Capítulo 1

Gabaritos de Exercícios: esforcos,

tensões

Prof. Paulo de Tarso R Mendonça,

UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina,

Departamento de Engenharia Mecânica,

Grante - Grupo de Análise e Projeto Mecânico, 01/04/2014.

1.1 Mecânica dos sólidos B, parte I

Questão B2P-2001-2-Q1a

Determine as equações dos esforços e esboçe os diagramas. Dados: = 1000 mm, = 5 kN/m.

L/2 L/2L/2 L/2A AB BC C

q q

Solução:

L/2A B C

q

VCVA

Reações →

⎧⎪⎨⎪⎩ + =

2

=

2· 4

⇒ =

8, =

3

8

Esforços:

i

ii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

Trecho AB −→

Trecho BC −→

A S

M

x

3qL8

MS C

( - )L xqL8

+3

8−

22 = 0

=⇒ () =

22 − 3

8

() = (− )

8

Questão B2P-2001-2-Q3

Determine o deslocamento axial da seção C da barra. Dados: = 1000 mm, = 5 kN, = 200000

MPa, seção transversal × = 50× 75 mm.

A2A 2A

L/3 L/3 L/3

F

A B C D

Solução:

O problema é hiperestático.

A2A

L/3

F

A B C D

RDRA

N F - RD

- RD

x

Reações:

= −

Deslocamento na seção D:

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões iii

=

2+

32+

32= 0

2( −)

2 · 3 +( −)

6−

6= 0

2− 2+ −− = 0

3 = 4 =⇒ =3

4=

3 · 5 · 1034

= 3750 N

Reação em A: = −

= − 34=

4= 1250 N =

Deslocamento em C:

=

32=

3

4 · 6 =5 · 103 · 103

8 · 200 · 103 · 50× 75 = 83310−4 mm =

Questão B1P-1998-2-Q2

Um vaso de pressão em aço tem diâmetro de 500 mm médio e espessura de parede = 6 mm. Suporta

uma pressão interna = 2 MPa e uma carga = 140 kN como mostra a figura. Considerar que o

vaso funciona globalmente como uma viga engastada, de seção tubular circular, sob flexão e torção,

além de suportar a pressão interna. a) Determine as tensões nos pontos A e B; b) Mostre as tensões

num elemento diferencial para A e B; c) Esboçe os círculos de Mohr para A e B; d) Calcule a tensão

cisalhante máxima em ambos os pontos; e) Calcule o coeficiente de segurança no ponto para o critério

de Tresca. = 250 MPa.

L = 1000 mm

F F

B

AA

B

Espessura da parede 6 mm.

a) Determine as tensões nos pontos A e B;

Solução:

Tensões de Torção

=R2 = 32 = 5 89 · 108 mm4. Torque: = = 35000 Nm

Em A e B as tensões de torção são as mesmas:

=

=

2

=140000× 25025 89 · 108 = 14 9 MPa =

Tensões devido à Pressão em A e B

2

=2× 2502× 6 = 41 7 MPa (axial)

= 83 3 MPa (tangencial)Tensões devido à flexão: diâmetros externo e interno: = 250 mm e = 494 mm.

Flexão em A −→ = 0

Flexão em B =

64(4 − 4)

64(5064 − 4944) = 2 95× 108 mm4

=

=140 · 103 × 103 × 250

2 95 · 108 = 118 8 MPa

b) Mostre as tensões num elemento diferencial para A e B;

iv Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

Solução:

t

xA

= = 41 7 MPa,

= = 14 9 MPa,

= = 83 3 MPa,

t

xB

= = 83 3 MPa,

= 14 9 MPa,

= − = 41 7− 118 8 = −77 1 MPa,

c) Esboçe os círculos de Mohr para A e B;

Solução:

A:

X

MÁX

T

B2 T

1X

max =

sµ−77 1− 83 32

¶2+ 14 92

max = 81 6 MPa

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões v

d) Calcule a tensão cisalhante máxima em ambos os pontos.

Solução no Ponto A:

12 =

µ +

2

¶±sµ

+

2

¶2+ 2

=41 7 + 83 3

2±sµ

41 7− 83 32

¶2+ 14 92

= 62 5± 25 59=

½88,1 MPa

36,9

¾max =

1

2= 44 0 MPa

Coeficiente de seguraça pelo Critério de Tresca: max =

2−→ 44 0 =

250

2⇒ = 2 8

Questão B3P-2002—1-Q1

Determine os esforços na treliça.A

C

B

F

F

Solução:

(a) Reações

Σ −→ + =

Σ −→ =

Σ −→ + =

2

=⇒ = 0 5 − 0 866 = 0 5 + 0 866

(b) Esforços

RC C

60o

NBC

NAC

Σ −→ sen60 = 0 5 − 0 866Σ −→ + cos 60 = 0

=⇒ = 0 577 − = −0 289 + 0 5

vi Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

RA

F

A

60o

NAC

NAB

Σ −→ sen60 = 0 5 + 0 866

⇒ = 0 577 +

( = 1 577 F)

Questão B3P-2002—1-Q2

A viga ABC tem seção uniforme com = , determine os esforços.

A

y

z

a

F

B

b

x

C

Solução:

z V , Mz z

Fb

V , Mx x

V , My y

y

x

(a) Reações

Σ −→ = 0

Σ −→ =

Σ −→ = 0

Σ −→ + = 0

Σ −→ = 0

Σ −→ =

=⇒F

b

Fb

Fa

F

a

(b) Esforços

AB

x

F Mz

MtFb

= =

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões vii

BC F

C

b - z = (− )

Questão B3P-2002—1-Q3

Determine os esforços.

L

q

Solução:

A C B

f

x

2

R B = qL f+ 2

RA = qL f +

Esforços:

M

A

x

qL f + 2

+2

2=

µ+

2

¶

=⇒ (+ )

2− 2

2

Questão B2P-2001-2-Q1

Determine os esforços. Dados: = 1000 mm, = 5 kN/m, = 200000 MPa, × = 50× 75.

a)L/2 L/2

A B C

q

Solução:

Reações:

viii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

L/2 L/2

A B C

q

RA = qL4

RB = 3qL4

+

2=

2=

2· 4

=⇒ =

4= 1 25× 105 N

=3

4= 3 75× 105 N

Esforços

AB −→qL4

xA S

M

() =

4= 1 25 · 105

BC −→

M

( - )L xS C

= +

2(− )2 = +

2(22+ 2)

= 2 5 · 109 − 5 · 106+ 2 5 · 1032

Questão B2P-2001-2-Q3

Determine a rotação torcional da seção C. Dados: = 1000 mm, o módulo elástico é = 209000

MPa, o coeficiente de Poisson é 0,229. A seção trasversal tem momento polar = 40000 mm4. O

torque aplicado em C é = 106 Nmm

J2 J

L/3 L/3 L/3

T

A B C D

Solução:

O problema é hiperestático. As reações em A e D são definidas por S e R, respectivamente. Por

equilibrio, tem-se que = + .

Os esforços são obtidos pelo métido das seções, considerando R como conhecido:

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões ix

J2 J

L/3 L/3 L/3

T

A B C D

S R T = + T

R

Mt

++ x

R = MCD

M R T MAB BC= ( + ) =

A rotação em D é sabidamente nula. Logo, a rotação de D em relação a A (que é zero) é:

− =

3+

32+

32= 0

+2(+ )

2 · 3 +(+ )

6+

6= 0

−→ 2+ 2++ + = 0

4+ 3 = 0 =⇒ = −34= −7 5× 105 Nmm

Conhecido , usamos a equação de equilibrio para obter a reação :

= +

= −34+ =⇒ =

4= 2 5× 105 Nmm

Ângulo de Rotação na seção C é calculado em relação à seção D, que esta engastada:

− =

6=− 324

= − = −3 · 106 · 10324× 85 · 103 × 40× 103 = −0 03676 rad

= 2 1060

Questão B-prova substituta-Q1

Determine os esforços. = 10 kN, = 1 em todas as barras.

x Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

1

2

3

4

5

F

3 m

3 m

3 m

Solução:

1

2

3

4

5

F

3 m

3 m

3 m

R F= 2

F

R F = 2

4o

1o1o

3o

Reações

3 = 6 −→ = 2

15 = = 3 m

14 =

cos= 1 414 = 4 24 m

Esforços

- 20corte

12 = −

N12

N14

N15

2 F

12 +14 sen + 2 = 0

14 cos+15 = 014 = −1 414 F

- 10corte - 30corte

N45

N15

2 F

F15 =

45 = 2

F

N23 N34

+23 cos = 0

34 +23 sen = 0

23 = −1 414 F34 =

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xi

N23 = -1,414 F

N24

N - F12 =

23 cos+24 = 024 =

1

- F

2

- 1,41

4 F

F 3

4

5

+ F

+ 2 F

F

2 F2 F

+ F

+ F

- 1,41

4 F

Questão B-prova substituta-Q2

Determine a equação de esforços de momento fletor (), para a carga distribuida senoidalmente,

na direção . Dados: .

A B

L

p(x) = p sen 0 xL

Solução:

Reações:

R R

2 =

Z

0

sen

= −

cos

¯̄̄̄0

=

Esforços: corte numa coordenada , medida a partir da seção A em direção a B. Define-se uma

coordenada auxilar , com origem em A, dirigido a B, que posiciona um elemento diferencial de

comprimento (erro na figura). Na posição atua um elemento diferecial de força = (), cujo

momento em relação à seção do corte é = .

P L

M

Sds

() +

−Z

=0

()(− ) | {z }

= 0

xii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

O valor da integral é: =

−

µ

¶2 sen

. Assim, a equação do esforço de momento

fletor é

() = −µ

¶2sen

Questão B3P-2000-2-Q1

Determine os esforços na treliça.

B

A C

D

F

2 L

L

= 1 m,

= 15 kN,

= 10× 10 mm2 = 210 GPa.

Solução:

a) Reações

=

· 1 = · 2⇒ = 2

b) Esforços

- 10corte - 20corte

N AC = 0

N CD = 0

C

2 F

F

NAB

NBD

B = 2

=

- 30corte

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xiii

F/2

F

NAD

0

Σ → cos + 2 = 0

tg =1

2→ = 26560

cos = 0 894 = −2 237 F

Resultados:

A

B

C

D

0

0F

2 F

- 2,237 F

cos = 2 = 2 237 m

Questão B3P-2000-2-Q2

Considere o eixo de seção tubular tronco-cônica, de espessura , sob torque aplicado na extremidade

livre B. Determine a expressão para o ângulo de torção na extremidade B, em termos de 1, 2,

, , e Não é necessário realizar integrações.y

x

R1

L

R2T

Solução:

R1 = 50

x

L = 1 mA

B

R 2 = 25

T

a) Achar momento polar de inércia (). Numa dada seção de coordenada o momento polar

é = (4 − 4 )4, onde − são o raio externo e interno da seção. Como a seção varia, esses

raios são função de , da mesma forma que . A equação do raio médio () em é obtida por:

R1

0

r

x L

R21 −

=

1 −2

Logo,

= 1 − 1 −2

O momento de inércia para uma seção anular fina pode ser obtido diretamente em termos do raio

médio da seção e de sua espessura, sendo dado por: = 23. Usando a relação () tem-se

xiv Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

() = 2

∙1 − 1 −2

¸3b) Ângulo de torçao em B em relação à seção A, sabendo que = 0:

− =

Z

0

() =

2

Z

0

∙1 − 1 −2

¸3 Para o caso em que 1 ≥ 1 −2, o resultado fica:

=4

2

(1 −2)

232122

.

Questão B3P-2000-2-Q1.1

Determine os esforços. = 10 kN, seção transversal das barras com área = 10× 10 mm2, = 210GPa.

F

32

1 5

4

2 L

L

Solução:

F = 10 kN

32

1 5

4

2 = 2 mL

L = 1 m

F/2 F/2a) Esforços

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xv

0

0 0

0

0,5 F

- 0,70

7 F

- 0,707 F13 = 1 414 m

Questão B3P-2000-2-Q1.Q2

Considere a barra de seção circular submetida a um torque distribuido (Nm/m). Determine uma ex-

pressão analítica para o ângulo de torção na extremidade livre, em termos de , , e . Particularize

para diâmetro = 10 mm, = 2 m, = 100 Nm/m.

t (Nm/m)

BL

A

Solução:

t =100 Nm/m

L = 2 m

L - x

To

x

a) Esforçost =

To

L x - Mt

=⇒ = (− ) + 0

b) Ângulo de torção

=

Z

0

=

Z

0

2[(− )+ 0]

2 =

2

2=

Questão BRec-2001-2-Q1

Determine o esforço de momento fletor em termos de , , e do momento concentrado0, na direção

aplicado na seção C.

xvi Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

L/2 L/2

A B C

y

x

M0

Solução:

Reações:

A M0

RA RB

L/2

Σ −→ =

Σ −→

2=0

⇒ =20

=

Esforços

−→

RA

x

A MAB

=20

−→MBC M0

=0

Questão BRec-2001-2-Q2

Determine os esforços na treliça. As barras têm seção com = . = 40 kN, = 200 GPa e

área da seção transversal das barras = 100 mm2.

Solução:

Reações:

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xvii

R

0,5

F

B 1 m

F

C

AR F = 2

· 0 5 = · 1⇒ = 2

Esforços

Corte em torno de B:P −→ = = 2P −→ =

2 F B

NAC

N FAB =

(Trocar B por A no nó.)

Corte em torno de A:P −→ 2 + sen = 0

=⇒ = − 2

sen =−2 24 =

tg = 105

= 63 40

sen = 0 894

Os esforços nas barras AD e Cd são nulos.

Questão B3P-2002-2-Q1

Determine os esforços no pórtico aberto. Dados: seção tranversal 20×20 mm2, = 1000 N, = 210GPa.

a = 2 m

y

x

c = 1 m

b = 1 m

A

B C

D

F

Solução:

(a) Esforços - Momento fletor

xviii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

y

xA

B C

D

F

r

Corte no trecho AB:

M AB

B C

DF

a - y

c - y + (− ) = 0

Corte no trecho BC:

C

D

F

M BC

= =

= 1 m

Corte no trecho CD:M CD

r

F

=

Questão B3P-2002-2-Q2

Considere a teliça com barras de comprimento = 1m, seção tranversal de área 10×10 mm2, material = 210 GPa, força = 1000 N. Determine os esforços.

1

2 4

35

F

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xix

Solução:

Definr eixos com origem no nó 1, orientado para o nó 5. Reações:

1

2 4

3 5

1o

2o

V F1 = /2 V F5 = /2

= 600

sen = 0 866

cos = 0 5

(a) Esforços normais

- 10corte:

N12

N13

F/2

Σ → 12 cos +13 = 0

Σ → 12 sen +

2= 0

⇒ 12 = −0 577 F13 = 0 289 F

- 20corte:

N12 N23

N24 Σ → 12 cos −23 cos −24 = 0

Σ → 12sen +23sen = 0

⇒23 = 0 577 F

24 = −0 577 F

Resumo:

1

2 4

3 5

- 0,577 F

- 0,5

77 F

0,577 F

+ 0,289 F

Questão B3P-2002-1-Q1

A treliça ABC tem barras com EA uniforme, sob cargas 1 = 2 = 40 kN, 3 = 50 kN. Determine os

esforços. Dados: = 200 GPa, = 100 mm2.

xx Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

F1A 30o

1,5 m

B

60o

0,75 m

F2

F3

C

Solução:

A

30o B60o

F2

C

50

40

RA RB

b = 0,375

0,75 m h = 0,65

HB1,5 m

(a) Reações

Σ → = 2 + 40

Σ → + = 50

Σ → 2 0 65 + · 1 5− 50× 0 375 = 0

=⇒ = 12 5− 0 433 2 = −4 82 kN = 37 5 + 0 433 2 = 54 82 kN

= 40 + 2 = 80 kN

(b) Esforços

NAC

30o

NAB

RA

A40Σ → + cos 30

0 = 40

Σ → sen 300 =

⇒ = 2 = 25000− 0 866 2 = 40− 1 73 = 18 375 + 0 75 2

NBC

NAB 60o B

HB

RB

Σ → sen600 =

= 1 155 = 43 3 + 0 5 243 25 + 0 52 =

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxi

Questão B3P-2002-1-Q2

A viga ABC tem seção uniforme com uniforme, de seção circular. Determine o ângulo de rotação

da seção C na direção .

A

y

z

aB

b

C

x

T

Solução:

Reações: a única reação é o momento na seção A, dado por = − .y

z

xa

b

A B

C

T

R = T

Esforços

Trecho AB −→Flexão, dado por = .

Trecho BC −→

Mt

T

Torção

=

Rotação em C. O ângulo de rotação em C, relativo a A é o ângulo de rotação de C relativo a B,

, que é devido à torção, mais o ângulo de B em relação a A, , que é devido à flexão:

= + =

+

=

µ

+

¶=

Questão B3P-2002-1-Q4

Os três segmentos de vigas têm mesmos valores de e comprimento . Determine os esforços.

xxii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

F

B

A

C

D

Solução:

Reações:

F

B

A

C

Dx

R = FA

R = FLMA y

Esforços

Trecho AB −→

FFL

x

M

=

Trecho BC −→

y

M C

D

F

=

Trecho CD −→ = 0

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxiii

Questão B2P-2002—2-Q3

Determine os esforços. Dados: , , , , .q

Bx

y

A a b C

Solução:

q

B

x

y

A a b C

S

RA RB

Reações

Σ−→ + − = 0

Σ −→ − 2

2= 0

=⇒ =

2

2

=

2(+ 2)

Esforços AB −→

A MAB

x

RA

() = −

Esforços BC - usando coordenada com origem em B:q

C

b - S

MBC () = −2(− )2

Outra forma, usando coordenada :x

A B

a

RA RB

MBC() = −

2(− )2 + −

Questão B1P-2002—2-Q1

Determine os esforços na seção aa.

xxiv Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

3 m

F = 125 kN

2 m

a

aB 1,5 m

G = 50 kN

2,5 m

C

DA

1 m

Solução:

a) Reações

y

x

F

G

D

RDRA

HA

A

Σ ⇒ = = 50 kN

Σ ⇒ + =

Σ ⇒ (3)−(2 5)−(5) = 0

= 50 kN

= 75 kN

b) Método das Seções. Corte em :

N

MS

V

C

G = 50

2,5 m

1 m

RD = 50

Σ −→ = sen + cos = 0

Σ −→ = sen − cos = 0

Σ −→ +(0 75)−(1) = 0

tg =1 5

2⇒ = 36 870 −→ sen = 0 6

cos = 0 8

=⇒ = 12500 Nm = −70 kN = 10 kN

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxv

Questão B1P-2002—2-Q2

A seção é circular maciça. Dados: = 250 MPa.

A

B

Fz= 4 kNFy = 2,5 kN

y

z

x

450 mm

350 m

m

PD

a) Determine os esforços na seção D (engaste).

b) Determine o diâmetro necessário . Use o critério de Tresca para inicio de escoamento. Analise

apenas o ponto P de coordenadas (; ; ) = (0; 0; /2). Ignore o efeito do esforço normal . (Esboçe

o círculo de Mohr).

Solução:

Esforços na seção do engaste.

N; My

z

V , MZ Z

x V , MX X

B

y

Fy

Fz

A

Cortante Σ −→ = 0

Axial Σ −→ = = 2 5 kN

Cortante Σ −→ = = 4 kN

Flexão Σ −→ = (450) = 1 8 kNm

Torção Σ −→ = (350) = 1 4 kNm

Flexão Σ −→ = −(350) = −0 875 kNm

No ponto P os esforços importantes são: (uma vez que o momento fletor não provoca tensão

normal em P)

Torção = 1 4 kNm

Flexão = 1 8 kNm

xxvi Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

=2

=16

3

=2

=32

3

Plotar pontosX (; )

Y (0; −) Y

X

1 2 3 4 (16/ d )3

MÁX

max =

sµ −

2

¶2+ 2 =

sµ32

23

¶2+

µ16

3

¶2max =

16

3

q2

+2 =

16

3

√18002 + 14002 =

11613 7

3

µ

2

¶Critério −→ max =

2−→ 11613 7

3=250 · 106

2⇒ = 45 3 mm

Questão B1P-2002—2-Q3

O vaso de pressão é montado horizontalmente como indicado. O diâmetro médio é = 300 mm,

a espessura da parede é = 9 mm e a pressão interna = 2 MPa. Existe aplicada uma carga

distribuída uniforme para baixo, de = 300 N/m.

L = 9 m

l/2

A

y

x

a) Determine o estado de tensões no ponto A, localizado em ( ) = (0;−2;0).

b) Determine o coeficiente de segurança quanto ao início de plastificação em A, pelo critério da

tensão cisalhante máxima. Esboçe o círculo de Mohr. Dados: = 250 MPa.

Solução a):

A

t

pressão

a

pressão + x x

flexão =

Pressão

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxvii

=

=2× 1509

= 33 3 MPa

=

2= = 16 7 MPa

Flexão

q

L/2

qL/2 qL/2

M

L/2

qL/2

q

+2

8− 2

4= 0

=⇒ =2

8= 3 038 · 106 Nmm

= 2

= 4 77 MPa, =

64(4

−4 ) = 95 5 · 106 mm4

A

y = 33,3 MPa

x = 16,7 + 4,77 = 21,44 MPa

Solução b):

X (; 0)

Y (; 0)

YX

MÁX

3 = 0

1x

max =1

2=33 3

2= 16 7 MPa.

Critério de Tresca: max =

2−→ 16 7 =

250

2=⇒ = 7 49

Questão B?P-2002-2-Q1

Determinar os esforços na seção .

xxviii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

1 m

1 m

1 m

1 m1 m

a a0,5 m 20 kN/m

Articulação

Solução:

a) Reações. O problema é Hiperestático.

A

B C

D E F

HF

VF

20 kN/m

VA

HA

Σ → =

Σ → + = 20

Σ → 20(2)− (3)− (1) = 0

Corte em C:

A

C

VA

HA

MC

Σ → +(2)− (1) = 0

=⇒ = 2

Logo, = 8 kN = 4 kN = = +12 kN

Questão B?P-2002—2-Q2

Seção no trecho AB é circular maciça com diâmetro . Dados: = 150 MPa.

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxix

z

y

x

a = 0,6 m

b = 0,5 m

d

A

L = 2 m

B

C

D

P = 1 kNF = 20 kN

a) Determine os esforços em A.

b) Determine o diâmetro d. Use o critério de Tresca para inicio do escoameto. Esboçe o círculo

de Mohr. Analise apenas o ponto A de coordenadas (0; -/2; 0). Ignore o efeito do esforço normal

na seção.

Solução a):

Corte AA

xxx Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

x

y

z

V , Mz z

N, Mx

M , Vy y

A

FP

Axial Σ −→ = = 20 kN,

Cortante Σ −→ = = 1 kN,

Cortante Σ −→ = 0

Torção Σ −→ = − = −600 Nm,Flexão Σ −→ = = 12000 Nm,

Flexão Σ −→ = −+ = 8000 Nm.

Solução b):

Esforços:

Torção = −600 Nm,Flexão = −2000 Nm.Tensão máxima:

max =16

3

q2

+2 =

16

3

√6002 + 20002 =

10634

3

µN

m2

¶Critério de Tresca −→ max =

2−→ 10634

3=250 · 106

2⇒ = 44 0 mm

Questão B3P-2004—1-Q1

Determine os esforços na treliça. Faça a análise de falha por por início de escoamento.

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxxi

F

F = 10 kN

2 m

1 m 1 m 1 m 1 m

= 210000 MPa,

= 580 mm2

= 9 · 104 mm4 = 200 MPa.

Solução:

F

F

RIX = 101

1

3

3

7

44

5

5

6S1

R3

2 m2 mR1

1 22

116,6o1

a) Reações

Σ −→ 1 = = 10 kN

Σ −→ 1 −3 − 10 = 0Σ1

−→ − (1) + (2)−3(4) = 0

=⇒ 3 = 2 5 kN

1 = 12 5 kN

b) Esforços

N35

1

R 3 = 2,5

N23

tg 1 =2

1→1 = 63 43

0

Σ ⇒ 23 +35 cos 1 = 0

Σ ⇒ 35 sen1 = 2 5 −→ 35 = 2 795 kN = 6−→ 23 = −1 25 kN = 6

N1

1

12,5

10

N3

Σ → 1 +3 cos 1 + 10 = 0

Σ → 3 sen1 + 12 5 = 0

−→ 3 = −13 9751 = −3 75

xxxii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural

N7 F

N 6 = + 2,795N5

c) Tensões

1 2 3

4 5

N = - 13,98

= - 24,1

N = - 7,50

= - 12,9

N = - 3,75 kN

= - 6,47 MPa

N = - 1,25

= - 2,16

N = + 2,795

= 4,82

N = - 2,795

= - 4,82

N = + 2,795

= + 4,82

d) Escoamento - Apenas as barras tracionadas, uma vez que as comprimidas deverão ser anal-

isadas quanto a flambagem. As barras tracionadas são 4 e 6, com = 4 82 MPa. Pelo critério de

Tresca −→ =

=200

4 82= 41 5

Questão B8P-1995—2-Q1

Para a viga mostrada abaixo, sob torques concentrados, = 1 kNm, e forças transversais 1 = 0 8 kN

e 2 = 1 2 kN, determine o coeficiente de segurança , usando a teoria da máxima tensão cisalhante.

Os apoios A e D são de rolamentos. = 250 MPa, seção circular com diâmetro = 40 mm. Mostre

as seguintes etapas de cálculo:

a) Diagramas de esforços; quais os esforços na seção a direita de B e a esquerda de C?

b) Tensão cisalhante máxima;

c) Cálculo do coeficiente de segurança quanto ao inicio do escoamento.y

xd

P1

P2

TC TC

0,5 m1,0 m0,5 mzSolução:

Considerar sistema de eixos com origem na seção A (apoio esquerdo), com orientado para o apoio

direito (seção D).

Forças no plano . As reações em A e D são: = 0 751 = 0 6 kNm, e = 0 251 = 0 2

kNm. Os esforços são:

Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxxiii

Trecho AB: () = −, para ∈ (0; 0 5)m.Trecho BC: () = −(2− ), para ∈ (0 5; 2) m. Momento máximo em B: = −0 3

kNm, e em C, = −0 1 kNm

Forças no plano . As reações em A e D são: = 0 252 = 3 kNm, e = 0 752 = 9

kNm. Os esforços são:

Trecho AB: () = −, para ∈ (0; 0 1 5)m.Trecho BC: () = −(2−), para ∈ (1 5; 2)m. Momento máximo em C: = −0 45

kNm, e em B, = −0 15 kNm

Esforços de torção no trecho BC: = − = −1 kNm.

Uma vez que a seção é uniforme, a seção crítica é a C. O momento de inércia da seção é = 4

64=

125 7 · 103mm4. A tensão normal máxima na seção C é = 73 2 MPa, e a tensão cisalhante devidoao esforço de torção é = 79 6 MPa. A tensão cisalhante máxima absoluta no círculo de Mohr é

max =

r24+ 2 =

r73 22

4+ 79 62 = 87 6 MPa.

O coeficiente de segurança quanto ao início do escoamento é: =2max

= 2 85