UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS

Cincias Exatas e Tecnolgicas

Matemtica para Computao

Prof. Rodrigo Orsini Braga

FUNES

O conceito de funo central em matemtica. Intuitivamente, uma funo pode ser encarada como uma mquina ou um programa de computador que toma um valor de entrada e

retorna um valor de sada. Por exemplo, a funo toma um nmero inteiro como

entrada e retorna o valor . Assim, se introduzimos nesta mquina o nmero 3, surge a resposta 8.

Vamos fazer um estudo mais rigoroso de funes, comeando com uma definio precisa.

Definio de funo: Sejam e conjuntos e seja uma relao de em , isto , .

Dizemos que a relao uma funo de em se para todo elemento existe um nico

elemento tal que .

Segue da definio acima que uma funo de em um conjunto de pares ordenados

tais que a cada elemento corresponde um, e somente um, elemento , ou seja,

um tipo especial de relao de em .

Exemplo: Sejam e e sejam as relaes

e .

A relao uma funo de em , mas a relao no, pois , , mas .

Como toda funo uma relao, os conceitos de domnio e imagem so uma extenso do que foi feito para definir domnio e imagem de uma relao. Ou seja, se uma funo de

em , ento

e .

Exemplo: Considerando a funo , temos que

e

Observe que se uma funo de em , ento, necessariamente,

e .

Em matemtica, dado costuma-se denotar o nico elemento de para

o qual , e escrevemos:

O smbolo se l: de . Se , diz-se que a imagem de pela funo . A

notao se l: uma funo de para .

Exemplo: Consideremos a funo

.

faz corresponder a cada nmero real o seu quadrado, ou seja, para cada nmero real existe . O domnio de todo o conjunto e a imagem de o conjunto , j

que maior ou igual a zero, qualquer que seja o valor de

Para uma funo com valores em estar bem-definida, precisamos determinar qual o

maior subconjunto de forma que a relao dada seja uma funo de em . Neste caso, dizemos que funo de em e escrevemos .

Exemplo: Vamos determinar o maior subconjunto de para que as relaes ,

e sejam funes de em . Como a diviso por zero impossvel nos

reais, temos que para que exista . Portanto . Para ,

s existe raiz quadrada de nmeros reais maiores ou iguais a zero, j que todo nmero real ao

quadrado nunca ser negativo. Portanto, . No caso de s existir

se . Logo,

GRFICOS DE FUNES

Os grficos constituem uma excelente forma de visualizarmos funes cujas entradas e

sadas so nmeros reais. Dada uma funo , construir o grfico de representar, no plano cartesiano, o conjunto de pontos .

Para verificarmos se um grfico no plano cartesiano representa uma funo, podemos aplicar o teste da reta vertical. Qualquer reta vertical s poder interceptar o grfico de uma funo no mximo em um nico ponto, no podendo cortar o grfico duas vezes, por exemplo,

porque ento teramos dois pontos diferentes e pertencentes a , com o que contradiz a definio de funo.

Exemplo: Construir o grfico de .

Exemplo: Construir o grfico de .

.

Exemplo: O crculo de raio 3, representado na figura abaixo, no pode ser o

grfico de uma funo, pois existem retas verticais que contm mais do que um ponto do crculo.

Note, por exemplo, que os pontos e pertencem ao crculo, e o que est em desacordo com a definio de funo.

Uma definio importante: RELAO INVERSA

Dada uma relao qualquer de em , chamamos de relao inversa de , e denotamos por , a relao de em definida por:

.

Em outras palavras, a relao obtida a partir de mediante inverso de todos os seus pares ordenados. Por exemplo, a inversa da relao

Como uma funo um tipo de relao, podemos tambm considerar sua relao inversa .

A questo : se uma funo de em , ser uma funo de em ? Veremos que,

necessariamente, no. Exemplo: Sejam e . Seja definida por

. Temos ento que .

Podemos verificar, por duas razes, que no uma funo de em . Primeiro, porque

e Segundo, pois Assim, neste caso, uma

funo de em , mas no uma funo de em

FUNES INJETORAS, SOBREJETORAS E BIJETORAS

Veremos ento que condies uma funo tem que satisfazer para que sua relao inversa seja funo.

Definio de funo injetora: Uma funo dita injetora se, e somente se,

Ou, equivalentemente,

.

Em outras palavras, injetora se elementos diferentes de correspondem a elementos

diferentes de , isto , se nunca dois elementos de tiverem a mesma imagem pela

Exemplo: A funo no injetora, pois e isto , a imagem de dois nmeros reais diferentes, e o mesmo nmero .

Exemplo: A funo no injetora, visto que e

Isto mostra que a relao inversa de no poder ser uma funo, j que ter duas imagens diferentes ao inverter os pares ordenados.

Assim, para que a inversa de uma funo seja tambm uma funo necessrio que a funo seja injetora, mas no suficiente. O exemplo a seguir ilustra este fato.

Exemplo: Sejam e . Seja definida por

. Assim, . Embora seja injetora, no

uma funo de em j que

Veremos que para a inversa de uma funo ser tambm uma funo, precisa ser, alm de injetora, tambm sobrejetora.

Definio de funo sobrejetora: Uma funo dita sobrejetora se, e somente se,

Em outras palavras, significa que sobrejetora se, e somente se,

.

Exemplo: A funo no sobrejetora, pois , ou seja,

os nmeros reais negativos no aparecem na imagem de , visto que nenhum nmero negativo

o quadrado de um nmero real.

Temos ento o seguinte resultado que d as condies necessrias e suficientes para que a inversa de uma funo seja tambm uma funo.

Teorema: Sejam os conjuntos e e seja uma funo de em . A relao inversa

uma funo de em se e somente se injetora e sobrejetora.

Definio de funo bijetora: Uma funo de em dita bijetora se for injetora e

sobrejetora (ao mesmo tempo). Neste caso, tambm dizemos que uma bijeo de em .

CONTAGEM DE FUNES

Se e so conjuntos finitos, quantas so as possveis funes de em ? Para

responder esta pergunta, temos o seguinte resultado:

Teorema: Sejam e conjuntos finitos, com e . O nmero de funes de em

.

Exemplo: Sejam e . Determinar todas as funes de em

Soluo: O Teorema acima afirma que h funes de em . So elas:

Podemos notar no exemplo acima que algumas das oito funes so sobrejetoras, mas

nenhuma injetora. A razo clara: h demasiados elementos em . Mesmo que procurssemos associar cada elemento de a um elemento diferente de , por ter mais elementos do que , seremos obrigados a associar um elemento de a um elemento de j relacionado

anteriormente. Temos ento o seguinte resultado geral.

Teorema: Sejam e conjuntos finitos e seja funo . Se ento no injetora. Se ento no sobrejetora.

Reescrita na forma contrapositiva, se injetora, ento e se

sobrejetora, ento Conclui-se que se bijetora, ento . O Teorema acima nos remete a um conhecido resultado denominado Princpio da Casa dos Pombos. Embora tenha enunciado muito simples, de grande importncia em vrios problemas de existncia em matemtica.

Princpio da Casa dos Pombos Se pombos so colocados em gaiolas, ento pelo

menos uma gaiola dever conter dois ou mais pombos.

Usando esta simples ideia, podemos concluir que, numa festa com mais de 12 crianas, existiro, necessariamente, pelo menos duas nasceram no mesmo ms. Tambm poderamos concluir que nesta mesma festa, existiro duas crianas nascidas no mesmo dia da semana. Se o nmero de crianas superasse 365, ento duas, pelo menos, aniversariam no mesmo dia com toda certeza.

Imaginando que o conjunto seja o conjunto de pombos e o conjunto de gaiolas, se o

nmero de pombos for maior do que o nmero de gaiolas, pelo menos uma gaiola ter dois ou mais pombos, o que mostra que nenhuma funo injetora. Ao contrrio, se o nmero de gaiolas for maior do que o nmero de pombos, pelo menos uma gaiola no ter pombo algum,

o que mostra que nenhuma funo sobrejetora. Vejamos ento, para ilustrar, um exemplo em que podemos aplicar o Princpio da Casa dos Pombos.

Exemplo: Seja um nmero natural qualquer. Ento existem naturais e , com ,

tais que divisvel por .

Por exemplo, se existem e para os quais que um mltiplo de . Como ento provar o resultado para qualquer ? Vejamos. bem conhecido o fato de que um nmero divisvel por se e s se seu ltimo algarismo for zero.

Dado , consideremos os nmeros naturais .

Os algarismos das unidades desses nmeros tomam valores no conjunto Como h

apenas dez diferentes algarismos das unidades possveis, e como temos nmeros diferentes

, pelo Princpio da Casa dos Pombos, deve haver pelos menos dois desses

nmeros, digamos, e , com o mesmo algarismo das unidades. Subtraindo o menor do maior desses dois nmeros, o resultado ser um nmero com zero como algarismo das unidades, ou

seja, um nmero divisvel por .