GA
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01 - (PUC RJ/2012) Sabendo que o ponto B = (3,b) é equidistante dos pontos A = (6,0) e C = (0,6), então b vale: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Gab: C 02 - (FGV /2012) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 Gab: B
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01 - (PUC RJ/2012)
Sabendo que o ponto B = (3,b) é equidistante dos pontos A = (6,0) e C = (0,6), então b vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Gab: C
02 - (FGV /2012)
Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8).
A soma das coordenadas do quarto vértice é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Gab: B
03 - (FGV /2012)
No plano cartesiano, M(3,3), N(7,3) e P(4,0) são os pontos médios respectivamente dos
lados AB , BC , e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 0
Gab: C
04 - (ITA SP/2012)
Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a
a)53
b)√97
3
c)√109
3
d)√53
e)103
Gab: B
05 - (FUVEST SP/2011)
Um viajante saiu de Araripe, no Ceará, percorreu, inicialmente, 1000 km para o sul, depois 1000 km para o oeste e, por fim, mais 750 km para o sul. Com base nesse trajeto e no mapa abaixo, pode-se afirmar que, durante seu percurso, o viajante passou pelos estados do Ceará,
a) Rio Grande do Norte, Bahia, Minas Gerais, Goiás e Rio de Janeiro, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Pantanal. Encerrou sua viagem a cerca de 250 km da cidade de São Paulo.
b) Rio Grande do Norte, Bahia, Minas Gerais, Goiás e Rio de Janeiro, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Cerrado. Encerrou sua viagem a cerca de 750 km da cidade de São Paulo.
c) Pernambuco, Bahia, Minas Gerais, Goiás e São Paulo, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Pantanal. Encerrou sua viagem a cerca de 250 km da cidade de São Paulo.
d) Pernambuco, Bahia, Minas Gerais, Goiás e São Paulo, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Cerrado. Encerrou sua viagem a cerca de 750 km da cidade de São Paulo.
e) Pernambuco, Bahia, Minas Gerais, Goiás e São Paulo, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Cerrado. Encerrou sua viagem a cerca de 250 km da cidade de São Paulo.
Gab: E
06 - (UFBA/2011)
Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, 2), B(–2, 4), C(0, 6), A’(0, 0), B’(6√2 ,0) e um ponto C’ que tem coordenadas positivas.
Sabendo que = e = , determine o produto das coordenadas do ponto C’.
Gab: 72
07 - (UECE/2011)
No sistema de coordenadas cartesianas usual, considere os pontos P = (0,1), E = (1,0) e
R=(√3 , 0 ) . Se S é o ponto onde a reta perpendicular a PR passando por E intercepta PR, então a medida do ângulo PÊS é
a) 30º.
b) 45º.
c) 60º.
d) 75º.
Gab: D
08 - (ESPM SP/2011)
Sobre um segmento de reta de extremidades A(–9, 1) e B(6, –9) são marcados alguns pontos que o dividem em n partes iguais. Um desses pontos pertence ao eixo das ordenadas. O número n pode ser igual a:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
Gab: D
09 - (FGV /2011)
Dado um triângulo de vértices (0, 12), (0, 0) e (5, 0) no plano cartesiano ortogonal, a distância entre os centros das circunferências inscrita e circunscrita a esse triângulo é
a)3√5
2 .
b)72 .
c) √15 .
d)√65
2 .
e)92 .
Gab: D
10 - (UECE/2011)
Se (m 2, 2n) e (3n, m 3) representam o mesmo ponto no plano cartesiano ortogonal, então o produto m n é igual a
a) 0. b) 1. c) 5. d) 6.
Gab: C
11 - (FEPECS DF/2011)
Um avião taxia (preparando para decolar) a partir do ponto que a torre de controle do aeroporto considera a origem dos eixos coordenados, com escala em metros. Ele segue
em linha reta até o ponto (300; –400), onde realiza uma curva de 90º no sentido anti-horário, seguindo, a partir daí, em linha reta. Após algum tempo, o piloto acusa defeito no avião, relatando a necessidade de abortar a decolagem. Se, após a mudança de direção, o avião percorre 1000 metros até parar, as coordenadas do ponto para o qual a torre deve encaminhar a equipe de resgate são:
a) (1400; 400);
b) (1300; 600);
c) (1200; 300);
d) (1100; 200);
e) (1000; 500).
Gab: D
12 - (UFPR/2011)
Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura abaixo descreve a situação de maneira simplificada.
Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então:
a) (21,7).
b) (22,8).
c) (24,12).
d) (25,13).
e) (26,15).
Gab: C
13 - (UEPB/2011)
O perímetro de um triângulo de vértices D(–2 , 0), E(0 , 4) e F(0 , –4) é
a) (8+√5 ) u. a.
b) 8(1+√5 ) u. a.
c) 4(2+√5 ) u. a.
d) 12√5 u. a.
e) 20√5 u. a.
Gab: C
14 - (UEPB/2011)
Na figura a seguir, os pontos A, B estão no gráfico das funções y = 2x e y = (12 )
x
e os
segmentos AD e BC são paralelos ao eixo y. O perímetro do quadrilátero ABCD, em cm, é:
a) 14
b) 9–√13
c) 6+√13
d) 8+√13
e) 9+√13
Gab: E
15 - (UEPB/2011)
Uma chapa metálica triangular é suspensa por um fio de aço, fixado em um ponto P de sua superfície, de sorte que a mesma fique em equilíbrio no plano horizontal determinado pelo sistema de eixos cartesiano XY. Se os vértices da chapa estão nos pontos A(1,1), B(1,5), C(4,3), então as coordenadas x,y do ponto P são, respectivamente:
a) 2 e 5
b) 2 e 3
c) 3 e 3
d) 2 e 4
e) 4 e 3
Gab: B
16 - (UFRN/2010)
Três amigos – André (A), Bernardo (B) e Carlos (C) – saíram para caminhar, seguindo trilhas diferentes. Cada um levou um GPS – instrumento que permite à pessoa determinar suas coordenadas. Em dado momento, os amigos entraram em contato uns com os outros, para informar em suas respectivas posições e combinaram que se encontrariam no ponto eqüidistante das posições informadas.
As posições informadas foram: A(1 ,√5 ) , B(6,0 ) e C(3,−3 ).
Com base nesses dados, conclui-se que, os três amigos se encontrariam no ponto:
a) (1, –3)
b) (3, 0)
c) (3 ,√5 )
d) (–6, 0)
Gab: B
17 - (FUVEST SP/2010)
Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema abaixo.
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca?
Gab: 6
17m
18 - (UFG GO/2010)
No plano cartesiano, as retas r e s, de equações 2x – 3y + 3 = 0 e x + 3y – 1 = 0, respectivamente, se intersectam em um ponto C. Considerando o ponto P(0, –4), determine as coordenadas de dois pontos, Ar e Bs , de modo que o segmento CP seja uma mediana do triângulo ABC.
Gab: A(−28
3,−47
9 ) e B(28
3,−25
9 )
19 - (ESPM SP/2010)
As distâncias entre 4 cidades de um mapa são dadas, em centímetros, pelas tabelas abaixo.
A BC 8,2 xD 11 , 4 8,6
A DB 2,8 8,6C 8,2 3,2
Sabendo-se que a escala do mapa é 1: 2 000 000 , podemos afirmar que a distância real entre as cidades B e C é de:
a) 120 km
b) 116 km
c) 100 km
d) 132 km
e) 108 km
Gab: E
20 - (UFU MG/2010)
O “bocha” é um esporte trazido ao Brasil pelos imigrantes italianos. Ele consiste no lançamento de “bochas” (bolas), a partir de uma região delimitada, para situá-las o mais próximo possível de um “bolim” (bola pequena) previamente lançado. A “cancha”, local onde o jogo é praticado, é uma espécie de raia e pode ser interpretada como uma porção de um plano, o qual assumiremos estar munido de um sistema de coordenadas cartesianas xOy.
Sabe-se que:
1. O bolim está localizado no ponto A = ( 2, –4 ).
2. Uma bocha já arremessada está localizada no ponto B = ( –1, 1 ).
Um jogador deseja arremessar uma nova bocha que deverá colidir com a bocha em B, empurrando-a para próximo do bolim em A. Para facilitar o seu arremesso, ele busca posicionar-se na cancha em um ponto C, de maneira que A, B e C estejam alinhados. Se C = ( h, 2 ), então, de acordo com as condições dadas, pode-se afirmar que:
a) –2,1 h < –1,9
b) –1,9 h < –1,7
c) –1,7 h < –1,5
d) –1,5 h –1,3
Gab: C
21 - (UEFS BA/2010)
Os pontos O = (0, 0), M = (√3 , 1), N e P = (0, p) são vértices consecutivos de um losango. Sabendo-se que p > 0, pode-se concluir que o produto das coordenadas do ponto N é igual a
a) 3+√3
b) 3√3
c) 6
d) 6+2√3
e) 12
Gab: B
22 - (UECE/2010)
Sejam f , g : RR funções definidas por f(x) = 2x e g(x) = 5 x – x2. Se a interseção entre o gráfico de f e o gráfico de g e o conjunto {P, Q}, então a distancia entre os pontos P e Q é
a) 5√2 u . c .
b) 5√5 u . c .
c) 3√2 u . c .
d) 3√5 u . c .
Gab: D
23 - (IBMEC RJ/2010)
O triângulo ABC é isósceles, com AB = AC.
Os vértices B e C são, respectivamente, (15, 1) e (19, 3).
Se o vértice A pertence ao eixo das ordenadas (0y), sua ordenada é igual a:
a) 35
b) 36
c) 37
d) 38
e) 39
Gab: B
24 - (UFMG/2010)
Os pontos A = (0, 3), B = (4, 0) e C = (a, b) são vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano.
Considerando-se essa situação, é CORRETO afirmar que
a)b=4
3a
b)b=4
3a−7
6
c)b=4
3a+3
d)b=4
3a−3
2
Gab: B
25 - (UFF RJ/2010)
A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.
O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (–1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:
a) 10+√29+√26
b) 16+√29+√26
c) 22+√26
d) 17+2√26
e) 17+√29+√26
Gab: E
26 - (UNIMONTES MG/2009)
O semiperímetro do triângulo ABC de vértices A(0,2 ) , B(√3 ,5 ) e C(0,6 ) é
a) 6 + 2√3 .
b) 3 +√3 .
c) 6 +√3 .
d) 3 + 2√3 .
Gab: B
27 - (UFU MG/2009)
Os vértices de um polígono P1 P2 P3 P4 P5 P6 têm coordenadas P1=( x1 , y1 ), P2=( x2 , y2 ), P3=( x3 , y3 ) , P4=( x4 , y 4 ), P5=( x5 , y5 ) e P6=(x6 , y6 ). As abscissas e ordenadas destas coordenadas satisfazem as seguintes condições:
I. x1 , x2 , y1 , y2 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2 e cuja soma dos termos é igual a 4;
II. x4 , x5 , y4 , y5 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica em que o primeiro termo é igual a 8 e o último é igual a 1;
III. Os vértices P3 e P6, em que y3 > 0, são as representações geométricas no plano
cartesiano das raízes complexas do polinômio p( x )= x2 - 4x + 20
Considerando as informações dadas, faça o que se pede.
a) Determine os vértices desse polígono.
b) Represente geometricamente esse polígono no plano cartesiano e calcule a área da região limitada por este polígono.
Gab:
a) P1 = (-2,2), P2 = (0,4)
P4 = (8,2), P6 = (4,1)
P3 = (2,4), P6 = (2,–4)
b)
33 u.a
28 - (UEG GO/2009)
Considere no plano cartesiano o triângulo ABC com vértices nos pontos A(1,3), B(4, 4) e C(3,1). O triângulo A'B'C'simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo das ordenadas tem vértices nos pontos
a) A'(−1,−3),B'(−4,−4),C'(−3,−1)
b) A'( 1,3), B'( 4, 4), C'( 3,1)
c) A'(1,−3), B'(4,−4), C'(3,−1)
d) A'(3,1), B'(4, 4), C'(3,1)
Gab: B
29 - (UFC CE/2009)
Os vértices do quadrado ABCD no plano cartesiano são A(−1,3 ), B(1,1 ), C (3,3) e D( x,y ). Então, os valores de x e y são:
a) x =1 e y = 5.
b) x = 5 e y = 1.
c) x=1+√5 e y=1+√5 .
d) x=1−√5 e y=1 .
e) x=1 e y=1-√5 .
Gab: A
30 - (UNICID SP/2009)
Observe o que segue:
O menor caminho para se ir do ponto A =(1, 3 ) até o ponto C =(9, 1) passa necessariamente
pelo ponto B sobre o eixo x, tal como a figura. Sabendo-se que CD=DE e que A, B e E são colineares, então o comprimento do menor caminho de A até C, passando por B, é
a) 4 √5
b) 5√5
c) 6√5
d) 7√5
e) 8√5
Gab: A
31 - (UESPI/2009)
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pontos com coordenadas (1,2) e (x,7), com x sendo um número real, estão no primeiro quadrante e distam 13 entre si. Qual o valor de x?
a) 15
b) 14
c) 13
d) 12
e) 11
Gab: C
32 - (UEPB/2009)
Os pontos A(1, 1), B(–2, m), C(0, 2) no plano cartesiano são vértices de um triângulo, se:
a) m 2
b) m 6
c) m 3
d) m 1
e) m 4
Gab: E
33 - (UERJ/2009)
Em uma folha de fórmica retangular ABCD, com 15 dm de comprimento AB por 10 dm de
largura AD , um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD . No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interseção desses segmentos.
A figura abaixo representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados.
Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm, determine as coordenadas do ponto F.
Gab:
F=(6,6)
34 - (UNIFESP SP/2009)
a) Num sistema cartesiano ortogonal, considere as retas de equações r : y= x
6 e s : y=3 x
2 o ponto M(2, 1).
Determine as coordenadas do ponto A, de r, e do ponto B, de s, tais que M seja o ponto médio do segmento de reta AB.
b) Considere, agora no plano euclidiano desprovido de um sistema de coordenadas, as retas r e s e os pontos O, M e P, conforme a figura,
com M o ponto médio do segmento OP. A partir de P, determine os pontos A, de r, e B, de s, tais que M seja o ponto médio do segmento de reta AB.
Gab:
a)A=(3 ;
12 ) e B=(1 ;
32 )
b) 1º = traça–se pelo ponto P a reta r’//r que intercepta a reta s no ponto B.
2º = traça–se pelo ponto P a reta s’//s que intercepta a reta r no ponto A.
35 - (UFOP MG/2008)
O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas medianas. Sendo assim, as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo de vértices (2,2), (-4,-2) e (2,-4) são:
a) (0 ,−43 )
b) (0 ,−54 )
c) (0 ,−34 )
d) ( 12 ,−32 )
Gab: A
36 - (FGV /2008)
A medida da altura AH de um triângulo de vértices A (1 , 5 ); e é:
a)2√710
b)5√10
7
c)3√10
5
d)7√10
5
e)8√10
7
Gab: D
37 - (FEPECS DF/2008)
Na figura, O tem coordenadas (110 , 212) e P tem coordenadas (130 , 202). O segmento OP foi rodado de 90º no sentido trigonométrico, de modo a ocupar a posição OP’.
0 0, B 2 6, C
Se P’ = (a , b) então b – a é igual a:
a) 108;
b) 110;
c) 112;
d) 114;
e) 116.
Gab: C
38 - (UFRN/2008)
O piso de um salão de 4m de largura por 6m de comprimento é revestido com pedras de granito quadradas, como mostra a figura abaixo. Em cada uma das posições – P1, P2, P3 e P4 – existe uma pessoa.
As distâncias entre P2 e P3 e entre P1 e P4 são, respectivamente:
a) 2,8 m e 4,0 m
b) 2,8 m e 3,4 m
c) 3,2 m e 3,2 m
d) 3,0 m e 3,6 m
Gab: A
39 - (UFMG/2008)
Nesta figura, está representado um quadrado de vértices ABCD:
Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são A = (0, 0) e B = (3, 4).
Então, é CORRETO afirmar que o resultado da soma das coordenadas do vértice D é
a) -2.
b) -1.
c)−1
2
d)−3
2
Gab: B
40 - (UNCISAL/2008)
Sendo A (–2, –2) uma das extremidades de um segmento, cujo ponto médio é M (3, –2), pode-se concluir que as coordenadas da outra extremidade desse segmento são
a) (9,3).
b) (8,3).
c) (8,2).
d) (8,–2).
e) (6,–2).
Gab: D
41 - (UFRRJ/2008)
Em um aeroclube, o custo de um vôo com 10 quilômetros de distância é de R$ 40,00, acrescidos das despesas com pouso e decolagem, que perfazem R$ 1000,00.
No plano cartesiano abaixo, temos representados os pontos A e B, e cada unidade corresponde a 10 Km.
Um avião decola do ponto A e pousa no ponto B fazendo uma trajetória retilínea. Qual o gasto desse vôo?
Gab:
R$ 1.520,00
42 - (UFCG PB/2007)
Uma barra homogênea AB está presa na extremidade A, representada pelo ponto (2,0) do sistema cartesiano de eixos. A extremidade B está sustentada por um apoio. Quando este apoio é retirado, a barra cai em direção ao solo, representado pelo eixo das abscissas.
Sabendo que o ponto médio M da barra é o ponto (7/2, 2), as coordenadas da extremidade B, depois da retirada do apoio são:
a) x = 0, y = 6.
b) x = 6, y = 0.
c) x = 7, y = 0.
d) x=6√2 , y=3 .
e) x = 3, y= 0
Gab: C
43 - (ETAPA SP/2007)
Considere a matriz A=¿ [1 0 ¿ ]¿
¿¿¿
. Fazendo a identificação dos pontos do plano cartesiano P=( x ; y ) com as
matrizes-coluna υ=¿ [ x ¿ ]¿
¿¿¿
podemos interpretar o resultado da multiplicação A⋅υ como uma transformação
geométrica, uma função que leva pontos do R2 em pontos do R2. Por exemplo, como
[1 0 ¿ ]¿¿
¿¿, o
ponto (1; 2) é levado em (1; -2).
Podemos afirmar que tal transformação geométrica é uma:
a) translação.
b) reflexão com relação à origem.
c) reflexão com relação ao eixo x.
d) reflexão com relação ao eixo y.
e) rotação com centro na origem.
Gab: C
44 - (UEM PR/2007)
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, diz-se que dois pontos X e X' são simétricos em relação a um ponto P, se P é o ponto médio do segmento de reta que une X
e X'. Sobre o exposto, é correto afirmar que o simétrico de um ponto X=(a ,b ) qualquer do
plano, em relação ao ponto P=(1,1) , é o ponto
a)X '=( a+1
2,b+1
2)
b)X '=(a-1
2,b−1
2)
c) X '=(2 - a, 2-b )
d) X '=(a + 1, b+1 )
e) X '=(2a-1, 2b-1)
Gab: C
45 - (UFPel RS/2007)
Na arquitetura, a Matemática é usada a todo momento. A Geometria é especialmente necessária no desenho de projetos. Essa parte da Matemática ajuda a definir a forma dos espaços, usando as propriedades de figuras planas e sólidas. Ajuda também a definir as medidas desses espaços.
Uma arquiteta é contratada para fazer o jardim de uma residência, que deve ter formato triangular. Analisando a planta baixa, verifica-se que os vértices possuem coordenadas A (8, 4), B (4, 6) e C (2, 4). No ponto médio do lado formado pelos pontos A e C, é colocado um suporte para luminárias.
Considerando o texto e seus conhecimentos, é correto afirmar que a distância do suporte até o ponto B mede, em unidades de comprimento,
a) √37 .
b) √3 .
c) √5 .
d) √13 .
e) √17 .
f) I.R.
Gab: C
46 - (UEG GO/2007)
Na localização dos imóveis de uma cidade é usado como referência um sistema de coordenadas cartesianas em uma escala adequada. Neste sistema, a casa de número 23 de uma determinada rua está localizada no ponto A(–2,0), enquanto a loja de número 7, que está na mesma rua, coincidiu com o ponto B(0,6). Determine uma equação que relacione
as coordenadas x e y de um ponto C que indica a localização de um prédio comercial, de modo que os pontos A, B e C sejam os vértices de um triângulo retângulo em C.
Gab:
Temos que o triângulo ABC é retângulo em C, assim ele está inscrito na semi-circunferência de diâmetro AB.
Portanto, uma equação que relaciona as coordenadas x e y do ponto C, pode ser ( x+1)2+(y-3 )2=10 .
Outra solução poderia ser obtida através do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo ABC.
47 - (UFMG/2007)
Seja P = (a,b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1.
As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado de vértices (0,0), (2,0), (0,2) e (2,2) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado nesta figura:
Considere o ponto Q=(√a2+b2 , ab) . Então, é CORRETO afirmar que o ponto Q está na região
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
Gab: B
48 - (UEL PR/2007)
Os pontos A = (6, 2), B = (2,6) e C = (2, 6) são representados no plano cartesiano no qual O é a origem. Considere as afirmativas a seguir:
I. Os segmentos de reta OA e OB são perpendiculares.
II. O cosseno do ângulo entre os segmentos de reta OB e OC é 1/5.
III. O ponto médio do segmento de reta P=(3−√3 , 1 + 3√3 ) é eqüidistante dos pontos O e A.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II
b) II e III
c) I e IV
d) III e IV
e) II, III e IV
Gab: C
49 - (UFAM/2007)
Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = 3x + 5, que distam cinco unidades da origem. Então, a soma das ordenadas de A e B é:
a) 1
b) 5
c) 0
d) -3
e) -4
Gab: A
50 - (UNIOESTE PR/2007)
Um micróbio parte da origem de um sistema de coordenadas cartesianas percorrendo trajetórias retilíneas. Ele se desloca uma unidade sobre o eixo x e alcança o ponto (1, 0). Em seguida, gira 90° no sentido anti-horário e se desloca metade da medida do segmento imediatamente anterior percorrido, atingindo o ponto (1, 1/2). Continua descrevendo ângulos de 90° no sentido anti-horário e andando a metade da medida do segmento imediatamente anterior percorrido. Dessa maneira, ele vai se aproximar, cada vez mais, das coordenadas do ponto
a) (1/2, 1/4).
b) (4/5, 2/5).
c) (1/4, 4/5).
d) (1/2, 2/4).
e) (2/5, 1/2).
Gab: B
51 - (UNIOESTE PR/2007)
Uma praça possui dois calçadões, A e B, perpendiculares entre si. O engenheiro responsável pelas obras deve colocar dois bancos no calçadão A distantes 4 metros de um chafariz. Associando os calçadões aos eixos coordenados e considerando o calçadão A como eixo vertical, o chafariz encontra-se no primeiro quadrante e localiza-se a 2 metros do calçadão A, medidos perpendicularmente. A distância entre os bancos é
a) 12.
b) 4 √3 .
c) 2.
d) 8√3 .
e) 4 √2 .
Gab: B
52 - (PUC MG/2007)
Os catetos AC e AB de um triângulo retângulo estão sobre os eixos de um sistema
cartesiano. Se M=(−1 , 3) for o ponto médio da hipotenusa BC , é correto afirmar que a soma das coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a:
a) –4
b) –1
c) 1
d) 4
Gab: D
53 - (UFTM/2007)
O ponto P(b,b) é eqüidistante dos pontos A(1,2) e B(3,6), e é o centro da circunferência cujo raio é a distância dPA. Então, a área do círculo delimitado por essa circunferência é igual a
a)20 π
9
b)35 π
9
c)40 π
9
d)55 π
9
e)65 π
9
Gab: E
54 - (FUVEST SP/2006)
O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem t2−t−6=0 , onde t=|x− y|
, consiste de
a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.
Gab: B
55 - (UFSCar SP/2006)
A hipotenusa do triângulo retângulo ABC está localizada sobre a reta real, conforme indica a figura.
Se x>0 e a medida da altura BD relativa ao lado AC do triângulo ABC é 2√6 , então x é o número real
a) 2√3
b) 4
c) 3√2
d) 5
e) 3√3
Gab: B
56 - (UFSCar SP/2006)
Os pontos P e Q dividem o segmento de extremos (5, 8 ) e (1, 2) em três partes iguais. Se as retas perpendiculares a esse segmento pelos pontos P e Q interceptam o eixo y nos pontos (0, p ) e (0, q ), com p>q , então 6q−3p é igual a
a) 10.
b) 8.
c) 7.
d) 5.
e) 2.
Gab: B
57 - (ESPM SP/2006)
Dado no plano cartesiano o triângulo de vértices A (4, 0), B (0, 2) e C (8, 8), a medida da altura relativa ao vértice A é igual a:
a) 4
b) 5
c) 4 √2
d) 3√2
e) 2√3
Gab: A
58 - (UEG GO/2006)
Sabendo-se que os pontos A(1,1 ) e B(3,2) são vértices de um quadrado, determine outro ponto que pode ser um outro vértice desse quadrado.
Gab: Um vértice do quadrado pode ser o ponto C(2, 4)
59 - (UFC CE/2006)
ABC é o triângulo, no plano cartesiano, com vértices A(0, 0), B(2, 1) e C(1, 5). Determine as coordenadas do ponto P do plano, tal que a soma dos quadrados das distâncias de P aos vértices de ABC seja a menor possível, e calcule o valor mínimo correspondente da soma.
Gab:
– 3 – 12 + 31 = 16
60 - (UFMS/2006)
Um radar localiza objetos utilizando círculos concêntricos espaçados regularmente de R quilômetros, sendo R o raio do menor círculo. Os objetos A, B, C e D foram detectados nesse radar de tal forma que: a reta que contém o segmento AO forma um ângulo de 30° com o eixo Ox; a reta que contém os pontos B e O forma um ângulo agudo de 60° com o eixo Ox; C se encontra no eixo Oy e D se encontra no eixo Ox, como na figura a seguir.
Se d(A,B), d(A,C), d(A,D), d(B,C), d(B,D) e d(C,D) são as distâncias reais entre os objetos (A e B), (A e C), (A e D), (B e C), (B e D) e (C e D), respectivamente, então é INCORRETO afirmar que
(Se necessário use: √2=1,4 , √3=1,7 ).
a) d(A,B) < d(B,C).
b) d(C,D) > d(A,C).
c) d(A,B) < d(A,C).
d) d(A,D) > d(B,C).
e) d(B,D) < d(A,D).
Gab: C
61 - (UFBA/2006)
Considerando, no plano cartesiano, os pontos A( x, 0 ), B(1, 0) e C (4, 0 ), determine todos os valores de x para os quais a soma da distância de A a B e da distância de A a C seja menor ou igual a 7.
Gab: para a inequação |x−1|+|x−4|≤7 tem-se
I. x<1
−x+1−x+4≤7
−2 x≤2⇒ x≥−1
S1=[−1, 1[
II. 1≤x<4
x−1−x+4≤7
3≤7
S2=[1 , 4 [
III. x≥4
x−1+x−4≤7
2 x≤12⇒ x≤6
S3=[ 4 , 6 ]
Conseqüentemente,
S=S1∪S2∪S3=[−1 , 1[∪[1 , 4[∪[ 4 , 6 ]=[−1 , 6 ]
62 - (UESC BA/2006)
Na figura, o quadrilátero OABC é um trapézio, tal que A = (3, 4) e B = (1, 5).
Então, pode-se afirmar que o ponto C possui coordenadas:
01. (0, 3)
02. (0 ,113 )
03. (0,4)
04. (0 ,133 )
05. (0,5)
Gab: 02
63 - (MACK SP/2005)
Uma reta passa pelos pontos (,0) e (0,b), sendo que o seu coeficiente angular é a raiz de um polinômio de grau 1 com coeficientes inteiros e não nulos. Então, necessariamente, b é um número:
a) inteiro par.
b) inteiro ímpar.
c) racional positivo.
d) racional negativo.
e) irracional.
Gab: E
64 - (UECE/2005)
Na linha poligonal PQRSTU, plana e aberta como mostra a figura, dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares, a medida de PQ é 1m e, a partir de QR, inclusive, os demais comprimentos dos segmentos são obtidos, dobrando o valor do segmento anterior.
A distância do ponto P ao ponto U, em metros, é:
a) √205
b) √215
c) 15
d) √235
Gab: A
65 - (UECE/2005)
Os pontos X, Y, Z, W, distintos e colineares, são tais que Y é o ponto médio do segmento XW e Z é o ponto médio do segmento YW. A razão entre as medidas dos segmentos XY e XZ é:
a)13
b)23
c)34
d)12
Gab: B
66 - (UDESC SC/2005)
O perímetro de um terreno triangular cujas medidas dos lados representam a progressão
aritmética de termos x + 1 , 2x e x2−5 , nessa ordem, é:
a) 26
b) 25
c) 24
d) 28
e) 20
Gab: C
67 - (UFSCar SP/2004)
Um programa de rádio é gerado em uma cidade plana, a partir de uma central C localizada 40 km a leste e 20 km a norte da antena de transmissão T. C envia o sinal de rádio para T, que em seguida o transmite em todas as direções, a uma distância máxima de 60 km. O ponto mais a leste de C, que está 20 km a norte de T e poderá receber o sinal da rádio, está a uma distância de C, em km, igual a
a) 20(√2−1 ).
b) 30(√3−1).
c) 40 (√2−1) .
d) 40 (√3−1)
e) 50(2−√2 ).
Gab: C
68 - (FUVEST SP/2004)
Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B
e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.
Gab: 60km
69 - (UFSCar SP/2004)
Os pontos A (3, 6), B (1, 3) e C (xC, yC) são vértices do triângulo ABC, sendo M (xM, yM) e N (4, 5) pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.
a) Calcule a distância entre os pontos M e N.
b) Determine a equação geral da reta suporte do lado BC do triângulo ABC.
Gab:
a)√17
2
b) x – 4y + 11 = 0
70 - (UEPB/2003)
Na reta, se a é a coordenada do ponto A e b é a coordenada do ponto B, então a distância entre A e B é dada por:
a) |a – b|
b) (a – b)2
c) √a2−b2
d) |a + b|
e) √a2+b2
Gab: A
71 - (UNESP SP/2003)
O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0,0), Q = (6,0) e R = (3,5), é:
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
Gab: B
72 - (FUVEST SP/2002)
Na figura abaixo, as circunferências C1 e C2, de centros O1 e O2, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r é tangente a C1 e C2; a reta s passa por O1 e O2 e é
o ângulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C1 é 4, o de C2 é 3 e que sen β=1
5 , calcule:
a) a área do quadrilátero O1QO2P;
b) sen , onde α=Q O2 P
Gab:
a) 12
b)2425
73 - (UEL PR/2001)
Os pontos P(1, 3) e Q(6, 3) são vértices do triângulo PQR. Sabe-se que o lado PR mede 3 cm e o lado QR mede 4 cm.
As coordenadas do ponto R são:
a) (2,8 ; 5,4) ou (2,8 ; 0,6)
b) (2,0 ; 5,4) ou (2,0 ; 0,4)
c) (2,4 ; 5,8) ou (2,4 ; 0,8)
d) (2,8 ; 5,8) ou (2,8 ; 0,4)
e) (2,4 ; 5,0) ou (2,4 ; 0,6)
Gab: A
74 - (UFRRJ/2000)
Em um circo, no qual o picadeiro tem – no plano cartesiano – a forma de um círculo de equação igual a x² + y² – 12x – 16y – 300 0, o palhaço acidentou-se com o fogo do malabarista e saiu desesperadamente do centro do picadeiro, em linha reta, em direção a um poço com água localizado no ponto ( 24, 32 ).
Calcule a distância d percorrida pelo palhaço, a partir do momento em que sai do picadeiro até o momento em que chega ao poço.
Gab: 10 metros
75 - (UNESP SP/1999)
O comprimento da corda que a reta y = x determina na circunferência de equação (x + 2) ² + (y – 2)² = 16 é:
a) 4
b) 4 √2
c) 2
d) 2√2
e) √2
Gab: B
76 - (UFRJ/1999)
Sejam A(1,0) e B(5, 4 √3 ) dois vértices de um triângulo eqüilátero ABC. O vértice C está no 2o quadrante.
Determine suas coordenadas.
Gab: C = (-3, 4 √3 )
77 - (UNIFOR CE/1998)
Sejam os pontos A(3,2) e B(5,4). A medida do segmento de reta AB é
a) 2√10
b) 6
c) 4 √2
d) 2√7
e) 2√6
Gab: A
78 - (VUNESP SP/1998)
Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, –1) e (–3, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas?
Gab: 2310
79 - (UFG GO/1997)
Seja k > 0 tal que a equação (x2 – x) + k (y2 – y) = 0 define uma elipse com distância focal
igual a 2. Se (p, q) são as coordenadas de um ponto da elipse, com q² – q 0, então p−p ²q ²−q
é igual a
a) 2+√5
b) 2−√5 .
c) 2+√3
d) 2−√3
e) 2.
Gab:
b) como PA=PB , PAB é um triângulo isósceles.
c) x + y – 3 = 0
80 - (UFOP MG/1997)
Sabe-se que a reta 2x – y + 4 = 0 passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos A(2k, 1) e B(1, k). O valor de k é:
a) 3
b) –3
c) –2
d) 2
e) 0
Gab: B
81 - (UFF RJ/1997)
Considere os pontos A (3,2) e B (8,6). Determine as coordenadas do ponto P, pertencente
ao eixo x, de modo que os segmentos PA e PB tenham o mesmo comprimento.
Gab: P (87/10, 0)
82 - (UFC CE/1997)
A distância entre o ponto de encontro (interseção) das retas x + y - 2 = 0 e x - y - 4 = 0 e a origem do sistema de coordenadas, (0 , 0), é:
a) 3
b) √7
c) 4
d)
e)
Gab: E
83 - (UFRJ/1997)
Sejam M1 = (1,2), M2 = (3,4) e M3 = (1,-1) os pontos médios dos lados de um triângulo. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.
Gab: (-1,-3); (3,7) e (3,1)
84 - (UNIFICADO RJ/1994)
O ponto Q é o simétrico do ponto P (x,y) em relação ao eixo dos y. O ponto R é o simétrico do ponto Q em relação à reta y = 1. As coordenadas de R são:
a) (x, 1-y)
b) (0,1)
c) (-x, 1-y)
d) (-x, 2-y)
e) (y, -x)
Gab: D
85 - (UFU MG/1993)
Seja r a reta determinada pelos pontos (5,4) e (3,2). Os pontos de r que são eqüidistantes do ponto (3,1) e do eixo das abscissas são:
a) (6,4) e (2,5)
b) (6,5) e (2,1)
c) (4,3) e (5,4)
d) (6,5) e (2,3)
e) (4,3) e (2,1)
Gab: B
86 - (UFG GO)
O segmento que une A(–2; –1) e B(3; 3) é prolongado até C, sendo BC = 3 . AB. Determinar C.
Gab: C(18; 15)
87 - (MACK SP)
Até que ponto o segmento de extremos A(1; –1) e B(4 ; 5) deve ser prolongado, no sentido AB, para que seu comprimento seja triplicado?
Gab: (10; 17)
88 - (MACK SP)
Considere a figura abaixo:
O comprimento do segmento MN é:
a) √2−1/2
b)√2+ 1
√2
c) √2+1
d)1− √2
2
e) √2−1
Gab: E
89 - (MACK SP)
Os pontos A(0, 0) e B(1, 0) são vértices de um triângulo eqüilátero ABC, situado no 1 o
quadrante. O vértice C é dado por:
a) ( √32
; 12 )
b) ( 12
; √32 )
c) ( 12
; 12 )
d) ( √32
; √32 )
e) n.d.a
Gab: B
90 - (Cescem)
Sabe-se que A(1, 2) e B(2, 1). A distância do centro do quadrado ABCD à origem é:
a) 0 ou 1
b) 1 ou 2
c)√2
2 ou 2
d) √2 ou 2
e) √2 ou 2 .√2
Gab: E
91 - (PUCCampinas SP)
Os pontos (0; 0), (1; 3) e (10; 0) são vértices de um retângulo. O quarto vértice do retângulo é o ponto:
a) (9; –3)
b) (9; –2)
c) (9; –1)
d) (8; –2)
e) (8; –1)
Gab: A
92 - (SANTA CASA SP)
O triângulo ABC é tal que A é a origem do sistema de coordenadas, B e C estão no 1o
quadrante e AB = BC. A reta s, que contém a altura do triângulo traçada por B, intercepta AC no ponto M. Sendo M(2; 1) e C(x; y), então x + y é igual a:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 9
Gab: C
93 - (USP SP)
Dados os pontos A(1; –4). B(1; 6) e C(5; 4) e sabendo-se que AB2 = BC2 + AC2; então, a soma das coordenadas do centro da circunferência que passa pelos pontos A, B e C é:
a) 2
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5
Gab: A
94 - (PUCCampinas SP)
Dados num eixo os pontos A e B (A ¿ B) de abscissas a e b, respectivamente, então a abscissa de um ponto X do mesmo eixo, tal que: b.AX – a.BX = b – a é:
a) x = –1
b) x = 0
c) x = 1
d) x = 2
e) x = –2
Gab: C
95 - (Cescem)
Determinar o ponto D, no paralelogramo abaixo:
a) (1; –1)
b) (2; –2)
c) (2; –4)
d) (3; –2)
e) (3; –4)
Gab: E
96 - (OSEC SP)
Se A representa o conjunto dos pontos eqüidistantes de P(–5; 0), Q(2; 0) e R(–1; 0) e B representa o conjunto dos pontos de ordenadas igual a 2, então, pode–se afirmar que:
a) A B = B
b) A B = A
c) A B =
d) A B = B
e) B A
Gab: D
97 - (Cescem)
Se a < 0 e b > 0, os pontos P(a;–b) e Q(b;–a) pertencem respectivamente aos quadrantes:
a) 4o. e 2o.
b) 1o. e 3o.
c) 3o. e 4o.
d) 3o. e 1o.
e) 2o. e 3o.
Gab: D
98 - (SANTA CASA SP)
Um segmento de extremos A(3; 1) e B(1; 2) é prolongado, no sentido de A para B, até um ponto M e de modo que seu comprimento triplique. O ponto M é:
a) (3; 4)
b) (–2; −72 )
c) (–5; –5)
d) (–3; 0)
e) (–3; –4)
Gab: E
99 - (OSEC SP)
Num sistema cartesiano ortogonal no plano, as coordenadas de um triângulo isósceles ABC são A(0; 8), B(0; 18) e C(x; 0), sendo x 0. Então, a área do triângulo ABC é igual a:
a) 54
b) 50
c) 30
d) 72
e) desconhecida, por insuficiência de dados
Gab: C
100 - (USP SP)
Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades A(1; 1) e C(3; 3). As coordenadas dos outros dois vértices são:
a) (2; 3) e (3; 2)
b) (3; 1) e (1; 3)
c) (3; 0) e (1; 4)
d) (5; 2) e (4; 1)
e) n.d.a
Gab: B
101 - (FEI SP)
Calcular a distância da origem ao vértice da parábola: y = x2 – 6x + 10.
Gab: d=√10
102 - (POLI SP)
Dado o triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC; yC) determinar o centro de gravidade.
Gab: G( x A+ xB+ xC
3;
yA+ yB+ yC
3 )
103 - (PUCCampinas SP)
O ponto B(–4 ; 1) está situado a 35 da distância que vai de A(2; –2) a C(x; y). Determinar o
ponto C.
Gab: C(–8; 3)
104 - (USP SP)
Determinar o ponto P eqüidistante da origem e dos pontos A(1, 0) e B(0, 3).
Gab: P ( 1
2; 3
2 )
105)
Determinar o circuncentro do triângulo: A(2, 0), B(–3, 3) e C(5, 3)
a) (2, 3)
b) (1, 4)
c) (–1, –4)
d) (0, 0)
e) n.d.a
Gab: B
106)
Seja P(x; y) o ponto simétrico do ponto A(1; 1) em relação à reta que passa pelos pontos B(4; 1) e C(1; 4). Então x + y é igual a:
a) 4
b) 8
c) 6
d) 10
e) 12
Gab: B
107)
Os pontos A(3; 8), B(–11; 3) e C(–8; –2) são:
a) alinhados
b) vértices de um triângulo isósceles
c) vértices de um triângulo escaleno
d) vértices de um triângulo eqüilátero
e) vértices de um triângulo retângulo
Gab: B
108)
Demonstrar que a soma dos quadrados das distâncias de um ponto qualquer P(x; y) a dois vértices opostos de um retângulo é igual à soma dos quadrados de suas distâncias aos outros dois vértices. Tomar para vértices os pontos (0; 0), (0; b), (a; b) e (a; 0).
Gab: demonstração
109 - (UFAL/2006)
Se OA=40√2km e OB=100 km , então a distância entre A e B, em quilômetros, é
a) 40 √5
b) 50√3
c) 30√5
d) 40 √3
e) 20√5
Gab: E
