GeometrÃa (grupo III).

8/18/2019 GeometrÃ a (grupo III).

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ACADEMIA PRE-UNIVERSITARIA Y DE REFORZAMIENTO “SANTA CATALINA” 1

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES (Grupo III)

Área del círculo: Es igual alradio al cuadrado multiplicado por π.

2π.r oA =

Área de un sectorcircular: El sector circular es la porción del círculolimitado por dos radios y un arco de la circunferencia.El área de un sector circular es igual al área delcírculo correspondiente multiplicada por el cocienteentre su ángulo central y 3!".

3!"

.#π.r A

2

$% =

2

&.r A $% =

Área de una corona circular: %orona circular es laregión comprendida entre dos circunferenciasconc'ntricas. El área de una corona circular es igual ala diferencia de las áreas de los dos círculos.

22%% π.rπ. A −=

2%% π.A A =

Área de un trapeciocircular: Es la porción de corona circular limitada pordo radios. El área del trapecio circular es igual a la

diferencia de las áreas de los sectores circulares A* y %*+.

( )r2

&&A 2,-% −

+=

( )22-% r3!"π.#

A −=

Eduardo Vásqu! V"#! $ %o&'r(a )AULA III*


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ACADEMIA PRE-UNIVERSITARIA Y DE REFORZAMIENTO “SANTA CATALINA” +

Área de un segmentocircular: El segmento circular es la porción de círculolimitado por una cuerda y un arco de la circunferencia.El área del segmento circular es igual a la diferenciadel sector circular A* y el área del triángulo A*.

#$en2

r

3!"

.#π.r

A

22

$eg.% −=

a!a o "ona circular: Es la porción del círculocomprendida entre dos cuerdas paralelas. El área esigual a la diferencia de las áreas de 2 segmentoscirculares.

$eg.%(%)$eg.%(+E) AAA −=

Área de un polígono circunscrito: Es igual alsemiperímetro multiplicado por el radio de lacircunferencia inscrita.

p.rA =

Área de unperímetro regular: Es igual al producto delsemiperímetro por la apotema.

p.apA =

#RO$LE%AS DE A#LICACI&N:Resuel'e los siguientes pro(lemas so(re el c)lculode )reas de regiones circulares*,. +etermina el área de la región somreada/ si

A%+ es un rectángulo0A) 1(1 π)u2

) !( π)u2

%) 1( π)u2

+) !(1 π)u2

E) 14(1 π)u2

2. A%+ es un cuadrado circunscrito a un círculo deradio 4. 5alla el área de la región somreada.

A) 1(1 π)u2

) 1( π)u2



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%) 1(4 π)u2

+) !(,! 3π)u2

E) 1(2 π)u2

3. +etermina el 6alor del área del sector circular deradio .

A) /2πu2

) 3/πu2

%) 1πu2

+) 1/πu2

E) πu2

1. +etermina el área de la región somreada.

A) 3!(π 7

3

)u2

) 3(2π 7

3

)u2

%) 3(π 7

3

)u2

+) 32(π 7

3

)u2

E) 2(π 7

3

)u2

. 5alla el área de la corona circular.A) 2!πu2

) ,πu2

%) 4πu2

+) ,4πu2

E) 2πu2

. +etermina el área de la región somreada/ si *A 8* 8 4.

A) 1(3 7

22

)πu2

) 1(3 9

22

)πu2

%) 1( 7

22

)πu2

+) (3 7

22

)πu2

E) (3 7

22

)πu2

:. +etermina el área de la región somreada.A) ,!(π 2)u2

) 4(3π 2)u2

%) 4(π 3)u2

+) (π 2)u2

E+ ,-. / 0+u0

4. +etermina el área de la región somreada.A) ,πu2

) 2!πu2

C+ 01.u

0

+) 32πu2

E) 3!πu2

;. +etermina el área de la región somreada.A) 4!πu2

) 2πu2

%) 32πu2

D+ 2134.u0

E) ,3/πu2

,!. +etermina el área de la región somreada.A) 32πu2

$+ 56.u0

%) 3!πu2

+) 2,πu2

E) :2πu2

,,. 5alla el área de la región somreada/ si * escentro del sector circular A*.

A) 3(,, 7 3π)u2

) (,1 7 3π)u2

%) 2(,1 7 3π)u2

+) 3(,1 7 π)u2

E) 3(,1 7 3π)u2



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2,. +etermina el área de la región somreada/ siA%+ es un rectángulo/ - y > son puntos detangencia/ y/ * y + son centros de lasemicircunferencia y del sector circularrespecti6amente.

A) 2!(1 7 π)u2

) ,2(2 7 π)u2

%) ,2(1 7 π)u2

+) 2!(2 7 π)u2

E) ,(2 7 π)u2

22. +e la figura mostrada/ calcule el área de la regiónsomreada/ (*0 centro de la circunferencia).

A)

( )1

3;π −

)

( )1

3;π +

%)

( )

3;π −

+)

(

3;π +

E) ?A

23. +etermina el área de la región somreada/ si * esel centro del sector circular de radio ,2/ además/>/ @ y son puntos de tangencia.

A) 4πu2

) :πu2

%) πu2

+) πu2

E) 4/πu2

21. %alcula elárea de la región somreada. A5 8 m.

A) πm2

) 2πm2

%) 3πm2

+) 1πm2

E) πm2

2. +etermina el área de la región somreada.

A) ,3/(

33 7 π)u2

) ,3(

33 7 π)u2

%) ,3/(

33

7 2π)u2

+) ,2/(33

7 π)u2

E) ,(

33 7 π)u2

2. +etermina el área de la región somreada/ si lastres circunferencias son congruentes de radio 2.

A) 2(

32

7 3π)u2

) 1(

32

7 π)u2

%) 2(

33

7 π)u2

+) 3(

32

7 π)u2

E) 2(32

7 π)u2



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2:. +etermina el área de la región somreada.A) 3!(1 7 π)u2

) 2!( 7 π)u2

%) 2( 7 π)u2

+) 2!(1 7 π)u2

E) 2(1 7 π)u2

24. +etermina el área de la región somreada/ si las

cuatro circunferencias son congruentes de radio1.A) 2!(1 7 π)u2

) ,(1 7 π)u2

%) 2!(3 7 π)u2

+) 2!( 7 π)u2

E) ,( 7 π)u2

2;. +etermina el área de la región somreada/ siA%+ es un cuadrado de lado ,2cm.

A) 2!πcm2

) 2,πcm2

%) 21πcm2

+) 2πcm2

E) 24πcm2

3!. $iendo B*C el centro de los sectores circulares

A* y %*+. 5alla

yD

< si B$C representa área.

A)32−

)22+

%)2 3−

+)2,−

E)22−

3,. 5alla el área de un círculo/ si la longitud de lacircunferencia correspondiente esnum'ricamente igual a la mitad del área delcírculo.a) 1 ) 2 c) ,/d) e) +

32. Encuentra el área de un sector circular cuyoradio mide :m/ si la longitud de su arco es :/33m.A) 24/:!m2 ) 3!/!m2 %) 2!/2m2

+) 22/m2 E) 2/m2

33. Fn sector circular de 3" de ángulo central poseeun área de ,!π. 5allar el radio del sector.A) ,! ) ,, %) ,2+) ,3 E) ,1

31. 5alla el área de una corona circular formadapor dos circunferencias conc'ntricas deradios y 1 respecti6amente. A) ;πu2 ) ,!πu2 %) ,,πu2 +) ,2πu2 E) ,3πu2

3. 5alla el área de un segmento circular A/ si el

arco A mide ;!" y A 8

2

.A) ,!(π 1)u2 ) ;(π 2)u2 %) (π 2)u2

+) ;(π ,)u2 E) 4(π ,)u2

3. Fn sector circular de :2" de ángulo central poseeun área de πcm2. %alcula el radio de dicosector.A) 2cm ) 3cm %) 1cm+) cm E) ,!cm

3:. +etermina el área de la circunferencia inscrita altriángulo rectángulo de lados ;< ,2 y ,.A) πu2 ) πu2 %) 4πu2 +) ;πu2 E) ,!πu2

34. +etermina el área del círculo inscrito al triángulode lados ,3/ ,1 y ,.A) ,!πu2 ) ,2πu2 %) ,3πu2 +) ,πu2 E) ,πu2

3;. +etermina el área del círculo circunscrito al

triángulo de lados ,3< ,1 y ,.A) 2!,/2u2 ) 2!:/2;u2 %) 2,!/2u2



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+) 2,/,2u2 E) 224/!u2

1!. %alcula el área de un círculo circunscrito a uncuadrado a un cuadrado/ si la apotema mide 2m.A) ,!πu2 ) ,2πu2 %) 4πu2

+) ,πu

2

E) ,πu

2

1,. +etermina el área del círculo circunscrito a uncuadrado de 2!cm de lado.A) ,1!πcm2 ) ,!πcm2 %) 2!!πcm2

+) 2!πcm2 E) ,2!πcm2

12. +etermina el área del círculo inscrito en uncuadrado de lado 2!cm.A) ,2,πcm2 ) ,!πcm2 %) ;!πcm2 +) 4!πcm2 E) ,!!πcm2

13. %alcula el área de un sector circular de !" =ueestá uicado en un círculo cuya circunferenciamide ,2π cm.A) 2πcm2 ) 1πcm2 %) ;πcm2 +) 3πcm2 E) πcm2

11. El área de un sector circular es num'ricamenteigual a la longitud de su arco. 5alla la longitud delradio.A) 2 ) 2/ %) 2/2+) 2/: E) 3

1. %alcula el área del círculo inscrito al triángulo de

lados0 2< , y

3.

A)

2πu2

23

+

)

2πu2

23

−

%)

2πu1

,3

−

+)

2πu2

,3

+

E)

2πu2

,3

−

#RIS%A

$e llama prisma al poliedro =ue tiene como ases a 2polígonos iguales y paralelos siendo sus caras lateralesparalelogramos.&os prismas pueden ser0Rectos/ si las aristas laterales son perpendiculares alas ases. En este tipo de prismas/ las caras lateralesson todas rectángulos.O(licuos/ si las aristas laterales no sonperpendiculares a las ases.A=uel prisma cuyas ases son polígonos regulares sellama prisma regular.

&os prismas se denominan segHn el polígono =ue tengancomo ase0 >risma triangular si la ase es un triángulo/prisma cuadrangular si la ase es un cuadrilátero/prisma pentagonal si la ase es un pentágono/ prismaeDagonal si la ase es eDágono/ etc.

#RIS%A REC7O:

Área lateral: Es igual al perímetro de la ase por lalongitud de la arista o por la altura.

.a2pAl (A$E)=



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Área total: Es igual al área lateral mas la suma de lasáreas de las ases ().

2AlAt +=

8olumen: Es igual al producto del área de la ase ()por la longitud de la arista o por la altura.

.aI =

CU$O O 9EAEDRO:

Área total: Es igual a seis 6eces el cuadrado la arista2aAt =

8olumen: Es igual al cuo de la arista 3aI =

Diagonal de la cara:2a d =

Diagonal del cu(o:3a + =

#ARALELE#;#EDO REC7ÁNGULO U REC7OEDRO:

Área total: Es el duplo de la suma de lascominaciones inarias de sus 3 dimensiones.

c)ac2(aAt ++=

8olumen: Es el producto de las tres dimensionesa..cI =

Diagonal de la cara022 ad +=

Diagonal:222 ca+ ++=

#RIS%AO$LICUO:



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Área lateral: Es el producto del perímetro de lasección recta ($) por la arista lateral

( ) .a2pAl $=

Área total: Es igual al área lateral mas la suma de lasáreas de las ases.

2AlAt +=

8olumen: Es el producto del área de la sección recta($) por la arista lateral. -ami'n es el producto del

área de la ase por la altura( ) .aAI $= .GI =

7RONCO DE#RIS%A REC7O:

Área lateral: El área lateral es la suma de las áreasde los trapecios laterales.

Área total: Es la suma del área lateral y de las áreasde las ases ($, y $2).

2, $$AlAt ++=

8olumen: $olo si el tronco es triangular/ el 6olumen esigual al área de la ase por la media aritm'tica de las

tres aristas laterales/ perpendiculares a dica ase.

++=

3

ca.$I ,

7RONCO DE #RIS%A O$LICUO:

Área lateral: El área lateral es la suma de las áreasde los trapecios laterales.

Área total: Es la suma del área lateral y de las áreasde las ases ($, y $2).

2, $$AlAt ++=

8olumen: $olo si el tronco es triangular/ el 6olumen esigual al área de la sección recta por la mediaaritm'tica de las tres aristas laterales/ a/ y c.

++=

3

ca.AI ($)



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Se llama seccirisma.,. +ado el siguiente prisma regular de ase

cuadrangular (la ase es un cuadrado)/ alla elárea lateral/ el área total y el 6olumen.

A) 2!!u2< 2!!u2 y 2!u3

) 2,!u2< 2!u2 y 2!u3

%) 21!u2< 2!u2 y 2!u3

+) 2!!u2< 2!u2 y 2!u3

E) 2!!u2< 2!u2 y 21!u3

2. +ado el siguiente prisma regular de asetriangular (la ase es un triángulo e=uilátero)/determina el área lateral/ el área total y el6olumen.

A)

2u3,!4

<

2u3,2

y ,!u3

)

2u3,,4

<

2u3,2

y ,2u3

%)

2u3,!4

<

2u3,2

y ,2u3

+)

2u3,!4

<

2u3,2!

y ,2u3

E)

2u3,!4

<

2u3,2

y ,4!u3

3. +ado el prisma recto de ase triangular/determina el área lateral/ el área total y el6olumen.

A) 4!!u2< ;2!u2 y ,2!!u3

) 4!u2< ;2!u2 y ,2!!u3

%) 4!!u2< ;2!u2 y ,!!!u3

+) 4!!u2< ;2!u2 y ,!!u3

E) 4!u2< ;2!u2 y ,2!u3

1. $i el 6olumen del prismarecto es0 I 8 ,;2cm3/ determina el 6alor de BDC.

A) 1

) %) +) :E) 4

. El área lateral delprisma regular de ase eDagonal es ,!4cm2/determina el 6alor de BDC.

A) ,

) 2%) 3+) 1E)



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. +ado el prisma regular de6olumen ,11cm3. determina el 6alor de BDC.

A) /cm) :cm%) 4cm+) ;cmE) ,!cm

:. +ado el paralelepípedo rectangular recto orectoedro de diagonal + 8 ,1/< si las dimensionesde sus aristas son proporcionales a 3< y :/ allael área lateral/ área total/ el 6olumen.

A) ,/u2< 31/u2 y 12/2u3

) ,:/u2< 31/u2 y 1!/2u3

%) ,:/u2< 21/u2 y 12/2u3

+) ,:/u

2

< 31/u

2

y 12/2u

3

E) 2:/u2< 31/u2 y 14/2u3

4. ectoedro0 At 8 2;!cm2. 5alla BDC.A) 3!

) 22%) ,+) 2!E) 2

;. +etermina la altura/ el árealateral/ el área total y el 6olumen del prismaregular0

A) !u2< :4u2 y 1u2

) !u2< :u2 y 1u2

%) !u2< :4u2 y 1u2

+) !u2< 4u2 y 1u2

E) !u

2

< :4u

2

y 1!u

2

,!. +etermina el 6alor de BDC/ siel área lateral del prisma regular es ,!4cm2.

A) :cm) 4cm%) 4/cm

+) ;cmE) ,!cm

,,. 5alla el área de la región somreada.

A)

22

u2

)

32u2

%) 27,u2



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+)

23u2

E)

21u2

,2. +etermina el área total y el 6olumen del cuo.%) ,!u2 y ,2u3

%) ,!u2 y ,,u3

%) ,!u2 y ,2u3

%) ,1!u2 y ,2u3

%) ,!u2 y ,!u3

,3. 5alla el área de la región somreada.

A)

32,u2

)

22,u2

%)

32!

u2

+)

3,

u2

E)

3,

u2

,1. > y @ son centros de dos caras contiguas en eleDaedro A%+ EG5/ determina el área total yel 6olumen del cuo.

A) 4!!u2 y 4!!u3

) !!u2 y ,!!!u3

%) 4!!u2 y ,!!!u3

+) :2!u2 y ,!!!u3

E) ,!!!u2 y 4!!u3

,. %alcula la distancia del 6'rtice A al centro de lacara EG5/ si la longitud de la arista del cuo es,!cm.

A)

3;

)

2

%)

3

+)

E)

,. +e un cuo sólido de arista BDC se eDtraJo uncuito de arista ByC de una de las es=uinas/ comose muestra en la figura. %alcula el 6olumen de lafigura resultante/ si0 (D y)3 8 1 K D.y 8 ,,.

A) 4/34u3

) 1/34u3

%) /34u3

+) !/34u3

E) /34u3

,:. Fn cuito descansa en el fondo de un eDaedrolleno de agua/ al eDtraer el cuito/ la altura delagua disminuye en un octa6o. 5alla el área deltriángulo somreado.

A)

31

)

3,

%)

332

+)

232

E) ?A

,4. En la figura A%+ EG5 es un eDaedro regularde arista 4cm< B*C es el centro de la cara A%+< y ? son puntos medios. %alcula el área deltriángulo *?.

A) 2,2 cm2

)

21

cm2

%)

2,

cm2

+)

24

cm2

E)

2,!

cm2



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,;. El centro de la semiesfera mostrada es el centrode la cara del cuo inscrito. $i la arista del cuo

es 4/ calcula el área total de la semiesfera.

A) ,44πu2

) 344πu2

%) 24!πu2

+) 2!πu2

E) 244πu2

2!. 5alla el área total de un prisma recto cuya altura es ,2cm/ y su ase un cuadrado de 4cm de lado.A) ,2cm2 ) !cm2 %) !!cm2 +) ,2!!cm2 E) 2cm2

2,. 5alla el área lateral de un prisma recto cuya altura es de ,2cm/ siendo su ase un triángulo cuyos lados miden3cm< 1cm y cm.A) ,11cm2 ) ,2!cm2 %) ,3cm2 +) ,1!cm2 E) ,,cm2

22. $e tiene un prisma recto cuya ase es un triángulo rectángulo de lados 3< 1 y . %alcula el área total del prisma/si su altura mide .A) 3cm2 ) :2cm2 %) 41cm2 +) 4!cm2 E) :4cm2

23. El área lateral de un prisma recto de ,cm de alto es 22m2/ siendo su ase un triángulo e=uilátero. L%uántomide el lado de dico triánguloMA) 3m ) 1m %) m +) m E) :m

21. 5alla el nHmero de caras laterales de un prisma regular cuya área lateral es de 3:cm2/ si su arista lateral mide2cm y un lado de la ase mide 3cm.A) , ) 2 %) 3 +) 1 E)

2. &as aristas ásicas de un prisma recto miden < y :. $i su altura mide

3

/ calcula su 6olumen.A) ,1u3 ) ,2,u3 %) ,!3u3 +) ,!4u3 E) ?A

2. %alcular el 6olumen de un prisma eDagonal regular cuya arista ásica mide 2 y sus caras laterales soncuadrados.

A) ,2

3

cm3 ) ,,

3

cm3 %) ,3

3

cm3 +) ,1

3

cm3

E) ?A

2:. 5alla el área total de un prisma recto de :cm de alto/ saiendo =ue su ase es un eDágono regular de cm delado.A) 32;/:cm2 ) 33;/:cm2 %) 22;/:cm2 +) ,;4/:cm2 E) 1;/:cm2

24. 5alla el área total de un prisma recto de ,3cm de altura/ si su ase es un rectángulo cuyo lado mayor es 4cm ysu diagonal ,!cm.A) 1!!cm2 ) 1!cm2 %) 13!cm2 +) 3!cm2 E) !!cm2

2;. 5alla el 6olumen de un prisma cuya ase es un triángulo e=uilátero de ,2cm de lado/ y la altura del prisma de4cm.A) 1;4/21!cm3 ) 24;/21!cm3 %) ,4;/21!cm3 +) !!cm3 E) 13/:4cm3

3!. 5alla el 6olumen de un prisma de ;cm de altura/ siendo su ase un romo cuyas diagonales miden : y ;cmrespecti6amente.A) 2:3/!!cm3 ) 243/!!cm3 %) 213/!!cm3 +) 1/!!cm3 E) 31/!!cm3

3,. 5alla la altura de un prisma recto cuya ase es un triángulo e=uilátero de ,cm de lado/ siendo su 6olumen de ,,:/ :cm3.A) ,!cm ) ,,cm %) ,2cm +) ,3cm E) ,1cm

32. 5alla el 6olumen de un prisma recto de ,cm de altura/ si su ase es un triángulo rectángulo de 2cm deipotenusa/ siendo uno de los catetos de 21cm.A) ,!!!cm3 ) ,2!!cm3 %) ,31cm3 +) ,2!cm3 E) ,3!cm3

33. 5alla el 6olumen de un prisma recto cuyas aristas laterales miden ,2cm/ siendo su ase un triángulo rectánguloisósceles cuya ipotenusa mide ,,/24cm.A) 341cm3 ) 31cm3 %) 241cm3 +) 2!!cm3 E) 3:;cm3

31. 5alla el 6olumen de un prisma recto cuyas aristas laterales miden ,cm/ si su ase es un cuadrado inscrito enuna circunferencia de cm de radio.A) !!cm3 ) !cm3 %) :!!cm3 +) :!cm3 E) 4!!cm3



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3. &a ase de un prisma recto es un romo/ en el cual una de las diagonales es los 2N3 de la otra/ siendo el 6olumenigual a 3!!cm3. L%uánto miden el área total del prisma y las diagonales del romo/ si su altura es de ,2cmM.A) ,1/11cm2< 3!cm y 2!cm ) ,/11cm2< 2cm y 2!cm %) ,!!/1cm2< 3!cm y 2!cm

3. &a suma de las ,2 aristas de un rectoedro es 14m/ la suma de los cuadrados de sus 3 dimensiones es !m 2.$iendo el área de la ase de ,2m2/ calcular el 6olumen.A) 1m3 ) !m3 %) m3 +) !m3 E) ?A

3:. $e tiene una caJa rectangular de 6olumen BIC en la cual se conocen las áreas de la ase/ del frente y del lado.%alcular el producto de estas áreas.

A) 2I ) I %) I3 +) 3I E) I2



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