Exerccios:

LISTA DE EXPONENCIAIS: EQUAES, INEQUAES E PROBLEMAS - GABARITO1) Resolver as equaes (em ):

a) b) c)

d) e) f)

Soluo. Aplicando as propriedades das potncias e utilizando alguns artifcios algbricos, temos:

a) . Fazendo vem:

. Substituindo esses valores na expresso em x, temos: . Logo, S = {9}.b) .

Fazendo , vem: . Resolvendo a equao encontramos: . S ={1, -2}c) . S =

d) . Desmembrando os expoentes em produtos de mesma base, temos:

. Calculando a soma entre parnteses, vem: . S = {4}e) . S =

f) . S = {0, 6}2) Para que valores reais de m, a equao , onde , admite raiz real?Soluo. O numerador da frao sempre positivo e no nulo, pois . i) A anlise restringe-se ao denominador que no pode ser nulo. Temos: . Essa situao ocorre se x = 0, pois teramos . Logo, possvel calcular m se x no for nulo.ii) . -1 0 1

1+m- - -+ + + + + +

1- m+ + + + + + - -

- - -+ ++ + - -

Isolando os termos em m, vem: . O radicando apresenta um sinal negativo antes da frao e deve ser positivo. Logo o quociente . Analisando as possibilidades, verifica-se que a condio satisfaz-se se: m < -1 ou m > 1. Repare que o denominador no pode se anular, logo, m 1. A exponencial no se anula, logo m - 1.3) Resolver as inequaes exponenciais (em ):

a) b) c)

d) e) f)

Soluo. Aplicando as propriedades das potncias e utilizando alguns artifcios algbricos, temos:

a) .b) .c) .

d) Utilizando a representao decimal na base 10 e decompondo os nmeros temos:

. Observando que 10 = 2.5, desmembramos cada termo 10 dessa forma e reagrupam-se as potncias:

. Repare que os sinais dos expoentes mudam ao trocarmos os membros, pois os termos so divididos do lado oposto e o sinal do expoente muda. Aplicando as propriedades de potncias, temos:

. -2 0 2

+ +- - - - - - + +

- - - - - - + + + +

- - -+ +- - - + +

e) . Analisando os intervalos verifica-se que t no pode ser nulo devido ao denominador e o quociente assume valores nulos em .

f) . Observe que o quociente no se anula, pois o numerador maior que zero. Alm disso, positivo, o que significa que o quociente ser negativo somente se o denominador o for. Temos:

O produto ser negativo entre as razes 0 e 1. Isto ,

4) (UF MT) A figura mostra um esboo do grfico da funo real de varivel real , com a e b reais, a > 0 e a 1. Calcule .Soluo. Observando os pontos marcados no grfico, temos: (0, 2) e (1, 4).

i) ii) . O valor pedido .5) Se f(t) = 10.2t uma funo que avalia a evoluo de uma cultura de bactrias, em t horas, ao cabo de quantas horas teremos f(t) = 5120?Soluo. O exerccio resume-se em igualar as informaes e resolver a equao exponencial.

. Ao fim de 9 horas.6) O grfico representa a frmula usada para determinar o nmero D de miligramas de um remdio na corrente sangunea de um indivduo, t horas depois de lhe ter sido administrado um medicamento ().

a) Determine o valor de K.b) A funo D(t) crescente ou decrescente? Justifique.

c) Quanto tempo leva para que a quantidade do medicamento administrado se reduza metade?

Soluo. Observando o grfico vemos que se t = 0, D(t) = 5.a) .

b) Decrescente. O valor em t = 0 maior que o valor aps t horas.c)

7) A ona-pintada, tambm conhecida por jaguar ou jaguaret, costuma ser encontrada em reservas florestais e matas cerradas, mas, atualmente, um dos carnvoros brasileiros que corre perigo de extino. Suponha que, em determinada regio, a populao de onas-pintadas, P(t) , daqui a t anos, ser estimada pela funo . Faa uma estimativa da populao de onas-pintadas que habitaro essa regio daqui a vinte anos. Aproxime a resposta para o nmero inteiro mais prximo. (Utilize e = 2,7).

Soluo. Basta calcular P(20). Substituindo os valores, temos:

8) (Livro: Matemtica - Cincia e Aplicaes) Uma imobiliria acredita que o valor v de um imvel no litoral varia segundo a lei , em que t o nmero de anos contados a partir de hoje. a) Qual o valor atual desse imvel?

Soluo. O valor atual considerado em t = 0. Logo,

b) Qual a desvalorizao percentual anual desse imvel?

Soluo. Essa desvalorizao ser calculada entre o valor atual e o valor 1 ano depois. Ou seja, calculamos o valor para t = 1 e comparamos com o atual.

c) Quanto valer esse imvel daqui a 2 anos?

Soluo. Basta calcular v(2), isto o valor da funo para t = 2.

. Repare que poderamos ter calculado esse valor sabendo que estar desvalorizado em 10% em relao ao preo calculado em 1 ano. Daqui a 1 ano ele custar R$54000. A desvalorizao um ano depois ser de 10% de 54000 = 5400. Logo em dois anos o imvel custar a diferena 54000 5400 = R$48600,00.d) Daqui a quantos anos o imvel valer R$35429,40? (Dado: )

Soluo. Pede-se encontrar t tal que v(t) = 35429,40.

. Simplificando os termos, vem: . Escrevendo os termos em fraes decimais, temos: . Logo, daqui a 5 anos. COLGIO PEDRO II - UNIDADE SO CRISTVO III

2 SRIE MATEMTICA II PROF WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

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