GEOMETRIA ESPACIAL

CILINDROS

CLASSIFICAÇÃO E ELEMENTOS

Um cilindro pode ser classificado em:

Cilindro oblíquo – quando as geratrizes são oblíquas às bases.Nesse caso, a secção meridiana é um paralelogramo.

Cilindro reto – quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Nesse caso, a secção meridiana é um retângulo, a geratriz e a altura são iguais (g = h).

h = 2R

R R

R

Secção meridianag h (altura)

C = 2R h

R Rraio

cilindro oblíquoR

Secção meridiana

h = g

R

Raltura raio

Observação:cilindro reto

Se a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base, ou seja, h= 2R, então a secção é um quadrado e o cilindro é chamado cilindro eqüilátero.

h = 27

R

R

ÁREA E VOLUME

FÓRMULAS

Área base A = R2

B

Área lateral AL = 2R.h

Área total AT = 2R . (h + R)

Volume V = R2.h

(A) 500. (C) 0,08(B) 750. (D) 0,02

(C) 1000 (E) 0,012(D) 1250.(E) 1500.

1. (UFAL) A área total de um cilindro reto de revolução é 128 e sua altura é 12. A área lateral do sólido é:

(A) 192 (B) 96 (C) 64 (D) 48 (E) 36

2. (ECMAL) Uma lata, de forma cilíndrica, tem diâmetro igual a 8 cm,

altura 3 5

cm e apenas 40% de sua capacidade está ocupada.

A quantidade de líquido, em litros, nela contido é igual a:

01) 0,05002) 0,22403) 0,35104) 0,42005) 0,500

3. (UNCISAL - 10) Um rótulo retangular, contendo a prescrição médica, foi colado em toda a superfície lateral de um recipiente de forma cilíndrica de um certo remédio, contornando-o até as extremidades se encontrarem, sem haver superposição. Sabendo- se que o volume do recipiente (desprezando-se a sua espessura) é 192 cm

3, pode-se afirmar que a área do rótulo, em cm

2, é igual

a

(A) 96 . (B) 80 . (C) 76 . (D) 72 . (E) 70 .

5. (Puccamp-SP) Uma piscina circular tem 5 m de diâmetro. Um produto químico deve ser misturado à água na razão de 25 por500 litros de água. Se a piscina tem 1,6 m de profundidade e está totalmente cheia, quanto do produto deve ser misturado à água?Use: = 3,1.

(A) 1,45 kg (B) 1,55 kg (C) 1,65 kg (D) 1,75 kg (E) 1,85 kg

6. (Puccamp-SP) Numa indústria, deseja-se utilizar tambores cilíndricos para a armazenagem de certo tipo de óleo. As dimensões dos tambores serão 30 cm para o raio da base e 80 cm para a altura. O material utilizado na tampa e na lateral custa R$ 100,00 o metro quadrado. Devido à necessidade de um material mais resistente no fundo, o preço do material para a base inferior é de R$ 200,00 o metro quadrado. Qual o custo de material para a confecção de um desses tambores sem contar as perdas de material? Em seus cálculos, considere =3,14.

(A) R$ 235,50 (B) R$ 242,50 (C) R$ 247,90 (D) R$ 249,10 (E) R$ 250,00

7. (Mackenzie-SP) Um vazamento, em um navio tanque, provoca o aparecimento de uma mancha de óleo que tem a forma circular e espessura constante de 2,5 cm, como mostra na figura.

O raio da mancha, t minutos depois do início do vazamento, é

tdado, em metros, pela relação r(t) = . Adotando = 3, o

5

4. (UNCISAL - 10) Um reservatório cilíndrico contém uma quantidade de água que ocupa a metade da sua capacidade. Retirando-se150 litros de água, a altura do nível da água baixa 30%. Acapacidade total desse reservatório, em litros, é

volume, em m3, de óleo vazado, após 4 minutos do início do

vazamento, é:

(A) 0,014 (B) 0,016

8. (Vunesp-SP) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m

3 de água e 42 m

3 de petróleo.

12 mpetróleo

água

Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é:

(A) 2(B) 7

7(C)

3(D) 8

8(E)

3

1. (ENEM) Uma receita de bolo leva 600 ml de leite. Para medir o leite, Dona Iolanda dispõe de dois recipientes: uma caixa na forma de um paralelepípedo com arestas 7 cm, 11 cm e 13 cm e um copo na forma de um cilindro circular reto com altura 15 cm e raio da base 3 cm. Qual procedimento que permite medir a quantidade aproximada (com 4ml de erro) necessária de leite para a receita? (use a aproximação 3)

a) Usando duas medidas do corpob) Cem o copo cheio de leite, Dona Iolanda enche a caixa

despejando o leite do copo e o que restou no copo ela utilizano bolo.

c) Usando duas medidas da caixa.d) Com a caixa cheia de leite, ela enche o copo despejando o

leite da caixa e o que restou na caixa ela utiliza no bolo.e) Usando três vezes o copo para encher a caixa e o que sobrou

na terceira vez é a medida procurada.

(A) 113 040(B) 169 560(C) 56 520(D) 37 680(E) 56 520

CILINDROS

1. Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a capacidade desse tonel, em litros é:

(A) 200.(B) 300.(C) 400.(D) 500.(E) 800.

2. O raio de um cilindro de revolução mede 1,5m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em m

2, vale:

3 2(A)

49 2

5. Um contêiner, na forma de um cilindro reto, tem altura igual a 3 m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20 m

2. Calcule, em metros, o raio da base

deste contêiner.

6. (UFAL-91/2) Se o volume de um cilindro eqüilátero é de 128cm

3, então determine o raio de sua base.

7. (UFAL-80) Um reservatório de água tem a forma de um cilindro circular reto, com 16 m de altura e raio da base igual a 4 m. Determine sua capacidade, em litros.

(Adote = 3)

8. Num cilindro de 5cm de altura, a área da base é igual à área de uma seção por um plano que contém o eixo do cilindro, talcomo a seção ABCD na figura a seguir.

(B)4

(C) (2 + )

2(D)

(E)

23 1

2

3. A uma caixa d'água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4cm de diâmetro e 50m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio.

Solta-se a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?

(A) 90 cm. (B) 92 cm. (C) 94 cm. (D) 96 cm. (E) 98 cm.

4. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6m e

2

Determine o volume desse cilindro.

9. Deseja-se construir um recipiente fechado forma de um cilindro circular reto com área lateral 144 m

2 e a altura de 12m.

a) Determine o volume do recipiente.

b) Supondo que o metro quadrado do material a ser utilizado custa R$10,00, calcule o valor gasto na construção do recipiente. (Considere = 3,14)

10. (UFAL) Na figura abaixo têm-se duas vistas de um tanque pararaio da base 3m. O nível da água nele contida está a

3da altura peixes, construído em uma praça pública.

do tanque. Se = 3,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:

Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com altura de1,2m e raios da base medindo 3m e 4m. Se, no momento, a água no interior do tanque está alcançando 3/4 de sua altura, quantos litros de água há no tanque?

(Use: = 22/7)

11. Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e base com 20cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até

a altura de 40cm, conforme indicado na figura.

Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando igual a 3, determine a

medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água.

12. (UE-CE) O volume de um cilindro circular reto é 36 6 cm3. Se

a altura desse cilindro mede 6 6 cm, então a área total desse

cilindro, em cm2, é:

(A) 72 (B) 84 (C) 92 (D) 96

(E) 100

Considerando igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a:

(A) 10 2

(B) 10 3 2

(C) 10 12

(D) 10 3 12

(E) 10 3 6

15. Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é:

(A) 144º (B) 192º (C) 240º (D) 288º (E) 336º

16. Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa.

Qual a distância do bico do chapéu à mesa?

(A) 10 3 cm.

13. (Faap-SP) Um fabricante de caixas d’água pré-moldadas deseja fabricá-las na forma cilíndrica com 2 metros de altura interna com

(B) 3 10 cm.

capacidade de 2 000 litros. Então, o raio da base da caixa d’água(C) 20 2 cm.

é, em metros, igual a:

(A) 2 1

(D) 20 cm.(E) 10 cm.

(B)

10(C)

(D)

10(E)

14. (UE-RJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e

contém água até altura de 40 cm, conforme indicado na figura.

20 cm

1. C2. B3. C4. A5. 2 m6. 8 cm7. 768 000 L

8. 50 0

cm3

60 cm

40 cm

9. a) 432 m3

b) R$ 678,2410.19.800

11.10 3 1212.B13.B14.D15. D16. A

FÓRMULAS

Área lateral

SL = n . AF

. g

2Área total AT = AL + AB

Volume1

V = . AB . H3

CLASSIFICAÇÃO BASE

Pirâmide triangular TrianguloPirâmide quadrangular QuadriláteroPirâmide pentagonal PentágonoPirâmide hexagonal Hexágono

PROPRIEDADES

d

' h

b d 2

B h

3V2

d

V1 h

PIRÂMIDES

CLASSIFICAÇÃO E ELEMENTOS

Uma pirâmide é dita regular quando sua base for um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice coincidir com o centro da base.

As pirâmides são classificadas de acordo com o número de lados dos polígonos da base.

A altura de uma face lateral (é a altura relativa à base de um triângulo isósceles) é a chamada apótema da pirâmide e sua medida será indicada por g.

ÁREA E VOLUME

SF =

Numa pirâmide regular, convém destacar:

O polígono da base é regular, e, portanto, inscritível

numa circunferência de raio OA = R, chamado raio da base.

O apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base e sua medida será indicada por m.

As arestas laterais são congruentes e sua medida será indicada por a.

As faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

PROPRIEDADES

Considere o tronco de pirâmide da figura:

B área da base maior b área da base menorH altura da pirâmide AXYZWd altura da pirâmide A’X’Y’Z’W’k altura do troncoV1 volume da pirâmide AXYZWV2 volume da pirâmide A’X’Y’Z’W’f apótema do tronco