>h 0
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O QU SIGNIFICA ESTE TEOREMA NO ESPAO BIDIMENSIONAL?
O QU SIGNIFICA ESTE TEOREMA NO ESPAO TRIDIMENSIONAL?
Retas tangentes a grficos de funes vetoriais
r(t0) C
r(t0)P
Def inio: Seja P um ponto no grf icode uma funo vetorial r(t) e seja r(t0) ovetor posio da origem a P. Se r (t0)existir e for diferente de zero, entodizemos que r(t0) um vetorTANGENTE ao grfico de r(t) em r(t0) ea reta que passa por P que paralelaao vetor tangente denominada RETATANGENTE ao grfico de r(t) em r(t0) .
EQUAO DA RETA TANGENTE
)('.)( 00 trttrr +=
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EXEMPLO: Obtenha as equaes paramtricas da reta tangente hlicecircular x=cos t, y=sen t e z=t, no ponto em que t= .
)('.)( 00 trttrr +=
),0,1(),,(cos)( == senr
)1,cos,()(' tsenttr =
)1,1,0()1,cos,()(' == senr
)1,1,0.(),0,1( += tr
ttz
tty
tx
+=
=
)(
)(
1)(
INTEGRAISkdttzjdttyidttxdttr
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
= )()()()(
ktjeittr t )cos2()( 2 +=
kdttjdteidttdttrt
+
+
=
1
0
1
0
1
0
2
1
0
)cos2()(
EXEMPLO:
] ] ktsenjeit t 101
0
1
0
32
3+
=
jei )1(3
1+=
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ANTIDERIVADAS DE FUNES VETORIAIS
[ ] dttrdttrdttrtrb
dttrkdttkra
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
)()()()()
)()()
2121
=
=
)()(' trtR =
REGRAS DE INTEGRAO
Uma antiderivada de uma funo vetorial r(t) uma funo vetorial R(t)tal que:
Em notao de integral: += CtRdttr )()(
Vetor constante arbitrrio
( ) =+ dtjtti2
32.1
+2
0
2)32(.2 dtjtti
:)5,2()1(
)2,3()(')(.3
=
=
r
ettrquesabendotrObtenha
