Definio 1PRIMEIRAS PROPRIEDADES (III) Para todo a G, existe um elemento a G (inverso de a) tal que a * a = a * a = n;Um grupo (G, *) um conjunto fechado para a operao binria * e que satisfaz os seguintes axiomas:(I) A operao * associativa;(II) Existe um elemento nG (elemento neutro) tal que n * x = x * n = x, para todo x G;Definio 2Um grupo G diz-se abeliano se a operao binria * comutativa. NIC (abeliano)A

1 - A estrutura (Z+, +) no um grupo pois no existe elemento neutro. EXEMPLOS2 - A estrutura (N, +) no um grupo pois no existe inverso. 3 - As estruturas (R, +), (Z, +), (Q, +) e (C, +) so grupos. 4 - O conjunto das funes reais de varivel real com a adio de funes um grupo. Este grupo abeliano. 5 - O conjunto das matrizes de tipo mX n, m, nN, com onde cada aij R um grupo abeliano para a adio de matrizes. O elemento neutro a matriz onde todo aij= 0 e a inversa aditiva deA (-A).6 - O conjunto de todas as matrizes de tipo n X n com a operaomultiplicao de matrizes no um grupo, pois somente as matrizes com determinante no nulo tm inverso. 7 - O subconjunto das matrizes n X n inversveis (determinante no nulo) com a operao multiplicao de matrizes um grupo. Este grupo no abeliano.

P1 Em um grupo (G, *), o elemento neutro nico e cada elemento possui um nico inverso. PROPRIEDADESP2 - Em um grupo (G, *) vlida a lei do corte (cancelamento). P3 - Sendo a e b elementos de (G, *), as equaes a * x = b e y * a = b tm, cada uma delas, uma nica soluo em G.Estas propriedades foram demonstradas para os grupides.2 - No monide multiplicativo (Z12, X) no vlida a lei do cancelamento. 1 - Em (Z, +) vlida a lei do cancelamento.EXEMPLOS3 + b = 5 + 3 b = 5A equao 3 . x = 6 tem 3 solues em Z12: 3 x 2 = 3 x 6 = 6, mas 2 6.2, 6 e 10.A equao 3 . x = 2 no tem soluo em Z12.

3 Na adio de matrizes verificada a lei do cancelamento. 4 A lei do cancelamento no vlida para o produto de matrizes.A C.A lei ser vlida quando B for inversvel.A x B = C x B A x (B x B-1) = C x (B x B-1) A x I = C x I A = C.5 Na multiplicao de reais por zero, no vlida a lei do cancelamento.4 x 0 = 6 x 0, mas 4 6.

GRUPOS FINITOS E TABELAS DE ENTRADAS Definio 1 - Chama-se ordem de G ao nmero de elementos de G. Escreve-se |G| ou O(G) ou ainda card(G). Definio 2 - Um grupo G diz-se finito se tiver um nmero finito de elementos. Se G for um grupo infinito escreve-se |G| = .Um grupo finito, (G, *) onde G = {x1, x2, ..., xn} pode ser representado por uma tabela n X n com duas entradas onde cada elemento (ou entrada) (i, j) xi * xj. x1 x2 x3 .... xnx1

x2

x3...xn

x3*xn*Linha de topo

PROPRIEDADES DA TABELADever existir um elemento desse conjunto, denotado por n, que desempenhar o papel da identidade (ou neutro) do grupo.(2) A condio n * x = x exige que na linha correspondente ao elemento n, os elementos do conjunto aparecem na mesma ordem em que se encontram na linha de topo.(3) A condio x * n = x significa que na coluna correspondente ao elemento n, os elementos do conjunto aparecem na mesma ordem em que se encontram na coluna esquerda.n a b cnabc(4) O elemento a tem inverso c direita quando na clula correspondente ao cruzamento da linha de a com a coluna de seu inverso c aparece o elemento neutro n. (a*c = n)(5) O elemento a tem inverso c esquerda quando na clula correspondente ao cruzamento da coluna de a com a linha de seu inverso c aparece o elemento neutro n. (c * a = n)

(6) As equaes a * x = n e y * a = n devem ter soluo nica. Deste modo, em cada linha e em cada coluna, cada elemento do conjunto deve aparecer apenas uma vez.(7) O grupo comutativo se a tabela for simtrica em relao diagonal principal, ao considerar a tabela como uma matriz. (8) No h como verificar a associatividade a partir de visualizao da tabela. A associatividade deve ser comprovada caso a caso. RESPONDA1 Existe elemento? Se afirmativo, qual ele? Justificar.2 - comutativa? Justificar.3 Todos os elementos tm inverso? Justificar.4 Qual o inverso do elemento ? 5 Resolva a equao: x =

ALGUNS GRUPOS FINITOS (a) (Zk, +) um grupo.(b) (Zk, x) no um grupo.(c) (Zk {0}, x) um grupo se k for primo.Z conjunto dos n inteiros.x - multiplicao2 - Permutaes dos elementos do conjunto A.3 Conjuntos R(n) das razes complexas da equao xn 1 = 0.As razes n de 1 so obtidas pela expressofazendo k = 0, 1, 2, ..., n 1.(R(n), x) um grupo.Todos os grupos acima so abelianos.