SOLUO IDEAL - ITA 2014/2015 Matemtica

6

Questo 21. Considere as funes f1, f2, f : IR IR, sendo

f1(x) =2

1|x| +3, f2(x) =

2

3|x+1| e f(x) igual ao maior valor entre

f1(x) e f2(x), para cada x IR. Determine: a) Todos os x IR tais que f1(x) = f2(x). b) O menor valor assumido pela funo f. c) Todas as solues da equao f(x) = 5. SOLUO IDEAL:

a) f1(x) = f2(x) 2

1.|x| +3 =

2

3|x+1| |x| +6 = 3|x+1|

Sendo x 0, a equao equivale a x+6 = 3(x+1), do que decorre x = 3/2. Para -1x

SOLUO IDEAL - ITA 2014/2015 Matemtica

7

cos [72cos2 + 2cos 61] = 2 2

2 2 72sen 47cos 72cos 72sen 47 61cos

+ =

36cos2 = 72(1 cos2 ) 47

36cos2 = 72 72cos2 47 36cos2 = 25

2 25cos36

= 211

sen36

=

211

72 4772sen 47 2536

2cos 2cos 2cos

= = =

= 15

i) = 15 5

cos6

= 11

sen6

=

5 11 5 11i e i

6 6 6 6 + so razes da equao

Pelo produto das razes segue que a outra raiz 5/6

ii) = 15 5

cos6

= 11

sen6

=

5 11 5 11i e i

6 6 6 6+ so razes da equao

Pelo produto das razes segue que a outra raiz 5/6 Questo 23. Sabe-se que 1, B, C, D e E so cinco nmeros reais que satisfazem s propriedades: (i) B, C, D, E so dois a dois distintos; (ii) os nmeros 1, B, C, e os nmeros 1, C, E, esto, nesta ordem, em progresso aritmtica; (iii) os nmeros B, C, D, E, esto, nesta ordem, em

progresso geomtrica. Determine B, C, D, E. SOLUO IDEAL: (1, B, C) formam PA B = 1 + r e C = 1 + 2r (1, C, E) formam PA E = C + (C 1) = 2C 1 = 4r + 1. B, C, D, E formam PG de razo C/B. Logo:

E = B.

3

B

C

=

2

3

B

C.

Assim: 4r + 1 = ( )( )2

3

r1

r21

+

+ (4r + 1)(1 + r)2 = (1 + 2r)3

(4r + 1)(1 + 2r + r2) = 1 + 6r + 12r

2 + 8r

3

4r3 + 9r

2 + 6r + 1 = 1 + 6r + 12r

2 + 8r

3 4r3 + 3r2 = 0

r2(4r + 3) = 0

Como r 0, pois seno B = C, temos: 4r + 3 = 0 r = - 3/4 Assim: B = 1 + r = 1 3/4 = 1/4; C = 1 3/2 = - 1/2

D = B.

2

B

C

=

B

C2 =

4/1

4/1 = 1; E = 4r + 1 = - 3 + 1 = - 2;

Questo 24. Seja M IR dado por M = {|z2 + az 1| : z C e |z| = 1}, com a IR. Determine o maior elemento de M em funo de a. SOLUO IDEAL:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

z az 1 cos2x i.sen2x acos x a.i.senx 1

cos2x acos x 1 sen2x a.senx

z az 1 cos2x acos x 1 sen2x a.senx

acos x 2senx sen2x a.senx a 4senx

+ = + + + =

+ + +

+ = + + + =

= + + = +

O mximo ocorre para senx = 1, ento Max(M) = a 4+

Questo 25. Seja S o conjunto de todos os polinmios de grau 4 que tm trs dos seus coeficientes iguais a 2 e os outros dois iguais a 1. a) Determine o nmero de elementos de S. b) Determine o subconjunto de S formado pelos polinmios que tm -1 como uma de suas razes. SOLUO IDEAL:

{ }4 3 24 3 2 1 0S a x a x a x a x a= + + + + com 3 coeficientes iguais a 2 e 2 coeficientes iguais a 1

a) 3,255!

S P 103!.2!

= = =

b) Se 1 raiz, temos que:

4 3 2 1 0 4 2 0 1 3a a a a a 0 a a a a a + + = + + = +

Como ia 3 2 2 1 8= + = , deve-se ter 1 3 1 3

4 2 0 4 2 0

a a 4 a a 2

a a a 4 a , a ou a vale 2 e os demais valem 1

+ = = =

+ + =

Assim apenas 3 polinmios neste subconjunto S de S que

so: 4 3 4 3

4 3

S {2x 2x x 2x 1, x 2x 2x 2x 1,

x 2x x 2x 2}

= + + + + + + + +

+ + + +

Questo 26. Trs pessoas, aqui designadas por A, B e C, realizam o seguinte experimento: A recebe um carto em branco e nele assinala o sinal + ou sinal -, passando em seguida a B, que mantm ou troca o sinal marcado por A e repassa o carto a C. Este, por sua vez, tambm opta por manter ou trocar o sinal do carto. Sendo 1/3 a probabilidade de A escrever o sinal + e de 2/3 as respectivas probabilidade de B e C trocarem o sinal recebido, determine a probabilidade de A haver escrito o sinal + sabendo-se ter sido este o sinal ao trmino do experimento. SOLUO IDEAL: As possibilidades so: A B C PROBABILIDADE

1) + + + 1 1 1 1

3 3 3 27 =

2) + + - 1 1 2 2

3 3 3 27 =

3) + - + 1 2 2 4

3 3 3 27 =

4) + - - 1 2 1 2

3 3 3 27 =

5) - + + 2 2 1 4

3 3 3 27 =

6) - + - 2 2 2 8

3 3 3 27 =

7) - - + 2 1 2 4

3 3 3 27 =

8) - - - 2 1 1 2

3 3 3 27 =

Se R o evento de o experimento terminar com + e S o evento de A ter escolhido +, temos:

SOLUO IDEAL - ITA 2014/2015 Matemtica

8

( ) ( )( )

( )

( )

( )

1 3

1 3 5 7

P S RP S | R . Mas:

P R

1 4 5P S R P P

27 27 27

1 4 4 4 13P R P P P P

27 27 27 27 27

5527P S | R

13 1327

=

= + = + =

= + + + = + + + =

= =

Questo 27. Seja n um inteiro positivo tal que

senn2

=

4

32 .

a) Determine n.

b) Determine sen24

.

SOLUO IDEAL:

a) Como x 1 cos x

sen2 2

= , fcil ver que

3cos x

2=

satisfaz a condio dada.

Como 2n

pertence ao 1 quadrante, a nica possibilidade

sen sen n 62n 12

= =

b) Como 2 3

sen12 4

= , ento utilizando a relao

fundamental senx + cosx = 1, temos que 2 3

cos12 4

+= .

Logo 1 cos 2 2 312sen sen

24 4 24 8

= =

Questo 28. Sejam e nmeros reais no nulos. Determine os valores de b, c, d, bem como a relao entre e para que ambos os sistemas lineares S e T a seguir sejam compatveis indeterminados.

=+

=+

ycx

byxS

2

=+

=+

dyx

ycxT

4

3

SOLUO IDEAL: Para que S seja indeterminado, devemos ter que

1c

b2 = 0 2 bc = 0 bc = 2

Para que T seja indeterminado, devemos ter que

d4

3c = 0 cd 12 = 0 cd = 12

Alm disso como c 0 multiplicando a primeira equao de S

por 2

c, obtemos:

2x + by = x 2

cx

22

cx + b

2

cy =

z

c = cx + y =

c

2

=

=

2

c. Multiplicando a 2 equao de T por c/4, temos:

4x + dy = 4

cx

cx + 4

cdy =

4

c = cx + 3y =

4

c=

= 4

c. Assim:

c

2 =

4

c c2 = 8 c = 2 2

Logo: b = c

2 =

22

2 b =

2

2 ; d =

c

12 =

22

12

d = 3 2 e

=

4

22 =

2

2

Finalmente, tem-se que (b. c, d) =

23,22,

2

2 ou

23,22,

2

2, bem com =

2

2 ou = -

2

2,

respectivamente. Questo 29. Sabe-se que a equao 3x2 + 5xy 2y2 3x + 8y 6 = 0 representa a reunio de duas retas concorrentes, r

e s, formando um ngulo agudo . Determine a tangente de . SOLUO IDEAL: 1 soluo: Organizando a equao dada como uma equao de 2 grau em x: 3x

2 + (5y 3)x 2y

2 + 8y 6 = 0

Resolvendo:

2 2

2 2

5y 3 (5y 3) 4.3.( 2y 8y 6)x

6

5y 3 25y 30y 9 24y 96y 72

6

+ + = =

+ + + +=

25y 3 49y 126y 81 5y 3 (7y 9)x

6 6

+ + + = =

i) 5y 3 7y 9

x6

+ + = 6x = 2y 6 3x y + 3 = 0

m1 = 3

ii) 5y 3 7y 9

x6

+ += 6x = 12y + 12

x + 2y 2 = 0 m2 = 1/2

1 2

1 2

13

m m 2tg 731 m m

12

+ = = =

+

2 soluo: Segundo enunciado a equao dada por ser fatorada na forma (a1x + b1y + c1)(a2x + b2y + c2) = 0. Substituindo valores convenientes constata-se que 3x

2 + 5xy 2y

2 3x + 8y 6 =

(3x y + 3)(x + 2y 2) = 0 Assim, as retas so dadas por 3x y + 3 = 0 e x + 2y 2 = 0, cujos coeficientes angulares so m1 = 3 e m2 = 1/2

1 2

1 2

13

m m 2tg 731 m m

12

+ = = =

+

Questo 30. Na construo de um tetraedro, dobra-se uma folha retangular de papel, com lados de 3 cm e 4 cm, ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um ngulo reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa segunda etapa, de maneira adequada, completa-se com outro papel as faces restantes para formar o tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do tetraedro.

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9

SOLUO IDEAL: Seja ABCD a folha retangular de papel, cobrada ao longo da

diagonal BD , com AD = BC = 3cm e AB = CD = 4cm. Claramente, pelo Teorema de Pitgoras, BD = 5cm. Alm

disso, sendo AH altura no tringulo ABD, BH = 5

16cm e DH

=5

9cm, aplicando relaes mtricas no citado tringulo, bem

como AH =5

12cm. Analogamente, denominando CH' a

altura relativa hipotenusa no tringulo BCD, tem-se BH =

5

9cm, o que implica BH BH =

5

16-

5

9 =

5

7cm = HH, assim

como CH = 5

12cm. Portanto, no tringulo retngulo CHH,

conclui-se que CH2 = CH

2 + HH

2 =

25

144+

25

49=

25

193cm

2.

Tendo em vista que os planos que contm os tringulos ABD

e BCD so perpendiculares, pode-se garantir que AH perpendicular ao plano que passa por B, C e D. Logo, o tringulo ACH retngulo em C. Novamente empregando o Teorema de Pitgoras a tal tringulo, segue-se que:

AC2 = AH

2 + CH

2 =

25

144+

25

193=

25

337cm

2 AC =

5

337cm.

Finalmente, as medidas das arestas do tetraedro ABCD so

AB = CD = 4cm, BD = 5cm e AC =5

337cm.

Soluo Ideal ITA 2014/2015 Matemtica

Este gabarito foi totalmente elaborado pela equipe de professores de Matemtica do Grupo Ideal.

Equipe de Matemtica Coordenao Digitao Prof. Marcelo Rufino Prof. Mrcio Pinheiro Marcelo Rufino Joelma Prof. Luiz Ernesto Prof. Leandro Rgo Murilo Teixeira Prof. Estillac Prof. Leandro Farias Prof. Frota Mais informaes em www.grupoideal.com.br/idealmilitar/idealmilitar.html

Tel: 3323 5051

B C

D

A

H

.

.

H