FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA -...

Livro-texto EaD

NATAL2010

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE POTIGUAR – UnPPRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEaD

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICALIVRO-TEXTO EaD

NATAL2010

DIRIGENTES DA UNIVERSIDADE POTIGUAR

ChancelariaProf. Paulo Vasconcelos de Paula

ReitoriaProfª. Sâmela Soraya Gomes de Oliveira

Pró-Reitoria de GraduaçãoProf. Cláudio Márcio Campos de Mendonça

Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-GraduaçãoProf. Aarão Lyra

Pró-Reitoria de Extensão e Ação ComunitáriaProfª. Jurema Márcia Dantas da Silva

Coordenação do Núcleo de Educação a DistânciaProf. Barney Silveira Arruda

Coordenação Adjunta do Núcleo de Educação a DistânciaProfª Luciana Lopes Xavier

Fundamentos da Matemática

AARÃO LYRAGRACIANA FERREIRA DIAS

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

LIVRO-TEXTO EaD

Natal/RN2010

EQUIPE DE PRODUÇÃO DE RECURSOS DIDÁTICOS

Criação da ProduçãoProf. Barney Silveira Arruda, M. Sc. Apuena Vieira Gomes, Dra.

Prof. Cláudio Márcio Campos de Mendonça, M. Sc.Profª. Sâmela Soraya Gomes de Oliveira, M. Sc.

OrganizaçãoProfª. Luciana Lopes Xavier, M. Sc.

Profª. Thalyta Mabel Nobre Barbosa, M. Sc.

Coordenação Pedagógica do NEaDEdilene Cândido da Silva, Graduada

Coordenação de Produção de Recursos DidáticosProfª. Luciana Lopes Xavier, M. Sc.

Revisão de Estrutura e Linguagem em EaDProfª. Thalyta Mabel Nobre Barbosa, M. Sc.

Revisão de Língua PortuguesaJanaina Tomaz Capistrano, M. Sc.

Revisão de Estrutura NormativaProfª. Luciana Lopes Xavier, M. Sc.

Revisão TipográficaProfª. Úrsula Andréa de Araújo Silva, M. Sc.

Projeto GráficoLúcio Masaaki Matsuno

CapaSetor de Marketing - UnP

Cyro Lucas Filgueira Souza, Colaboração

DiagramaçãoFirenzze Design & Comunicação

L992f Lyra, Aarão Fundamentos da matemática / Aarão Lyra, Graciana Ferreira Natal: [s.n.], 2010. 190p. : il ; 21cm

Inclui bibliografia ISBN: 978-85-61140-05-2

1. Matemática. I. Dias, Graciana Ferreira. II. Título.

RN/UnP/BCSF CDU 51


CONHECENDO OS AUTORES

Prof. Aarão Lyra

Sou Aarão Lyra, nascido em Natal (RN). Possuo formação técnica em Edi�cações obtida através da Escola Técnica Federal do Ceará, em 1992. Sou Graduado em Licencia-tura em Matemática concluída em 1994 na Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Concluí o doutorado em Engenharia Elétrica com ênfase em Engenharia de Computação, obtido através do Programa de Pós-Graduação em do Departamento de Engenharia Elé-trica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em 2003. Pro�ssionalmente, tra-balhei como Analista de Sistemas Senior na DATANORTE, de 1994 até 2000, em 1997 fui aprovado em concurso para professor substituto da UFRN, para o Curso de Pedagogia, ensinei disciplinas relacionadas à docência da Matemática, em 2000 ingressei no Tribunal de Justiça do Estado do Rio Grande do Norte, onde exerço até hoje funções relacionadas a che�a do Departamento de Desenvolvimento de Sistemas e Aplicativos. Em 1999 fui contratado pela Universidade Potiguar para atuar como professor dos Cursos de Sistemas de Informação e Engenharia de Computação, ministrando diversas disciplinas nas áreas de Matemática, Linguagens Formais e Autômatos e Teoria da Computação. Ainda na Universidade Potiguar, fui Diretor do Curso de Sistemas de Informação. Atualmente sou Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação.

Profª Graciana Ferreira Dias

Olá!! Sou Graciana Dias, natural de João Pessoa (PB). Em toda minha vida escolar sempre me interessei muito por matemática, e por isso decidi fazer minha graduação em matemática. Terminei o meu curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal da Paraíba em 2006. Durante a minha graduação pude trabalhar no Laboratório de Pesquisa da Aprendizagem Cientí�ca (LEPAC), tendo oportunidade de conhecer mais de perto a realidade do ensino de matemática e na elaboração de materiais concretos para auxiliar na aprendizagem. Trabalhei em escolas particulares, com o ensino Fundamental e Médio. Sou mestre em Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte e atualmente sou professora do Departamento de Matemática e Estatística da Universidade do Estado do Rio Grande do Norte.


CONHECENDO FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Antes de iniciar seu estudo sobre o fascinante mundo da matemática, vamos falar um pouco sobre a importância desta disciplina em sua formação acadêmica, e de que ma-neira ela pode lhe ajudar a se colocar melhor no cenário pro�ssional.

O objetivo deste material didático é apresentar a você um conjunto de conceitos básicos de matemática, de forma leve e de fácil assimilação, traçando, sempre que possível, um paralelo entre a teoria e os problemas práticos do seu cotidiano. Os assuntos aqui abor-dados são considerados fundamentais para a construção de um bom alicerce matemático, sendo imprescindíveis para a maioria das áreas de formação acadêmica.

A matemática está presente em praticamente todos os aspectos do conhecimento humano, e devido a sua importância, recebeu por parte de seus estudiosos o carinhoso título de mãe das ciências. Graças a matemática, a ciência, a física e a engenharia encon-traram o suporte sólido e e�caz que sempre embasou às suas teorias, e certamente com a sua ajuda o homem realizou e continua realizando muitas de suas proezas tecnológicas.

Os avanços que tem transformado a vida do homem ao longo dos últimos anos, como os telefones celulares, os automóveis, os aviões, os arranha-céus, etc., têm as suas ori-gens em teorias matemáticas clássicas, que foram – e estão sendo – estudadas por diversos matemáticos. O estudo da matemática oferece a você, aluno, a oportunidade de conhecer o fundamento das teorias responsáveis por estes e outros avanços tecnológicos. Além disso, o hábito de estudar matemática desenvolve o raciocínio, muito útil nas tarefas cotidianas e de apoio à tomada de decisões.

É com muita alegria que oferecemos este material a você esperando você possa extrair o máximo de proveito dele, e que o conhecimento assimilado possa abrir-lhe novos caminhos em sua vida, ampliando seus horizontes.

Seja muito bem vindo aos Fundamentos da Matemática!


PLANO DE ENSINO

1 IDENTIFICAÇÃO

CURSO: NEaD - DISCIPLINAS DE GRADUAÇÃO A DISTÂNCIA

BLOCO CURRICULAR: FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

PROFESSOR(ES) AUTOR(ES): AARÃO LYRA E GRACIANA FERREIRA DIAS

MODALIDADE: A DISTÂNCIA

CARGA HORÁRIA: 40H

2 EMENTA

Números e operações elementares. Razões, proporções e regras de três. Expressões e produtos notáveis. Figuras geométricas, semelhança de triângulos e área de �guras planas. Equações e inequações. Funções. Funções do 1º grau. Funções do 2º grau. Função exponencial. Funções logarítmicas.

3 OBJETIVOS

Instrumentalizar o estudante com ferramentas da matemática a �m de que ele possa resolver situações-problemas relacionadas com sua área pro�ssional.

4 HABILIDADES E COMPETÊNCIAS

• Interpretar informações, de�nições, propriedades e utilizá-las para a solução de problemas práticos ou aquisição de novos conhecimentos.

• Identi�car grandezas mensuráveis a fatos cientí�cos e estabelecer relações existentes entre essas grandezas.

• Conhecer o processo de desenvolvimento e organização da Matemática.• Compreender raciocínio em geral.

5 VALORES E ATITUDES

• Aplicar conhecimentos teóricos à solução de problemas práticos.


6 CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS

UNIDADE I 1. NÚMEROS E OPERAÇÕES ELEMENTARES. 2. RAZÕES, PROPORÇÕES E REGRAS DE TRÊS. 3. EXPRESSÕES E PRODUTOS NOTÁVEIS. 4. FIGURAS GEOMÉTRICAS, SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E ÁREA DE FIGURAS PLANAS. 5. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES.

UNIDADE II6. FUNÇÕES. 7. FUNÇÕES DO 1º GRAU. 8. FUNÇÕES DO 2º GRAU. 9. FUNÇÃO EXPONENCIAL.10. FUNÇÕES LOGARÍTMICAS.

7 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

• Utilização de material didático impresso (livro-texto).• Interação através do Ambiente Virtual de Aprendizagem (UnP Virtual).• Aula Expositiva – Interativa nos momentos presenciais obrigatórios (palestra, mesa redonda,

seminário, ambiente virtual de aprendizagem, entre outros). • Utilização de material complementar (sugestão de �lmes, livros, sites, músicas, ou outro meio

que mais se adeque à realidade do aluno).

8 ATIVIDADES DISCENTES

• Pontualidade e assiduidade na entrega das atividades (propostas no material didático impresso (livro-texto) e/ou Ambiente Virtual de Aprendizagem) solicitadas pelo Tutor.

• Participação nos encontros presenciais obrigatórios.• Realização das atividades avaliativas nos encontros presenciais obrigatórios.


9 PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

O processo de avaliação estará presente em todos os momentos do processo ensino-aprendizagem considerando:• Leitura do de material didático impresso (livro-texto).• Interação com tutor através do Ambiente Virtual de Aprendizagem (UnP Virtual).• Realização de atividades propostas no material didático impresso (livro-texto) e/ou no Ambiente

Virtual de Aprendizagem. • Aprofundamento de temas em pesquisa extra material didático impresso (livro-texto).

10 BIBLIOGRAFIA

10.1 BIBLIOGRAFIA BÁSICA

BONGIOVANNI, Vincenzo; LAUREANO, Jose Luiz Tavares; LEITE, Olímpio Rudinin Vissoto. Matemática. 6. ed. São Paulo: Ática, 1998. 472p.

IEZZI, Gelson et al. Matemática. São Paulo: Atual, 1997. 650p.

IEZZI, Gelson et al. Tópicos de matemática. 2. ed. São Paulo: Atual, 1981. v.2. 305p.

MARANHÃO, Maria Cristina S. de A. Matemática. São Paulo: Cortez, 1994. 197p.

TOLEDO, Marília. Didática de matemática: como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997. 335p.

10.2 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

CASTRUCCI, Bongiovani et al. Matemática. São Paulo: FTD, 2001.


SUMÁRIO

1 NÚMEROS E OPERAÇÕES ELEMENTARES .......................................................................211.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................211.1.1 Apresentação ......................................................................................................................211.1.2 Justificativa ........................................................................................................................211.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................211.2 POR ONDE COMEÇAR ..........................................................................................................211.2.1 História dos números ........................................................................................................211.2.2 Sistema de Numeração .......................................................................................................221.2.2.1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS ................................................................231.2.2.2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO NÃO POSICIONAIS ......................................................241.2.3 Conjuntos Numéricos ........................................................................................................261.2.3.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS .....................................................................271.2.3.1.1 PROPRIEDADES ALGÉBRICAS PARA OS ELEMENTOS DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS..................................................................................................................281.2.3.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ......................................................................291.2.3.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ...................................................................301.2.3.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ...............................................................331.2.3.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ..............................................................................341.2.3.6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ................................................................341.3 RELEMBRANDO .....................................................................................................................351.4 PARA SABER MAIS ...................................................................................................................351.5 O QUE FAZER ..........................................................................................................................36ONDE ENCONTRAR ....................................................................................................................36

2 RAZÕES, PROPORÇÕES E REGRAS DE TRÊS ...................................................................412.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................412.1.1 Apresentação ......................................................................................................................412.1.2 Justificativa ........................................................................................................................412.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................412.2 POR ONDE COMEÇAR ..........................................................................................................422.2.1 Razões ................................................................................................................................422.2.2 Proporções .........................................................................................................................442.2.2.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL ...................................................................................442.2.3 Regra de Três .....................................................................................................................472.3 RELEMBRANDO .....................................................................................................................502.4 PARA SABER MAIS ...................................................................................................................502.5 O QUE FAZER ..........................................................................................................................51ONDE ENCONTRAR ....................................................................................................................52


3 EXPRESSÕES E PRODUTOS NOTÁVEIS ............................................................................553.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................553.1.1 Apresentação ......................................................................................................................553.1.2 Justificativa ........................................................................................................................553.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................553.2 POR ONDE COMEÇAR .........................................................................................553.2.1 Expressões Literais ou Algébricas .......................................................................................563.2.1.1 VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA ............................................563.2.1.2 MONÔMIOS E POLINÔMIOS .........................................................................................583.2.2 Produtos notáveis ..............................................................................................................583.2.2.1 QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS .................................................................593.2.2.2 QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ......................................................603.2.2.3 PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ...................................613.2.2.4 CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS .............................................................................623.2.2.5 CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ..................................................................633.2.2.6 PRODUTO DA FORMA (X + P)(X + Q) ............................................................................643.2.3 Fatoração de Expressões Algébricas ...................................................................................653.2.3.1 FATORAÇÃO COLOCANDO EM EVIDÊNCIA OS FATORES COMUNS ...................653.2.3.2 FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO ..............................................................................663.2.3.4 FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO .............................................673.2.3.6 FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS CUBOS .........................................................693.2.3.7 FATORAÇÃO DA SOMA DE DOIS CUBOS ....................................................................693.2.4 Simplificação de expressões algébricas ...............................................................................703.3 RELEMBRANDO .....................................................................................................................703.4 PARA SABER MAIS ...................................................................................................................713.5 O QUE FAZER ..........................................................................................................................71ONDE ENCONTRAR ....................................................................................................................72

4 FIGURAS GEOMÉTRICAS, SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E ÁREA DE FIGURAS PLANAS ..................................................................................................................................75

4.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................754.1.1 Apresentação ......................................................................................................................754.1.2 Justificativa ........................................................................................................................754.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................754.2 POR ONDE COMEÇAR ..........................................................................................................764.2.1 Um pouco de história ........................................................................................................764.2.2 Figuras geométricas ...........................................................................................................774.2.3 Semelhança de Triângulos ................................................................................................784.2.4 Áreas de figuras planas.......................................................................................................794.3 RELEMBRANDO .....................................................................................................................824.4 PARA SABER MAIS ...................................................................................................................824.5 O QUE FAZER ..........................................................................................................................82ONDE ENCONTRAR ....................................................................................................................83

5 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ................................................................................................87


5.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................875.1.1 Apresentação ......................................................................................................................875.1.2 Justificativa ........................................................................................................................875.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................875.2 POR ONDE COMEÇAR ..........................................................................................................885.2.1 Equações ...........................................................................................................................885.2.2 Solução ou Raiz de uma Equação ......................................................................................895.2.2.1 AS OPERAÇÕES INVERSAS ..............................................................................................895.2.3 Equações do 1° Grau com uma incógnita ..........................................................................905.2.3.1 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1 ° GRAU .................................................................905.2.4 Inequações do 1° Grau ......................................................................................................915.2.4.1 SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES ..........................................................................................925.2.5 Sistemas de Equações do 1 ° Grau .....................................................................................955.3 EQUAÇÕES DO 2° GRAU .......................................................................................................995.3.1 Resolução de equações do 2º grau ...................................................................................1005.4 RELEMBRANDO ...................................................................................................................1025.5 PARA SABER MAIS .................................................................................................................1025.6 O QUE FAZER .........................................................................................................................102ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................103

6 FUNÇÕES .............................................................................................................................1076.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR .............................................................................................1076.1.1 Apresentação ....................................................................................................................1076.1.2 Justificativa ......................................................................................................................1076.1.3 Objetivos .........................................................................................................................1076.2 POR ONDE COMEÇAR ........................................................................................................1086.2.1 A ideia de Função ............................................................................................................1086.2.2 Definição de Função .......................................................................................................1096.2.3 Domínio, contradomínio e imagem de uma Função .......................................................1116.2.4 Gráfico de uma Função....................................................................................................1126.2.4.1 PLANO CARTESIANO.....................................................................................................1126.2.4.2 CONSTRUINDO GRÁFICO DE FUNÇÕES .................................................................1136.2.5 Tipos de Funções .............................................................................................................1156.2.5.1 FUNÇÃO INJETORA .......................................................................................................1156.2.5.2 FUNÇÃO SOBREJETORA ...............................................................................................1166.2.5.3 FUNÇÃO BIJETORA ........................................................................................................1166.2.6 Composição de Funções ..................................................................................................1176.2.7 Função Inversa.................................................................................................................1196.2.7.1 DETERMINANDO A FUNÇÃO INVERSA ....................................................................1206.3 RELEMBRANDO .....................................................................................................................1226.4 PARA SABER MAIS .................................................................................................................1226.5 O QUE FAZER ........................................................................................................................122ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................123

7 FUNÇÕES DO 1º GRAU ......................................................................................................127


7.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR .............................................................................................1277.1.1 Apresentação ....................................................................................................................1277.1.2 Justificativa ......................................................................................................................1277.1.3 Objetivos .........................................................................................................................1277.2 POR ONDE COMEÇAR ........................................................................................................1287.2.1 Estudo da Função do 1º grau ..........................................................................................1287.2.2 Gráfico de uma função do 1º grau ...................................................................................1297.2.3 Crescimento e decrescimento de uma função do 1º grau .................................................1317.2.4 Estudo do sinal da função do 1º grau ..............................................................................1337.2.4.1 ZERO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU .......................................................................1337. 3 RELEMBRANDO ..................................................................................................................1367.4 PARA SABER MAIS .................................................................................................................1367.5 O QUE FAZER ........................................................................................................................136ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................137

8. FUNÇÕES DO 2º GRAU .....................................................................................................1418.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR .............................................................................................1418.1.1 Apresentação ....................................................................................................................1418.1.2 Justificativa .....................................................................................................................1418.1.3 Objetivos .........................................................................................................................1418.2 POR ONDE COMEÇAR ........................................................................................................1428.2.1 Estudo da função do 2º grau ...........................................................................................1428.2.2 Gráfico de uma função quadrática ...................................................................................1428.2.3 Concavidade ....................................................................................................................1448.2.4 Zeros de uma função quadrática ......................................................................................1458.2.5 Vértice da parábola ..........................................................................................................1478.2.6 Construindo o gráfico ......................................................................................................1508.2.7 Valor de máximo e valor de mínimo ................................................................................1518.2.8 Crescimento e decrescimento de uma função quadrática .................................................1528.3 RELEMBRANDO ...................................................................................................................1548.4 PARA SABER MAIS .................................................................................................................1558.5 O QUE FAZER ........................................................................................................................155ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................156

9. FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................................................................................................1599.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR .............................................................................................1599.1.1 Apresentação ....................................................................................................................1599.1.2 Justificativa ......................................................................................................................1599.1.3 Objetivos .........................................................................................................................1599.2 POR ONDE COMEÇAR ........................................................................................................1609.2.1 Potenciação ......................................................................................................................1609.2.1.1 POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL ....................................................................1609.2.1.2 POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO ......................................................................1609.2.1.3 POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL ................................................................1619.2.1.4 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO ..........................................................................161


9.2.2 Funções Exponenciais ......................................................................................................1629.2.2.1 DEFINIÇÃO E GRÁFICO ................................................................................................1629.2.2.2 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL .........................................................1649.2.3 Equações Exponenciais ....................................................................................................1649.3 RELEMBRANDO ...................................................................................................................1679.4 PARA SABER MAIS .................................................................................................................1679.5 O QUE FAZER ........................................................................................................................167ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................168

10 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS .............................................................................................17110. 1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ..........................................................................................17110.1.1 Apresentação ..................................................................................................................17110.1.2 Justificativa ....................................................................................................................17110.1.3 Objetivos .......................................................................................................................17110.2 POR ONDE COMEÇAR ......................................................................................................17210.2.1 O que é logaritmo ..........................................................................................................17210.2.2 Consequências da definição ...........................................................................................17510.2.3 Equações logarítmicas ....................................................................................................17610.2.4 Propriedade dos logaritmos ...........................................................................................17710.2.5 Função logarítmica ........................................................................................................17910.3 RELEMBRANDO .................................................................................................................18210.4 O QUE FAZER ......................................................................................................................18310.5 PARA SABER MAIS ...............................................................................................................183ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................183

REFERÊNCIAS ........................................................................................................................185


CA

PÍTU

LO 1

21Anotações

Capítulo 1


1 NÚMEROS E OPERAÇÕES ELEMENTARES

1.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR

1.1.1 Apresentação

Neste primeiro capítulo, estaremos apresentando a você, aluno, uma visão geral sobre os números, suas formas de representação e como eles podem ser agrupados em seus conjuntos numéricos.

Você verá que a partir do momento em que o ser humano sen-tiu a necessidade de representar grandezas ou quantidades em seu dia a dia, a matemática passou a ser considerada imprescindível para resol-ver os problemas do cotidiano. Um dos desa�os iniciais do homem foi encontrar uma maneira de escrever os números, utilizando para isso algum sistema de numeração.

Neste capítulo, você estudará os principais conjuntos numéri-cos existentes – naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e comple-xos – veri�cando suas propriedades e operações principais.

1.1.2 Justi�cativa

Conhecendo os conjuntos numéricos, você terá uma ótima base para o nosso estudo, pois os conjuntos numéricos serão os pontos de partida para sua aprendizagem. Você verá na história desses conjuntos o início do pensamento matemático e como os homens tiveram neces-sidade da matemática para solucionar seus problemas.

1.1.3 Objetivos

Neste capítulo, você terá oportunidade de:

• conhecer a história dos sistemas de numeração;• conhecer os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos;• utilizar as principais propriedades dos números.

1.2 POR ONDE COMEÇAR

1.2.1 História dos números

O ser humano sempre teve a necessidade de representar de for-ma numérica alguns fenômenos naturais que fazem parte de seu dia a dia, criando para isso um conjunto de medidas que fosse capaz de iden-ti�car, por exemplo, a quantidade de ovelhas de um rebanho, ou, ainda, o tempo gasto na execução de uma determinada tarefa.

22 Anotações

Capítulo 1


Para atender a tais necessidades, nossos ancestrais se preocupa-ram em criar e aperfeiçoar o conceito de número e suas formas de repre-sentação. Inicialmente, a intenção era facilitar a contagem de elementos de pequenas dimensões, utilizando para isso estratégias rudimentares como associar cada elemento a ser contado, a uma pequena pedrinha em uma sacola. Assim, para representar quinze cabeças de gado, tudo que se tinha a fazer era armazenar quinze pedrinhas em uma sacola. Se novas cabeças fossem adquiridas, uma quantidade equivalente de novas pedrinhas seria adicionada.

Não é difícil imaginar os diversos problemas que essa aborda-gem trazia aos nossos remotos antepassados. Imagine como deve ter sido difícil representar uma grande quantidade de elementos associan-do-as a pedrinhas em uma sacola. Quantas sacolas seriam necessárias para que um pastor pudesse armazenar as pedrinhas correspondentes a um rebanho com algumas centenas de ovelhas?

Com o passar do tempo, o homem passou a representar os nú-meros de forma grá�ca, resolvendo assim, a maioria dos problemas. A partir desse momento, a matemática deixou de ser considerada apenas uma curiosidade de poucos, �rmando-se então como uma verdadeira ciência, capaz de oferecer respostas para inúmeros problemas da épo-ca. Consequentemente, o número de estudiosos que passaram a se dedicar a desvendar os seus mistérios cresceu em todo o mundo, com contribuições notáveis por parte dos romanos, dos gregos, dos hindus e dos árabes.

A partir do momento em que os números passaram a ser re-presentados de forma escrita, tornou-se necessário de�nir os conceitos de número e numeral. O primeiro representa a grandeza física em si, aquilo que está sendo contado ou medido. Consiste na idéia que con-cebemos acerca do que está sendo representado, e, portanto, não pos-sui existência material ou escrita. Já o numeral consiste exatamente na representação grá�ca de um número, expressa de forma inequívoca em um determinado sistema de numeração. Se você pensa em uma cesta com uma centena de maças, você está mentalizando uma quan-tidade, portanto, trata-se de um número. Quando você expressa esse número através da sequência de símbolos “100”, está representando esse número na forma de um numeral, escrito com base no sistema de numeração decimal.

1.2.2 Sistema de Numeração

Uma sequência de símbolos é um numeral se esses símbolos forem baseados em um conjunto de regras, além disso, se for de�ni-do uma quantidade máxima de símbolos distintos a serem utilizados. A esse conjunto e suas regras, chamamos de Sistema de Numeração. Existem basicamente dois tipos de sistemas de numeração: os sistemas

23Anotações

Capítulo 1


posicionais e os sistemas não-posicionais, os quais serão apresentados a seguir.

1.2.2.1 Sistemas de Numeração Posicionais

Veja que interessante a a� rmação abaixo!

SAIBA QUE Os sistemas de numeração posicionais são ca-racterizados pelo fato de cada símbolo possuir um valor numérico dependente da posição que ele ocupa dentro do numeral. A ideia geral é a de que, quanto mais à esquerda um símbolo estiver escrito, maior a quantidade numérica que ele re-presenta.

A quantidade de símbolos diferentes utilizados em um siste-ma de numeração representa a base desse sistema. Assim, um sistema de base seis possui seis símbolos diferentes; um sistema de base doze possui doze símbolos, e um sistema de base dez, por sua vez, possui dez símbolos.

A partir de agora, iremos aprender um pouco sobre a história do sistema posicional na Matemática.

Foi na Babilônia, há mais de 2300 anos antes de Cristo, que os primeiros matemáticos passaram a adotar o sistema posicional. Os registros dessa época trazem referências a dois sistemas: um de base dez, utilizado para pequenas quantidades, e outro de base sessenta, adotado para grandezas maiores.

Posteriormente, os hindus foram responsáveis por vários avan-ços na Matemática, sendo os mais signi� cativos, a descoberta do zero e a popularização dos sistemas de numeração posicional de base dez. Fala-se em “descoberta” do zero, pois naquele tempo o zero não exis-tia como símbolo, e era visto apenas como a ausência de elementos em um conjunto qualquer. Os hindus veri� caram que sem a presença de um símbolo grá� co que represente essa ausência, algumas quanti-dades simplesmente não conseguiam ser representadas gra� camente, ou seja, na forma de numerais, o que era um problema e tanto. A popularização do sistema de base dez comparado com um sistema de outra base qualquer, pode ser justi� cada pelo fato do ser humano ter dez dedos em suas mãos, o que facilita muito a adoção de um sistema análogo.

24 Anotações

Capítulo 1


CURIOSIDADE Você deve se recordar dos primeiros passos no estudo da Matemática enquanto era criança? Certamente você contou – ainda que secreta-mente – com a ajuda dos próprios dedos para efetuar os primeiros cálculos matemáticos...!

Por ter uma base com dez símbolos diferentes, esse sistema pas-sou a ser chamado de sistema decimal de numeração e, posteriormen-te, cada símbolo passou a ser conhecido por algarismo. Os algarismos utilizados no sistema decimal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, represen-tando, respectivamente, do vazio até um conjunto de nove elementos. Para escrever quantidades maiores combinam-se os algarismos criando assim, posições relativas dentro de um numeral, como as dezenas, as centenas ou os milhares.

Por exemplo, quando você escreve o número 324, cada algaris-mo possui um valor relativo dentro do numeral. Valor relativo é aquele que depende da classe e ordem de onde o numeral se encontra. Vejam a seguir um exemplo.

3 è 3 centenas, ou 3002 è 2 dezenas, ou 204 è 4 unidades, ou 4

CURIOSIDADE Os árabes foram responsáveis pela populariza-ção na Europa do sistema decimal utilizado pe-los hindus. Por esse motivo, esse tipo de sistema também fi cou conhecido no mundo como siste-ma de numeração indo-arábico.

1.2.2.2 Sistemas de Numeração Não Posicionais

Diferentemente dos sistemas posicionais, os sistemas de nume-ração não-posicionais são caracterizados pelo fato de que cada símbolo expressa sempre uma mesma quantidade, independente da posição que

25Anotações

Capítulo 1


ele ocupa dentro do numeral. Esse tipo de sistema possui uma série de limitações quando se trata de realizar operações aritméticas, sendo ge-ralmente utilizados apenas para representar quantidades.

O sistema não posicional mais conhecido é o sistema de nume-ração romano, que adotava um conjunto de sete letras do alfabeto para representar os seus algarismos.

Os símbolos e seus valores correspondentes em decimal são mostrados no quadro a seguir.

Algarismo Valor decimalI 1V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1.000

QUADRO 1 – Algarismos romanos e seus valores em decimal

Diferentemente do sistema decimal, um numeral escrito no sistema romano tem seu valor quantitativo obtido através da simples soma de seus algarismos, independente de seus valores posicionais ou relativos.

Exemplo:

VII è 5 + 1 + 1 = 7LXV è 50 + 10 + 5 = 65MMXXVI è 1.000 + 1.000 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2.026

O sistema romano apresenta apenas quatro regras distintas. Concentre sua atenção, essas regras são bastante interessantes. Veja-as abaixo.

• Regra 1: Os algarismos I, X, C e M somente poderiam ser repetidos sequencialmente três vezes. Exemplos:

III è 1 + 1 + 1 = 3CXXX è 100 + 10 + 10 + 10 = 130MMMCCC è 1.000 +1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 100 = 3.300

• Regra 2: Os algarismos I, X e C, quando escritos à direita de algaris-mos maiores, somam seus valores ao desses números. Exemplos:

26 Anotações

Capítulo 1


VI è (5 + 1) = 6XV è (10 + 5) = 15CXI è [100 + (10 + 1)] = 111

• Regra 3: Os algarismos I, X e C, quando escritos à esquerda de alga-rismos menores, subtraem seus valores ao desses números. Exemplos:

IV è (5 – 1) = 4XC è (100 – 10) = 90CDIX è (500 – 100) + (10 – 1) = 409

• Regra 4: Colocando-se um traço vertical sobre um ou mais algaris-mos, indicamos que o valor correspondente deve ser multiplicado por mil. Exemplos:

X 10 x 1.000 = 10.000

XV (10 + 5) x 1.000 = 15.000

XC (100 - 10) x 1.000 = 90.000

1.2.3 Conjuntos Numéricos

Com o avanço dos estudos dos números e de suas proprieda-des, os matemáticos decidiram agrupá-los em conjuntos numéricos. O primeiro conjunto foi o dos números naturais, muito utilizado para representar quantidades da natureza. Em seguida, foi de�nido o con-junto dos números inteiros, que amplia o conjunto dos naturais com a adição de números negativos.

Para representar todos os números que podem ser expressos na forma de uma fração, criou-se o conjunto dos números racionais. No entanto, os matemáticos constataram que nem todos os números podiam ser expressos de forma fracionária, como o número π, por exemplo. Para representá-los, foi de�nido o conjunto dos números irracionais.

A união entre o conjunto dos números racionais e o conjun-to dos irracionais resulta em um conjunto mais abrangente, chamado conjunto dos números reais, que é o conjunto que você utilizará, nos próximos capítulos.

Entretanto, os matemáticos veri�caram que alguns números simplesmente não conseguiam ser representados utilizando-se o con-junto dos números reais. Esses números possuíam propriedades numé-ricas bastante peculiares, por esse motivo foram agrupados em um con-junto mais abrangente, chamados conjunto dos números complexos.

27Anotações

Capítulo 1


Do ponto de vista matemático, cada um desses conjuntos possui uma quantidade in�nita de elementos. Entretanto, cada con-junto – com exceção do conjunto dos irracionais – é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Do ponto de vista grá�co, po-demos representar os conjuntos numéricos de acordo com a �gura a seguir:

Nœmeros

Naturais

Nœmeros

Inteiros

Nœmeros

Racionais

Nœmeros

Irracionais

Nœmeros

Reais

Nœmeros

Complexos

FIGURA 1 – Representação dos Conjuntos Numéricos

1.2.3.1 Conjunto dos Números Naturais

O conjunto dos números naturais é o mais conhecido, ele é representado pelo símbolo N e possui a seguinte formação:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Observe que a quantidade de elementos é in�nita, iniciando a partir de zero. Existe uma pequena corrente de matemáticos que en-tende que o zero, por não poder ser “contado”, como outra quantidade qualquer da natureza, não deveria fazer parte de N. Entretanto, como o zero possui as mesmas propriedades algébricas dos demais números naturais, a grande maioria dos autores considera que ele faz parte sim do conjunto dos números naturais, e essa vai ser a corrente seguida nesta obra.

Você verá agora algumas propriedades algébricas que são de�-nidas para todos os elementos do conjunto dos naturais. Essas proprie-dades são aplicadas às duas operações fundamentais aplicáveis a esse conjunto: a adição e a multiplicação.

28 Anotações

Capítulo 1


1.2.3.1.1 Propriedades algébricas para os elementos do conjunto dos números naturaisa. Propriedade Associativa com Relação à Adição (a + b) + c = a + (b

+ c), para todo a, b e c pertencentes a NPor exemplo: (4 + 5) + 7 = 4 + (5 + 7)

9 + 7 = 4 + 12 16 = 16 (Verdadeiro!)

b. Propriedade Associativa com Relação à Multiplicação (a x b) x c = a x (b x c), para todo a, b e c pertencentes a N

Por exemplo: (3 x 2) x 8 = 3 x (2 x 8)

6 x 8 = 3 x 16 48 = 48 (Verdadeiro!)

c. Propriedade Comutativa com Relação à Adição a + b = b + a, para todo a e b pertencentes a N

Por exemplo: 3 + 2 = 2 + 3

5 = 5 (Verdadeiro!)

d. Propriedade Comutativa com Relação à Multiplicação a x b = b x a, para todo a e b pertencentes a N

Por exemplo: 4 x 5 = 5 x 4

20 = 20 (Verdadeiro!)

e. Propriedade Elemento Neutro com Relação à Adição a + 0 = a, para todo a pertencente a N

Por exemplo: 7 + 0 = 7

7 = 7 (Verdadeiro!)

f. Propriedade Elemento Neutro com Relação à Multiplicação a x 1 = a, para todo a pertencente a N

Por exemplo: 3 x 1 = 3

3 = 3 (Verdadeiro!)

g. Propriedade Distributiva da Multiplicação com Relação à Adiçãoa x (b + c) = a x b + a x c, para todo a, b e c pertencente a NPor exemplo:

4 x (2 + 8) = 4 x 2 + 4 x 8 4 x 10 = 8 + 32

40 = 40 (Verdadeiro!)

29Anotações

Capítulo 1


O conjunto dos números naturais possui um importante sub-conjunto, conhecido por conjunto dos números naturais não-nulos. Esse subconjunto corresponde ao conjunto dos naturais excluindo o elemento zero, e é representado por:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

Observe que, por de�nição, N* = N – {0}

Do ponto de vista grá�co, o conjunto dos números naturais pode ser representado por um segmento de reta orientado, conforme ilustrado a seguir:

0 1 2 3 4 5 6

1.2.3.2 Conjunto dos Números Inteiros

Você estudará agora o conjunto dos números inteiros, represen-tado pelo símbolo Z, que é uma ampliação do conjunto dos números naturais incluindo em sua de�nição os números negativos. Assim:

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

O conjunto Z apresenta, além das mesmas propriedades rela-cionadas à adição e à multiplicação de�nidas para N (naturais), a se-guinte propriedade:

• Propriedade Simétrico, ou Oposto da Adição

Para todo a pertencente à Z, existe um número – a, também pertencente à Z, tal que a + (–a) = 0.Exemplo:Para o número 8, temos o -8, da forma que 8 + (-8) = 0.Para o número -2, temos o número – (-2) =2, tal que, -2 + 2 = 0.

Alguns subconjuntos importantes de Z:

a. Conjunto dos números inteiros não-nulosCorresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se

o elemento zero. É representado por:

Z* = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }

Observe que, por de�nição, Z* = Z – {0}

30 Anotações

Capítulo 1


b. Conjunto dos números inteiros não-negativosCorresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se

os elementos negativos. É representado por:

Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Observe que, por de�nição, Z+ = N

c. Conjunto dos números inteiros não-positivosCorresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se

os elementos positivos. É representado por:

Z- = { 0, -1, -2, -3, -4, ... }

d. Conjunto dos números inteiros positivosCorresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se

o zero e os elementos negativos. É representado por:

*+Z = { 1, 2, 3, 4, ... }

Observe que, por de�nição, *+Z = Z+ - {0}

e. Conjunto dos números inteiros negativosCorresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se

o zero e os elementos positivos. É representado por:

*�Z = { -1, -2, -3, -4, ... }

Observe que, por de�nição, *�Z = Z- - {0}

Do ponto de vista grá�co, o conjunto dos números inteiros pode ser representado por uma reta orientada, conforme ilustrado a seguir:

-2 -1 0 1 2 3 4 -3 -4

1.2.3.3 Conjunto dos Números Racionais

Concentre sua atenção agora no conjunto dos números racio-nais (representados pelo símbolo Q) que compreende todos os números que possam ser colocados sob a forma de uma fração onde o numerador é um elemento de Z (é um inteiro) e o denominador é um inteiro di-

31Anotações

Capítulo 1


ferente de zero, portanto, pertencente ao conjunto Z*. Pode-se de�nir formalmente o conjunto dos números racionais como sendo:

Exemplo de números pertencentes à Q:

13

conjunto Z*. Pode-se definir formalmente o conjunto dos números racionais como

sendo:

Q =

∈∈*, ZbeZaquetal

b

a


• 4 pois 4 = 2

8

• 3,12 pois 3,12 = 100

312

• -12 pois -12 = 4

48−

• -34,05 pois -34,05 =100

3405−

Observe que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos

números racionais, pois qualquer número inteiro pode ser expresso sob a forma de uma

fração. Além desses, a maioria dos números que possuam casas decimais pertencem à

Q, incluindo as dízimas. Na verdade, toda dízima pode ser expressa na forma de uma

fração de inteiros, e, portanto, faz parte, por definição, do conjunto dos números

racionais. Por exemplo:

• 0,333... pode ser expresso pela fração 9

3


1223

INICIO DO ICONE PRATICANDO

FIM DO ICONE PRATICANDO

Prove que os números abaixo são números racionais: 0; 1; 3,45; -15; 0,777...

Observe que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais, pois qualquer número inteiro pode ser expresso sob a forma de uma fração. Além desses, a maioria dos núme-ros que possuam casas decimais pertencem à Q, incluindo as dízimas. Na verdade, toda dízima pode ser expressa na forma de uma fração de inteiros, e, portanto, faz parte, por de�nição, do conjunto dos números racionais. Por exemplo:

13

conjunto Z*. Pode-se definir formalmente o conjunto dos números racionais como

sendo:

Q =

∈∈*, ZbeZaquetal

b

a


• 4 pois 4 = 2

8

• 3,12 pois 3,12 = 100

312

• -12 pois -12 = 4

48−

• -34,05 pois -34,05 =100

3405−

Observe que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos

números racionais, pois qualquer número inteiro pode ser expresso sob a forma de uma

fração. Além desses, a maioria dos números que possuam casas decimais pertencem à

Q, incluindo as dízimas. Na verdade, toda dízima pode ser expressa na forma de uma

fração de inteiros, e, portanto, faz parte, por definição, do conjunto dos números

racionais. Por exemplo:


3


1223

INICIO DO ICONE PRATICANDO

FIM DO ICONE PRATICANDO

Prove que os números abaixo são números racionais: 0; 1; 3,45; -15; 0,777...

PRATICANDO

Prove que os números abaixo são números racionais:0; 1; 3,45; -15; 0,777...

32 Anotações

Capítulo 1


Todo par de números racionais, ba

e dc

, respeita as seguintes operações, observe:

a) Igualdade

Por exemplo:

b) Adição

Por exemplo:

c) Multiplicação

Por exemplo:

Do ponto de vista grá�co, um número racional pode ser re-presentado através de um ponto sobre uma reta orientada, de forma a simular a representação dos números inteiros. Por exemplo, o número 0,25 (ou

41 ) pode ser representado gra�camente da seguinte forma:

-2 -1 0 1 2 3 4-3-40,25

33Anotações

Capítulo 1


1.2.3.4 Conjunto dos Números Irracionais

Os matemáticos observaram a existência de alguns números que simplesmente não podiam ser escritos na forma de uma fração, portanto, não pertenciam ao conjunto dos números racionais.

A maioria desses números, batizados de números irracionais, teve a sua origem em observações geométricas. Por exemplo, veri�cou-se que a diagonal de um quadrado de lado igual a 1 não poderia ser expressa dessa forma, tendo seu valor calculado em 1,4142135623...

Como esse número não representa uma dízima e possui in�ni-tas casas decimais, ele não pode ser representado através de uma fração, portanto, não pertence ao conjunto dos números racionais.

Outro número dessa categoria é obtido pela divisão do compri-mento de uma circunferência pelo valor de seu diâmetro. Esse número é extremamente importante na Matemática, e foi batizado pela letra grega π (leia-se “pi”):

Todos os números irracionais foram agrupados em um conjun-to próprio, representado pelo símbolo I. Outros exemplos de números irracionais:

34 Anotações

Capítulo 1


CURIOSIDADE 845...2,71828182=e trata-se do número de

Euler, descoberto pelo matemático suíço Leo-nhard Euler, utilizado como base dos logaritmos naturais (que você verá no capítulo 10).

1.2.3.5 Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais – representado pelo símbolo – é formado pela união dos conjuntos dos números racionais com o dos números irracionais. Nesse sentido, os números reais validam todas as propriedades e operações de� nidas para os conjuntos anteriores, sendo utilizado como o conjunto numérico da maioria dos problemas do co-tidiano.

Do ponto de vista grá� co, cada número real pode ser represen-tado como um ponto pertencente a uma reta orientada, normalmente chamada de reta real ou reta numérica:

-2 -1 0 1 2 3 4 -3 -4

Observe que todos os números reais podem ser representados por um único ponto na reta real, e cada ponto da reta relaciona-se a apenas um único número real. A esse tipo de relação entre elementos de domínios diferentes chamamos de correspondência biunívica.

1.2.3.6 Conjunto dos Números Complexos

Por volta do século XVI, os matemáticos veri� caram a exis-tência de uma classe de problemas algébricos que simplesmente não possuíam solução no conjunto dos números reais. Para lidar com essa situação, o conjunto foi ampliado com a � nalidade de incorporar no-vas representações de números considerados satisfatórios para a solução desses problemas, surgindo assim o conjunto dos números complexos – representados pelo símbolo C.

35Anotações

Capítulo 1


CURIOSIDADE Os números complexos transformaram signifi ca-tivamente a teoria por trás de alguns conceitos da física, como o estudo das correntes elétricas alternadas, por exemplo.

Entretanto, uma análise mais detalhada não faz parte de um curso básico de fundamentos de Matemática, não sendo contemplada, portanto, neste material.

1.3 RELEMBRANDO

Você acabou de aprender um pouco mais sobre a representação dos números, e como eles podem ser organizados em conjuntos numé-ricos. Viu também que existem diferentes maneiras de se representar um número, em particular, com a utilização de sistemas posicionais e também não posicionais.

Além disso, também estudou os diversos conjuntos numéricos existentes – naturais, inteiros, racionais, reais e complexos – assim como as suas principais características e propriedades.

1.4 PARA SABER MAIS

MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. Números Naturais I. Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10209>. Acesso em: 24 jun. 2009.

Você pode aprender um pouco mais sobre os números e seus con-juntos numéricos acessando o site Matemática Essencial: ensino Fun-damental, Médio e Superior. No link indicado, você poderá ver como os números naturais foram construídos, além de poder acompanhar as de� nições das principais propriedades e operações existentes em N.

TAHAN, Malba. O homem que calculava: romance: as aventuras de um singular calculista persa. Rio de Janeiro: Conquista, 1975. 291 p.

Para saber mais sobre diversos assuntos em Matemática e ope-rações entre números leia o livro indicado.

36 Anotações

Capítulo 1


1.5 O QUE FAZER

1. Observe as a�rmações abaixo e responda:

Laura: Plínio:

“Quero escrever todos os números naturais de dois dígitos.”

“Estou escrevendo todos os números naturais de 0 a 200.”

Paloma: Caio:

“com os números CI, DI, MI, VI, XI e os sinais, >, >, >, > e > preciso formar uma sentença.”

“Vou escrever todos os números naturais de 10 a 400.”

a) Quantas vezes Laura vai empregar o algarismo 8?b) Quantas vezes Plínio vai empregar o algarismo 7?c) Contando as repetições, quantos algarismos Caio vai escrever?d) Escreva a sentença de Paloma.

2. Complete as sentenças abaixo com os símbolos ∈ (pertence) ou ∉

(não-pertence):

a) Ð 4 ____ Z e ) -34 ____ ℜ

b) + 3 ____ Z f) π ____ ℵ

c) 0 ____ℵ g) 9,35 ___ Q

d) -5 ____ Q h) 0 ____ ℜ

ONDE ENCONTRAR

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. São Paulo: Moderna, 1996. v.4.

CRAZYMANIA. Biblioteca. Matemática. Conjuntos Numéricos. Disponível em: <http://www.crazymania.com.br/biblioteca/?cat=matematica&page2=conjuntos_numericos>. Acesso em: 24 jun. 2009.

EDITORA FERREIRA. Aulas Virtuais. Pedro Bello. Matemática Básica. Noções de Conjunto. Disponível em: <http://www.editoraferreira.com.br/publique/media/Matem%C3%A1tica%20B%C3%A1sica_CVM_Parte%201.pdf>. Acesso em: 24 jun. 2009.

37Anotações

Capítulo 1


GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 1996.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 2000.v.1.

IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Tomo I. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1998.

IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Tomo II. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1999.

MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. A origem dos números. Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm>. Acesso em: 24 jun. 2009.

MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. Números Naturais I. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm>. Acesso em: 24 jun. 2009.

TAHAN, Malba. O homem que calculava: romance: as aventuras de um singular calculista persa. Rio de Janeiro: Conquista, 1975. 291 p.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL. Instituto de Matemática. Matemática Elementar. Três noções numéricas básicas: número, numeral e algarismo. Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html>. Acesso em: 24 jun. 2009.

WIKIPÉDIA. A enciclopédia livre. Número de Euler. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler>. Acesso em: 24 jun. 2009.


CA

PÍTU

LO 2

41Anotações

Capítulo 2


2 RAZÕES, PROPORÇÕES E REGRAS DE TRÊS



Olá!!! Seja bem vindo ao segundo capítulo desta disciplina, nele será apresentado, a você, uma visão geral sobre as relações existentes entre grandezas, as formas que a representam matematicamente e como essas grandezas se relacionam entre si.

Verá também que a partir do momento em que o ser humano sentiu a necessidade de representar numericamente as grandezas exis-tentes na natureza, surgindo a necessidade de relacioná-las e representá-las matematicamente estas grandezas, utiliza diretamente a operação de divisão dos números naturais, como foi visto no capítulo 1. Mais uma vez, a matemática tornava-se imprescindível para resolver os problemas do cotidiano.

Você estudará neste capítulo as principais formas de relações de grandezas naturais e a sua representação matemática, verá quais as formas de relacionamento dessas grandezas e como obter respostas para valores desconhecidos, considerando uma relação.


Os conceitos de razões e proporções que você estudará neste capítulo são fundamentais para sua formação e construção de uma base matemática sólida que contribuirá em toda a sua vida pessoal e acadê-mica. As relações de grandezas são problemas facilmente encontrados no seu dia a dia, por isso, o conhecimento teórico da natureza dessas relações e a forma prática de se obter soluções podem ajudar as pessoas a resolver certos problemas do seu cotidiano com mais facilidade.

2.1.3 Objetivos


• aprender o que é uma razão e quando uma razão é uma pro-porção;

• conhecer quando duas grandezas são diretamente proporcio-nais ou inversamente proporcionais;

• trabalhar com regra de três simples e composta.

42 Anotações

Capítulo 2



2.2.1 Razões

CONCEITO

Você já deve ter ouvido falar na palavra razão, essa pa-lavra tem origem latina e seu significado em português é divisão ou quociente.

Matematicamente, representa-se a razão entre dois números a e b como a divisão a

b. Por exemplo:

A razão entre 10 e 5 é 2, pois:10 25

=

No dia a dia, você pode notar que a razão pode ser expressa na forma de divisão de elementos de grandeza diferentes. Por exemplo, a gasolina vendida nos nossos postos de combustíveis é na verdade uma mistura de gasolina com álcool anidro (sem água) na seguinte razão (em litros):

Mistura 1. caso 2. caso 3. caso 4. caso 5. caso

Gasolina 19,25 litros 30,8 litros 38,5 litros 77 litros 1 litro

Álcool 5,75 litros 9,2 litros 11,5 litros 23 litros 0,2987 litro

TOTAL 25 litros 40 litros 50 litros 100 litros 1,2987 litro

QUADRO 1 – Razão da mistura de gasolina com álcool anidro (sem água)

Um automóvel cujo tanque cabe 40 litros de combustível (2. caso), ao ser abastecido com gasolina, na realidade, está sendo abasteci-do apenas com 30,8 litros de gasolina, e o restante, 9,2 litros de álcool anidro. Nesse caso, caro aluno, não pense que você está sendo vítima de crime contra os direitos do consumidor, pois os postos utilizam a mis-tura de combustíveis na razão autorizada pelo governo federal.

Analisando um pouco mais esse mesmo exemplo, você pode ver que a razão entre o álcool anidro e a gasolina é de 0,2987 l:

43Anotações

Capítulo 2


Quase 300 ml (uma latinha de refrigerante), ou seja, 300ml de álcool anidro para um litro de gasolina.

Veja agora um outro caso: será que Romário joga mais futebol agora, ou há 5 anos? Considerando que o objetivo de um atacante de futebol é marcar gols, veja: as revistas de esportes mostram que há 5 anos Romário anotava, em média, 2 gols por partida em um determi-nado campeonato, agora, ele faz, no mesmo campeonato, apenas 1 gol por partida. Deixando de lado outros fatores que in�uenciam direta-mente nos resultados estatísticos do jogador, como o time em que ele jogava e o que joga agora, a qualidade dos companheiros de equipe, o local dos jogos etc, e analisando apenas de forma matemática, um observador poderia dizer que há 5 anos ele jogava mais, pois marcava mais gols, mas com um pouco mais de informação você pode obter outros resultados.

Há cinco anos Romário chutava em média 10 vezes ao gol e hoje chuta apenas 3 vezes. E agora? Analisando esse outro fator, ele é melhor ou pior? Vamos então olhar a razão entre as grandezas gols e chutes.

ROMÁRIO Há 5 anos atrás Hoje em dia

Tentativas (chutes) 10 vezes 3 vezes

Sucesso (Gols marcados) 2 gols 1 gol

QUADRO 2 – Razão entre as grandezas gols e chutes

Ora, caro aluno, você pode ver que há 5 anos a relação entre tentativa e sucesso, ou seja, chutes e gols marcados era de:

10 52

=

E hoje esta relação é de:3 31

=

Signi�ca dizer que hoje, Romário chutando menos acerta mais. Antes ele precisava chutar, em média, 5 vezes para obter sucesso e fazer

l

44 Anotações

Capítulo 2


o gol, hoje, mais experiente, ele só precisa chutar 3 vezes. Ou seja, mes-mo marcando menos gols ele é mais certeiro.

2.2.2 Proporções

CONCEITO

A palavra proporção também tem origem latina e signifi-ca uma relação entre partes de uma mesma grandeza.

Para ser mais claro nesta de�nição, pode-se dizer que uma pro-porção é uma igualdade entre duas razões, ou seja, considerando as partes A , B , C e D de uma mesma grandeza, então:

A CB D

=

2.2.2.1 Propriedade Fundamental

Seja A , B , C e D partes de uma grandeza, onde A e D são chamados de extremos e B e C de meios e seja satisfeita seguinte proporção:

A CB D

=

Então, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Em outras palavras, temos:

A×D= B×C

Veja o seguinte exemplo, a razão 2 3 é proporcional a 4 6 , para provar isso a proporção deve satisfazer a seguinte igualdade:

2 43 6

=

Mas, pela propriedade fundamental da proporção temos:

2×6 = 3× 4

45Anotações

Capítulo 2


Como sabemos que essa a�rmação é verdadeira, então, a razão 2 3 é proporcional a 4 6 .

Veja o seguinte exemplo. Concentre sua atenção!!!!

Exemplo 1

Vamos veri�car se as seguintes razões são proporcionais:

a) 85 e

37 b)

23 e

69

Para veri�car se duas razões são proporcionais, deve-se veri�car se a propriedade fundamental das proporções é satisfeita.

Resolvendo:

a) 1º passo: Multiplicar 5 por 3 ⇒ 5 x 3 = 15 2º passo: Multiplicar 8 por 7 ⇒ 8 x 7 = 56

Como 15 ≠ 56, a propriedade não é veri�cada e, portanto, as razões não são proporcionais.

b) 1º passo: Multiplicar 3 por 6 ⇒ 3 x 6 = 18 2º passo: Multiplicar 2 por 9 ⇒ 2 x 9 = 18

Como 3 x 6 = 2 x 9 = 18, veri�ca-se a propriedade fundamental das proporções, e portanto, as razões são proporcionais.

PRATICANDO

Agora, é com você, verifique se as seguintes razões são proporcionais:

46 Anotações

Capítulo 2


Exemplo 2

Determine o valor de x para que 4x seja proporcional a 86 . Sabemos que:

64 8x

=

Mas, pela propriedade fundamental da proporção temos que:

8× x = 4×68x = 24x = 3

Portanto, para que a igualdade seja satisfeita, deve-se ter x = 3.

DESAFIO Verifi que qual a média de gols por partida que o Romário deve-

ria marcar 5 anos atrás para ser considerado proporcional aos resultados de hoje (utilize os dados já apresentados anteriormente).

Veja que interessante! Esses fundamentos matemáticos podem ser estendidos para objetos de outras naturezas, como segmentos de retas, triângulos etc. Observe a � gura a seguir:

FIGURA 1 – Segmento de retas AB e CD

Considerando que o segmento AB mede 2 cm e o segmento CD mede 6 cm, então:

26

ABCD

=

47Anotações

Capítulo 2


Ou seja, a cada 1 cm de AB temos 3 cm em CD, em outras pa-lavras pode-se dizer que AB está para CD na razão de 1 para 3, ou CD está para AB na razão de 3 para 1.

2.2.3 Regra de Três

A regra de três é um procedimento matemático utilizado para resolver problemas que envolvem duas ou mais grandezas que se rela-cionam de duas formas: diretamente ou inversamente proporcionais. Quando o problema envolve apenas duas grandezas, a regra de três é denominada de simples, quando envolve mais de duas grandezas, será denominada de composta.

Uma outra classi�cação é quanto à ordem, se direta ou inversa. Classi�camos a regra de três como direta, quando a razão dos elementos que compõe cada grandeza se relaciona da mesma forma, ou seja, na em medida que uma grandeza duplica (por exemplo), a outra grandeza duplica também, e diz-se que a ordem é inversa quando, por exemplo, uma grandeza triplica e a outra é dividida por três.

Para compreender melhor esses problemas, veja o seguinte exemplo:

O ingresso para assistir a um jogo de futebol custa R$ 12,00. Um grupo de 5 amigos resolvem assistir à partida, quanto será pago no total?

Veja:

Primeira grandeza Segunda grandeza

Número de ingressos Preço do ingresso

Perceba que, quanto mais ingressos, maior o preço total, ou seja, quando se aumentam os valores da primeira grandeza também aumentam o da segunda, o mesmo ocorre quando diminuirmos, nesse caso, dizemos que a regra de três é direta.

Ora, como sabemos que um ingresso custa R$ 12,00, cinco ingressos custarão 5 × 12,00, logo o total pago pelo grupo de amigos será R$ 60,00.

Podemos ver essa operação através da proporção:

Número de ingressos Preço do ingresso

1 R$ 5,00

12 R$ X

48 Anotações

Capítulo 2


Ou seja,

1 512 x

=

Pela propriedade fundamental da proporção, sabe-se que:

1× x = 12×5

Para que a proporção seja verdadeira, 60x = .

Para resolver problemas utilizando essa técnica da regra de três, você verá agora alguns procedimentos que irá lhe ajudar nos problemas. Primeiramente, agrupam-se os elementos de mesma espécie e identi�-ca-se se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Perceba que foram colocadas duas setas, que servem para repre-sentar a direção de crescimento, veja que se o número de ingressos au-mentarem, aumenta também o preço total, e se aumenta o preço total é porque você está comprando mais ingressos, por esse motivo as setas têm a mesma direção e a regra de três é direta, se acontecesse o contrário teria-se uma regra de três inversa.

Para resolver a regra de três, monta-se a proporção e utiliza-se a propriedade fundamental das proporções:

1 512 x

= (proporção montada)

1× x = 12×5 (aplicação da propriedade fundamental das proporções)

(resolve-se então a equação)$60,00x R=

Quando a regra de três é inversamente proporcional, as setas possuem sentidos invertidos uma em relação à outra. Nesse caso, antes de montar a proporção, necessita-se inverter a ordem de uma das ra-

P

49Anotações

Capítulo 2


zões para aplicar então a propriedade fundamental. Observe o seguinte exemplo:

Um automóvel se deslocando a 80 km por hora faz um de-terminado percurso em 3 horas. Em quanto tempo ele faria o mesmo percurso se se deslocasse a 100 km por hora?

1º passo: Agrupar os elementos de cada espécie:

Velocidade Tempo

100 4

80 x

Observe que nesse modelo a ordem se inverte, pois, quanto maior a velocidade menor o tempo de percurso, ou quanto menor o tempo de percurso maior a velocidade do veículo.

2º passo: Escolher uma das razões para inverter os elementos, pois essa razão é inversamente proporcional. Em vez de escrever:

o certo é: 80 4100 x

= (proporção montada, foi realizada a inversão na primeira razão)

3º passo:

80× x = 100× 4 (aplicação da propriedade fundamental das proporções)

(mantém-se os termos desconhecido no lado esquerdo) 5x horas= (resolvemos o lado direito)

Ou seja, a 100 km/h seriam gastos 4 horas, com 80km/h o tem-po do percurso será maior, ou seja, 5 horas.

Agora veja o que Dante (2006) fala da regra de três composta: os problemas de regra de três composta envolvem mais de duas gran-dezas dos mais variados tipos, desde que tomada duas a duas sejam pro-porcionais (direta ou inversamente).

Concentre sua atenção, e veja o seguinte exemplo de uma regra de três composta.

Numa fábrica de bicicletas, 9 homens montam 20 em 5 dias. Quantas bicicletas serão montadas por 10 homens em 16 dias?

50 Anotações

Capítulo 2


Observe que:• aumentando o número de homens, a produção de bicicle-

tas aumenta. Portanto, a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão);

• aumentando o número de dias, a produção de bicicletas au-menta. Portanto, a relação também é diretamente proporcio-nal (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a ra-zão que contém o termo x com o produto das outras razões. Ou seja:

Montando a proporção:

Portanto, dez homens em 16 dias montarão 80 bicicletas.

2.3 RELEMBRANDO

Você pôde aprender muito neste capítulo. Teve contato com as razões e percebeu que muitos fatos do seu dia a dia estão ligados a elas. Entendendo as razões e suas igualdades você pôde perceber que elas podem ou não formar uma proporção.

Você teve oportunidade de conhecer a propriedade fundamen-tal das proporções e resolver alguns exemplos, entendendo que as gran-dezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais.

Por último, estudou a tão conhecida regra de três, nos seus dois casos, simples e composta.

2.4 PARA SABER MAIS

LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER,

51Anotações

Capítulo 2


Eduardo; MORGADO, Augusto César. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.

Para ler um pouco mais sobre razões e proporções, veja o livro acima indicado.

2.5 O QUE FAZER

1. Observe os segmentos de reta a seguir. Calcule as razões entre:

a)

2. Utilizando a propriedade fundamental das proporções, calcule o va-lor de x em cada uma das proporções abaixo:

a)

3. Dona Maria está vendendo na feira saquinhos com 3 maçãs ao preço de R$ 5,00. Antônio é dono de uma confeitaria e vai precisar de 30 maçãs para fazer algumas tortas. Quanto Antônio vai gastar comprando de dona Maria as maçãs de que necessita?

4. Uma torneira que despeja 15 litros de água por minuto enche um tanque em 2 horas. Se a torneira despejasse 30 litros de água por minu-to, encheria esse mesmo tanque em quanto tempo?

5. Em uma república de estudantes, moram 4 pessoas que gastam R$ 490,00 com alimentação a cada 10 dias. Se mais duas pessoas passarem a morar nessa república, de quanto será o gasto com alimentação a cada 15 dias?

52 Anotações

Capítulo 2


ONDE ENCONTRAR

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 4 ed. São Paulo: Moderna,1996.v.3.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo. Ática, 2005.v.2.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy. Matemática: pensar & descobrir. Nova edição. São Paulo: FTD, 2005. v. 2.

LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.

SÓ MATEMÁTICA. Regra de três composta. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3c.php>. Acesso em:24 jun. 2009.


CA

PÍTU

LO 3

55Anotações

Capítulo 3


3 EXPRESSÕES E PRODUTOS NOTÁVEIS



Oi! É muito bom estar com você em mais um capítulo. Neste terceiro capítulo, você conhecerá as expressões algébricas, verá de que forma essas expressões aparecem no seu cotidiano. Aprenderá também produtos notáveis, como você poderá entendê-lo de um modo prático e também como a generalização desses produtos facilita nossos cálculos.

Você verá ainda os casos de fatoração de expressões algébrica, e como as razões que você acabou de ver no segundo capítulo são impor-tantes para auxiliar nas simpli�cações de expressões.

3.1.2 Justi�cativaMuitas vezes em seu cotidiano você tem contato com as expres-

sões algébricas, talvez você não tenha se dado conta, mas se você for ao cinema e comprar dois sacos de pipoca e um refrigerante, o preço que você irá pagar será 2x + y, onde x é o preço da pipoca e y o do refrige-rante, pronto! Você acabou de utilizar expressões algébricas. Por isso, a importância de se compreender as expressões para que você possa simpli�cá-las e aplicá-las da melhor forma no seu dia a dia.

3.1.3 Objetivos


• conhecer as expressões algébricas;• calcular o valor numérico das expressões;• trabalhar com os principais produtos notáveis; • aprender a fatorar e simpli�car expressões.


No Dicionário Aurélio, a palavra expressão tem o signi�cado de Representação, então, expressão é uma forma de representar algo. Em Matemática, temos como expressar o que se pretende fazer, têm-se as expressões numéricas que são a representação de números com as operações de soma, subtração, divisão e multiplicação. E as expressões algébricas que você irá conhecer hoje, que são representações de letras e números com as quatro operações.

56 Anotações

Capítulo 3


3.2.1 Expressões Literais ou Algébricas

CONCEITO

Chamam-se de expressões algébricas ou literais expres-sões que possuem apenas letras ou números e letras.

Veja a seguir um exemplo de uma expressão algébrica.

Considere uma caixa de chocolate pesando 250g. O peso de n caixas será n . 250g ou 250n. A expressão 250n é uma expressão algé-brica.

Veja ainda outro exemplo.

Quando você vai estudar, precisa de alguns materiais escolares. Então, você vai à livraria e compra 2 cadernos, 2 livros e 3 canetas, sabendo que o preço do caderno é x, o do livro é y e o das canetas z2 , então, você pagará por tudo isso:

2.x + 2y + 3z2

Essa expressão, que é o total de sua conta, é chamada de expres-são algébrica.

3.2.1.1 Valor numérico de uma expressão algébrica

Considere a �gura abaixo em que x é a medida da base e y é a medida da altura do retângulo:

FIGURA 1– Retângulo (x é a medida da base e y é a medida da altura)

Para você lembrar, o perímetro de um polígono é a soma das me-didas dos seus lados, então, o perímetro do retângulo acima é dado por:

57Anotações

Capítulo 3


x + x + y + y =2 . x + 2 . y =2x + 2y

Você tem agora a expressão 2x + 2y, que representa o perímetro de um retângulo qualquer, basta você saber os valores da base e da al-tura. Vamos calcular juntos o perímetro de um retângulo que tenha 15 cm como medida da base e 22 cm como medida da altura.

Nesse caso, o valor de x será 15 e o de y, 22.

x = 15 e y = 22

Então: 2x + 2y = (lembrando: 2x signi�ca 2 . x, como x é igual a 15, tem-se 2 .15)

2 . 15 + 2 . 22 = 30 + 44 = 74

O perímetro desse retângulo é 74 cm.

Então, você pode concluir que:

CONCEITO

O valor numérico de uma expressão algébrica é o núme-ro real obtido quando substituímos as letras por números reais dados e efetuamos as operações indicadas.

Veja outro exemplo:

Calcular o valor numérico da expressão x - 4y para x = 5 e y = -3.x – 4y =5 – 4( -3) = 5 + 12 = 17Dizemos que 17 é o valor numérico da expressão x – 4y, para x =

5 e y = -3.

58 Anotações

Capítulo 3


PRATICANDO

Voltando ao exemplo da livraria: você comprou 2 cadernos, 2 livros e 3 canetas, sabendo que o preço do caderno é x, o do livro é y e o das canetas z2 , então, você pagará por tudo isso :2.x + 2y + 3z2

Seja x = R$ 5,50 , y = R$ 25,00 e z = R$ 2,00

Qual o valor total da sua compra em reais?

3.2.1.2 Monômios e polinômios

CONCEITO

Os monômios e os polinômios são expressões algébri-cas envolvendo valores numéricos e literais, onde apa-recem somente operações de adição, subtração ou mul-tiplicação.

• Monômios são as expressões que possuem um único termo.

Veja exemplos de monômios:

5xy , 7a2b3c, -xy2

• Polinômios são as expressões algébricas que possuem dois ou mais ter-mos.

São exemplos de polinômios:

3x²y - 4yz2, 2a3b2 – 4a3b4 - ab4

3.2.2 Produtos notáveis

A partir de agora, você estará estudando os produtos notáveis.

Certos produtos de polinômios aparecem, com muita frequên-cia no cálculo de expressões algébricas, e esses polinômios merecem

59Anotações

Capítulo 3


regras especiais para resolvê-los. Esses são os produtos que chamamos de notáveis. Você irá estudar os principais.

3.2.2.1 Quadrado da soma de dois termos

Veja a �gura abaixo, ela representa um quadrado de lado a + b. Você sabe porque a �gura abaixo é um quadrado? Como essa �gura é um retângulo e possui os quatro lados iguais, podemos a�rmar que é um quadrado.

FIGURA 2 – Quadrado de lado a + b

A área de um quadrado de lado 4 é dada por 42 , como o lado desse quadrado é (a + b) a sua área é (a + b)2.

Vamos separar as partes em que está dividido o quadrado:

Se você somar essas áreas, vai obter a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab+ b2

Logo: (a + b)2 = a² + 2ab + b².

Ou, algebricamente:

(a + b)2 = ( a + b )( a + b) = a² + ab + ab + b² a² + 2ab + b²

Portanto:

(a + b)2 = a² + 2ab + b²

60 Anotações

Capítulo 3


Então, você pode concluir que:

SAIBA QUE O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo.

Vejamos alguns exemplos:

a) (x + 1)2 = x² + 2.x.1+ 1² = x² + 2x + 1

b)

3.2.2.2 Quadrado da diferença de dois termos

Para calcular (9 – 3)2, você faz:

(9 – 3)2 = 62 = 36

Mas, para calcular o valor de (a – b)2, não se pode proceder dessa forma. Então, você deve efetuar o produto: (a – b)(a – b)

(a – b)2 = (a – b) (a – b)= a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

61Anotações

Capítulo 3


Você pode concluir que:

SAIBA QUE O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas ve-zes o produto do primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo.

Veja alguns exemplos de como é simples calcular o quadrado da diferença de dois termos:

a) (y – 3)2 = y2 – 2.y.3 + 32 = y2 - 6y + 9

b) (2a – b)2 = (2a)2 – 2.2a.b + b2 = 4a2 – 4ab + b2

PRATICANDO

Desenvolva o seguinte produto notável: (3y – 1)²

3.2.2.3 Produto da soma pela diferença de dois termos

Quando você multiplica (a + b) por (a - b), obtém:

(a + b)(a - b)= a2 – /ab +/ ab - b2 = a2 - b2

Portanto:

(a + b)(a - b) = a2 - b2

62 Anotações

Capítulo 3


Então, conclui-se que:

SAIBA QUE O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Veja alguns exemplos:

a) (x - 20)(x + 20) = x² - 202 = x² - 400

b) (2a – 5b) = (2a)2 – (5b)2 = 4a2 – 25b2

PRATICANDO

Agora, é sua vez de calcular:

(y – 3)(y + 3)

3.2.2.4 Cubo da soma de dois termos

Se você quer, por exemplo, calcular o volume de um cubo que tem as três medidas iguais a a + b, você tem que calcular a expressão (a + b)3, pois o volume de um cubo é dado pela multiplicação de suas medidas.

Mas, como fazer esse cálculo?

Vejamos: (a + b)3=(a + b).(a + b)2 =(a + b).(a² + 2ab + b²) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

63Anotações

Capítulo 3


Veja se essa igualdade é verdadeira para qualquer valor de a e b.

Tome a = 2 e b = 3 Sabemos que (2 + 5)3 = 73 = 343

E pela fórmula você obtém:

(2 + 5)3 = 23 + 3.22.5 + 3.2.52 + 53

= 8 + 3.4.5 + 3.2.25 + 125 = 8 + 60 + 150 + 125 = 343 Verdadeiro!

Então:

SAIBA QUE O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo termo mais três ve-zes o primeiro termo pelo quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.

Veja estes exemplos:

a) (2n + m)3 = (2n)3 + 3.(2n)2.m + 3.2n.m2 + m3 = 8n3 + 3. 4n2.m + 6nm2 + m3 = 8n3 + 12n2.m + 6nm2 + m3

b) (y + 21 )3= y3 + 3.y2.

21 + 3.y. +

= y3 + 2

3 2y + 3.y.41 +

81

= y3 + 2

3 2y + 4

3y + 81

3.2.2.5 Cubo da diferença de dois termos

Para o cálculo de (a - b)3, deve-se realizar o processo semelhante ao do cubo da soma de dois termos.

64 Anotações

Capítulo 3


Veja:(a - b)3= (a - b).(a - b)2 = (a + b).( a² - 2ab + b²)(a - b)3= a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3=

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Portanto, você tem:

SAIBA QUE O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo menos três vezes o qua-drado do primeiro termo pelo segundo termo mais três vezes o primeiro termo pelo quadrado do se-gundo termo menos o cubo do segundo termo.

3.2.2.6 Produto da forma (x + p)(x + q)

Preste bastante atenção, vamos trabalhar juntos: Calcule o produto de (x + 2) e (x + 5):

Veja só: 2 e 5 são os números dos produtos (x + 2).(x + 5), so-mando obtém-se 7 e multiplicando obtém-se 10.

Então, generalizando:

Onde: S é a soma p + q P é o produto p .q, então:

(x + p).(x + q) = x2 + Sx + P

65Anotações

Capítulo 3


Aplicando a regra que você acabou de aprender, calcule os produtos:

a) (x + 3).(x + 7) b) (y – 1)(y - 6)S = p + q = 3 + 7 = 10 S = p + q = -1 + ( -6) = -1 – 6 =- 7P = p.q = 3.7 = 21 P = p.q = -1 . (-6) = 6(x + 3).(x + 7) = x2 + 10x + 21 (x - 1).(x – 6) = x2 -7x + 6

PRATICANDO

Utilizando a regra que você acabou de aprender responda: Qual é a expressão que representa o produto (y + 4)(y – 7)?

3.2.3 Fatoração de Expressões Algébricas

Assim como você pode fatorar um número, você pode também fatorar expressões algébricas.

LEMBRETE

Fatorar significa escrever a expressão como um produto de fa-tores mais simples.

Veja a seguir alguns processos de fatoração.

3.2.3.1 Fatoração colocando em evidência os fatores comuns

A fatoração é um conteúdo bastante bom de trabalhar, concen-tre sua atenção!!

Seja a seguinte expressão algébrica:

3a + 3b + 3c

Você pode perceber que o fator comum em todos os termos é o número 3. Então, o que você deve fazer neste caso?

66 Anotações

Capítulo 3


Coloca-se em evidência o número 3, fazendo da seguinte forma:

3a + 3b + 3c = 3 . (a + b + c)

Outro exemplo:

6a3b – 9a2b 2

Você deve escrever 6a3b de outra forma: 6a3b = 3.2 a2 . a . b

O mesmo para 9a2b 2 : 9a2b 2 = 3. 3 . a2 .b . b

Você pode notar que existem números e letras em comum nos dois casos, então, juntando esses números, você tem como fator co-mum o 3a2b.

Assim, coloca-se em evidência o fator comum e deixa-se dentro dos parênteses o que sobra.

Portanto: 6a3b – 9a2b 2 = 3a2b. (2a – 3b)

3.2.3.2 Fatoração por agrupamento

Se você aplicar duas vezes a fatoração do fator comum, você obterá a fatoração por agrupamento. Veja:

Seja a expressão: 3x + 3y + bx + by

Você pode perceber que os dois primeiros termos possuem em comum o fator 3, e os dois últimos termos possuem em comum o fator b, como você acabou de aprender, pode-se colocá-los em evidência:

3(x + y) + b(x + y)

Este polinômio possui o termo (x + y) em comum. Assim, po-demos também colocá-lo em evidência:

(x + y).(3 + b)Ou seja: 3x + 3y + bx + by = (x + y).(3 + b)

Outro exemplo : 4ax - 4a + bx – b

(4ax – 4a) + (bx – b) = colocamos em evidência o fator comum de cada grupo

4a(x – 1) + b( x - 1)= temos o fator x – 1 em comum (x - 1)(4a + b)(4ax – 4a) + (bx – b) = (x -1)(4a + b)

67Anotações

Capítulo 3


3.2.3.3 Fatoração da diferença de dois quadrados

Você viu em produtos notáveis que:

(a + b) (a - b) = a2 - b2

é a mesma coisa de a2 - b2 = (a + b) (a - b).

Visto isso, vamos juntos fatorar as seguintes expressões:

y2 – 49 = y2 - 72 = (y + 7) (y - 7)Pronto! Está fatorada nossa expressão!

4b2 – 81c2 = ( 2b)2 – (9c)2 = (2b + 9c)(2b - 9c)

3.2.3.4 Fatoração do trinômio quadrado perfeito

CONCEITO

Um trinômio é quadrado perfeito quando ele pode ser escrito na forma:a2 + 2ab + b2 ou a2 - 2ab + b2

Ou seja:• dois de seus termos são quadrados perfeitos (a2 e b2 );• o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos qua-

drados perfeitos (2ab) ou (-2ab).

Exemplo: x2 + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito pois:

• o seu primeiro termo é o quadrado de um número é o quadrado de x;

• o seu último termo também é quadrado de um número 25 é o quadrado de 5;

• e o termo que sobra 10x = 2.x.5 (dobro do produto de x e 5).

Agora, você pode veri�car se os seguintes trinômios são quadrados perfeitos:

68 Anotações

Capítulo 3


Portanto, a2 - 4a+ 4 é um trinômio quadrado perfeito.

Portanto, x2 - 12x + 9 não é trinômio quadrado perfeito.

Neste capítulo, você viu que: (x + p).(x + q) = x2 + (p + q)x + p.q

Teremos então: x2 + Sx + P = (x + p).(x + q).

Então, veja como se fatora um polinômio da forma x2 + Sx + P.

a) x2 + 6x + 8, comparando com a forma x2 + Sx + P

Temos: S = 6 e P = 8 Ou seja, tem-se que achar dois números que somados dê 6 e multiplicados dê 8.

Como o produto (P) é positivo, os dois números que se quer encontrar têm o mesmo sinal. E como a soma (S) é positiva, os dois números serão positivos.

Portanto, os números são 2 e 4, pois 2 + 4 = 6 e 2.4 = 8

Então, x2 + 6x + 8 = (x + 2) (x + 4).

b) x2 + 4x -5

Temos: S=4 e P = -5, queremos encontrar dois números que somados dê 4 e multiplicados dê -5.

Como o produto é negativo, os dois números têm sinais con-trários.

Como a soma é positiva, o número de maior valor absoluto é negativo.

69Anotações

Capítulo 3


Os números são -1 e 5 pois -1 + 5 = 4 e -1. 5 = - 5Portanto: x2 + 4x -5 = (x - 1) (x + 5).

3.2.3.6 Fatoração da diferença de dois cubos

Calculemos o seguinte produto:

(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3

Então: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Exemplos de fatoração da diferença de dois cubos:

a) x3 - y3 como x está elevado ao cubo e y também, você pode subs-tituir na fórmula que acabou de aprender.

Então: x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)

b) m3 - 8 = m3 - 23 = (m - 2) (m2 + m.2 + 22) = (m - 2) (m2 + 2m + 4)

PRATICANDO

Qual é a forma fatorada de 8y³ - 27?

3.2.3.7 Fatoração da soma de dois cubos

Realizando o produto (a + b) (a2 - ab + b2), obtém-se:

(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3

Portanto: a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Veja alguns exemplos de fatoração da soma de dois cubos:

a) y3.+ 64 a como y está ao cubo e 64 é o cubo de 4, pode-se escrever

y3. + 64 = y3 + 43, como os dois estão ao cubo podemos fatorar através da fórmula acima.

70 Anotações

Capítulo 3


y3.+ 64 = y3 + 43 = (y + 4) (y2 – y.4 + 42) = (y + 4) (y2 – 4y + 16)

b) 8a3 + 1 = (2a)3 + 13 = (2a + 1) ((2a)2 – 2a.1 + 12) = (2a + 1) (4a2 – 2a + 1)

3.2.4 Simpli�cação de expressões algébricas

Uma expressão do tipo

é chamada de fração algébrica, simpli�car uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equi-valente a ela.

Veja:

Fatora-se separadamente a expressão do numerador 12a2by e do denominador 8ab3y. Depois, cancelamos os fatores em comum.

Vejamos outros exemplos.

Simpli�car . Hoje você pôde aprender que x² -

y² = (x + y)(x - y) e x² + 2xy + y² = (x + y)², então:

Simpli�car . Sabemos que e que

x² - 4 = (x + 2)(x - 2) pelas propriedades de fatoração que aprendemos.

3.3 RELEMBRANDO

Neste capítulo, você pôde aprender diversas coisas, dentre elas a importância de aprender expressões numéricas, como calcular o valor

71Anotações

Capítulo 3


numérico de uma expressão, substituindo o valor das incógnitas por valores conhecidos.

Teve oportunidade não só de calcular, mas também de deduzir a fórmula do quadrado da soma e da diferença de dois números, o cubo da soma e da diferença de dois números e de ver também como essas fórmulas facilitam, e muito, os seus cálculos.

Trabalhou com diversas formas as expressões algébricas e viu como a fatoração é essencial para as simpli�cações de expressões.

3.4 PARA SABER MAIS

MATEMÁTICA Essencial. Expressões algébricas. Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/expralg/expralg.htm#m10914>. Acesso em: 22 dez. 2009.

O site acima possui informações sobre produtos notáveis.

3.5 O QUE FAZER

1. Calcule o valor numérico das seguintes expressões algébricas:

(a) x2 + 2x, para x = -5 (b) para a = -2 e b = 16

2. Desenvolva os seguintes produtos notáveis:

(a) (a + 2)(a - 2) (b)(x + 3z)(x - 3z)(c) (x + 3)² (d) (2a - 5)²(e) (2a+b)³ (f ) (a-1)³

3. Fatore as seguintes expressões algébricas:

(a) xy –x (b) y2 + 8y + 16(c) ax2 – ay2 (d) 3a2b2 – 12ab + 12

4. Simpli�que as seguintes frações algébricas:

72 Anotações

Capítulo 3


ONDE ENCONTRAR

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 4 ed. São Paulo: Moderna,1996. v.3.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo. Ática, 2005. v.2.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy. Matemática: pensar & descobrir. Nova edição. São Paulo: FTD, 2005. v.3.

MATEMÁTICA Essencial. Exercícios de expressões algébricas. Disponível em : <http://www.ucs.br/ccet/deme/lzsauer/pecadi/exercicios2.htm>. Acesso em: 24 jun. 2009.

MATEMÁTICA Essencial. Expressões algébricas. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fundam.htm>. Acesso em: 24 jun.2009


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Capítulo 4


4 FIGURAS GEOMÉTRICAS, SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E ÁREA DE FIGURAS PLANAS



Neste quarto capítulo, trabalharemos com as �guras geométricas, aprenderemos que tudo que está ao nosso redor pode ser chamado de �-gura geométrica, sejam eles computadores, folhas de papel, ou até mesmo as linhas de trânsito que são pintadas no chão. Veremos as diferenças entre essas �guras e as quais somos acostumados a chamar de polígonos, que são os quadrados, os retângulos etc.

Quanto aos triângulos, aprenderemos quais propriedades os fa-zem semelhantes e que para ser semelhante não precisa ter exatamente o mesmo tamanho.

Por último, algo que utilizamos demais no nosso dia a dia, que são as medidas das áreas das principais �guras, por exemplo, se vamos com-prar cerâmica para nossa casa, é mais econômico comprar cerâmicas de forma quadrada do que cerâmicas de forma triangular. Para essas escolhas, precisamos entender de cálculo de áreas, o que vamos ver a partir de agora.


O conhecimento das atividades com �guras geométricas pro-porcionam o desenvolvimento de habilidades do raciocínio lógico que nos ajudam a aprender a analisar as �guras geométricas e a partir disso resolver os problemas da vida diária.

Desenvolve também habilidades de desenho e representações geométricas, e ainda possibilita a integração e a aplicação em outros campos de conhecimento, instigando ideias, propondo aplicações prá-ticas para que possamos enfrentar problemas reais.

4.1.3 Objetivos


• aprender as principais �guras geométricas e fazer a distinção entre elas;

• perceber quando os triângulos são semelhantes; • calcular as áreas dos principais polígonos.

76 Anotações

Capítulo 4



4.2.1 Um pouco de história

CONCEITO

A palavra Geometria vem do grego, Geo, que signifi ca terra, e metria, de medir, medir a terra.

Originou-se como necessidade do dia a dia, por exemplo, divi-dir terras, construir casas, observar e previr os movimentos dos astros, ações que sempre dependeram de operações geométricas. Já cerca de 3000 a.C os antigos Egípcios possuíam os conhecimentos de Geome-tria necessários para reconstituir as marcações de terrenos destruídos pelas cheias do rio Nilo, bem como para construir as célebres pirâmides.

Por volta do ano 500 a.C. houve na Grécia um grande desen-volvimento do interesse pela ciência e vários sábios se dedicaram ao estudo da Geometria. Dentre eles, um dos mais importantes, foi Tales de Mileto, que usou propriedades de � guras geométricas para a determi-nação de distância sobre a superfície terrestre.

No século III a.C viveu em Alexandria Euclides, o mais célebre dos geômetras de todos os tempos. Euclides sintetizou toda a geometria conhecida na sua época no seu tratado “Elementos”, composto por 13 livros, que ainda há poucos anos era o principal instrumento de traba-lho dos estudantes de Geometria. Em seu livro, ele de� ne pontos, retas e planos, inclusive solução de algumas equações usando geometria.

SAIBA QUE O conjunto dos objetos geométricos que traba-lhamos hoje, as fi guras geométricas, os retângu-los, triângulos e os sólidos geométricos formam o que chamamos de geometria euclidiana, pois se baseiam nos postulados de Euclides.

77Anotações

Capítulo 4


4.2.2 Figuras geométricas

Muitas vezes, pensamos que �guras geométricas são somente aquelas de formas retas, tais como o triângulo e o retângulo, porém, veremos que as linhas, os contornos e os objetos de três dimensões tam-bém são �guras geométricas. Vejamos a seguir as classi�cações.

• Sólidos geométricosSão �guras geométricas que possuem três dimensões. São exemplos de sólidos geométricos:

• Regiões planasSão �guras geométricas que possuem duas dimensões.

Estudaremos mais detalhadamente os polígonos. Polígonos são regiões planas contornadas só por seguimentos de reta que não se cru-zam. Como exemplo, temos o triângulo, o quadrado, o retângulo.

• ContornosSão também chamados de linhas fechadas. Existem dois tipos: as linhas poligonais fechadas e as linhas não-poligonais fechadas.

78 Anotações

Capítulo 4


• Linhas abertas

4.2.3 Semelhança de Triângulos

CONCEITO

Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando os ângulos são respectivamente congruentes (isto é, possuem mesma medida), e os lados correspondentes são proporcionais.

Os triângulos constituem um caso especial. Para que dois triân-gulos sejam semelhantes, basta que se veri�que somente uma das con-dições acima; ou seja, se os ângulos de dois triângulos são congruentes podemos a�rmar que esses triângulos são semelhantes; da mesma forma se os lados dos triângulos são proporcionais esses triângulos são seme-lhantes.

Vejamos um exemplo:

79Anotações

Capítulo 4


Dividindo o lado AC pelo lado DF, teremos .

E o lado AB pelo lado DE: .

E BC por EF temos: .

Como , percebemos que os lados dos triân-

gulos são proporcionais, portanto, os triângulos 1 e 2 são semelhantes.

Generalizando:

Se:• o ângulo A é congruente ao ângulo O,• o ângulo E é congruente ao ângulo I,• e o ângulo U é congruente ao ângulo B,

Ou ,

podemos concluir que o triângulo AEU é semelhante ao triângulo OIB.

4.2.4 Áreas de �guras planas

• Paralelogramo: é todo quadrilátero que possui os lados opostos pa-ralelos. Para calcular a área de um paralelogramo, multiplicamos a medida da base pela medida da altura.

• Retângulo: é todo quadrilátero que possui os lados opostos pa-ralelos e quatro ângulos retos. Para calcular a área de um retân-gulo, multiplicamos a medida da base pela medida da altura.

80 Anotações

Capítulo 4


Ar = b . h

• Quadrado: é todo paralelogramo que tem os 4 lados congruentes e os 4 ângulos retos. Para calcular a área do quadrado, realizamos o mesmo processo da área do retângulo, porém, como a base e a altura são iguais, basta multiplicar o lado por ele mesmo.

Aq= l. l ⇒ Aq= l 2

• Triângulo: �gura plana de três lados fechada por três linhas que se encontram. Calcula-se a área do triângulo multiplicando a medida da base pela altura e dividindo-se por dois.

At=

• Trapézio: Quadrilátero que tem dois lados paralelos e desiguais. A área é calculada somando as medidas das bases, multiplicamos essa soma pela altura e dividimos tudo por dois.

At=

• Losango: é um paralelogramo que tem os quatro lados congruentes. A área é calculada multiplicando as suas diagonais e dividindo-se por dois.

Al=

• Círculo: é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma.

81Anotações

Capítulo 4


SAIBA QUE A circunferência é somente o contorno e o círculo é formado pelo contorno e todos os pontos dentro dele.

Exemplo: o anel é uma circunferência, enquanto o prato é um círculo.

Então, a área do círculo é dada por π multiplicado pelo qua-drado do raio.

Ac = π r2

a) Cálculo da área de algumas regiões planas

1. A área de um paralelogramo que tem 2 cm de medida da base e 3,5 cm de altura. Sabemos que Ar = b . b = 3,5 e h = 2 cm

Ar = 2 . 3,5 = 7 cm2

2. A área de um quadrado que tem 5,4 m de lado.

A área do quadrado é Aq = l2 l = 5,4 m Aq= 52=25 m2

3. A área de um trapézio que tem 1 mm de base menor; 6 mm de base maior e altura de 3mm.

B = 6 mm b = 1 mm h = 3 mm

At = ( ) + B b h

2 = ( ) + 6 1 3

2 = 7 32 =

212 = 10,5 cm2

82 Anotações

Capítulo 4


4. A área de um losango que tem 3 cm de diagonal menor e 4cm de diagonal maior.

d = 3 cm D = 4 cm

Al = D d

2 = 122 = 6 cm2

5. A área de um círculo que tem 7 cm de raio.

r = 7 cmAc = π 72= 3,14. 49= 153,86 cm2

4.3 RELEMBRANDO

Acabamos de conhecer as principais �guras geométricas, aprende-mos que elas podem ser divididas, em sólidos, regiões planas, linhas fecha-das e linhas abertas. Vimos a diferença entre polígonos e não polígonos.

Trabalhamos com semelhança de triângulo e, a partir daí, pode-mos perceber que é útil para ampliações de imagens.

Entendemos a diferença entre círculo e circunferência e então cal-culamos a sua área. Calculamos também as áreas dos principais polígonos.

4.4 PARA SABER MAIS

WAGNER, E. Construções Geométricas. Rio de Janeiro: SBM, 2000. Coleção do Professor de Matemática.

O livro indicado possui mais informações sobre �guras geomé-tricas, semelhança de triângulos e área de �guras planas.

4.5 O QUE FAZER

1. Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes, quais as medidas de x e y?

83Anotações

Capítulo 4


2. Um trapézio tem a base menor igual a 2m, a base maior igual a 3m e a altura igual a 10m. Qual a área desse trapézio?

3. Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual a medida do lado desse quadrado?

4. Qual a área do seguinte losango (em mm)?

ONDE ENCONTRAR

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

ESCOLAS de Miranda do Douro. História da Geometria. Disponível em:< http://www.eb2-miranda-douro.rcts.pt/mat/historia1.htm Acesso em: 24 jun. 2009. GIOVANNI, José Ruy et. al. Matemática Fundamental: uma nova abordagem: ensino médio. São Paulo: FTD, 2002.

SÓ MATEMÁTICA. Geometria. Disponível em:< http://www.somatematica.com.br/geometria.php>. Acesso em: 24 jun. 2009.


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Capítulo 5


5 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES



Trabalharemos neste capítulo com as equações, no capítulo 3 aprendemos o que é uma expressão algébrica e agora iremos trabalhar com essas expressões junto com igualdades.

Aprenderemos a trabalhar com equações do 1º grau, como achar sua solução e diversos exemplos de sua utilização no cotidiano. Veremos que exemplos de inequações podem aparecer nas classi�cações de �lmes ou na entrada do parque de diversões. Veremos os sistemas de equações com duas variáveis e dois métodos de encontrar suas soluções.

Por último, trabalharemos com as equações do 2º grau, também conhecidas como equações quadráticas, e utilizaremos a tão conhecida fórmula de Bhaskara para encontrar suas soluções.


Para resolver alguns problemas, como a dúvida entre comprar uma televisão à vista ou a prazo, podemos fazer os cálculos mentais, mas muitas vezes nessas operações aparecem valores desconhecidos. E a partir daí, a Matemática se posiciona perante essas diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

5.1.3 Objetivos

Neste capítulo você terá oportunidade de:

• aprender equações de um modo geral;• solucionar equações do 1º grau, utilizando as operações in-

versas; • reconhecer as desigualdades e descobrir os valores que satisfa-

zem essas desigualdades;• encontrar o par ordenado (x,y), que é solução do sistema de

equações; • trabalhar com equações do 2º grau e descobrir suas duas solu-

ções através da fórmula de Bhaskara.

88 Anotações

Capítulo 5



5.2.1 Equações

Se alguém chega e pergunta a você:

a) Qual é idade de Carlos se daqui há 7 anos ele terá 35 anos?b) Qual o valor de um refrigerante sabendo-se que foram comprados 6

refrigerantes e o total foi de R$ 15,00?

Talvez as respostas venham rápido à sua mente, e isso é bom que aconteça. Você acabou de resolver uma equação! Caso não venha rapidamente a resposta, recorreremos à Matemática para nos ajudar.

Vamos resolver os problemas anteriores através da matemá-tica?

a) Chamando de x a idade atual de Carlos, teremos:

x + 7 = 35.

Queremos saber o número que somado a 7 dá 35. Esse número é 28.

Mas podemos fazer a operação inversa:

x = 35 – 7 x = 28

A idade atual de Carlos é 28 anos.

b) Chamando de y o valor de cada refrigerante, temos:

6.y = 15, queremos saber qual o valor que multiplicado por 6 dá 15, como a divisão é a operação inversa da multiplicação, teremos:

y = 156 ⇒ y = 2,50.

Então, cada refrigerante custa R$ 2,50.

Sentenças como x + 7 = 35 e 6.y = 15 são chamadas de equa-ções. Equações são igualdades que contêm pelo menos uma letra que representa um número desconhecido. Chamamos essa letra de incóg-nita, resolver a equação é encontrar o valor da incógnita (número des-conhecido).

89Anotações

Capítulo 5


São exemplos de equações:

• 5x – 2 = 23, equação com incógnita x;• r2 + 3 = r – 11, equação com incógnita r.

Notamos que toda equação tem:

• uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas incógnitas (ou variáveis);

• um sinal de igualdade =;• uma expressão à esquerda da igualdade, chamada de primeiro

membro;• uma expressão à direita da igualdade, chamada de segundo

membro.

5.2.2 Solução ou Raiz de uma Equação

Dizemos que um número é solução (ou raiz) quando ele torna a equação verdadeira. No caso da idade de Carlos, x = 28 é solução da equação. E y = 2,50 (o preço de cada refrigerante) é solução da equação 6y=15.

Vejamos um exemplo!

Queremos saber se o número 6 é solução da equação 3x + 4 = 23. Substituímos o valor de x por 6 e veri�camos se a igualdade é ver-dadeira.

3. 6 + 4 =18 + 4 = 22 ≠ 23

Portanto, 6 não é solução da equação.

5.2.2.1 As operações inversas

Para a solução de equações, devemos relembrar as operações inversas.

a ) se x + 5 = 9, então, x = 9 – 5

b) se x4 = - 3, então, x = (-3) . 4

c) se 2x = -1, então, x = -12

d) se x – 10 = - 7, então x = -7 + 10

90 Anotações

Capítulo 5


5.2.3 Equações do 1° Grau com uma incógnita

As equações que vimos acima, x + 7 = 35 e 5x – 2 = 23, são equações do 1° grau com uma incógnita.

A equação r2 + 3 = r – 11 não é do 1° grau, como a incógnita r está elevada a 2 dizemos que essa equação é do 2 ° grau, a qual apren-deremos mais adiante.

5.2.3.1 Resolução de equações do 1 ° grau

Uma moto está a venda da seguinte forma: Entrada de R$150,00 mais dez parcelas �xas de x reais, sabendo que o total da moto é R$ 3. 520,00. Qual é o valor de cada prestação?

Escrevendo a equação algebricamente:

150 + 10x = 3520

entrada + 10 parcelas de x = total da moto

Solução:

Como 150 + 10x = 10x + 150 podemos escrever a equação acima como sendo:

10x + 150 = 3520 Subtraindo 150 dos dois membros da equação obtemos:

10x + 150 -150 = 3520 – 150

10x = 3370 Dividindo os dois membros por 10:

x = 337

Observação: Por que subtraímos 150 dos dois lados da equação? Isso não muda o resultado?

Vejamos!Sabemos que 10 = 10, se somarmos o número 3 aos dois mem-

bros da equação teremos:

10 + 3 = 10 + 313 = 13

91Anotações

Capítulo 5


Pronto! Somamos 3 nos dois membros e a igualdade continua verdadeira. O mesmo acontece para as outras equações com incógnitas. Se dividirmos por 2 teremos:

102 = 10

2

5 = 5

Então, percebemos que a operação que �zermos nos dois lados da equação, não mudará a igualdade.

Fazendo a mesmo cálculo usando operações inversas:

10x + 150 = 3520 150 está somando passa para o outro lado subtraindo

10x = 3520 – 15010x = 3370 10 está multiplicando o x, então passa para o outro lado dividindo:

x = 337Vamos resolver juntos mais uma equação:

5.(x-2) = 4 – ( - 2x+1)5x – 10 = 4 + 2x - 15x – 10 = 3 + 2x5x =3 + 2x + 105x = 13 + 2x5x - 2x= 133x=13

x = 133

S = { 133 }

5.2.4 Inequações do 1° Grau

Na maioria dos �lmes que vamos assistir, observamos uma clas-si�cação indicativa da idade permitida para o �lme. Em alguns, por exemplo, encontramos:

Filme proibido para menores de 14 anos.

Se chamarmos de x todas as idades proibidas para assistir a esse �lme podemos escrever:

x < 14

(para toda idade menor que 14 anos não se pode assistir ao �lme).

92 Anotações

Capítulo 5


Quando trabalhamos com equações do 1º grau, tínhamos so-mente uma solução, para o caso acima temos várias idades que são me-nores que 14. Não temos uma única solução. Então, acima temos uma desigualdade. Para as desigualdades, temos os seguintes sinais:

>: maior que ≥: maior ou igual a< : menor que ≤: menor ou igual a≠: diferente de

LEMBRETE

As desigualdades que contêm letras que representam números desconhecidos são chamadas de inequações.

x < 14 e y ≥ 2y + 3 são exemplos de inequações.

5.2.4.1 Solução de inequações

Seja o preço do litro da gasolina dado pela equação 2x - 2 e o preço do álcool dado por x. Como o preço da gasolina é maior do que o preço do álcool, obtemos a seguinte inequação:

2x – 2 > x

Substituindo x por 3, obtemos: 2.3 – 2 > 3 6 – 2 > 3 4 > 3 Verdadeiro!!

Substituindo x por 1 2.1 – 2 > 1 2 – 2 > 1 0 > 1 Falso!

Substituindo x por 5 2.5 – 2 > 5 10 – 2 > 5 8 > 5 Verdadeiro!!

Dizemos que:3 e 5 são soluções da inequação 2x – 2 > x 1 não é solução da inequação 2x – 2 > x

93Anotações

Capítulo 5


• Princípio aditivo das desigualdades

Sabemos que 9 > 4 se somarmos 3 aos dois membros da inequação: 9 + 3 > 4 + 3 12 > 7 Verdadeiro !!!

O mesmo para -7 < 2 subtraindo 5 dos dois membros da equação, obtemos:

-7 -5 < 2 -5 12 < -7 Verdadeiro !!!

A desigualdade continua verdadeira.

SAIBA QUE Se somarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, a desi-gualdade permanece a mesma.

• Princípio multiplicativo das desigualdades

Sabemos que +2 > -6 multiplicando os dois membros por + 2 obtemos:

+2. (+2) > -6 . (+2)+ 4 > -12 Verdadeiro!!!

No mesmo caso +2 > -6 multiplicando os dois membros por -3:

+2.(-3) ≥ -6.(-3)-6 ≥ +18 Falso!!!!

94 Anotações

Capítulo 5


Para que a desigualdade continue verdadeira, precisamos inver-ter o sinal da desigualdade.

SAIBA QUE • Multiplicando ou dividindo os seus dois mem-

bros por um número positivo, essas desigualda-des permanecem as mesmas.

• Multiplicando ou dividindo os seus dois mem-bros por um número negativo, essas desigual-dades fi cam invertidas.

Exemplo 1

Achar as soluções da inequação -3 - 2x ≤ 13

-3 - 2x ≤ 13 somamos+ 3 aos dois membros

-3 -2x + 3 ≤ 13 + 3-2x. (-1) ≤ 16. (-1) atenção! Multiplicamos os dois membros por -1, que é

2x ≥ -16 negativo. Logo, invertemos o sinal da desigualdade.

x

x ≥ -8

Logo, as soluções da inequação são todos os números racionais maiores ou iguais a -8.

Exemplo 2

Achar todos os valores de x que são soluções da inequação – 5(5 - x) < (-4 + 2x)

– 5(5 - x) < (-4 + 2x) – 25 + 5x < – 4 + 2x+5x - 2x < - 4 + 253x < 21

x < 7

Os valores de x que são soluções da inequação são todos os nú-meros reais menores que 7.

95Anotações

Capítulo 5


5.2.5 Sistemas de Equações do 1 ° Grau

Vejamos a seguinte situação: em uma partida de basquete, Ana e Bianca marcaram juntas 20 pontos. Se quisermos descobrir o número de pontos que cada uma fez, teremos diversas possibilidades. Por exem-plo, Ana 12 e Bianca 8, Ana 17 e Bianca 3, Ana 10 e Bianca 10, e assim por diante.

Podemos indicar essa situação por uma equação com duas in-cógnitas, sendo x o número de pontos de Ana e y o número de pontos de Bianca:

x + y = 20 (equação com duas incógnitas).

Observe que podemos escrever as soluções dessa equação através de pares ordenados ( x,y ) de números naturais: (12,8), (17,3), (10,10) e outros.

Se além dessa informação soubéssemos que Ana fez 10 pontos a mais que Bianca, poderemos agora saber exatamente quantos pontos cada uma fez. Se Ana fez 10 pontos a mais que Bianca, ao somarmos 10 pontos à pontuação de Bianca, a sua pontuação �caria igual a de Ana, escrevendo algebricamente:

x = y + 10y

Teremos agora:

Que é um sistema de equações com duas incógnitas. A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).

Veri�cando o par ordenado (15,5), notamos que satisfaz as duas equações:

x + y = 20 15+5=20 e x = y + 10 15=5+10 Logo, a solução do sistema é (15,5).

Vejamos dois métodos para determinar a solução de sistemas de equações:

96 Anotações

Capítulo 5


• Método da soma

Para trabalhar com o método da soma, eliminamos uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.

Exemplo 3

Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y).

Com isso, basta somar as duas equações:

A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações:

O par ordenado ( x,y ) = (9,5) é a solução do sistema.

Outro exemplo

Note que as equações não possuem coe�cientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.

Para a resolução desse sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada.

97Anotações

Capítulo 5


Para isso, multiplicamos a equação (I) por -2:

Substituindo na equação II:

3.8 + 2y = 4624 +2y = 462y = 46-242y =22

y = 222

y = 11

S = {(8,11)}

• Método da substituição

Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substituí-la na outra.

Sabrina foi a uma loja e comprou uma blusa e um colar, gastou R$ 27,00. Seu namorado comprou em outro dia uma blusa de mesmo preço e percebeu que se subtraísse desse valor o preço de dois colares daria R$6,00. Qual o preço da blusa e do colar?

Chamando o preço da blusa de x e o preço do colar de y, tere-mos o seguinte sistema:

Resolvendo pelo método da substituição, escolhemos uma das variáveis na primeira equação para determinarmos o seu valor.

x+y=27 x = 27 – y Substituímos na outra equação (II):(27 - y) -2y = 627 -y - 2y = 6 -3y = 6 - 27-3y (-1)= -21(-1)

98 Anotações

Capítulo 5


3y = 21

y= 213

y = 7

Substituindo o valor encontrado em (I):

x + y= 27 x + 7 = 27 x = 20

A blusa custou R$ 20,00 e o colar R$ 7,00. Logo, a solução do

sistema é: S = {(20,7)}.

Vejamos outro exemplo:

Isolando a variável y da equação II:

-3x + 2y = 1 2y = 1 + 3x y =

Substituindo o valor de y na equação ( I ) :

99Anotações

Capítulo 5


Substituindo o valor de x em (II):

Logo a solução do sistema é:

5.3 EQUAÇÕES DO 2° GRAU

Acabamos de conhecer as equações do 1º grau, agora aprende-remos a trabalhar com as equações do 2º grau, também chamadas de equações quadráticas. Alguns exemplos serão apresentados a seguir.

4x2 – x + 3 = 0 e x2+ 2x – 8 = 0

São chamadas de equações quadráticas porque o maior expoen-te de x é igual a 2.

CONCEITO

Uma equação do 2º grau é toda igualdade do tipoax2 + bx +c = 0 ,em que a.b e c são números reais e a ≠ 0

4x2 –3 x + 9 = 0 onde a= 4, b = -3 e c = 9.x2+ 7x +1 = 0 onde a= 1, b = 7 e c =1.- x2 -6 x = 0 onde a= -1, b = -6 e c = 0.

100 Anotações

Capítulo 5


5.3.1 Resolução de equações do 2º grau

Uma maneira muito útil para encontrar a solução de equações do 2º grau é utilizando a fórmula de Bhaskara. Já eram conhecidas so-luções de equações do 2º antes do tempo de Bhaskara. Mas, foi dado a ele o crédito por nos ter apresentado uma fórmula prática para soluções de equações quadráticas.

A fórmula de Bhaskara é dada por:

Chamamos b2-4ac de D (delta) e a fórmula �ca:

Resolvendo a equação x2 - 9x +8 = 0

a= 1, b = -9 e c = 8D = b2 - 4ac D = (-9)2-4.1.8 D =81-32D =49

Para uma equação de 1º grau, temos uma única solução e para soluções de equações do 2º grau teremos duas soluções. Chamaremos de x’ e x’’ as duas raízes da equação:

Estudando o valor de D

1º caso: D é um número real positivo (D > 0):Exemplo: x² + 3x- 4a= 1, b = 3 e c = -4D = b2 - 4ac D = (3)2-4.1.(-4) D =9 + 16D =25

101Anotações

Capítulo 5


Para D (delta) maior que zero, percebemos que a equação do 2º grau possui duas raízes reais e diferentes.

2º caso: D = 0

Exemplo: 5x²-10x+5=0a= 5, b = -10 e c = 5D = b2 - 4ac D = (-10)2-4.5.5 D =100 -100D =0

Percebemos que quando D = 0, as duas raízes são reais e iguais.

3º caso: D é um número real negativo (D<0)

Exemplo: x²+2x+7=0a= 1, b = 2 e c = 7D = b2 - 4ac D = 22-4.1.7 D =4 -28D =-24

Como D < 0, com o conjunto dos números reais que estamos trabalhando, não existem raízes de números negativos, não podemos calcular . Isso só é possível com o conjunto dos números comple-xos, que não faz parte do nosso estudo de agora.

102 Anotações

Capítulo 5


SAIBA QUE

5.4 RELEMBRANDO

Quanta coisa aprendemos hoje! Pudemos ver o quanto as equa-ções estão presentes no nosso dia a dia. Sejam elas de 1º ou de 2º grau. Encontramos soluções de desigualdades e trabalhamos com sistema de equações com duas variáveis. Por último, trabalhamos com a fórmula de Bhaskara e percebemos que ela nos é útil para resolver qualquer tipo de equação do 2º grau.

5.5 PARA SABER MAIS

ALGO sobre vestibular. Disponível em:<http://www.algosobre.com.br/matematica/equacoes-algebricas.html>. Acesso em: 29 jun. 2009.

No Portal Algo Sobre Vestibular, você encontra mais informa-ções sobre equações algébricas.

5.6 O QUE FAZER

1. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

2. Resolva as seguintes equações:

a) 2x-3=17b) 4x+7= x- 8c) 3-7(1-2x)=5-(x-9)

103Anotações

Capítulo 5


3. Qual par ordenado é solução dos seguintes sistemas?

4. Resolva as seguintes inequações, em : a) 2x + 1 ≤ x + 6b) 4x-3>1+x-4c) 5(3x-2)<0

5.Resolver as equações:

a) x² + 6 x + 9 = 0b) 2x² - 2 x - 12 = 0c) 3x² - 10 x + 3 = 0

ONDE ENCONTRAR

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo. Ática, 2005.

MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. Equações do primeiro grau. Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm#m10701>. Acesso em: 26 jun. 2009.

__________________________. Fundamental. Funções. Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.

PARENTE, Giovanni. Aprendendo Matemática. São Paulo: FTD, 2002.

SÓ MATEMÁTICA. Inequações. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/soexercicios/inequacoes.php>.Acesso em: 26 jun. 2009.


CA

PÍTU

LO 6

107Anotações

Capítulo 6


6 FUNÇÕES



Olá!!! Você está iniciando o sexto capítulo, nele você estudará as funções, que é um dos conceitos mais importantes da Matemática. Você verá que seu conhecimento impulsionou o desenvolvimento tec-nológico em quase todas as áreas, no ramo da Física e de outras ciências. Neste capítulo, você estudará o que chamamos de funções reais, isto é, relações entre quantidades que podem ser descritas por números reais.

Você terá oportunidade de aprender sua de�nição e algumas aplicações no seu cotidiano. Estudará ainda os conceitos de domínio, contradomínio e conjunto imagem, aprendendo a diferenciá-los.

Será dada uma grande atenção aos grá�cos das funções, pois será de muita utilidade para os capítulos seguintes. Você aprenderá a construir grá�cos de funções, a diferenciar também por meio de seu grá�co se uma função é injetora, sobrejetora ou os dois casos ao mesmo tempo, a chamada bijetora.

E para �nalizar este capítulo você aprenderá a trabalhar com funções compostas e funções inversas.


As funções permeiam sua vida cotidiana mesmo que talvez você não tenha percebido. Por exemplo, o valor da conta de luz da sua casa depende da quantidade de energia que você gasta, a dose de remédio que é dada a uma criança depende do seu peso, o valor para fazer có-pias de um material depende do número de páginas copiadas. Usando funções, também se estudam o crescimento de bactérias, o movimento dos astros, a variação da temperatura da Terra etc. A noção de função permite a você, en�m, descrever e analisar relações de dependência en-tre quantidades. Por isso, é de suma importância saber trabalhar com funções e é o que você irá aprender agora.

6.1.3 Objetivos

Neste capítulo, você terá oportunidade de:• aprender a de�nição de função e saber trabalhar com ela; • encontrar pontos no plano cartesiano; • construir grá�cos de funções por sua lei de formação; • saber quem é o domínio, o contradomínio e o conjunto ima-

gem de uma função;

108 Anotações

Capítulo 6


• entender o que signi�ca uma função ser injetora, sobrejetora e bijetora;

• compor funções e calcular a inversa de uma função quando possível.


6.2.1 A ideia de Função

Quando se tem duas grandezas em que uma depende da outra, pode-se dizer que existe uma relação entre essas duas grandezas. Ima-gine que você queira comprar arame para cercar o quintal da sua casa, você verá que existe uma relação entre a quantidade de arame e o preço que você vai pagar por ele.

Para calcular a área de um quadrado precisamos da medida do lado desse quadrado. Então existe uma relação entre o valor da área do quadrado e a medida do seu lado.

Vejamos outra situação:

Peso (Gramas) Valor Básico (R$)

Até 300g 9,90

Mais de 300 até 1000g 10,50

Mais de 1000 até 2000g 11,60

Mais de 2000 até 3000g 12,70

Mais de 3000 até 4000g 13,80

QUADRO 1 - Valor do preço do SEDEX - Origem: João Pessoa e Destino: Natal

A partir do Quadro 1, você será capaz de responder as seguintes perguntas:

• Qual o valor a ser pago por uma encomenda que “pesa” 1260g?

• Qual o “peso” máximo de uma carta para que sua tarifa não ultrapasse R$ 12,70?

• É possível que duas cartas com tarifas diferentes tenham o mesmo “peso”?

Nessa relação, o “peso” da encomenda é variável independente, e a tarifa chamamos de variável dependente. Você pode notar que cada peso do sedex corresponde a uma única tarifa e a tarifa depende do peso da encomenda.

109Anotações

Capítulo 6


As três relações que você acabou de ver têm características em comum:

• o preço do arame depende do seu tamanho;• a medida da área de um quadrado depende do seu lado;• a tarifa do sedex depende do seu peso.

Em todos os três exemplos, têm-se as variáveis independentes (tamanho do arame, lado do quadrado e peso do sedex); e as variáveis dependentes (preço do arame, medida da área, tarifa do sedex).

Pode-se dizer então que:

• o preço do arame é dado em função do seu tamanho;• a medida da área de um quadrado é dada em função da me-

dida do seu lado;• a tarifa do sedex é dada em função do seu “peso”.

6.2.2 De�nição de Função

CONCEITO

Sejam dois conjuntos A e B não vazios, e f uma relação que liga os elementos de A aos elementos de B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada ele-mento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento (chamado y=f(x) ) do conjunto B.

Notação: f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores no conjunto B) x y = f(x) ( a cada elemento x A corresponde um único y B)

Veja a seguir alguns exemplos.

Exemplo 1:Dados os conjuntos A = {0,5,15} e B = {5,10,15,20,25,30}, seja

a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5, com x A e y B.

Calculando os valores de A na fórmula: y = x + 5 x = 0 ⇒ y = 0 + 5 = 5

110 Anotações

Capítulo 6


x = 5 ⇒ y = 5 + 5 = 10 x = 15 ⇒ y = 15 + 5 = 20

Você pode observar que: todos os elementos de A estão associa-dos a elementos de B; a cada elemento de A está associado um único elemento de B.

Neste caso, a relação de A em B, y = x + 5, é uma função de A em B.

Exemplo 2:

Dados os conjuntos A = {-3,0,3,5,7} e B = {-3,0,5,10,12}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x, com x A e y B.

x = -3 ⇒ y = -3x = 0 ⇒ y = 0 x = 3 ⇒ y = 3x = 5 ⇒ y = 5x = 7 ⇒ y = 7

Percebe-se que este exemplo não expressa uma função de A em B, pois os elementos 3 e 7 do conjunto A não possuem correspondentes em B.

111Anotações

Capítulo 6


PRATICANDO

6.2.3 Domínio, contradomínio e imagem de uma Função

Veja novamente o Exemplo 1 da pagina anterior

• O conjunto de todos os elementos de A é chamado domínio da função representado pela letra D.

• Neste caso, D = {0,5,15}.• O conjunto de todos os elementos de B é chamado de contra-

domínio da função. Representamos por CD.

Neste caso, CD = {0,5,10,20,25,30}.

O elemento y = f(x) é a imagem do elemento x. A Imagem de f é o subconjunto de B formado por todos os elementos f(x). Representado por Im.

No exemplo acima Im = { 5,10,20}

Veja outro exemplo.

Exemplo 3:

Dados os conjuntos A = {-4,-2,0,1} e B = { -2,-1,0,2,3,5}, de-terminar o domínio o contradomínio e o conjunto imagem da função f : A ® B de�nida por f(x) = x + 2

112 Anotações

Capítulo 6


f(-4) = (-4) + 2 = - 2 f(-2) = (-2) + 2 =0f(0) = 0 + 2 = 2f(1) = 1 + 2 = 3

Domínio: D = AContradomínio : CD = BIm = { -2,0,2,3}

6.2.4 Grá�co de uma Função

6.2.4.1 Plano Cartesiano

Talvez você tenha ouvido falar desse nome anteriormente. Pla-no Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), �lósofo e matemático francês.

O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares entre si que se cruzam na origem, e dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. Os eixos são identi�cados pelas letras x e y. O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y denominado eixo das ordenadas.

FIGURA 1 - Plano Cartesiano

Lima (2006) nos diz que um par ordenado P= (a,b) é formado por um objeto a, chamado a primeira coordenada de P e um objeto y, chamado a segunda coordenada de P. A primeira coordenada per-tence ao eixo x e a segunda coordenada, ao eixo y. Esse par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

113Anotações

Capítulo 6


FIGURA 2 – Par ordenado P= (a,b)

Veja alguns pontos marcados no plano cartesiano.

A ( -3,1)B(-1,5;-2,5)C (0,0)D(2,3)E(3,2).

FIGURA 3 – Pares ordenados marcados no Plano Cartesiano

No grá�co acima, você pode perceber a diferença entre os pares ordenados (2,3) e (3,2). Daí, conclui-se que para quaisquer dois núme-ros a e b, o par ordenado (a,b) é diferente do par ordenado (b,a).

6.2.4.2 Construindo grá�co de funções

Você entrará agora no estudo sobre como construir grá�co de fun-ções, é um assunto bastante interessante, então, concentre sua atenção!!!

Para construir grá�co de funções, utiliza-se um sistema de co-ordenadas cartesianas. O grá�co da função é o conjunto de todos os pontos (x ,y), do plano cartesiano, com x � D (domínio da função) e y � Im (Imagem da função).

114 Anotações

Capítulo 6


LEMBRETE

Consideramos os valores do domínio da função no eixo x (eixo das abscissas) e as respectivas imagens no eixo y (eixo das ordenadas).

Exemplo 4:

Construir o grá�co da função f: A ® � , dada por f(x) = 2x + 1, onde A = {-3,-1,0,2}.

Calculando:

f(-3) =2. (-3)+ 1 = -6 + 1 =-5 Em seguida, marcam-se esses pontos no eixo de coordenadas

f(-1) =2. (-1)+ 1 = -2 + 1 =-1 e depois ligam-se os pontos.

f(0) =2.0 + 1 = 0 + 1 = 1f(2) =2.2 + 1 =4 + 1 = 5

x y = f(x) ( x,y )-3 -5 (-3,-5)-1 -1 (-1,-1)0 1 (0,1)2 5 (2,5)

Exemplo 5:

Seja a função y = -2x2. Construir seu grá�co, sendo D=[-2 , 2 ] .

Inicialmente, atribui-se valores para x, você pode escolher qual-quer valor, escolhemos -2,-1,0,2, e calcula-se o f(x) para cada um deles:

f(-2)= -2.(-2)2=-2.4=-8 Em seguida, marcam-se os pontos (x,y) no grá�co:

f(-1)= -2.(-1)2=-2.1=-2f(0)= -2.02=-2.0=0f(2)= -2.22=-2.4=-8

115Anotações

Capítulo 6


x y = f(x) ( x,y )-2 -8 (-2,-8)-1 -2 (-1,-0)0 0 (0,0)2 -8 (2,-8)

PRATICANDO

Agora é sua vez de construir o gráfico da função f(x) = - x + 1

6.2.5 Tipos de Funções

6.2.5.1 Função Injetora

Uma função f : A ® B é injetora quando elementos diferentes de A correspondem a elementos diferentes de B. Ou ainda se elementos tem mesma imagem, esses elementos são iguais.

Exemplo 6:

A função f : � ® � , de�nida por f(x) = x3 é injetora pois a cada elemento de B temos um único elemento em A.

FIGURA 4 – Função Injetora

6.2.5.2 Função Sobrejetora

-8

116 Anotações

Capítulo 6


Em Matemática, uma função é dita sobrejetora se o seu conjun-to imagem for igual ao contradomínio: Im(f ) = CD.

Exemplo 7:

Seja f : � ® � de�nida por f (x) = 2x +1. O contradomínio de f é � (CD = � ), vamos veri�car se f é sobrejetora.

FIGURA 5 – Função Sobrejetora

Vemos que a função percorre todos os números Reais, então, Im (f) = � , que é igual ao seu contradomínio, portanto, f é sobrejetora.

6.2.5.3 Função Bijetora

Diz-se que uma função é bijetora se a função é injetora e sobre-jetora ao mesmo tempo.

Vamos estudar a função f : � ® � de�nida por f(x)=x2.

FIGURA 6 – Função Bijetora

Você pode perceber que a função f(x)=x2 , f : � ® � não é injetora nem sobrejetora, pois:

• tem-se a mesma imagem para elementos diferentes f(2)=f(-2)=4 (ela não é injetora);

117Anotações

Capítulo 6


• o domínio é diferente da imagem, uma vez que CD= � e Im = � + (ela não é sobrejetora);

Portanto, f não pode ser bijetora.

Agora, rede�nindo a função como f : � ® � +, temos Im = CD = � +, pode-se dizer então que f é sobrejetora.

FIGURA 7 – Função Sobrejetora

Agora você nota que a função não é injetora, mas é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é igual ao seu contradomínio.

Novamente, rede�nindo a função por f : � + ® � +, tem-se o domínio como sendo o � +, isto é, somente os valores reais positivos e portanto a função só terá um valor da imagem chegando a um único valor do domínio. Com, por exemplo, f(2) = 4, não existe mais o f(-2) chegando a 4 também. Por isso, pode-se dizer que f é injetora.

FIGURA 8 – Função Injetora

Por �m, você pôde perceber que a função agora é injetora e sobrejetora, portanto, bijetora.

6.2.6 Composição de Funções

Acompanhe a seguinte situação: uma fábrica que produz reló-gios calcula o seu lucro por meio da equação L= 0,6C; onde L é o lucro e C é o preço de venda desse relógio para o comércio. Por sua vez, o preço C de venda é calculado fazendo-se C = 15+ 2P, onde P é o valor

118 Anotações

Capítulo 6


gasto com o material para fabricação desse relógio. Vê-se, então, que o lucro L é dado em função do preço C, que é dado em função do gasto P.

Seria possível determinar o lucro diretamente do gasto P com o material? Para isso, pode-se fazer uma composição entre as duas fun-ções:

Então, para se compor outras funções, faz-se um procedimento análogo. Seja as funções f: A® B, de�nida por f(x)=3x, g: B ® C de�-nida por g(x) = x2. Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g.

É bom que você preste bastante atenção!

f: A ® B: a cada x � A associa-se um único y � B, tal que y=3x.g: B ® C: a cada y � B associa-se um único z � C, tal que z=y2.

Nesse caso, pode-se considerar uma terceira função, h:A ® C, que faz a composição entre as funções f e g:

h: A ® C: a cada x� A associa-se um único z = C, tal que z = y2 z = (3x)2= 9x2.

Essa função h, de A em C, dada por h(x) = 9x2, é denominada função composta de g e f.

Pode-se escrever z = g(y) = g(f(x)).

119Anotações

Capítulo 6


LEMBRETE

Notação: a função composta de g e f será indicada por gof ( lê-se g bola f ) (gof)(x)=g(f(x))

Exemplo 8:

Considere as funções reais de�nidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4, calcular fog(x) e gof(x):

(fog)(x) = f(g(x)) = f(2x - 4) = (2x-4)² + 1 = 4x²-16x+17

(gof )(x) = g(f(x)) = g(x²+1) = 2(x²+1) – 4 = 2x² - 2

PRATICANDO

Seja f (x)= -4x + 1 e g(x)= x3, calcule fog(x).

6.2.7 Função Inversa

Seja as funções de domínio real dadas por f (x)=2x e g(x)=x/2.Atribuindo alguns valores para x para determinar suas imagens

pela função f, formando os pares ordenados (x, f(x)).x = -7 f(-7) = 2.(-7) = -14 ( -7,-14)x = 0 f(0)=2.0=0 ( 0,0 )x = 3 f ( 3 ) = 2 3 ( 3 , 2 3 )

Você pode tomar os valores obtidos como imagem pela função f e determinar as suas imagens pela função g:

x = -14 g(-14) = �14

2 = -7 ( -7,-14)

x = 0 g (0)= 02 = 0 ( 0,0 )

120 Anotações

Capítulo 6


x = 2 3 g(2 3 ) =

2 32 = 3 ( 2 3 , 3 )

Note que você obteve os pares da função g invertendo a ordem dos elementos obtidos na função f.

Nesse caso, diz-se que g é a função inversa da função f e repre-senta-se por g(x)=f -1(x).

Então: f(x)=2x e f-1(x)=

x2

LEMBRETE

Só funções bijetoras possuem inversa.

Você pode analisar uma função que não seja bijetora, para veri-�car se ela realmente não possui inversa.

Seja a função de � em � :f(x) = x2-3

Tomando, por exemplo, os elementos 4 e -4 do domínio de f:

x=4 f(4)=42 - 3= 16 - 3=13 (4,13)x=-4 f(-4)=(-4)2 - 3=16 - 3=13 (-4,13)

Essa função não é bijetora, pois o elemento 13 do contradomí-nio de f é imagem de dois elementos, 4 e -4, do seu domínio. Ora, se essa função possuísse inversa f -1, teríamos o elemento 13 do domínio de f-1 com duas imagens, -4 e 4, o que é impossível, pois, como você viu neste capítulo, uma relação para ser função é necessário que cada elemento do domínio tenha uma única imagem.

Portanto, a função real f(x) = x2-3 não possui inversa.

6.2.7.1 Determinando a Função Inversa

Você irá aprender agora um processo prático para determinar a inversa de uma função.

Caso a função seja bijetora e, portanto, invertível, é possível determinar sua inversa. Para isso, “troca-se” a variável x pela variável y

121Anotações

Capítulo 6


na lei que de�ne a função e em seguida “isola-se” o y, obtendo a lei que de�ne a função inversa.

Exemplo 9:

Obter a função inversa da função f dada por y = x – 5.y = x - 5

x = y -5 trocando x por y e y por xy = x + 5 isolando y

Então, y = x+5 é a lei da função inversa dada por y = x -5.

Veja os grá�cos de f e f-1 num mesmo sistema de coordenadas:

x f(x)6 15 03 -21 -4

x f-1(x)1 60 5-2 3-4 1

Você pode notar que os grá�cos das funções f e f-1são simétricos em relação à reta bissetriz do 1º e 3º quadrantes.

LEMBRETE

Bissetriz é a reta que corta os quadrantes ao meio.

122 Anotações

Capítulo 6


6.3 RELEMBRANDO

Hoje você teve oportunidade de aprender diversas coisas sobre as funções, dentre elas, viu que as funções são muito importantes e es-tão presentes em muitas coisas do seu dia a dia. Pôde aprender o que é domínio de uma função e a diferença entre seu conjunto imagem (valo-res de f(x)) e o seu contradomínio (conjunto onde estão os valores f(x)).

Você também estudou o que signi�ca uma função ser injetora ou sobrejetora, e que se uma função for sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, chama-se de bijetora. Aprendeu também a construir grá�co de funções atribuindo valores a x; colocando os pontos no plano cartesiano e ligando esses pontos.

Trabalhou ainda com funções compostas e funções inversas e pôde perceber que uma função só possui inversa se ela for bijetora.

6.4 PARA SABER MAIS

ALGO sobre Vestibular. Disponível em:<http://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes.html>. Acesso em 26 de jun.

O Portal Algosobre.com.br possui informações sobre funções injetoras e sobrejetoras.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos, Funções. São Paulo: Editora Atual, 2004. v.1.

Para estudar um pouco mais sobre as funções, você pode con-sultar o livro citado acima.

6.5 O QUE FAZER

1. Dada a função h: B ® C, sendo B= {-3, 0, 3, 8}e C={-2, 0, 15, 18, 27, 40} de�nida pela lei h(x)=x²-3x. Indique o Domínio, Contradomí-nio e Imagem dessa função.

2. Desenhe o grá�co das seguintes funções:

a) f(x)=2x+3b) g(x)=x²-2

3. Para a função real f(x)=2x+4, calcule f -1(x).

123Anotações

Capítulo 6


4. Se f(x)=3x-5, g(x)= x²+2x-3 e (gof )(x)=g(f(x)), (gof )(x) e (fog)(x).

ONDE ENCONTRAR

CLASSIFICAÇÃO das funções. Disponível em: <http://www.ficharionline.com/ExibeConteudo.php5?idconteudo=5799>. Acesso em: 26 jun. 2009.

FUNÇÕES e Gráficos. Disponível em: <http://www.scite.pro.br/tudo/pdf.php?_matematicamodulo4>. Acesso em: 26 jun. 2009.

FUNÇÕES. Disponível em: <http://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes.html>. Acesso em 26 jun. 2009.

GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. ensino médio. São Paulo: FTD, 2002.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos, Funções. São Paulo: Editora Atual, 2004. v.1.

LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.v.1.

PLANO Cartesiano. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano> . Acesso em: 26 jun. 2007.


CA

PÍTU

LO 7

127Anotações

Capítulo 7


7 FUNÇÕES DO 1º GRAU



Neste capítulo aprofundaremos o estudo das funções enfocan-do as chamadas funções do 1º grau. Um dos casos em que as funções são bastante utilizadas são as contas de telefone, água e luz. Estudare-mos a forma geral desse tipo de função que é dada pela fórmula ax + b, onde a e b são números reais.

Veremos que para uma função ser crescente ou decrescente, de-pende somente do valor de a. Por último, aprenderemos em que inter-valos dizemos que uma função do 1º grau, também chamada de função a�m, é positiva, negativa ou nula, e como podemos representá-la gra�-camente.


Dentre as funções mais utilizadas na nossa vida diária está a função do 1º grau, por se adequar às regras utilizadas para o cálculo das contas de água luz e telefone. Talvez não conseguimos perceber, mas é dessa forma que os técnicos se utilizam para calcular o valor gas-to por nós, em que x é a quantidade de água, por exemplo, e y o valor que pagaremos pela conta. Dado pela fórmula y = ax + b, veja que se não gastarmos nada, x = 0, ainda pagaremos uma taxa equivalente ao valor de b.

7.1.3 Objetivos


• aprender a trabalhar com funções do 1º grau;• descobrir a sua forma geral sendo dados dois pontos dessa

função; • traçar grá�cos atribuindo valores a x e descobrindo o valor

de y;• identi�car quando uma função é crescente ou decrescente e

descobrir a partir da raiz da função para quais valores f(x) é positivo, negativo ou nulo.

128 Anotações

Capítulo 7



7.2.1 Estudo da Função do 1º grau

CONCEITO

Dizemos que uma função é do 1º grau se ela pode ser escrita como, onde a e b são números reais e a ≠ 0, pois se a = 0, teremos f(x) = b, que representa uma função constante. Os números representados por a e b são cha-mados de coeficientes e x é a variável independente.

São exemplos de funções do 1º grau:

f(x) = 3x + 9 coe�cientes: a = 3 e b = 9

f(x) = x5 - 1 coe�cientes: a = 1

5 e b = -1

f(x) = 73 - x coe�cientes: a = 3 e b = 9

O domínio de uma função do 1º grau, em geral, é igual a � , mas quando tratamos de uma situação real, é preciso veri�car o que repre-senta a variável (x) para determinar o seu domínio.

Exemplo 1:

Dada a função f por f(x) = ax +b, com a ≠ 0, sendo f(3) = 5 e f(-2) = -5,

calcule f(12 ).

Usando os dados do problema:

f(3) = 5 x = 3 e y = 5, então, f(3)= a.3 + b 5 = 3a + b (I)f(-2) = -5 x = -2 e y = -5 Então f(-2)= a.(-2)+ b -5 = -2a + b (II)

Resolvendo o sistema formado por (I) e (II) temos:

129Anotações

Capítulo 7


Substituindo a = 2 na equação (I) obtemos:

5 = 3a + b 5 = 3.2 + b 6 + b = 5 b = 5 – 6 b = -1

Então, a função f é dada por f(x) = 2x -1.

Calculando f(12 ):

7.2.2 Grá�co de uma função do 1º grau

Para construir o grá�co de uma função do 1º grau, atribuímos valores do domínio à variável x e calculamos os valores de y.

Seja f(x) = -2x+1

x f(x) = -2x+1 (x , y)

-1 f(-1) = -2(-1)+1= 2+1 =3 (-1,3)

0 f(0) = -2.0+1= 0+1 =1 (0,1)

12 f (

12 )= -2.

12 + 1 = 0 (

12 , 0)

2 f(2) = -2.2+1 = -3 (2,-3)

QUADRO 1 – Construção da função do 1º grau

Marcamos então esses pontos no plano cartesiano:

130 Anotações

Capítulo 7


FIGURA 1 – Marcação dos pontos no Plano Cartesiano

Percebemos que os pontos obtidos estão alinhados, ou seja, per-tencem a uma mesma reta.

FIGURA 2 – Alinhamento dos pontos no Plano Cartesiano

Traçando outros grá�cos, percebemos que o grá�co de toda função de 1º grau é uma reta.

Vejamos a seguir o grá�co de uma função linear.

131Anotações

Capítulo 7


CONCEITO

Função linear – caso particular de uma função do 1º grau – sabemos que uma função do 1º grau é da forma f(x) = ax + b, quando b=0, dizemos que essa função é linear.

São exemplos de função linear:

f(x) = 2xg(x) = -5xh(x)= -x

Exemplo 2:

Traçar o grá�co da função linear f(x) = - x.Atribuímos os valores a x, em seguida marcamos nos grá�cos os

pontos (x,y). Alinhando os pontos, obtemos o seguinte grá�co:x f(x) ( x,y )

0 0 (0,0)

-2 2 (-2,2)

12 -

12 (

12 , -

12 )

3 -3 (3,-3)

FIGURA 3 – Gráfico da função linear f(x) = - x

7.2.3 Crescimento e decrescimento de uma função do 1º grau

132 Anotações

Capítulo 7


CONCEITO

Podemos determinar se uma função do 1º grau é cres-cente ou decrescente pelo sinal do coefi ciente a da vari-ável x na lei de formação f(x) = ax+b.

Observe os grá� cos das funções: f(x) = 3x + 2 f(x)= -3x+2se x = 0, então, f(0) = 2 se x = 0, então, f(0) = 2se x = 1, então, f(1) = 5 se x = 1, então, f(1) = -1

FIGURA 4 – Aumentando os valores atribuídos a x, aumentam também os valores correspondentes à imagem f(x).

FIGURA 5 – Aumentando os valores atribuídos a x, diminuem também os valores correspondentes à imagem f(x).

Podemos então estabelecer as seguintes relações entre o sinal do coe� ciente a e o crescimento e decrescimento dessa função.

SAIBA QUE a > 0 f(x) = ax + b é crescenteÀ medida que x cresce, os valores de f(x) tam-bém crescem.

a < 0 f(x) = ax + b é decrescenteÀ medida que x cresce, os valores de f(x) decres-cem.

133Anotações

Capítulo 7


FIGURA 6 – f(x) crescente FIGURA 7 – f(x) decrescente

7.2.4 Estudo do sinal da função do 1º grau

CONCEITO

Estudar o sinal de uma função do 1 º grau y = f(x) signi-fica determinar para que valores x do domínio da função a imagem f(x) será positiva, negativa ou nula.

Primeiramente, vamos estudar o caso em que f(x) = 0.

7.2.4.1 Zero de uma função do 1º grau

Dada a função f(x) = x – 3, calcular o valor de x para que f(x) = 0

f(x )= x-3f(x)=0 x – 3 = 0 x = 3

O número 3 é denominado zero ou raiz da função, pois se subs-tituirmos 3 no valor de x encontraremos f(x)=0.

Chamamos de zero ou raiz da função f(x) = ax+b, o valor de x que anula a função, isto é, torna f(x)=0.

134 Anotações

Capítulo 7


FIGURA 8 – Zero de uma função do 1º grau

Observando o grá�co, veri�camos que f(x) = 0, quando x = 3.

Geometricamente, o zero da função polinomial do 1º grau é o valor onde a reta corta o eixo x.

Pelo grá�co, percebemos que f(x) = 0 para x = 3

f(x) > 0 para x > 3f(x) < 0 para x < 3

Podemos então estabelecer o seguinte quadro:

a > 0 a < 0

x_ ba

_ ba

f(x)<0 f(x)>0

x_ ba

_ ba

f(x)>0 f(x)<0

Exemplo 3:

Numa pequena indústria, o faturamento líquido relativo a um certo produto é calculado pela fórmula f(x) = 3x – 750, na qual f(x) re-presenta o faturamento líquido de x unidades vendidas. Faça um estudo

135Anotações

Capítulo 7


do sinal dessa função e determine a quantidade mínima de unidades que devem ser vendidas para que haja lucro.

A função f(x) é crescente, pois a > 0.O zero da função é: 3x – 750 = 0 3x = 750 x = 250.

Esboçando o grá�co:

Pelo esquema, temos: f(x) = 0 para x = 250 (lucro zero) f(x) > 0 para x > 250 f(x) < 0 para x < 250

f(x)<0

f(x)>0

250

Para haver lucro é necessária a venda de pelo menos 251 uni-dades.

Note que o domínio f(x) é o conjunto dos números naturais ( ),

pois x representa o número de unidades vendidas.

Exemplo 4:Dada a função f(x) = -2x + 4, notamos que a função é decres-

cente, pois a < 0.

O zero da função é: -2x + 4 =0 -2x = -4 2x = 4 x = 2

Ou, pela fórmula que vimos a pouco, x = - ba

b = 8 e a = -2 x = - ba = - 4

�2 = - (-2) = 2

f(x)<0

f(x)>0

x = 2

Temos: y = 0 x = 2Então, y > 0 x < 2 y < 0 x > 2

136 Anotações

Capítulo 7


7. 3 RELEMBRANDO

Aprendemos hoje mais um tipo de função, as chamadas fun-ções polinomiais do 1º grau, sua forma geral e como encontrá-las sendo dados dois valores de x e f(x).Construímos os grá�cos atribuindo valo-res a x e marcando os ponstos no plano cartesiano. Percebemos que os grá�cos das funções de 1º grau são sempre retas e que se a > 0 a reta é inclinada para a direita e que se a < 0 a reta é inclinada para a esquerda. Aprendemos ainda que se calculamos a raiz da função podemos saber em quais intervalos f(x) é positivo ou negativo.

7.4 PARA SABER MAIS

ALGO sobre Vestibular. Funções, Constante, 1º e 2 º Grau. Disponível em: http://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes-constante-1-e-2-grau.html>. Acesso em 19 jan. 2010.

O site acima possui informações sobre funções do 1° grau.

7.5 O QUE FAZER

1. Usando f(x) = ax+b e sabendo-se que f(-2)=8 e f(-1)=2, obtenha os valores de a e b.

2. Represente gra�camente a função f: � ® � de�nida por:a) f(x) = 2x-1

b) f(x) = - 12 x+3

c) f(x) = 4x3. Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes funções, indique em que intervalo f(x) é positivo e em que intervalo é negativo.

a) f(x) = 13 x+3

b) f(x) = 1-5x

c) f(x) = 3x - 6

137Anotações

Capítulo 7


ONDE ENCONTRAR


MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. Equações do segundo grau. Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes-a.htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.


CA

PÍTU

LO 8

141Anotações

Capítulo 8


8. FUNÇÕES DO 2º GRAU



Olá!!! Continuando o estudo das funções, apresentamos as fun-ções do 2º grau. Neste capítulo, você verá as representações grá�cas das funções, assim como suas interpretações. Você irá estudar também mais detalhadamente as características da função do 2º grau com uma variá-vel, também chamada de função quadrática.

Verá que toda função do 2º é escrita da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais; aprenderá a construir seu grá�co, que recebe o nome de parábola e terá oportunidade de perceber que para a concavidade da parábola ser voltada para cima ou para baixo, depende somente do sinal coe�ciente a.

Aprenderá também o que é o vértice de uma função quadrática e uma fórmula para calculá-lo, você verá ainda os valores de máximo e de mínimo e em que intervalos essa função é crescente ou decrescente.


Você terá oportunidade de ver que a parábola é uma das �guras mais importantes da Matemática e sua aplicabilidade prática é muito grande. Ela pode ser encontrada em muitas estruturas. Um exemplo disso no dia a dia, você sentado no ônibus, jogando chaveiro para cima e jogando de volta na mão. Embora pense que o chaveiro só vai pra cima e para baixo, para quem está de fora do ônibus o chaveiro faz um movimento de parábola (com concavidade para baixo), pois o ônibus se movimenta para frente, além do chaveiro ir para cima.

Ainda como exemplo, você encontra as antenas parabólicas, os fogões solares, os estudos de balística e aplicações na economia. Por causa desses e de outros fatores importantes, é que você irá entrar agora no estudo das funções polinomiais do 2º grau.

8.1.3 Objetivos

Neste capítulo, você terá oportunidade de:• estudar funções do 2º grau; • calcular os zeros ou raízes dessas funções; • traçar grá�cos de funções do 2º grau, calcular o vértice e per-

ceber que esse ponto pode ser de máximo ou de mínimo;

142 Anotações

Capítulo 8


• entender quando a concavidade é voltada para baixo ou para cima e que isso depende exclusivamente do sinal de a;

• aprender em que intervalos a função é crescente ou decres-cente.


A professora solicita a Marcelo que ele monte um painel para uma exposição da feira de ciências, o painel deve conter 850 cm2 de área. Porém, com uma condição o comprimento deve ter 20 cm a mais do que a largura. Vamos tentar ajudar Marcelo.• Representando por x a medida da largura da página, seu comprimen-

to será representado por (x + 20).• Usando a fórmula de área do retângulo que você aprendeu no capí-

tulo 4, área do retângulo: medida da base x medida altura. Podemos escrever a equação:

(x + 20).x = 850x2 + 20x = 850

Essa é uma equação do 2º grau. Você irá aprender a resolvê-la.

8.2.1 Estudo da função do 2º grau

Diz-se que uma função é do 2º grau quando ela pode ser escrita da forma f(x) = ax2 + bx +c, com a ≠ 0, pois se a = 0 você teria uma fun-ção do 1º grau, que você acabou de estudar no capítulo 7.

Da mesma forma que uma equação do 2º grau, uma função do 2º grau possui a, b e c como coe�cientes.

Veja alguns exemplos de funções do 2° grau:

f(x)= x2 + 2 x -5 = 0 onde a = 1, b = 2 e c =-5

f(x)= -x2 + x25 onde a= -1, b =

25 , c = 0

f(x) = -4x2 onde a = -4 , b= 0 e c =0

8.2.2 Grá�co de uma função quadrática

Para construir o grá�co de uma função quadrática, inicialmente será feito o mesmo processo que �zemos para os outros tipos de fun-ções, atribuindo valores à variável x e determinando as imagens y, assi-nalando os pontos obtidos (x,y) no plano cartesiano.

143Anotações

Capítulo 8


Serão feitos alguns exemplos, com isso descobre-se a forma do grá�co de uma função quadrática, então, percebe-se se há alguma regu-laridade.


Exemplo 1:

Construir o grá�co da função y = x2.Atribuindo valores para x:

x y (x,y)

-4 16 (-4,16)-2 4 (-1 , 1)0 0 (0 , 0)2 4 (1 , 1)4 16 (4 ,16)

Ligando-se os pontos, obtém-se o grá�co acima.

Exemplo 2:

Traçar o grá�co de y = -x2+1

Observe que é feito o mesmo procedimento, atribui-se valores para x e encontra-se y. Os pontos são marcados no grá�co, obtendo assim o seguinte grá�co:

x y (x,y)-3 -8 (-3,-8)-1 0 (-1,0)0 1 (0,1)1 0 (1,0)3 -8 (3,-8)

Olhe que interessante: existe semelhança entre os dois grá�cos que você acabou de ver, todos eles têm o formato de parábola. Por isso, chamamos os grá�cos das funções do 2º grau de parábolas.

144 Anotações

Capítulo 8


PRATICANDO

Agora é sua vez de traçar o gráfi co de uma função. Trace então o gráfi co de

8.2.3 Concavidade

A concavidade da parábola é a sua abertura. Pelos exemplos vistos acima, pode-se observar que em um a abertura ou concavidade está voltada para cima e no outro a concavidade está voltada para baixo.

Concentre sua atenção! Você saberá agora quando a concavida-de é para cima ou para baixo:

SAIBA QUE Na primeira função f(x) = x2f(x) = x2f(x) = x , temos a = 1 > 0 Concavidade voltada para cima.

No segundo exemplo f(x)= -x2f(x)= -x2f(x)= -x +1, temos a = -1 < 0 Concavidade voltada para baixo.

Então, você pode perceber que a concavidade de uma parábola de uma função f(x)=ax2 + bx +c depende do sinal do coe� ciente a.

Resumindo esta ideia na seguinte � gura:

145Anotações

Capítulo 8


8.2.4 Zeros de uma função quadrática

Em outros capítulos, você aprendeu que os zeros ou raízes de uma função f(x) são os valores do domínio para os quais f(x) = 0.

CONCEITO

Os zeros ou raízes da função quadrática são as raízes da equação do 2º grau.

Vamos aprender melhor com um exemplo:

Exemplo 3:

Determinar as raízes (soluções) da função f(x)= x² - 4x + 3

Fazemos f (x) = 0 x² - 4x + 3 = 0

Pela fórmula de Bhaskara:

D = b2 – 4ac = (-4)2 - 4.1.3 = 16 – 12 = 4

x = a

b2

�±� x = 1.2

4)4( ±�� = 2

24 ±

x’ = 326

224

==+

x’’= 122

224

==�

Portanto, os números 3 e 1 são os zeros da função f(x)= x² - 4x + 3

Como vimos no capítulo 5, para determinar as raízes de uma função f(x)= ax2+ bx + c, temos que analisar o valor de D.______________________________________________________Se D > 0, a função possui dois zeros reais e distintos (ou seja, duas raízes diferentes);Se D = 0, a função possui um zero real duplo (duas raízes iguais);Se D < 0, a função não possui zeros reais (não existe solução dentro do conjunto dos números reais).

146 Anotações

Capítulo 8


______________________________________________________


Exemplo 4:

Traçar o grá�co da função que acabamos de encontrar as raízes:

f(x)= x² - 4x + 3

Como D = 4 > 0, tem-se duas raízes reais e distintas que são os números1 e 3.

Olhando o grá�co você percebeque a parábola corta o eixo x nos pontos (1,0) e (3,0).

Exemplo 5: f(x)= -4x2+ 4x - 1

Encontrando as raízes de f(x).f(x) = 0 -4x2 + 4x - 1= 0D = 42 - 4.(-4)(-1)D = 16-16D = 0

A função possui uma raiz dupla.

Vejamos

x= a

b2

�±� = )4.(204

�±� =

84

�� =

21

x’ = x’’

Você vê no grá�co que a parábola corta o eixo x no ponto (21 ,0).

Exemplo 6:

f(x) = x2 - 2x + 5

D = (-2)2-4.1.5D = 4 – 20

147Anotações

Capítulo 8


D = -16D < 0

A equação não possui raízes reais.Note que a parábola não corta o eixo x.

O que se pode perceber nos três exemplos acima é que os zeros ou raízes de uma função do 2 º grau são os valores de x dos pontos em que a parábola corta o eixo x.

PRATICANDO

Encontre as raízes da função g(x) = - x2 + 4 e trace seu gráfico utilizando o critério das raízes, que você acabou de aprender.

8.2.5 Vértice da parábola

Você irá entrar num assunto bastante interessante, ele irá lhe ajudar a traçar os grá�cos de uma maneira mais rápida. Veja o seguinte grá�co onde f(x) = x2.

148 Anotações

Capítulo 8


Note que os pontos A e A`, B e B`, C e C` são simétricos com relação ao eixo y (isto é, possuem a mesma distância do eixo y).

SAIBA QUE O ponto V, que é o ponto (0,0), representa o vér-tice da parábola.

Para determinar as coordenadas do vértice da parábola, basta aplicar as fórmulas:

xv= ab

2� yv=

a4�

�

O ponto V é da forma (xv,yv), onde xv é a abscissa x do vértice e yv é a ordenada y do vértice. Veja alguns exemplos de como é simples encontrar o vértice da parábola.

Exemplo 7:

Seja g(x) = x2-6x+5, determine o vértice dessa parábola.

a = 1; b = -6 e c = 5D = b2 – 4 .a.c D = (-6)2 – 4 .1.5

149Anotações

Capítulo 8


D = 36-20D = 16

Calculando xv e yv

Então, o vértice é V = (3,4)

Exemplo 8:

O custo C, em reais, para produzir x unidades de um produto é dado por C(x) = 2x2 – 100x + 5.000. Obtenha:

a) o vértice da parábola;b) o número de unidades que devem ser produzidas para que o custo seja mínimo;c) o valor do custo mínimo, em reais.

A função pedida é do tipo y = ax² + bx + c, onde a = 2, b = –100 e c = 5.000, com x > 0.

D = b² – 4.a.c D =100²–4.2.5.000 D =10000- 40000D = -30000

Daí:

b) O custo será mínimo no vértice. Como x é o número de unidades, o número de unidades para que o custo seja mínimo é o x do vértice:

xv= ab

2� =

2.2100�

� = 4

100 = 25 xv= 25 unidades.

c) O custo será mínimo no vértice. Portanto, o custo mínimo é igual a:

yv= a4

�� = =

��

830000 4 yv = R$3.750,00.

150 Anotações

Capítulo 8


8.2.6 Construindo o grá�co

Você já conheceu as principais características da parábola, você pode então esboçar com mais facilidade o grá�co de uma função qua-drática. Veja este exemplo e depois tente também.

Exemplo 9:

y = -x2 + 4

1º passo: concavidade da parábola

Como a = -1 < 0, a concavidade é voltada para baixo.

2º passo: calculando os zeros da função: -x2 + 4 = 0-x2 = - 4 (-1) x2 = 4 x = ± 4 x = ± 2x ´ = 2 e x´´=-2

Do 2º passo, concluímos que a parábola toca o eixo x nospontos (2,0) e (-2,0).

3º passo: calculando o vértice da parábola:

Por último, marcam-se os pontos no plano cartesiano, e como você aprendeu que o grá�co de f(x) é uma parábola, obtém-se o grá�co.

151Anotações

Capítulo 8


8.2.7 Valor de máximo e valor de mínimo

Quase todas as funções têm um valor máximo e um valor míni-mo, assim também é a função do 2 º grau.

SAIBA QUE Toda função de 2º grau assume ou um valor má-ximo ou um valor mínimo, dependendo do sinal do valor a.

CURIOSIDADE Grafi camente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função de 2º grau é o vértice da parábola.

Vejamos os dois casos.

• a > 0, a parábola cresce in� nitamente para valores positivos de y, não tendo portanto valor de máximo. Para qualquer valor de y que pegamos, terá sempre um valor maior que ele.

Então, perceba que qualquer função onde a concavidade é vol-tada para cima a função tem somente valor de mínimo, que é calculado através do vértice da função.

Seja a função abaixo dada por:

f(x) = 3x2 - 6x + 2

152 Anotações

Capítulo 8


Você pode ver que essa função apresenta um va-lor mínimo yv = -1, não existe nenhum valor menor que ele para a função. Ele é dado pela fórmula yv=

a4�

� .

• a < 0 , a parábola decresce in�nitamente para valores negati-vos de y, não tendo portanto valor de mínimo. Para qualquer valor de y, você ainda encontrará um valor menor que ele.

Então, para qualquer função onde a < 0, a função tem somente valor de máximo, que é calculado através do vértice da função.

Seja a função g(x) = -2x2 + 4x–1

O valor de máximo de g(x) é yv = 1, veja no grá�co que não há nenhum valor maior que ele para y, e é dado pela fórmula yv=

a4�

� .

Resumindo: a > 0 yv é o valor de mínimo e xv é chamado de ponto de mínimo da função.

a < 0 yv é o valor de máximo e xv é chamado de ponto de má-ximo da função.

8.2.8 Crescimento e decrescimento de uma função quadrática

O assunto que veremos agora é bem legal!

153Anotações

Capítulo 8


CURIOSIDADE Aqui você irá entender em que intervalos a fun-ção cresce e decresce, e verá que essas duas coisas acontecem numa mesma função.

Então, para estudar o crescimento e o decrescimento de uma função do 2º grau, serão utilizado os grá� cos que você acabou de cons-truir f(x) = 3x2- 6x + 2 e g(x) = -2x2 + 4x – 1.

Iniciando com a f(x).

Como a = 1 > 0, a concavidade é voltada para cima.

Veja o comportamento das duas partes do grá� co:Para x ≤ xv, temos Para x ≥ xv temos:

Para x ≤1, a função é decrescente, ou seja, quando x cresce y decresce.

Para x ≥ 1, a função é crescente, ou seja, quando x cresce y cresce.

Note que o vértice determina a mudança de comportamento de uma função.

154 Anotações

Capítulo 8


No exemplo acima:f(x) é decrescente para x ≤ 1;f(x) é crescente para x ≥ 1.

Exemplo 10:

Observar o que acontece com a função g(x) = -2x2 + 4x–1

a = - 1< 0 admite um valor máximo, que é o vértice.

Pelo grá�co:

f(x) é crescente para x ≤ 1f(x) é decrescente para x ≥1

PRATICANDO

Seja a função y = 4x2 - 2x + 3. Em que intervalos essa função é crescente? E decrescente?

8.3 RELEMBRANDO

Você acabou de estudar as funções do 2 ° grau, relembrou como calcular seus zeros ou raízes pela fórmula da Bhaskara. Pôde aprender que as raízes de uma função são os valores que o grá�co toca o eixo x. Você traçou junto conosco os grá�cos desse tipo de função de duas for-mas: 1. como fez com todos os outros tipos de funções, atribuindo va-lores para x e encontrando os valores de y; 2. utilizando as informações da concavidade, do seu vértice e suas raízes.

155Anotações

Capítulo 8


Aprendeu ainda quais pontos são de máximo e de mínimo e que quando a concavidade é voltada para cima a função só possui ponto de mínimo, se a concavidade é voltada para baixo só possui ponto de máximo, e que esses valores representam o vértice de uma função.

Por último, viu em que intervalos a função é crescente e decres-cente e é a partir do vértice que vemos essa mudança.

8.4 PARA SABER MAIS

GUELLI, Oscar. Contando a história da Equação do 2º grau. São Paulo: Ática, 1992. Coleção Contando a História da Matemática.

Para saber mais sobre as funções e equações do 2 º grau, você pode pesquisar no livro citado acima.

OFICINA de Funções. Um software para o Ensino de Matemática. Disponível em:<http://www.fsc.ufsc.br/~canzian/oficina/roteiro/Sgrau.htm>. Acesso em 26 jun. 2009.

Você pode entrar no site sugerido e estudar um pouco sobre o que acontece com uma função do 2º grau, quando se variam seus coe-�cientes, ou seja, os valores de a, b e c.

8.5 O QUE FAZER

1. Construa o grá�co das seguintes funções quadráticas:

y = 3x2

y = –x2 + x + 6y = x2- 6x+5

2. Observando as seguintes funções do 2º grau, diga se a parábola que representa a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo, depois determine o seu vértice:

f(x)=1- 4x2f(x)= - x2+x -3f(x)= - 6x2

3. Determine se as funções abaixo possuem valor de máximo ou de mí-nimo e em seguida calcule esse valor.

y = -2x2+4x-1y = x2-25

156 Anotações

Capítulo 8


4. Para que valores reais de x a função f(x)=2x2-6x-1 é crescente?

5. Para que valores de x a função g(x) = 3x2-4x+1 é decrescente?

ONDE ENCONTRAR

FUNÇÃO do 2 º grau. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br/MaterialTrabalho/MaterialDisplay/0,4906,16-15-80-Dv_matdv_mat_fernado1--POR,00.html\>. Acesso em 26 jun. 2009.


GUELLI, Oscar. Contando a história da Equação do 2º grau. São Paulo: Ática, 1992. Coleção Contando a História da Matemática.

LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.v.1. Coleção do Professor de Matemática.


CA

PÍTU

LO 9

159Anotações

Capítulo 9


9. FUNÇÃO EXPONENCIAL



Oi!! Seja bem vindo! Neste capítulo você estudará as funções exponenciais, essas funções são chamadas exponenciais, por causa da sua lei de formação, que é escrita na forma de uma potência, onde x é o expoente. Uma função escrita da forma f(x) = ax, como, por exemplo, 3x ou 52x +1, onde a é uma constante real maior que zero e diferente de 1, é chamada de função exponencial.

Você verá também potenciação de números naturais e inteiros; e as propriedades da potenciação muito úteis para se trabalhar com equações exponenciais. Aprenderá ainda a traçar os grá�cos desse tipo de função, da mesma forma que foi trabalhado até agora, atribuindo valores para x e encontrando o valor de y. Por �m, você terá a oportu-nidade de resolver algumas equações exponenciais.


É muito bom ligar o seu conhecimento matemático ao seu coti-diano. Então, a partir de agora você perceberá que a função exponencial intervém em numerosas aplicações matemáticas, na Ciência e na Indús-tria, e é indispensável no estudo de muitos problemas de Economia e Finanças, nomeadamente no cálculo dos juros compostos.

Você encontrará também diversos problemas de química em que se utilizam as equações exponenciais, por exemplo, no cálculo da meia-vida de alguns elementos e na meia-vida dos remédios. Em mate-mática �nanceira, aparece também esse tipo de equações, por exemplo, nas contas de banco, a partir do que se deposita podem ser calculados através de funções exponenciais os juros e consequentemente o saldo que o cliente terá nos meses ou anos seguintes.

9.1.3 Objetivos

Neste capítulo, você terá oportunidade de: • calcular potência com expoentes naturais e inteiros; • aplicar as propriedades da potenciação para simpli�car ex-

pressões com potências; • reconhecer uma função exponencial e traçar seus grá�cos; • conhecer a função exponencial com base e; • resolver equações exponenciais utilizando suas propriedades.

160 Anotações

Capítulo 9



Você trabalhará a partir de agora com as funções exponenciais, para isso, é bom ter em mente algumas propriedades da potenciação, por isso você terá agora um breve resumo dessas propriedades. Boa sorte!!!

9.2.1 Potenciação

9.2.1.1 Potência com expoente natural

A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais:

5.5.5= 125 ou 53=125

Numa potenciação, chamamos o número 5 de base e o número 3 de expoente.

Outro exemplo:

81

21

21

21

= ou 81

21 3

=÷�

��

�

De um modo geral, podemos escrever: 3

=na a . a . a . ... . a

n fatores

sendo a um número real e n um número natural, com n 2.

Definimos:

a1 = a (ou seja, qualquer número elevado a 1 o resultado é ele mesmo, 21=2,

71=7);

a0 = 1 (a 0) (qualquer número elevado a 0 é sempre 1, com exceção do

zero, 60 =1, 1990 =1).

9.2.1.2 Potência com expoente inteiro

Você irá aprender agora como calcular potência com expoente negativo. Veja a

definição e em seguida alguns exemplos. Seja n um número inteiro positivo e a 0,

definimos:

a -n =

n

a

1

ou seja, invertemos a fração e trocamos o sinal do expoente.

Exemplo 1:

a) 7-1= 7

1

7

11

=

b)

16

81

2

3

2

3

3

2 4

4

44

==

=

−

9.2.1.3 Potências com expoente racional

Se a é um número real positivo, n

m um número racional com n inteiro positivo,

definimos:

n mn

m

aa =

sendo a um número real e n um número natural, com n ≥ 2.

De�nimos: a1 = a (ou seja, qualquer número elevado a 1 o resultado é ele

mesmo, 21=2, 71=7);a0 = 1 (a ≠ 0) (qualquer número elevado a 0 é sempre 1, com

exceção do zero, 60 =1, 1990 =1).

9.2.1.2 Potência com expoente inteiro

Você irá aprender agora como calcular potência com expoente negativo. Veja a de�nição e em seguida alguns exemplos. Seja n um número inteiro positivo e a ≠ 0, de�nimos:

a -n = n

a÷�

��

�1

161Anotações

Capítulo 9


ou seja, invertemos a fração e trocamos o sinal do expoente.

Exemplo 1:

a) 7-1= 71

71 1

=÷�

��

� b)

9.2.1.3 Potências com expoente racional

Se a é um número real positivo, nm um número racional com n

inteiro positivo, de�nimos:

n mnm

aa =

Exemplo 2:

9.2.1.4 Propriedades da potenciação

Sejam a e b números reais, as seguintes igualdades são verdadeiras:

4

Exemplo 2:

46488 33 23

2

===



1. am.a

n=a

m+n 3. ( ) nmnm aa .= 5.

n

nn

b

a

b

a=

2. am:an = a m-n 4. ( ) nnnbaba .. =

a) Exemplos utilizando as propriedades da potenciação. Simplifique as expressões:

1. (53.56):510

( ) =1063 5:5.5 [pela propriedade 1]

= ( ==+ 1091063 5:55:)5 [pela propriedade 2]

59-10 =

5

15 1

=−

2. x

xx

3

33 25 ++−

=−=−

=−

=−

++

25252525

333

)33(3

3

3.33.3

3

33x

x

x

xx

x

xx

243 – 9 =234

[INICIO ICONE DESAFIO]

[FIM ICONE DESAFIO]

Sabendo que A = + 7x 7

( )−x

2 e B = − 7x 7

( )−x

2 , qual é o valor de A2 – B2?

Exemplos utilizando as propriedades da potenciação. Simpli�que as ex-pressões:

4

Exemplo 2:

46488 33 23

2

===



1. am.a

n=a

m+n 3. ( ) nmnm aa .= 5.

n

nn

b

a

b

a=

2. am:an = a m-n 4. ( ) nnnbaba .. =

a) Exemplos utilizando as propriedades da potenciação. Simplifique as expressões:

1. (53.56):510

( ) =1063 5:5.5 [pela propriedade 1]

= ( ==+ 1091063 5:55:)5 [pela propriedade 2]

59-10 =

5

15 1

=−

2. x

xx

3

33 25 ++−

=−=−

=−

=−

++

25252525

333

)33(3

3

3.33.3

3

33x

x

x

xx

x

xx

243 – 9 =234

[INICIO ICONE DESAFIO]

[FIM ICONE DESAFIO]


( )−x

2 e B = − 7x 7

( )−x

2 , qual é o valor de A2 – B2?

162 Anotações

Capítulo 9


DESAFIO


( )−x−x−

2 e B = − 7x 7

( )−x−x−

2 , qual é o valor de A

, qual é o valor de A2 – B2?

9.2.2 Funções Exponenciais

9.2.2.1 De� nição e Grá� co

Como já foi dito neste capítulo, em Matemática chama-se fun-ção exponencial a função de� nida por f(x) = ax , em que a é um núme-ro real dado, onde a deve ser maior que zero e diferente de 1.

O número a chama-se base da função exponencial, x é o expo-ente ou grau.

Veja a construção de alguns grá� cos de funções exponenciais e observe algumas propriedades.

Exemplo 3:

Construir o grá� co de y = 3x.Atribui-se valores para x e encontram-se os valores de y.

Em seguida, marcam-se os pontos (x,y) no eixo e ligando esses pontos obtém-se assim o seguinte grá� co:

5

9.2.2 Funções Exponenciais

9.2.2.1 Definição e Gráfico

Como já foi dito neste capítulo, em Matemática chama-se função exponencial a função

definida por f(x) = ax, em que a é um número real dado, onde a deve ser maior que zero e

diferente de 1.

O número a chama-se base da função exponencial, x é o expoente ou grau.

Veja a construção de alguns gráficos de funções exponenciais e observe algumas

propriedades.

Exemplo 3:

Construir o gráfico de y = 3x.

Atribui-se valores para x e encontram-se os valores de y.

Em seguida, marcam-se os pontos (x,y) no eixo

e ligando esses pontos obtém-se assim o

seguinte gráfico:

x f(x) (x,y)

-3 f(-3) = 3-3=

9

1

3

13

=

(-3,

9

1)

-2 f(-2) = 3-2 =

4

1

3

12

=

(-3,

4

1)

-1 f(-1) = 3-1 =

3

1

3

11

=

(-3,

3

1)

0 f(0) = 30 = 1 (0,1)

1 f(1) = 31 = 3 (1,3)

2 f(2) = 32 = 9 (2,9)

163Anotações

Capítulo 9


Exemplo 4:

Construir o grá�co de y = x

÷�

��

�31

Atribuem-se os valores a x, em seguida marcam-se os pontos no eixo cartesiano, e ligando esses pontos obtém-se o seguinte grá�co:

6

Exemplo 4:

Construir o gráfico de y = x

3

1

Atribuem-se os valores a x, em seguida marcam-se os pontos no eixo cartesiano, e

ligando esses pontos obtém-se o seguinte gráfico:

x f(x) (x,y)

-2 f(-2) = 9

1

3

3

122

=

=

−

(-2,9)

-1 f(-1)= 3

1

3

3

111

=

=

−

(-1,3)

0 f(0) = 1

3

10

=

(0,1)

1 f(1) =

3

1

3

11

=

(1, )

3

1

2 f(2) =

9

1

3

12

=

(2,

9

1)

Exemplo 5:

Um importante número irracional é o número e que tem valor aproximado de

2,7183.Veja o gráfico de y = ex.

Exemplo 5:

Um importante número irracional é o número e que tem valor aproximado de 2,7183.Veja o grá�co de y = ex.

PRATICANDO

Agora é sua vez! Construa o gráfico cartesiano da seguinte fun-ção:

y = 2x - 1

164 Anotações

Capítulo 9


9.2.2.2 Propriedades da Função Exponencial

Toda função exponencial obedece a algumas propriedades, você verá agora quais são elas.

1. Na função exponencial y = ax, temos:

Quando x = 0 y = a0 =1,

ou seja, o par ordenado (0,1) satisfaz toda função y = xa para todo a (a > 0 e a ≠ 1).

2. Se a >1, a função y = ax é estritamente crescente.

São crescentes as funções: f(x) = 2x; f(x) = x

÷�

��

�23 ; f(x) = (1,5)x.

3. Se 0 < a < 1, a função y = ax é estritamente decrescente.

São decrescentes as funções: f(x) = x

÷�

��

�21 ; f(x)=(0,3)x.

4. Para todo a > 0 e a ≠ 1, temos:

se 21 xx aa = , então, x1=x2.

Exemplo 6:

Se 5x = 57 x = 7.

5. Para todo a > 0 e todo x real, temos ax > 0; portanto, o grá�co da função y = ax está sempre acima do eixo dos x. Em todos os exemplos acima, você pode ver que o grá�co está sempre acima do eixo dos x.

9.2.3 Equações Exponenciais

Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente de pelo menos uma potência.

São exponenciais, por exemplo, as equações 3x = 81 e 4x - 2x = 12.

Vamos resolver juntos algumas equações exponenciais!

Equação 1: 2x = 321º passo: transformar a equação de modo a colocá-la na forma 21 xx aa = , isto é, com uma igualdade entre duas potências de mesma base:

2x = 32 e 32 = 25 2x = 25

165Anotações

Capítulo 9


2º passo: utilizando a propriedade 4 que diz que se 21 xx aa = , então, x1=x2.

3º passo: daí, sabemos que 2x = 25 x = 5.

Equação 2: 4331

=÷�

��

�x 4

31

31 �

÷�

��

�=÷�

��

�x

x = -4.

Observação: 4

4

313

�

÷�

��

�= , pois invertendo a fração invertemos o sinal.

Equação 3: 2( ) + x 1

- 2( ) � 3 x

= 6

Utilizando as propriedades da potenciação, pode-se escrever essa equação na forma: 2x . 2 - 23

2x = 6.

E substituindo 2x por y ( y > 0), �ca:

y . 2 - 8y = 6 tirando o mmc:

yy

yyy 682 2

=� 2 y2 - 6y - 8 = 0.

Encontrando as raízes da equação pela fórmula de Bhaskara:

a = 2, b = -6 e c = -8 = b2 - 4ac = (-6)2 - 4.2.(-8) = 36+64 = 100

Como y = 2x , temos

para y = 4 : 2x = 4 2x = 22 x = 2;para y = -1: 2x = -1 é impossível.

166 Anotações

Capítulo 9


PRATICANDO

Quais valores de x são soluções da equação:9x – 36.3x + 243 = 0

Vamos realizar agora um problema prático!

Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um aumento anual de produção de 50%,

a) qual a produção P dessa empresa t anos depois?b) após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?

a) Um ano depois: 8000 + 50% de 8000 = 8000 + .8000 = 8000 (1 + 0,5)= 8 000.1,5.

Dois anos depois: 8000.1,5 + 50% de 8000.1,5 = 8000 .1,5+ .8000.1,5 = 8000(1,5) [1+0,5]= 8000(1,5)2.

Três anos depois: 8000.(1,5)2 + 50% de 8000.(1,5)2 = 8000.(1,5)3.

Portanto, para t anos podemos usar a fórmula P = 8000.(1,50)t.

b) Fazendo P = 40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:40 500 = 8000(1,50)t.

Vamos resolvê-la: 40500 = 8 000.(1,50)t (1,50)t = 800040500

Lembrando que 1,50 = 23 e simpli�cando ,

temos:

( ) ( ) ( ) ( )Como as bases são iguais, positivas e diferentes de 1, igualam-se

os expoentes: t = 4.

167Anotações

Capítulo 9


Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 uni-dades após 4 anos.

9.3 RELEMBRANDO Você acabou de aprender as chamadas equações exponenciais,

que são equações onde a incógnita x é no expoente; aprendeu também a traçar seus grá�cos. Teve oportunidade também de trabalhar com equa-ções exponenciais e algumas técnicas de como resolvê-las; viu que elas podem ser usadas em muitas situações práticas. Por �m, você pôde re-solver uma dessas situações.

9.4 PARA SABER MAIS


Pesquise o livro acima para ler mais e resolver problemas com as funções exponenciais.

9.5 O QUE FAZER

1. Trace o grá�co das seguintes equações exponenciais:

a) f(x)= x

÷�

��

�41

b) g(x)= 5x

c) h(x) = x

÷�

��

�23

2. Resolver a equação 27x = 243.

3. Determinar o valor de x para o qual (4/9)x=81/16.

4. Encontre x real tal que: 3x+2 - 3x+1 + 3x + 3x-1 + 3x-3 = 16119

168 Anotações

Capítulo 9


ONDE ENCONTRAR

EQUAÇÕES Exponenciais. Disponível em: <http://www.nghorta.com/2006/04/16/equacoes-exponenciais/>. Acesso em: 26 jun. 2009.

EXERCÍCIO Função Exponencial. Disponível em: <http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/exponencial/exercicios/exercicios.htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.

FUNÇÃO Exponencial. Disponível em : <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm103/funcaoexponencial.htm>. Acesso em: 26 jun. 2009

FUNÇÕES Exponenciais: Exercício. Disponível em : <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/exponenc-a.htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.

FANCCHINI, Walter. Matemática. São Paulo: Editora Saraiva, 1996.

GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática Fundamental: uma nova abordagem: ensino médio. São Paulo: FTD, 2002.

IEZZI, Gelson et. al. Matemática. 3. ed. São Paulo: Atual, 2005.



CA

PÍTU

LO 1

0

171Anotações

Capítulo 10


10 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

10. 1 ONDE QUEREMOS CHEGAR


Estamos chegando ao �m da nossa jornada, com o Capítulo 10, �nalizamos o nosso estudo apresentando os logaritmos, sua de�nição e características. Você verá que o logaritmo é escrito como log a b = x, onde se lê: x é o logaritmo de b na base a, b é chamado de logaritman-do e x de logaritmo. Aprenderá também que para um logaritmo existir deve obedecer a algumas condições.

Você terá oportunidade de resolver as equações logarítmicas e verá também que com as propriedades dos logaritmos essas equações �cam ainda mais fáceis de serem resolvidas.

Por �m, você trabalhará com as funções logarítmicas e seus grá-�cos, percebendo que a função logarítmica é a inversa da função expo-nencial vista anteriormente no Capítulo 9 e também que a partir dessa informação torna-se ainda mais fácil traçar seu grá�co.


É muito importante você conhecer as funções logarítmicas, pois, como a função exponencial, a função logarítmica tem as suas aplicações e sua importância. Os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os lo-garitmos em cálculos numéricos, as funções logarítmicas têm uma vasta aplicação na matemática e na ciência.

10.1.3 Objetivos


• entender a importância dos logaritmos e das funções logarít-micas;

• conhecer um logaritmo e saber calculá-lo;• perceber que, para existir, um logaritmo deve cumprir condi-

ções de existência;• resolver equações logarítmicas;• traçar o grá�co dessas funções.

172 Anotações

Capítulo 10



Vamos escrever alguns números como potência de base 10.

1 = 100 0,1 = 10-1

10 = 101 0,01 = 10-2

100 = 102 0,001 = 10-3

Porém, na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um núme-ro como potência de base 10. Por exemplo, o número 2, o 3.

Usando aproximações, você pode escrever:

2 = 100,301

3 = 100,477

10.2.1 O que é logaritmo

Veja então o seguinte quadro, o qual matemáticos dos séculos XVI e XVII desenvolveram e onde se relacionam os números naturais e os expoentes de 10 correspondentes. A esses expoentes foi dado o nome de logaritmos.

Número Logaritmo1 0,000

2 0,301

3 0,477

4 0,602

5 0,699

... ...

10 1,000

... ...

251 2,399

... ...

1000 3,000

QUADRO 1 – Números naturais e os expoentes de 10 correspondentes

Pelo quadro você pode ver que:

• o número 0,699 é chamado o logaritmo de 5 na base 10.Indicamos: log10 5log10 5= 0,699, ou seja, 5 = 100,699

173Anotações

Capítulo 10


• O número 2,399 é chamado o logaritmo de 251 na base 10.

Indicamos: log10 251 log10 251 = 2,399 , ou seja, 251 = 102,399

Esses quadros foram chamadas de tábuas de logaritmos deci-mais porque os números são representados como potências de base 10.

Entretanto, os logaritmos podem ser escritos em qualquer base positiva diferente de 1.

Veja:

• log 7 2 = 0,356 , pois 2 = 70,356

• log 8 64 = 2 , pois 64 = 82

Daí, então, você tem que:

Diz-se que x é o logaritmo de b na base a.

Algumas observações se fazem importantes! É bom você con-centrar sua atenção!

• Se a base do logaritmo for 10, costuma-se omitir a base na sua representação.

log 10 b = log b

• Tem-se também os logaritmos chamados de neperianos, a base desse logaritmo é o número irracional e = 2,71828... (que você conheceu no capítulo 9).

log e b = ln b

É também conhecido como logaritmo natural por ter grandes aplicações em diversos fenômenos da natureza.

174 Anotações

Capítulo 10


Exemplo 1

Calcule log 3 81

Como não se sabe o valor de log3 81, esse valor será chamado de x.

log 3 81 = x 81 = 3x 34 = 3x x = 4

Exemplo 2

Calcule log 25 0,2

5

Exemplo 1

Calcule log 3 81

Como não se sabe o valor de log3 81, esse valor será chamado de x.

log 3 81 = x 81 = 3x 34 = 3x x = 4

Exemplo 2

Calcule log 25 0,2

log 25 0,2 = y 0,2 = 25y substituímos 0,2 por 10

2

y2510

2=

invertendo a fração 10

2 obtemos

y252

101

=

−

y)5(5 21= −

y21 55 = −

2

11221 −=−==− yyy

[INICIO DO ICONE PRATICANDO]

2.2. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM LOGARITMO

[FIM DO ICONE PRATICANDO]

Você irá aprender agora quais as condições para que um logaritmo exista.

Para um logaritmo de b na base a existir, deve-se ter:

• logaritmando positivo b > 0;

• base positiva e diferente de 1: a > 0 e a 1.

Vamos verificar:

1. b = - 5 < 0

Ex: log2 -5= x -5 = 2x ∴ não existe x ∈ℜ que satisfaça essa equação.

Portanto, b não pode ser menor que 0.

Quanto vale:

64log4

PRATICANDO

Quanto vale:

Você irá aprender agora quais as condições para que um logarit-mo exista. Para um logaritmo de b na base a existir, deve-se ter:

• logaritmando positivo b > 0;• base positiva e diferente de 1: a > 0 e a ≠ 1.

Vamos veri�car:1. b = - 5 < 0Ex: log2 -5= x -5 = 2x \ não existe x � � que satisfaça essa equação.

175Anotações

Capítulo 10


Portanto, b não pode ser menor que 0.

2. a = 1Ex: log12 = y 2 = 1y não existe y tal que 1y seja igual a 2.Então, a deve ser diferente de 1.

3. a < 0Ex: log-4 4=z 4 = -4z não existe z � � que satisfaça essa equação.

Exemplo 3

Determine os valores reais de x e y para que log y + 1 (x - 8) exista.Deve-se ter: ® x – 8 > 0 x > 8

® y + 1 > 0 y > -1 e y + 1 ≠ 1 y ≠ 1 – 1 y ≠ 0Então, para o logaritmo acima existir, deve-se ter: x > 8, y > -1 e y ≠ 0

10.2.2 Consequências da de�nição

Sendo satisfeitas as condições de existência dos logaritmos, que você acabou de ver acima, veri�ca-se que:

1. o logaritmo de 1 em qualquer base é igual 0,

loga1 = 0, pois a0 = 1;

2. o logaritmo da própria base é igual a 1,

logaa = 1, pois a1=a;

3. seja log a am = p ⇔ a p = a m, portanto, p = m , então,

log a a m = m;

4. pela de�nição de logaritmos, temos log a b = x ⇔ b = ax, substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que

aloga

b = b.

176 Anotações

Capítulo 10


10.2.3 Equações logarítmicasCONCEITO

Chamam-se de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

São exemplos de equações logarítmicas:

log31(x - 1) = -2 log x+1 (19 - x) = 1

Para resolver essas equações, aplicaremos a de�nição de logarit-mo e a seguinte propriedade:

log a b = log a c ⇔ b = c, com a,b e c > 0, e a ≠ 1

Exemplo 4

Vamos resolver juntos as duas equações acima!

1. log31(x - 1) = -2

Primeiro, deve-se observar a condição de existência: x – 1 > 0 x > 1

Usando a de�nição de logaritmo:

log31(x - 1) = -2

€

x −1 =13

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

−2

x-1 = 32 x - 1 = 9 x = 10

Como x = 10, satisfaz a condição de existência x > 1. Portanto, a solução é S = {10}.

2. log x + 1 (19 - x) = 1

Observando as condições de existência: 19 - x > 0 -x > -19 x < 19 x + 1 > 0 x > -1

177Anotações

Capítulo 10


Resolvendo pela de� nição:

log x+1 (19 - x) = 1 19 – x = (x+ 1)1

19 – x = x + 1 - x – x = 1 - 19 -2x = - 18(-1)x = 18

€

x =182

⇒ x = 9

x = 9 é menor que 19 e maior que -1, satisfazendo assim as condições de existência.

Portanto, S = {9}.

DESAFIO Qual o valor de x na seguinte equação:

log4 (log2 x) =1

10.2.4 Propriedade dos logaritmos

As propriedades dos logaritmos são muito importantes na hora de resolver as equações logarítmicas, portanto, concentre sua atenção!!!

1ª Propriedade: Logaritmo de um produto

O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, sendo as bases iguais:

log a (b.c) = log a b + log a c , com a,b e c > 0, e a ≠ 1

178 Anotações

Capítulo 10


Exemplo: log 2 (6) = log 2 (3.2) = log 2 3 + log 2 2

2ª Propriedade: Logaritmo do quociente

O logaritmo do quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, sendo as bases iguais.

loga =logab‐logac,coma,bec>0,ea≠1

Exemplo: log 3 17 = log 3 = log 3 54 - log 3 2

3ª Propriedade: Logaritmo de uma potência

O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é:

logabn=nlogab,coma,eb>0,ea≠1

Exemplo: log 5 5 3 = 3. log 5 5

Exemplos

Sendo log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, log 5= 0,699, calcular :

a) log 81 log 81 = log 10 81= log 10 3

4 pela 3ª propriedade

log 10 34 =

3. log103=

3.0,477=1,431

Então log 81 = 1,431

179Anotações

Capítulo 10


b) log 5 6

log 5 6 = pela propriedade da potenciação log 5

1

6 = pela propriedade 3 dos logaritmos

=6log.51 pela propriedade 1 dos logaritmos

c) log 1,8

log 1,8 = log pela propriedade 2 dos logaritmos

log 18 Ð log 10 =

log3.3.2 Ð log 2.5 utilizando a propriedade 1 dos logaritmos:

[log3 + log3 + log2] Ð [log2 + log5] = [0,477 + 0,477 + 0,301] Ð [0,301 + 0,699]

[1,255] Ð 1 = 0,255

10.2.5 Função logarítmica

A função exponencial f:� ® �+ de�nida por f(x) = ax, com a

> 0 e a ≠ 1, é bijetora, e, portanto, podemos determinar a sua função inversa.CONCEITO

A função inversa da função exponencial é a função lo-garítmica.

180 Anotações

Capítulo 10


Observe:

y = ax, para calcular a função inversa permutamos as variáveis x = a y y = log a x.

Você pode lembrar que, quando uma função é a inversa da ou-tra, seus grá�cos são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares; então, pelo grá�co da exponencial, construímos imediatamen-te o grá�co da função logarítmica.

Para a > 1: Para 0 < a < 1 :

Note que:

• se a > 1, a função é crescente, isto é, quando os valores de x crescem os de y também crescem;

• se 0 < a < 1, a função é decrescente, quando os valores de x crescem os de y decrescem.

Exemplo 5

Construir o grá�co da função f(x) = log3 x.

1º passo: atribuir valores a x:

181Anotações

Capítulo 10


x f(x) (x,y)

91

€

y = log319

⇒ 3y =19

⇒ 3y = 9−1 ⇒ 3y = 3−2 ⇒ y = −2

€

19

⎛ ⎝ ⎜ ,−2)

€

y = log313

⇒ 3y =13

⇒ 3y = 3−1 ⇒ y = −1

€

13

⎛ ⎝ ⎜ ,−1)

1

€

y = log31⇒ 3y =1⇒ y = 0 (1,0)

3

€

y = log3 3 ⇒ 3y = 3 ⇒ y =1 (3,1)

9

€

y = log3 9 ⇒ 3y = 9 ⇒ 3y = 32 ⇒ y = 2 (9,2)

2º passo: observar se a função é crescente ou decrescente. f(x) = log3 x, a base é igual a 3, que é maior que zero.

Portanto, a função é crescente.

3º passo: construir o grá�co:

Exemplo 6

Construir o grá�co de f(x) = x31log

1º passo: atribuir valores a x.2º passo: veri�car se é crescente ou decrescente.3º passo: construir o grá�co.

182 Anotações

Capítulo 10


x y

9 -2

3 -1

1 0

31 1

91 2

PRATICANDO

Trace o gráfico da função:g(x) =

10.3 RELEMBRANDO

Você conclui então seus estudos com as funções logarítmicas, entendendo primeiramente o que é um logaritmo e como se faz para calculá-lo, aprendeu que podemos escrever um logaritmo com qualquer base desde que ela seja maior que zero e diferente de 1. Teve oportu-nidade de conhecer as propriedades dos logaritmos e ver o quanto elas facilitam os cálculos.

Pôde resolver equações logarítmicas, veri�cando primeiramente as suas condições de existência. Por último, você traçou junto conosco o grá�co geral de uma função logarítmica com o auxílio da sua inversa, que é a função exponencial. Teve oportunidade de traçar alguns grá�cos funções logarítmicas, atribuindo valores a x, encontrando y e marcando os pontos no plano cartesiano.

183Anotações

Capítulo 10


10.4 O QUE FAZER

1. Qual o valor de:a) log5 125b)log2 264c) log40,25

2.Sabendo que log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, log 5= 0,699, calcule:a) log 75b) log 120c) log 125

3. Qual o valor de x nas seguintes equações:a) log2(x + 3) + log2(x - 3) = log27 b) log3(x + 5) = 2

4. Trace os grá�cos das seguintes funções logarítmicasa) y = log2x b) y = log(1/4)x

10.5 PARA SABER MAIS

EDITORA Moderna. Disponível em:<http://www.moderna.com.br/moderna/didaticos/em/artigos/2006/032006-01.htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.

Neste link, você aprende mais sobre os logaritmos e sua história.

ONDE ENCONTRAR

A HISTÓRIA da construção do conceito de logaritmo. Disponível em: <http://www.moderna.com.br/moderna/didaticos/em/artigos/2006/032006-01.htm>. Acesso em: 12 set. 2007.

GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática Fundamental: uma nova abordagem: ensino médio. vol único.São Paulo: FTD, 2002.

IEZZI, Gelson et. al. Matemática: volume único. 3. ed. São Paulo: Atual, 2005.

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Capítulo 10


FUNÇÃO LOGARÍTMICA. Disponível em: <http://www.planetavestibular.hpg.ig.com.br/logaritmo.htm>. Acesso em 04 jul. 2007.

FUNÇÕES Logarítmica e Exponencial. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp4.php>. Acesso em: 03 jul. 2007.

LOGARITMO. Disponível em: <http://www.nghorta.com/2006/05/20/logaritmo/>. Acesso em: 04 jul. 2007.

LOGARITMOS. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/logaritm.htm>. Acesso em: 12 set. 2007.

185Anotações

Capítulo 10


REFERÊNCIAS

A HISTÓRIA da construção do conceito de logaritmo. Disponívelem: <http://www.moderna.com.br/moderna/didaticos/em/artigos/2006/032006-01.htm>. Acesso em: 12 set. 2007.

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. São Paulo: Moderna, 1996. v.4.

__________________________. Matemática. 4 ed. São Paulo: Moderna,1996. v.3.

CLASSIFICAÇÃO das funções. Disponível em: <http://www.fi charionline.com/ExibeConteudo.php5?idconteudo=5799>. Acessoem: 26 jun. 2009.

CRAZYMANIA. Biblioteca. Matemática. Conjuntos Numéricos.Disponível em: <http://www.crazymania.com.br/biblioteca/?cat=matematica&page2=conjuntos_numericos>. Acesso em: 24 jun. 2009.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo. Ática,2005.v.2.

__________________________. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

__________________________. Fundamental. Funções. Disponívelem:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.

EDITORA FERREIRA. Aulas Virtuais. Pedro Bello. MatemáticaBásica. Noções de Conjunto. Disponível em: <http://www.editoraferreira.com.br/publique/media/Matem%C3%A1tica%20B%C3%A1sica_CVM_Parte%201.pdf>. Acesso em: 24 jun. 2009.

ESCOLAS de Miranda do Douro. História da Geometria. Disponívelem:< http://www.eb2-miranda-douro.rcts.pt/mat/historia1.htmAcesso em: 24 jun. 2009.

EQUAÇÕES Exponenciais. Disponível em: <http://www.nghorta.com/2006/04/16/equacoes-exponenciais/>. Acesso em: 26 jun. 2009.

EXERCÍCIO Função Exponencial. Disponível em: <http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/exponencial/exercicios/exercicios.htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.

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FANCCHINI, Walter. Matemática. São Paulo: Editora Saraiva,1996.

FUNÇÃO Exponencial. Disponível em : <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm103/funcaoexponencial.htm>. Acesso em: 26 jun.2009.

FUNÇÕES Exponenciais: Exercício. Disponível em : <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/exponenc-a.htm>.Acesso em: 26 jun. 2009.

FUNÇÕES e Gráficos. Disponível em: <http://www.scite.pro.br/tudo/pdf.php?_matematicamodulo4>. Acesso em: 26 jun. 2009.

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FUNÇÃO do 2 º grau. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br/MaterialTrabalho/MaterialDisplay/0,4906,16-15-80-Dv_matdv_mat_fernado1--POR,00.html\>. Acesso em 26 jun. 2009.

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GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy.Matemática: pensar & descobrir. Nova edição. São Paulo: FTD,

187Anotações

Capítulo 10


2005. v.3.

GIOVANNI, José Ruy et. al. Matemática Fundamental: uma novaabordagem: ensino médio. São Paulo: FTD, 2002.

GUELLI, Oscar. Contando a história da Equação do 2º grau. SãoPaulo: Ática, 1992. Coleção Contando a História da Matemática.

IEZZI, Gelson et. al. Matemática: volume único. 3. ed. São Paulo:Atual, 2005.

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IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar.Conjuntos, Funções. São Paulo: Editora Atual, 2004. v.1.

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SÓ MATEMÁTICA. Inequações. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/soexercicios/inequacoes.php>.Acesso em: 26jun. 2009.

SÓ MATEMÁTICA. Regra de três composta. Disponível em:<http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3c.php>. Acesso em:24 jun. 2009.SÓ MATEMÁTICA. Geometria. Disponível em:< http://www.somatematica.com.br/geometria.php>. Acesso em: 24 jun. 2009.

TAHAN, Malba. O homem que calculava: romance: as aventuras deum singular calculista persa. Rio de Janeiro: Conquista, 1975. 291 p.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL.Instituto de Matemática. Matemática Elementar. Três noçõesnuméricas básicas: número, numeral e algarismo. Disponível em:<http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html>. Acesso em: 24jun. 2009.

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Capítulo 10


WIKIPÉDIA. A enciclopédia livre. Número de Euler. Disponível em:<http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler>. Acessoem: 24 jun. 2009.

Núcleo de Educação a Distância - NEaDwww.unp.br | [email protected]

Fonte:LYRA, Aarão. Fundamentos da matemática. Natal: EdUnP, 2010. 190 p. E-book.

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