GEOMETRIA ANALÍTICA 2017

Tópicos a serem estudados

1) O ponto (Noções iniciais - Reta orientada ou eixo – Razão de segmentos – Noções Simetria – Plano Cartesiano – Abcissas e Ordenadas – Ponto Médio – Baricentro - Cálculo de Determinantes – Condição de Alinhamento de Três Pontos)

2) A reta (Equações – Coeficiente Angular – Posições entre retas – Perpendicularidade – Projeções – Ângulos entre retas* - Inequações do 1º grau* - Distâncias entre Ponto e Reta - Bissetrizes*)

3) Circunferências (Equações – Posições relativas entre Ponto e Circunferência – Posições relativas entre Reta e Circunferência – Posições relativas entre duas Circunferências – Problemas de Tangência - Inequações do 2º grau*)

4) Cônicas* (Elipses – Hipérboles – Parábolas – Posições Relativas)

* EsPCEx

1) O ponto

Distância entre dois pontos na reta orientada

Segmento orientado:

1) O ponto – Razão de Segmentos Orientados

Razão de secção de um segmento orientado

Exemplo resolvido:

1) O ponto - Plano Cartesiano

Sistema Cartesiano Ortogonal

É constituído de dois eixos, chamados 𝑶𝒙 e 𝑶𝒚,

perpendiculares entre si.

1) O ponto - Plano Cartesiano

Sistema Cartesiano Ortogonal

Pares Ordenados (coordenadas)

1) O ponto - Plano Cartesiano

Sistema Cartesiano Ortogonal

Se P pertence ao eixo das

abcissas, suas coordenadas

são (a,0)

Se P pertence ao eixo das

ordenadas, suas coordenadas

são (0,b)

1) O ponto – Plano Cartesiano

Sistema Cartesiano Ortogonal

Se P pertence à bissetriz dos

1º e 3º quadrantes, suas

coordenadas são iguais.

Se P pertence à bissetriz dos

2º e 4º quadrantes, suas

coordenadas são simétricas.

1) O ponto – Distância entre dois pontos

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Logo, a distância entre os pontos A e B será dada por:

1) O ponto – Exercícios

01) Determine os valores reais de 𝒙 para que o ponto 𝑨(𝒙 + 𝟏, 𝟐𝒙 − 𝟓) pertença ao quarto quadrante.

02) Dê as coordenadas dos pontos simétricos dos pontos 𝑨(𝟑, 𝟒) e 𝑩(−𝟐, 𝟓) em relação:

a) ao eixo x b) ao eixo y c) à origem

03) Determine 𝒙 para que o ponto 𝑷(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙, 𝟏𝟓) pertença à bissetriz do:

a) 2º e 4º quadrantes b) 1º e 3º quadrantes

04) Calcule a distância entre os pontos 𝑨(−𝟏, 𝟒) e 𝑩(𝟑, 𝟐).

05) Sabe-se que o ponto 𝑷(𝒂, 𝟐) é equidistante dos pontos 𝑨(𝟑, 𝟏) e 𝑩(𝟐, 𝟒). Calcule a abcissa do ponto 𝑷:

06) Que tipo de triângulo temos, se seus vértices são os pontos 𝑨(𝟐, −𝟐), 𝑩(−𝟑, −𝟏) e 𝑪(𝟏, 𝟔):

07) Determine os valores de m para os quais a distância entre 𝑨(𝒎 − 𝟏, 𝟑) e 𝑩(𝟐, −𝒎) é 𝟔.

1) O ponto – Ponto Médio

Ponto Médio de um Segmento Considere o seguinte segmento 𝑨𝑩:

A coordenada do ponto médio 𝑴 será dada por:

1) O ponto – Baricentro

Coordenadas do Baricentro de um triângulo Considere o seguinte triângulo ABC:

As coordenadas do Baricentro serão dadas por:

1) O ponto – Ponto Médio - Exercícios

08) Determine as coordenadas do ponto médio 𝑴 de um segmento 𝑨𝑩,

sendo dados 𝑨(−𝟏, 𝟒) e 𝑩(𝟓, 𝟐).

09) Ache o valor de 𝒙 de modo que 𝑴(𝟐, 𝟑) seja o ponto médio entre

𝑨(𝒙, 𝟓) e 𝑩(𝟑, 𝒙).

10) Os vértices de um triângulo são os pontos 𝑨(𝟎, 𝟒), 𝑩(𝟐, −𝟔) e

𝑪(−𝟒, 𝟐). Calcule a medida da mediana 𝑨𝑴, do triângulo 𝑨𝑩𝑪

11) Determine as coordenadas do

baricentro do triângulo indicado na

Figura ao lado:

1) O ponto – Cálculo de Determinantes

Cálculo do Determinante de uma matriz 3X3 Para cálculo de determinantes desse tipo de matriz, podemos utilizar a regra de SARRUS.

Exemplo:

Det(B)=1.3.2 + 5.0.4 + (–2).8.(–1) – (–2).3.4 – 1.0.(–1) – 5.8.2

Det(B) = 6 + 0 + 16 – (–24) – 0 – 80

Det(B) = 22 – 56

Det(B) = – 34

1) O ponto – Condição de Alinhamento de três ponto X Área de um triângulo

Condição de Alinhamento de Três Pontos Consideramos inicialmente três pontos contidos na mesma reta no plano:

O que vai resultar em:

Logo, para constatar a colinearidade de três pontos, basta

verificar se o determinante de terceira ordem, contendo as

abcissas e ordenadas dos pontos, seja nulo.

OBS: a terceira coluna mantém sempre o número 1.

1) O ponto – Condição de Alinhamento de três ponto X Área de um triângulo

Área do triângulo

Caso o determinante da matriz com os pontos seja diferente de zero (𝐷 ≠ 0),

podemos calcular a área do triângulo formado por esses pontos da seguinte

forma:

𝑨 =𝑫

𝟐

ÁREA= MÓDULO DO DETERMINANTE DIVIDIDO POR 2

1) O ponto – Condição de Alinhamento x Triângulos - Exercícios

12) Determine o valor de 𝒙 para que os pontos 𝑨(𝟐, −𝟑), 𝑩(𝒙, 𝟕) e

𝑪(𝒙, 𝟏) sejam colineares

13) Determine o valor de 𝒂 para que os pontos 𝑨(𝟐, 𝟏), 𝑩(𝒂 + 𝟏, 𝟐) e

𝑪(−𝟑, −𝟏) sejam os vértices de um triângulo

14) Calcule a área do triângulo de vértices 𝑨(𝟏, 𝟑), 𝑩(𝟐, 𝟓) e 𝑪(−𝟐, 𝟒).

15) Se (𝒎 + 𝟐𝒏, 𝒎 − 𝟒) e (𝟐 − 𝒎, 𝟐𝒏) representam o mesmo ponto do

plano cartesiano, então 𝒎𝒏 é igual a:

1) O ponto – Exercícios de provas anteriores

(ESA 2011). Um quadrado ABCD está contido completamente no 1º quadrante do

sistema cartesiano. Os pontos A(5,1) e B(8,3) são vértices consecutivos desse

quadrado. A distância entre o ponto A e o vértice C, oposto a ele, é:

(A) 13 (B) 2 13 (C) 26 (D) 13 (E) 26

(ESA 2011). Seja 𝑨𝑩 um dos catetos de um triângulo retângulo e isósceles ABC,

retângulo em A, com A(1,1) e B(5,1). Quais as coordenadas cartesianas do vértice C,

sabendo que este vértice pertence ao primeiro quadrante?

(A) (5,5) (B) (1,5) (C) (4,4) (D) (1,4) (E) (4,5)

(ESA 2012). Os pontos 𝑴(−𝟑, 𝟏) e 𝑷(𝟏, −𝟏) são equidistantes do ponto 𝑺(𝟐, 𝒃). Desta

forma, pode-se afirmar que 𝒃 é um número:

(A) primo. (B) múltiplo de 3. (C) divisor de 10. (D) irracional. (E) maior que 7.

(ESA 2015). Dados três pontos colineares 𝑨(𝒙, 𝟖), 𝑩(−𝟑, 𝒚) e 𝑴(𝟑, 𝟓), determine o valor

de 𝒙 + 𝒚, sabendo que 𝑴 é ponto médio de 𝑨𝑩:

(A) 3 (B) 11 (C) 9 (D) - 2,5 (E) 5