Geometria-Espacial
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GEOMETRIA ESPACIAL PRISMAS
01) A piscina de um clube tem 1,80m de profundidade,
14m de largura e 20m de comprimento. Calcule quantos litros de água são necessários para enchê-la.
a) 504 000 b) 340 000 c) 250 000 d) 300 000
02) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem
por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é:
( 1m – 10dm ) 03) ( UFSC ) O volume de um paralelepípedo retângulo é
24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo.
04) ( UFRGS – 08 ) O custo de uma embalagem é diretamente proporcional à superfície do sólido que se deseja embalar. Se o custo para embalar um cubo de 40 cm de aresta é R$ 10,00, a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta custa, em reais,
a) 15 b) 20 c) 25 d) 40 e) 80
05) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado
menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa. O polinômio na variável x, que representa o volume, em cm3, desta caixa é
a) 4x3 – 60x2 + 200x b) 4x2 – 60x + 200 c) 4x3 – 60x2 + 200 d) x3 – 30x2 + 200x e) x3 – 15x2 + 50x
06) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de
dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3, é:
07) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas
das arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:
08) ( UFSC ) A área total de um paralelepípedo reto
retângulo é de 376 m2 e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o resultado para o cartão resposta.
09) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um
paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:
a) 292cm2 b) 298cm2 c) 296cm2 d) 294cm2 e) 290cm2
10) ( UFRN ) Se a diagonal de um cubo mede 3 6 m, então sua área total, em m2, vale:
a) 54 b) 72 c) 85 d) 108 e) 110
11) ( UFRGS ) A área da base de uma caixa em que todas
as faces são retangulares é 320 cm2, a área de uma face lateral é 160 cm2 e de outra face lateral é 128cm2. O volume desta caixa, em cm3, é:
a) 2560 b) 1280 c) 640 d) 608 e) 320
12) ( PUC-SP ) Uma caixa sem tampa é feita com
placas de madeira de 0,5 cm de espessura. Depois de pronta, observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa, são 51cm x 26cm x 12,5cm, conforme mostra a figura abaixo.
O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é:
a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15 d) 0,156 e) 1,5
13) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto.
01. A área do triângulo ABC é 2 dm2.
02. AD = 2 6 dm. 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm3
16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm. 14) ( UFSC-2007 ) As dimensões, em metros, de um
paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do
polinômio 6456x14xx 23 −+− . Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo.
15) As três dimensões de um paralelepípedo reto-
retângulo de volume 405m3 são proporcionais aos números 1, 3 e 5. Com base no exposto, determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. A soma dos comprimentos de todas as arestas é 72m 02. A capacidade desse paralelepípedo é de 405 000 litros.
04. A diagonal maior do paralelepípedo é de 3 35 m 08. A área total do paralelepípedo é de 414m2 16. A área total desse paralelepípedo é maior do que a área total de um cubo cuja aresta mede 8m 16) ( ESPM – SP ) O seno do ângulo do ângulo que a
diagonal de um cubo forma com uma das arestas concorrentes a ela tem como valor:
3
2e)
3
3d)
3
6c)
2
6b)
3
22a)
17) Considere o sólido resultante de um paralelepípedo
retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do qual um prisma de base quadrada de 1 e altura x foi retirado. O sólido está representado pela parte escura da figura.
O volume desse sólido, em função de x, é dado pela expressão:
a) 2x3 – x2 b) 4x3 – x2 c) 2x3 – x d) 2x3 – 2x2 e) 2x3 – x
18) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 128litros de água de
uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm.
a) calcule o comprimento das arestas da referida
caixa b) calcule sua capacidade em litros
19) ( UFSM-RS ) Quantos cubinhos de madeira de 1cm de
aresta podem ser colocados numa caixa cúbica, com tampa, na qual foram gastos 294 cm2 de material para confeccioná-la?
a) 76 b) 147 c) 294 d) 343 e) 6859
20) ( ITA-SP ) As dimensões de um paralelepípedo
retângulo são proporcionais aos números loget, loget2
e loget3 e a área total é 792 cm2. Sabendo-se que a
soma das dimensões vale 12 vezes a razão de proporcionalidade, quais são os valores destas dimensões?
a) 6; 12 e 18 b) 5; 10 e 15 c) 2; 3 e 4 d) 2; 4 e 8 e) n.d.a.
GABARITO - PRISMAS 1) a 2) 06 3) 52 4) d 5) a 6) 64 7) 02 8) 48 9) a 10) d 11) a 12) a 13) 13 14) 64 15) 30 16) c 17) c 18) a) 80 b) 512 19) d 20) a
GEOMETRIA ESPACIAL PIRÂMIDES
01) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada,
tem aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.
02) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide
quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 2 3 cm. Determine a área total, em cm2, dessa pirâmide.
03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a
aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, é:
04) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com 12cm de altura,
tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é:
05) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a
altura mede 8 cm e a aresta da base mede 2 3. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é:
06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3
de volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da base?
07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de
aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é:
08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao
semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. Divida o resultado obtido em m2 por dez
09) ( UFPR ) O volume de um tetraedro regular de 10cm
de altura é:
a) 125 2 cm3
b) 125 3 cm3
c) 250 3 cm3
d) 375 2 cm3
e) 375 3 cm3 10) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação
de um sólido. O volume desse sólido é de:
a) 1152cm3 b) 1440cm3 c) 384cm3 d) 1200cm3 e) 240cm3
11) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:
V
8
3 e) V
6
5 d) V
3
2 c) V
4
3 b) V
2
1 a)
12) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro
regular de aresta igual a 4 cm.
a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm2 c) 12 3 cm2
d) 16 3 cm2 e) 24 3 cm2 13) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide
hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m2.
a) 6.10-4 b) 6.10-2 c) 12.10-4 d) 12.10-2 e) 15.10-4 14) ( EE Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem
225 cm2 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é:
a) 4,5 cm b) 7,5 cm c) 1,5 cm d) 9,5cm e) 3,5cm 18) ( ACAFE-SC ) A base de uma pirâmide hexagonal
regular está inscrita num círculo de raio 2 3 m. Sabendo que a altura da pirâmide é de 4m, a área da superfície lateral é:
a) 30 3 m2 b) 5 3 m2 c) 20 3 m2
d) 15m2 e) 10 3 m2 GABARITO PIRÂMIDES
1) 64 2) 48 3) 24 4) 260cm2
5) 48 3 6) 03 7) 18 8) 64 9) b 10) c 11) d 12) d 13) a 14) b 15) a
GEOMETRIA ESPACIAL CILINDROS
01) ( UFSC ) Um cilindro reto tem 63Πcm3 de volume.
Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura.
02) ( UDESC ) Uma caixa d’água de forma cilindrica tem
1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é:
a) 3,2 m b) 3,6 m c) 4,0 m d) 4,8 m
03) ( UFSC ) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de
36Πm2. O valor, em m3, de 1
Πdo volume desse
cilindro é: 04) ( UFBA-BA ) O tonel representado abaixo está
ocupado em 60% da sua capacidade. A quantidade de água nele contida é de aproximadamente:
a) 20L b) 30L c) 40L d) 50L e) 60L 05) ( U.E. Ponta Grossa-PR ) Uma pirâmide hexagonal
regular está inscrita em um cilindro circular reto. Sabendo-se que a área da base da pirâmide vale
24 3 cm2 e que o cilindro é eqüilátero, é correto afirmar que:
01. a aresta lateral da pirâmide vale 4 5 cm
02. o volume da pirâmide vale 64 3 cm3 04. o raio da base do cilindro vale 4 cm 08. a área total do cilindro vale 80π cm2 16. o volume do cilindro vale 128π cm3 06) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e 10 cm
de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água:
a) ultrapassa o meio do cano b) transborda c) não chega ao meio do cano d) enche o cano até a borda e) atinge exatamente o meio do cano 07) ( UFCE ) O raio de um cilindro circular reto é
aumentado de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de:
a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) n.d.a.
08) ( ITA-SP ) A área lateral de um cilindro de revolução, de x metros de altura, é igual a área de sua base. O volume deste cilindro é:
a) 2π x3 m3 b) 4π m3
c) π 3 x3 m3
d) π 2 x3 m3 e) 6π x3 m3
09) ( ACAFE ) Um prisma reto de 12 cm de altura está
inscrito num cilindro circular reto. Sabendo-se que a base do prisma é um triângulo retângulo cujos catetos medem 6cm e 8cm, a razão entre a área lateral do cilindro e a área lateral do prisma é:
24
11π e)
4
π d)
12
5π c)
10
5πb)
12
7π a)
10) ( UEMS ) Um certo tipo de óleo de soja é vendido em duas latas cilíndricas distintas. A lata A de raio r está cheia de óleo até a altura h, a lata B tem raio r/2 e está cheia até a altura 2h. A lata A é vendida por R$ 3,00 e a lata B por R$ 1,40. Podemos afirmar que:
a) a lata A é mais vantajosa para o consumidor; b) não existe vantagem na compra de uma ou outra
lata; c) ambas as latas apresentam o mesmo volume; d) a lata B apresenta o dobro do volume da lata A; e) a lata B é mais vantajosa para o consumidor.
11) ( UFR-RJ ) Carlos é um rapaz viciado em beber
refrigerante diet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou em frente a uma companhia de gás, onde viu um enorme reservatório cilíndrico de 3 metros de altura com uma base de 2 metros de diâmetro e pensou... “Em quanto tempo eu beberia aquele reservatório inteiro, se ele estivesse cheio de refrigerante diet?” Considerando π = 3,14 e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de refrigerante diet por dia, pode-se afirmar que ele consumirá todo o líquido do reservatório em um período de:
a) 86 dias b) 86 meses c) 86 anos d) 8,6 anos e) 860 meses
GABARITO – CILINDRO
1) 07 2) c 3) 54 4) a 5) 23 6) a 7) d 8) b 9) c 10) e 11) d
GEOMETRIA ESPACIAL CONES
01) ( ACAFE-SC ) O volume de um cone circular reto é de
27Π dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é:
a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm 02) ( UFPA ) Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro
da base é 8m. Então, a área total (em m2) vale:
a) 52π b) 36π c) 20π d) 16π e) 12π
03) ( PUC-PR ) Um triângulo retângulo isósceles, de
hipotenusa 3 2 cm, gira em torno de um dos catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado?
a) 3 2 cm3 b) 9 π cm3 c) 18 π cm3 d) 27 π cm3
e) 1/3 π cm3 04) ( UFSC ) Derrete-se um bloco de ferro, de forma
cúbica, de 9cm de aresta, para modelar outro bloco,
de forma cônica, de 15
Π cm de altura e 12 cm de raio
da base. O volume, em cm3, de ferro que sobrou após a modelagem, é:
05) ( F.POSITIVO -PR ) Um cone eqüilátero tem área
lateral igual a 18 π dm2. Calcule, em dm3, o valor do seu volume:
a) 6 π 3
b) 9 π 3
c) 12 π 3
d) 18 π 3 e) 18π
06) ( ACAFE-SC ) Considerando que o cilindro da figura
tenha altura igual ao diâmetro da base, conclui-se que o volume da parte hachurada equivale a:
3
πr4
3e) 3
πr3
4d) 3
πr2
1c) 3
πr2
3b) 3
πr3
2a)
07) ( PUC-RS ) Num cone de revolução, a área da base é
36π m2 e a área total é 96 π m2. A altura do cone, em metros, é igual a:
08) ( ITA-SP ) Qual o volume de um cone circular reto, se
a área de sua superfície lateral é de 24Π cm2 e o raio de sua base mede 4cm?
09) ( UFPA ) Um cone eqüilátero tem de área de base 4π
cm2. Qual sua área lateral?
a) 2π cm2 b) 4π cm2 c) 8π cm2 d) 16π cm2 e) 32π cm2
10) ( UFMG ) Os lados de um triângulo isósceles medem
5cm, 6cm e 5cm. O volume do sólido que se obtém girando-o em torno de sua base, em cm3, é:
a) 16π b) 24π c) 32π d) 48π e) 75π
11) Determine a razão entre a área lateral e a área total
de um cone equilátero. 12) A geratriz de um cone circular reto mede 10m e o raio
da base 4m. A medida do ângulo do setor circular obtido, quando se desenvolve a superfície lateral desse cone, é igual a:
a) 30o b) 36o c) 72o d) 144o e) 180o 13) ( Epusp ) Desenvolvendo a superfície lateral de um
cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um setor circular. Determine a medida do ângulo central desse setor.
a) 288º b) 200º c) 140º d) 300º e) n.d.a. GABARITO CONE 1) e 2) b 3) b 4) 09 5) b 6) d 7) 08
8) 16
320π cm3
9) c 10) c 11) 2/3 12) d 13) a
GEOMETRIA ESPACIAL ESFERAS
01) Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano
distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm)da secção.
02) ( UFSC ) O volume, em cm3, de um cubo
circunscrito a uma esfera de 16π cm2 de superfície é: 03) ( ACAFE-SC ) A soma de todas as arestas de um cubo
mede 72 cm. A superfície da esfera inscrita no cubo é: a) 16 π m2
b) 24 π m2
c) 36 π m2 d) 48 π m2 e) 72 π m2 04) ( MACK-SP ) A razão entre o volume de uma esfera e
o volume de um cilindro circular reto circunscrito a esta esfera é igual a:
a) 4/3 b) 2/3
c) 3 d) 1/3
e) 3/3 05) ( Santa Casa -SP ) O raio da base de um cone
eqüilátero mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em cm3, é:
a) 144π b) 152π c) 192π d) 288π e) 302π
06) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte
por um plano que dista 5 cm do centro. O raio da secção feita mede, em cm:
07) ( CEFET-PR ) A área de uma secção, feita em uma
esfera e distando 3 cm do centro, é igual a 18π cm2. A área da esfera, em cm2, é:
08) ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de
diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é:
a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100
09) ( UFES ) Enche-se um tubo cilíndrico de altura
h = 20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale:
a) 102 π3
cm3
b) 80 π3
cm3
c) 40 π cm3
d) 160π3
cm3
e) 80 π cm3
10) ( UFSC ) A razão entre o volume de um cubo e sua
área total é 2. O valor de π3
1do volume da esfera,
inscrita nesse cubo, é: 11) ( PUC-RS ) A região R da figura está limitada por três
semicírculos. Se R efetua uma volta completa em torno do eixo dos x, ela gera um sólido de volume:
a) 12π b) 8π c) 4π d) 2π e) π
12) ( CEFET-PR ) Se aumentarmos em 3 cm o raio de uma
esfera, seu volume aumentará 252π cm3. O raio da esfera original mede, em cm:
13) ( FUVEST ) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base
é 6 cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente, ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1 cm, então o raio da esfera é:
14) ( UFSC ) Um recipiente de forma cilíndrica medindo
12cm de raio interno é preenchido com água até uma altura “h”. Uma bola (esfera) de raio 12cm é colocada no fundo desse recipiente e constatamos que a água recobre exatamente o nível da bola. Quanto mede a altura “h”, ( em cm )?
15) Os centros de três esferas que se tangenciam duas a
duas, externamente, formam um triângulo cujos lados medem 3cm, 4cm e 5cm. A soma dos volumes das três esferas é, em cm3. (divida o resultado por π).
16) ( F.Porto-Alegrense-RS ) Se um cone e uma esfera têm o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é:
a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 d) 2/3 e) 1
17) ( ITA-SP ) Um cone circular reto tem altura 12cm e
raio da base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm:
a) 10/3 b) 7/4 c) 12/5 d) 3 e) 2
18) ( ITA-SP ) A área da intersecção de um plano com
uma bola, cujo raio mede 13cm, é 144π cm2. Determine as distâncias polares.
GABARITO ESFERAS
1) 39 2) 64 3) c 4) b 5) d 6) 12 7) 108π 8) d 9) b 10) 96 11) b 12) 03 13) 3cm 14) 08 15) 48 16) a 17) a
18) 4 13 e 6 13