Geometria Analítica

Cônicas

Prof° Marcelo Maraschin de Souza

Cônicas

Sejam duas retas 𝑒 e 𝑔 concorrentes em O e não

perpendiculares. Considere 𝑒 fixa e 𝑔 girar 360° em torno

de 𝑒, mantendo constante o ângulo entre estas retas.

Assim, a reta 𝑔 gera uma superfície cônica circular infinita.

A reta 𝑔 é chamada de geratriz e a reta 𝑒 é

chamada de eixo.

Chama-se de cônica o conjunto de pontos que

formam a intersecção de um plano com a superfície cônica.

Quando uma superfície cônica é seccionada por um

plano 𝜋 qualquer que não passa pelo vértice, a cônica será:

Cônicas

Parábola: quando 𝜋 for paralelo a uma geratriz da

superfície.

Cônicas

Elipse: quando 𝜋 não for paralelo a uma geratriz da

superfície e intercepta apenas uma das folhas da superfície.

Caso particular, é uma circunferência, se 𝜋 for

perpendicular ao eixo.

Cônicas

Hipérbole: quando 𝜋 não é paralelo a uma geratriz e

intercepta as duas folhas da superfície. A hipérbole deve

ser vista como uma curva só, constituída de dois ramos, um

em cada folha da superfície.

Cônicas

Circunferência

Animação de Cônicas

http://www.cepazahar.org/recursos/pluginfile.php/2980/mod_resource/content/0/Proy

ectos/coni/las_secciones_conicas.html

Cônicas Degeneradas

Se 𝜋 passar por O, temos as cônicas degeneradas:

Uma reta:

Cônicas Degeneradas

Se 𝜋 passar por O, temos as cônicas degeneradas:

Um ponto:

Cônicas Degeneradas

Se 𝜋 passar por O, temos as cônicas degeneradas:

Duas retas:

Cônicas

Aplicação: Parábolas acústicas, são paraboloides

constituídos por duas antenas parabólicas metálicas. São

antenas de mesmo tamanho perfeitamente alinhadas e

dispostas uma em frente a outra numa distância de 20

metros.

Cônicas

O anel metálico num determinado ponto representa o foco

da antena. Quando uma pessoa fala, emitindo o som

próximo ao anel, as ondas sonoras refletidas na superfície

da antena produzem um feixe de ondas paralelas que, ao

incidirem na outra antena, refletem-se convergindo para o

foco desta, então uma outra pessoa posicionada nesse

ponto escuta perfeitamente o que foi emitido.

Circunferência

Definição: é o conjunto de todos os pontos de um plano

equidistante de um ponto fixo, denominado centro da

circunferência.

Equação da Circunferência: sendo C(a,b) o centro da

circunferência e P(x,y) um ponto qualquer da circunferência,

a distância de C até P é o raio dessa circunferência, Então:

𝑑 𝐶, 𝑃 = 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟Ou seja,

𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2

É chamada equação reduzida da circunferência.

Circunferência

Quando o centro da circunferência estiver na origem C(0,0),

a equação da circunferência será,

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Da equação reduzida, obtemos a equação geral da

circunferência:

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0

Circunferência

Observações sobre a equação geral:

Os coeficientes dos termos 𝑥2 e 𝑦2 devem ser iguais a 1;

Não deve existir o termo xy;

Para obtermos o centro e o raio de uma circunferência, a

partir da equação geral, basta fatorarmos o trinômio

quadrado perfeito.

Exemplos

Posições relativas – ponto x circunferência

Dada a circunferência 𝜆 de equação 𝜆: 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 =𝑟2 e o ponto P(m,n) temos as seguintes posições relativas:

Posições relativas – ponto x circunferência

Posições relativas – reta x circunferência

Dada a circunferência 𝛼 de equação 𝛼: 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 −

Posições relativas – reta x circunferência

Lembre-se que a distância entre um ponto e uma reta é

dado por:

𝑑 𝐶, 𝑠 =𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶

𝐴2 + 𝐵2

Posições relativas – circunferência x

circunferência

Duas circunferências 𝜆1 𝑂1, 𝑟1 e 𝜆2 𝑂2, 𝑟2), com 𝑟1 > 𝑟2 e

sendo d a distância entre seus centros, prova-se que há

seis possibilidades para 𝜆1 e 𝜆2, conforme,

Posições relativas – circunferência x

circunferência

Esboce o desenho da sexta possibilidade (circunferências

concêntricas).

Exemplos:

Parábola

Considere em um plano, uma reta d e um ponto F não

pertencente a d.

Parábola é o conjunto de pontos do plano que são

equidistantes de F e d.

Parábola

Então, um ponto P qualquer é pertencente a parábola, se e

somente se,

𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑑)

Ou de modo equivalente

𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑃′

Notações:

F: foco

d: diretriz

e: é a reta que passa por F e é perpendicular a d

V: vértice (interseção da parábola com o eixo)

Parábola – Equação Reduzida

Seja a parábola de vértice V(0,0). Temos dois casos:

Caso 1) Eixo da parábola é o eixo y

P(x,y) é um ponto da parábola, F(0,p/2) o foco e diretriz de

equação y=-p/2.

Parábola – Equação Reduzida

Da definição de parábola temos,

Ou seja,

𝑥2 = 2𝑝𝑦

Que é a equação reduzida da parábola para este caso.

Parábola – Equação Reduzida

Observações:

• 𝑝𝑦 ≥ 0, então

• O gráfico dessa equação reduzida é simétrico em

relação ao eixo y. Logo se (x,y) pertence ao gráfico,

(-x,y) também pertence ao gráfico.

Parábola – Equação Reduzida

Seja a parábola de vértice V(0,0).

Caso 2) Eixo da parábola é o eixo x

P(x,y) é um ponto da parábola, F(p/2,0) o foco e diretriz de

equação x=-p/2.

Parábola – Equação Reduzida

Analogamente ao caso 1, obtemos a equação reduzida:

𝑦2 = 2𝑝𝑥

Parábola – Equação Reduzida

Exemplo)

Parábola

Translação de eixos: podemos considerar um novo sistema

xy, onde os novos eixos x’ e y’ tenham a mesma direção e

sentido dos eixos x e y.

𝑥′ = 𝑥 − ℎ𝑦′ = 𝑦 − 𝑘

Observe que O’(h,k).

Equação da Parábola

Seja uma parábola de vértice V(h,k)≠ 0,0 , temos dois

casos:

Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y

Equação da Parábola

Com origem no ponto V e baseado no plano x’y’, V=O’. Ou

seja, o vértice V é a origem do plano x’y’. Assim,

𝑥′2= 2𝑝𝑦′

Mas da translação de eixos, temos:

𝑥 − ℎ 2 = 2𝑝 𝑦 − 𝑘)

Que é a equação da parábola para o vértice diferente da

origem.

Equação da Parábola

Seja uma parábola de vértice V(h,k)≠ 0,0 , temos dois

casos:

Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x

De modo análogo temos

𝑦 − 𝑘 2 = 2𝑝 𝑥 − ℎ)

Equação Geral da Parábola

Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y:

𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 − 2𝑝𝑦 + 2𝑝𝑘 = 0Ou

𝑎𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓 = 0

Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x:

𝑏𝑦2 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓 = 0

Equação Explícita da Parábola

Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y:

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x:

𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐

Exercícios

Exercícios

Equação Paramétricas da Parábola

Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y:

Observe que x pode assumir qualquer valor real, se

fizermos x=t, teremos y=(1/2p)t²

Daí temos as equações paramétricas da parábola:

𝑥 = 𝑡

𝑦 =1

2𝑝𝑡2 , ∀𝑡 ∈ ℝ

Equação Paramétricas da Parábola

Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x:

Analogamente temos as equações paramétricas da

parábola:

𝑥 =

1

2𝑝𝑡2

𝑦 = 𝑡, ∀𝑡 ∈ ℝ

Equação Paramétricas da Parábola