Geometria EspacialGeometria Espacial

AxiomasAxiomas

Axiomas, ou postulados (Axiomas, ou postulados (PP), são ), são proposições aceitas como proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. desenvolvimento de uma teoria.

A reta é infinita, ou seja, contém A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.infinitos pontos.

                                                                             

Por um ponto podem ser traçadas Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. infinitas retas.

Por dois pontos distintos passa uma Por dois pontos distintos passa uma única reta. única reta.

Por três pontos não-colineares passa Por três pontos não-colineares passa um único plano. um único plano.

Por uma reta pode ser traçada uma Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. infinidade de planos.

Posições relativas de duas Posições relativas de duas retasretas

Posições relativas de duas Posições relativas de duas retasretas

Posições relativas de duas Posições relativas de duas retasretas

Temos que considerar dois Temos que considerar dois casos particulares: casos particulares:

retas perpendiculares: retas perpendiculares:

retas ortogonais: retas ortogonais:

Postulado de Euclides ou Postulado de Euclides ou das retas paralelas   das retas paralelas   

Dados uma reta  Dados uma reta  rr e um ponto P r, e um ponto P r, existe uma única reta existe uma única reta ss, traçada por, traçada por PP, tal que , tal que r // s:      r // s:      

                                                                               

Determinação de um Determinação de um planoplano

uma reta e um ponto não-uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta: pertencente a essa reta:

Determinação de um Determinação de um planoplano

duas retas distintas concorrentes: duas retas distintas concorrentes:

Determinação de um Determinação de um planoplano

duas retas paralelas distintas: duas retas paralelas distintas:

Posições relativas de reta e Posições relativas de reta e planoplano

reta contida no plano reta contida no plano

Posições relativas de reta e Posições relativas de reta e planoplano

reta concorrente ou incidente ao reta concorrente ou incidente ao plano plano

Posições relativas de reta e Posições relativas de reta e planoplano

reta paralela ao planoreta paralela ao plano

Perpendicularismo entre Perpendicularismo entre reta e planoreta e plano

Posições relativas de dois Posições relativas de dois planosplanos

planos coincidentes ou iguais planos coincidentes ou iguais

Posições relativas de dois Posições relativas de dois planosplanos

planos concorrentes ou secantes planos concorrentes ou secantes

Posições relativas de dois Posições relativas de dois planosplanos

planos paralelo planos paralelo

Poliedros convexos e Poliedros convexos e côncavoscôncavos

Chamamos de Chamamos de poliedropoliedro o sólido o sólido limitado por quatro ou mais limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum dois somente uma aresta em comum

Poliedros convexos e Poliedros convexos e côncavoscôncavos

Os poliedros convexos possuem nomes Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:faces, como por exemplo:

tetraedro: quatro faces tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces icosaedro: vinte faces

Relação de EulerRelação de Euler

Em todo poliedro convexo é válida a Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:relação seguinte:

V - A + F = 2V - A + F = 2

V=8   A=12    F=68 - 12 + 6 = 2

Relação de EulerRelação de Euler

V = 12  A = 18   F = 8 V = 12  A = 18   F = 8 12 - 18 + 8 = 2 12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicosPoliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:se, e somente se:

a) for convexo;a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o b) em todo vértice concorrer o

mesmo número de arestas;mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número c) toda face tiver o mesmo número

de arestas;de arestas; d) for válida a relação de Euler.d) for válida a relação de Euler.

Poliedros platônicosPoliedros platônicos

Poliedros platônicosPoliedros platônicos

PrismasPrismas

PrismasPrismas

bases:as regiões poligonais bases:as regiões poligonais RR e e SS altura:a distância altura:a distância hh entre os planos entre os planos arestas das bases:os lados ( dos arestas das bases:os lados ( dos

polígonos) polígonos) arestas laterais:os segmentos arestas laterais:os segmentos faces laterais: os paralelogramos faces laterais: os paralelogramos

AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A EE'A'A

PrismasPrismas

ClassificaçãoClassificação reto: quando as arestas laterais reto: quando as arestas laterais

são perpendiculares aos planos são perpendiculares aos planos das bases;das bases;

PrismasPrismas

ClassificaçãoClassificação oblíquo: quando as arestas oblíquo: quando as arestas

laterais são oblíquas aos planos laterais são oblíquas aos planos das bases.das bases.

PrismasPrismas

Chamamos de prisma regular todo  Chamamos de prisma regular todo  prisma reto cujas bases são prisma reto cujas bases são polígonos regulares: polígonos regulares:

PrismasPrismas

PrismasPrismas

volume de um prisma volume de um prisma V = AB.h V = AB.h

Paralelepípedo retânguloParalelepípedo retângulo

Diagonais da base e do Diagonais da base e do paralelepípedoparalelepípedo

SendoSendo AL AL a área lateral de um a área lateral de um paralelepípedo retângulo, paralelepípedo retângulo,

temos: temos: AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc

= AL = 2(ac + bc)= AL = 2(ac + bc)

área total é a soma das áreas área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: de cada par de faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)AT= 2( ab + ac + bc)

volume de um volume de um paralelepípedoparalelepípedo

volume de um paralelepípedo volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões retângulo de dimensões aa, , bb e e cc é é dado por: dado por:

V = abcV = abc

CuboCubo

Diagonais da base e do Diagonais da base e do cubocubo

Área lateralÁrea lateral

AL=4a2 AL=4a2

Área totalÁrea total

AT=6aAT=6a²²

VolumeVolume

V= a . a . a = aV= a . a . a = a³³

CilindroCilindro

Classificação do CilindroClassificação do Cilindro

circular oblíquo: quando as geratrizes circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; são oblíquas às bases;

circular reto: quando as geratrizes circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases são perpendiculares às bases

cilindro de revolução cilindro de revolução

O cilindro circular reto é também O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução chamado de cilindro de revolução

Secção transversal Secção transversal

Secção meridiana Secção meridiana

  ÁreasÁreas

VolumeVolume

Vcilindro = Ab.h Vcilindro = Ab.h

PirâmidesPirâmides

Relações entre os Relações entre os elementos de uma pirâmide elementos de uma pirâmide

regularregular

Relações entre os Relações entre os elementos de uma pirâmide elementos de uma pirâmide

regularregular A face lateral da pirâmide é um A face lateral da pirâmide é um

triângulo isósceles. triângulo isósceles.

Relações entre os Relações entre os elementos de uma pirâmide elementos de uma pirâmide

regularregular Os triângulos VOB e VOM são Os triângulos VOB e VOM são

retângulos. retângulos.

ÁreasÁreas

AT = AL +AbAT = AL +Ab

VolumeVolume

Cone circularCone circular

Cone circularCone circular

altura: distância altura: distância hh do vértice do vértice VV ao plano ao plano

geratriz (geratriz (gg):segmento com uma ):segmento com uma extremidade no ponto extremidade no ponto VV e outra num e outra num ponto da circunferência ponto da circunferência

raio da base: raio raio da base: raio RR do círculo do círculo eixo de rotação:reta determinada pelo eixo de rotação:reta determinada pelo

centro do círculo e pelo vértice do cone centro do círculo e pelo vértice do cone   

Cone retoCone reto

gg²² = h = h²²+ R+ R²²

Secção meridianaSecção meridiana

ÁreasÁreas

Teorema de Pappus - Guldin Teorema de Pappus - Guldin

quando uma superfície gira em torno quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal de um eixo e, gera um volume tal que:que:

d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo eS=área da superfície

VolumeVolume

Secção paralela à base de Secção paralela à base de uma pirâmideuma pirâmide

Tronco da pirâmideTronco da pirâmide

Áreas & VolumeÁreas & Volume

AT =AL+AB+Ab AT =AL+AB+Ab

Tronco do coneTronco do cone

ÁreasÁreas

VolumeVolume

EsferaEsfera

Fuso esféricoFuso esférico

Cunha esféricaCunha esférica

Calota esféricaCalota esférica

Zona esféricaZona esférica