UNIVERSIDADE PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA

FILHO" – CAMPUS DE GUARATINGUETÁ

GEOMETRIA EUCLIDIANA – AXIOMAS DE

ORDEM

Arthur

Fernando

Iris

Guaratinguetá – SP 2013

Resumo

Esperamos com este trabalho expor de forma sucinta, porém significativa, nossos

estudos em relação ao tema apresentando "Axiomas de Ordem". Nosso objetivo é

selecionar e aduzir as ideias principais deste capitulo, sendo estas os axiomas,

conceitos, definições, teoremas e proposições contidos no livro "Geometria Euclidiana

Plana" do autor Almir Rogério Silva Santos.

Também apresentaremos, ao final do conteúdo, três exercícios resolvidos.

Palavras-chave: Matemática. Geometria Euclidiana. Axiomas de Ordem.

SUMÁRIO

1. GEOMETRIA EUCLIDIANA ................................................................................................ 4

2.1 Axioma de Ordem 1 ......................................................................................................... 5

2.2 Axioma de Ordem 2 ......................................................................................................... 5

2.3 Axioma de Ordem 3 ......................................................................................................... 6

2.4 Definição 1 (Segmento de Reta) ................................................................................... 7

2.5 Definição 2 (Semirreta) ................................................................................................... 7

2.6 Proposição 1 ..................................................................................................................... 8

2.7 Definição 3 (Semiplano)................................................................................................ 10

2.8 Axioma de Ordem 4 ....................................................................................................... 10

2.9 Corolário 1 ....................................................................................................................... 11

2.10 Proposição 2 ................................................................................................................. 11

2.11 Teorema 1 (Pasch) ...................................................................................................... 12

3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................ 15

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 18

1. GEOMETRIA EUCLIDIANA

De acordo com SANTOS, no livro Geometria Euclidiana Plana, pg. 19.

Sabe-se que os postulados de Euclides não são suficientes para demonstrar todos os resultados da geometria plana. De fato, é perceptível que nos Elementos de Euclides existem lacunas que não são possíveis preenchê-las somente com o conteúdo dos Elementos. O que é feito então é a axiomatização da geometria, de tal forma que serão suficientes para demonstrar todos os resultados conhecidos desde o ensino fundamental. Não podemos definir todos os termos que iremos usar. Para definir um termo devemos usar outro termo, e para definir esses termos precisamos usar outros termos, e assim por diante. Se não fosse possível deixar alguns termos indefinidos, estaríamos envolvidos em um processo infinito.

A axiomatização é extremamente necessária para a definição de certas ideias,

e a partir das mesmas, então, consegue-se realizar as demonstrações de outras ideias

(teoremas, proposições, definições, etc.).

Neste trabalho serão estudados e descritos os Axiomas de Ordem. Eles dizem

respeito à posição dos pontos sobre a reta. Deste modo a percepção de esquerda e

direita pode ser definida a partir de noções mais elementares: a de "estar entre".

Os axiomas de Euclides não colocam qualquer restrição ou orientação sobre o

uso do termo primitivo “estar entre”. Seríamos obrigados a usar nossa intuição

geométrica ou ajuda de desenhos para regulamentar o uso desta relação entre pontos,

mas sabemos que isso não se pode fazer, pois é uma atividade proibida em um

sistema axiomático fechado. Serão incluídos alguns axiomas para regulamentar

algumas das propriedades mais elementares desta relação que são visualmente

evidentes nos desenhos.

2. AXIOMAS DE ORDEM

2.1 Axioma de Ordem 1

Se A * B * C, então A, B e C são pontos distintos de uma mesma reta e C * B *

A (ideia de colinearidade).

Em notação de Teoria dos Conjuntos, teríamos:

ABC

rCBAr

CBCABA

CBA

**

,,:

,,

**

Obs.: O termo A * B * C, em todos os momentos citados significará que o

ponto B está entre os pontos A e C.

2.2 Axioma de Ordem 2

Dados três pontos distintos de uma reta, um e somente um deles está entre os

outros dois.

A * B * C

B * C * A

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C * A * B

Obs.: Este axioma assegura que uma reta não é um circulo, onde não

temos a noção bem clara de um ponto estar entre outros dois.

2.3 Axioma de Ordem 3

Dados dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E pertencentes á reta

contendo B e D, tais que A * B * D, B * C * D e

B * D * E.

A * B * C

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B * C * D

B * D * E

Obs.: Este axioma assegura que uma reta possui infinitos pontos. Também

garante que não há saltos, assim como distinguir segmento de reta.

2.4 Definição 1 (Segmento de Reta)

Sejam dois pontos distintos A e B, o segmento AB é o conjunto de todos os

pontos entre A e B mais os pontos extremos A e B.

2.5 Definição 2 (Semirreta)

A semirreta com origem em A e contendo B é o conjunto dos pontos C tais que A *

B * C mais os segmentos AB, sendo representando por SAB.

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2.6 Proposição 1

Para quaisquer dois pontos A e B, têm-se:

a) SAB U SBA = reta determinada por A e B

mSS BAAB e BAAB SSm

Demonstração – Seja m a reta determinada por A e B. Da definição de

semirreta, segue imediatamente que mSS BAAB .

Se um ponto C pertence á reta m, então o Axioma de Ordem 2 implica somente

em três alternativas:

A * C * B (C pertence ao segmento AB).

C * A * B (C pertence à semirreta SBA).

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A * B * C (C pertence à semirreta SAB).

Em qualquer caso, C pertence a BAAB SS . Por hipótese o ponto C pertence à

reta m, então BAAB SSm . Logo mSS BAAB .

b) ABSS BAAB .

Demonstração – Seja ABC . Pela definição de semirreta com origem no

ponto A passando por B, sabemos que ABSAB , portanto ABSC . Como AB = BA,

BAC . De maneira análoga, BASBA , fazendo BASC . Então temos que BASC

e ABSC , portanto BAAB SSABC .

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2.7 Definição 3 (Semiplano)

Seja uma reta m. Dois pontos distintos fora de m, A e B, estão em um mesmo

lado da reta m SE o segmento AB não a intercepta, caso contrario, A e B estão em

lados opostos de m. O conjunto dos pontos de m e dos pontos C tais que A e C estão

em um mesmo lado da reta m é chamado de semiplano determinado por m contendo

A, ou seja, PmA.

2.8 Axioma de Ordem 4

Para toda reta l e para quaisquer três pontos A, B e C fora de l, têm-se:

a) Se A e B estão no mesmo lado de l e B e C estão no mesmo lado de l, então A e C

estão no mesmo lado de l (Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si).

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b) Se A e B estão em lado opostos de l e B e C estão em lados opostos de l, então A

e C estão no mesmo lado de l.

2.9 Corolário 1

Se A e B estão no mesmo lado de l e B e C estão em lados opostos de l, então

A e C estão em lados opostos de l.

2.10 Proposição 2

Toda reta m determina exatamente dois semiplanos distintos cuja intersecção é

a reta m.

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Demonstração

Passo 1: Existe um ponto A fora da reta l.

(Proposição: Para todo ponto P existe pelo menos uma reta l que não passa por P).

Passo 2: Existe um ponto O pertencente a l.

(Axioma de Incidência 2: Em toda reta existe pelo menos dois pontos distintos).

Passo 3: Existe um ponto B tal que A * O * B.

(Axioma de Ordem 3: Retas possuem infinitos pontos).

Passo 4: Então A e B estão em lados opostos de l, e l possui pelo menos dois lados.

Passo 5: Seja C um ponto fora de l diferente de A e B. Se C e B não estão no mesmo

lado de l, então A e C estão no mesmo lado de l. (Axioma de Ordem 4). Logo, o

conjunto dos pontos fora de l é a união dos semi-planos SmA e SmB.

Passo 6: Se mBmA SSC com mC , então A e B estão do mesmo lado (Axioma de

Ordem 4); contradição com o Passo 4. Assim, se mBmA SSC então mC .

Portanto, mSS mBmA .

2.11 Teorema 1 (Pasch)

Se A, B e C são pontos distintos e não colineares (não pertencem à mesma

reta) e r é qualquer reta interceptando AB em um ponto entre A e B, então r também

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intercepta AC ou BC. Se C não está em r, então r não intercepta ambos AC e BC (não

intercepta ao mesmo tempo).

Obs.: Euclides utilizou este Teorema sem prová-lo.

Demonstração – C pertence à r ou não. Em caso afirmativo, segue a validade

da conclusão, isto é, C intercepta ambos os lados BC e AC. Consideraremos o caso

em que C não pertence à r. Como A e B não pertencem à r e r intercepta AB, segue

por definição que A e B estão em lados opostos á r (Definição 3). Se C não pertence á

r, ou C está do mesmo lado de A em relação à r, ou no lado oposto de A em relação á

r (Axioma de Ordem 4).

Se C e A estão do mesmo lado em relação á r, então C e B estão em lados

opostos em relação à r. Isto significa que r intercepta BC e não AC. Se C e B estão do

mesmo lado em relação á r, de modo análogo à conclusão anterior, temos que r

intercepta AC, mas não BC.

Assim, em conclusão a todas as hipóteses para r, chegamos que r intercepta

um dos outros dois lados do triângulo.

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3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Prove que se A * B * C e B * C * D então C pertence ao segmento AD.

Resolução: Seja E um ponto que não pertence à reta AB. Seja F um ponto da

reta CE, tal que F * E * C. Sendo AEC um triângulo e A * B * C (por hipótese), temos

que BF intercepta o segmento AE ou a reta CE. Como F * E * C, F não pode estar em

entre C e E. Dos dois fatos anteriores, segue-se que a reta BF tem que interceptar o

segmento AE (Teorema de Pasch). Considerando agora o triângulo BFC e a reta AE,

temos novamente do Teorema de Pasch que o ponto de intersecção das retas AE e

BF está entre os pontos B e F. Chamemos de G este ponto de intersecção.

Analogamente, prova-se que CF intercepta o segmento GD em algum ponto H.

Como H deve estar no segmento GD, e E não pertence ao segmento AG,

então a reta EH terá um ponto em comum com o segmento AD (Teorema de Pasch

aplicado ao AGH). Assim, C está no segmento AD.

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2) Prove que se A * C * D e A * B * C, então A * B * D e B * C * D.

Resolução: Seja G um ponto não pertencente á reta AB e F um ponto tal que B *

G * F. A reta CF não tem ponto em comum com AB, nem com BG. Assim, CF não tem

ponto em comum com AG. Como A * C * D e AGD é um triângulo, temos do Teorema

de Pasch que CF intercepta GD em algum ponto H. Pelo mesmo modo, sendo BGD

um triângulo, segue-se que FH intercepta BD. Vemos assim que B * C * D e daí

concluímos a veracidade da segunda afirmação. Das hipóteses e da afirmação do

exercício anterior, segue-se que A * B * D.

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3) Entre dois pontos distintos existe um infinidade de pontos.

Resolução: Seja r uma reta e A e B dois pontos distintos dessa reta. Entre A e B

existe um ponto C, tal que A * C * B. Do mesmo modo, existe D tal que A * D * C.

assim, do exercício anterior, segue-se que A* D * B, e consequentemente A, B, C, D

são pontos distintos de r. De maneira análogo, pode-se afirmar que existe um ponto E

em r, tal que A * E * C e A* E * B, de forma que os pontos A, B, C, D, E são distintos e

pertencentes á r. Continuando este mesmo raciocínio, podemos obter entre A e B um

conjunto infinito de pontos C, D, E... Como queríamos demonstrar.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

SANTOS, Almir Rogério Silva; VIGLIONI, Humberto Henrique de Barros. Geometria

Euclidiana Plana: Capitulo 1.4 – Axiomas de Ordem. Págs. 19 – 25.

Axiomas de Ordem. Disponível em:

<http://pt.scribd.com/doc/54816298/50/Axiomas-de-ordem> Acesso em: 28 maio 2013.

PENEIREIRO, João Batista; SILVA, Maurício Fronza. Geometria Plana e Desenho

Geométrico: Capítulo 2.2 – Axiomas da Ordem. Págs. 15 – 18.