Geometria Espacial Tronco de Cone e Piramide

7/24/2019 Geometria Espacial Tronco de Cone e Piramide

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Troncos de Cone e de Pirmide

1.(Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone circularreto de eixo vertical recebe gua na razo constante de

31 cm s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base

mede 3 cm.

Conforme ilustra a imagem, a altura h do nvel da gua norecipiente varia em funo do tempo t em que a torneira ficaaberta. A medida de h corresponde distncia entre o vrticedo cone e a superfcie livre do lquido.

Admitindo 3, a equao que relaciona a altura h, em

centmetros, e o tempo t , em segundos, representada por:

a) 3h 4 t

b) 3h 2 t

c) h 2 t d) h 4 t

2.(Unesp 2014) A imagem mostra uma taa e um copo. A forma da taa , aproximadamente,de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios das basesmedindo R e r. A forma do copo , aproximadamente, de um tronco de cone de altura 3R eraios das bases medindo R e 2r.

Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios

das bases B e b 2 21

h (B B b b )3

e dado que 65 8,

determine o raio aproximado da base do copo, em funo de R,

para que a capacidade da taa seja 23

da capacidade do copo.


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3.(Uel 2014) Uma empresa que produz embalagens plsticas est elaborando um recipientede formato cnico com uma determinada capacidade, conforme o modelo a seguir.

Sabendo que o raio desse recipiente mede 36cm e que sua altura de 48 cm, a quedistncia do vrtice deve ser feita uma marca

na superfcie lateral do recipiente para indicara metade de sua capacidade?Despreze a espessura do material do qual feito o recipiente.Apresente os clculos realizados naresoluo desta questo.

4.(Ita 2014) Considere o slido de revoluo obtido pela rotao de um tringulo issceles

ABC em torno de uma reta paralela base BC que dista 0, 25 cm do vrtice A e 0, 75 cm da

base BC. Se o lado AB mede

2 1

cm,2

o volume desse slido, em cm3

, igual a

a)9

.16

b)13

.96

c)7

.24

d)9

.24

e)11

.96

5.(Mackenzie 2014) Para construir um funil a partir de um disco de alumnio de centro O e raioR 16 cm, retira-se do disco um setor circular de ngulo central 225 .

Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio r 1cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC

e BD. O processo de constru.oxiaba sarugif san odatneserper tse linuf od o

A medida da altura do funil

a) 2 39 cm

b)15 39

cm8

c)55

cm8

d) 2 55 cm

e)

15 55

cm8


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6.(Espm 2014) Uma indstria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a formaexata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 20% das originais. Seem cada garrafinha brinde cabem 7 ml de bebida, podemos concluir que a capacidade dagarrafa original de:a) 875 mlb) 938 ml

c) 742 mld) 693 mle) 567 ml

7.(Uem 2014) A superfcie de uma piscina tem o formato de um crculo de raio 4 metros. Aprofundidade abaixo de cada ponto na superfcie da piscina descrita pela funo

x 3p(x)

3

3

se 0 x 3

se 3 x 4

em que x a distncia, em metros, do ponto na superfcie da piscina at a borda da piscina.

Assinale o que for correto.01) A profundidade da piscina em um ponto que est a 2 metros da borda de 2,5 metros.02) Uma pessoa que no deseje ir a uma parte da piscina que tenha profundidade acima de

1,5 metro pode afastar-se, no mximo, 1,5 metro da borda.04) Se dois pontos esto a distncias distintas da borda da piscina, ento as profundidades

abaixo deles tambm so distintas.08) O slido que descreve a piscina a unio de dois cilindros com um tronco de cone.

16) O volume de gua que cabe dentro da piscina 324 m .

8.(Ufg 2013) Uma fbrica de embalagens resolveu produzir um copo no formato de tronco de

cone circular reto, com dimetros superior e inferior de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A partecentral do fundo do copo cncava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, comoindica a figura a seguir.

Considerando-se o exposto, desenvolva a expresso que fornece o volume do tronco de coneem funo da altura e dos raios das bases e calcule a altura aproximada desse copo para queele tenha capacidade de 157 mL.

Dados: 3,14, 2

coneR H

V ,3

3

esfera4 r

V .3


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9.(Esc. Naval 2013) A Marinha do Brasil comprou um reservatrio para armazenarcombustvel com o formato de um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual a capacidadeem litros desse reservatrio?

a) 240

103

b) 519102

c)49

103

d) 449

103

e) 319

103

10.(Espcex (Aman) 2013) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R ealtura h, est completamente cheio com gua e leo. Sabe-se que a superfcie de contato entre

os lquidos est inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispe de uma torneiraque permite escoar os lquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira foraberta, exatamente at o instante em que toda gua e nenhum leo escoar, a altura do nvel doleo, medida a partir do vrtice ser

a)3 7

h2

b)3 7

h3

c)3 12

h2

d)3 23

h2

e)3 23

h3


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11.(Ufg 2013) Em um perodo de festas, pretende-se decorar um poste de uma praa com fiosde luzes pisca-piscas. A estrutura da decorao possui o formato de tronco de cone circularreto com 2,4 m de altura e dimetros de 2 m na base e 0,6 m no topo. Os fios de luzes seroesticados, do aro superior ao inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para distribu-los de maneira uniforme, marcam-se na circunferncia da base pontos igualmente espaados,

de modo que o comprimento do arco entre dois pontos consecutivos seja no mximo 10 cm.De acordo com os dados apresentados, determine o nmero mnimo de fios de luzesnecessrio para cobrir a superfcie lateral do tronco de cone e a soma total de seuscomprimentos.Dado: 3,14.

12.(Fgv 2013) Um cilindro circular reto de base contida em um plano foi seccionado por um

plano , formando 30 com , gerando um tronco de cilindro. Sabe-se que BD e CE so,

respectivamente, eixo maior da elipse de centro P contida em , e raio da circunferncia de

centro Q contida em . Os pontos A, B, P e D so colineares e esto em , e os pontos A, C,

Q e E so colineares e esto em .

Sendo BC = 1 m e CQ 3m, o menor caminho pela superfcie lateral do tronco ligando ospontos C e D mede, em metros,

a) 23 1 3

b) 3 3

c) 23 1

d) 29 3

e) 29

13.(Enem 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formatorepresentado na figura:

Nela identifica-se a representao de duas figurasgeomtricas tridimensionais.

Essas figuras soa) um tronco de cone e um cilindro.b) um cone e um cilindro.c) um tronco de pirmide e um cilindro.d) dois troncos de cone.e) dois cilindros.


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14.(Fgv 2013) No poliedro ABCDEFGH, as arestas AE , BF , CG e DH so perpendiculares

ao plano que contm a face retangular ABCD, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que

AE 1, AB DH 4 e 2AD 2BF CG 6.

a) Calcule a distncia entre os pontos A e G. b) Calcule o volume do poliedro ABCDEFGH.

15.(Udesc 2013) Se a geratriz, a altura e o raio menor de um tronco de cone reto so,

respectivamente, 13 cm, 3 cm e 3 cm, ento o volume do cone original :

a) 398 cm

b) 349 cm

c) 313,5 cm

d) 362,5 cm

e) 376 cm

16.(Ufmg 2012) Um funil formado por um tronco de cone e um cilindro circular retos, comorepresentado na figura abaixo

Sabe-se que g = 8 cm, R = 5 cm, r = 1 cm e h 4 3 cm .

Considerando essas informaes,

a) Calculeo volume do tronco de cone, ou seja, do corpo dofunil.

b) Calculeo volume totaldo funil.c) Suponha que o funil, inicialmente vazio, comea a receber

gua a 127 ml/s. Sabendo que a vazo do funil de 42ml/s, calculequantos segundos so necessrios para queo funil fique cheio.


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17.(Uem 2012) Um determinado funil de plstico tem a forma de um tronco de cone cujascircunferncias dos furos que o delimitam possuem raios 2 cm e 0,5 cm, e a altura do funil de6 cm. Considerando essas informaes, e desprezando a espessura do funil, assinale o que forcorreto.01) O volume (capacidade) do funil maior do que 30 cm3.02) A rea lateral do funil superior a 60 cm2.

04) Se o funil estiver em posio vertical, com o furo menor voltado para baixo e tampado, paraencher o funil at metade da altura com gua, sero necessrios menos de 10 cm3degua.

08) Se o funil foi obtido de um cone, removendo-se sua ponta, a altura do cone original era de10cm.

16) A razo entre as reas respectivas do crculo maior e menor que formam os furos do funil igual a 8.

18.(Ufg 2012) Pretende-se instalar, em uma via de trfego intenso, um redutor de velocidadeformado por 14 blocos idnticos em forma de tronco de pirmide. Cada tronco de pirmide obtido a partir de uma pirmide de base retangular aps seccion-la por um plano paralelo base e distante do vrtice 2 3 da altura da pirmide. Ao trmino da instalao, a face superior

(base menor) de cada tronco de pirmide ser pintada com tinta amarela. Cada litro de tinta

custa R$10,00, sendo suficiente para pintar 210 m .

Sabendo-se que a rea da base maior de cada tronco de pirmide utilizado na construo do

redutor de 2630 cm , calcule o custo da tinta amarela utilizada.

19.(Enem PPL 2012) Nas empresas em geral, so utilizados dois tipos de copos plsticosdescartveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:

- copos pequenos, para a ingesto de caf: raios das bases iguais a 2,4cm e 1,8cm e altura

igual a 3,6cm; - copos grandes, para a ingesto de gua: raios das bases iguais a 3,6cm e 2,4cm e altura

igual a 8,0cm.

Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartveis, fornecendopara cada um de seus funcionrios canecas com a forma de um cilindro circular reto de alturaigual a 6cm e raio da base de comprimento igual a y centmetros. Tais canecas sero usadastanto para beber caf como para beber gua.Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases sorespectivamente iguais a Re re a altura h, dado pela expresso:

2 2troncodecone

hV (R r Rr)

3

O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2seja, no mnimo, igual a

a) 2,664 cm.b) 7,412 cm.c) 12,160 cm.d) 14,824 cm.e) 19,840cm.


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20.(Udesc 2012) Um recipiente de uso culinrio com 16 cm de altura possui o formato de umtronco de cone reto (conforme ilustra a figura) e est com gua at a metade da sua altura.

Sabendo que a geratriz desse recipiente igual a 20 cm e que o dimetro de sua base iguala 4 cm, classifique as proposies abaixo e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa.

( ) O volume de gua no recipiente corresponde quarta parte da quantidade necessriapara ench-lo totalmente.

( ) Se a gua do recipiente for retirada taxa constante de 28 cm3por segundo, ento otempo necessrio para esvazi-lo ser superior a 20 segundos.

( ) Para aumentar 4 cm do nvel de gua no recipiente, necessrio acrescentar mais 364 cm3de gua.

A alternativa correta, de cima para baixo, :a) VFFb) FVFc) FVVd) FFVe) VVF

21.(Udesc 2012) Uma caixa de um perfume tem o formato de um tronco de pirmide

quadrangular regular fechado. Para embrulh-la, Pedro tirou as seguintes medidas: arestalateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e 2 cm. A quantidade total de papel para embrulhar

esta caixa, supondo que no haja desperdcio e nem sobreposio de material, foi:

a) 288 cm

b) 2168 cm

c) 280 cm

d) 268 cm

e) 2148 cm


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22.(Ufu 2012) Considere um balde para colocao de gelo no formato de um tronco de conecircular reto apresentando as medidas indicadas na figura a seguir.

Considerando que esse balde esteja com 25% de sua capacidade ocupada com gelo derretido

(gua) e, consequentemente, com um volume de gua igual a 0,097 litros, qual o valor (emcm) do raio da base maior R?a) 8,5b) 9c) 8d) 7,5

23.(Ita 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz2 3

3 interceptado por um plano

paralelo sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha

o mesmo volume de um cubo de aresta1 3

243

cm, necessrio que a distncia do plano

base do cone original seja, em cm, igual a

a)1

4

b)1

3

c)1

2

d)2

3

e)3

4


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Gabarito:

Resposta da questo 1:[A]

Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do cone semelhante ao cone de altura24cm e altura 3cm. Logo, temos

r 3 hr .

h 24 8

O volume desse cone dado por

2 331 h hV h cm .

3 8 64

Por outro lado, como a vazo da torneira igual a 31cm s, segue-se que

3V 1 t t cm ,

com t em segundos.

Em consequncia, encontramos

33h t h 4 t cm.

64

Resposta da questo 2:Utilizando a frmula dada temos:

Capacidade da Taa:3 2 2

T4 R R r R r

V3

Capacidade do copo: 3 2 2cV R 2 R r 4 R r

Fazendo VT= 2/3(VC), temos:

2 2 37R r 3 R R 2 R 0

Resolvendo a equao na incgnita r, temos:2 43 R 65 R 5 R

r14 R 14

ou

2 43 R 65 R 11 Rr (no convm)

14 R 14

Portanto, o raio do copo ser:2 5 R 5 R

.14 7


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Resposta da questo 3:

Seja G a geratriz da embalagem. Como 36 3 12 e 48 4 12, segue-se que

G 5 12 60cm. Portanto, se g o resultado pedido, ento

3

3

3

g 1 60g

60 2 2

g 30 4cm.


[C]

No tringulo AMC, temos:

22 22 1 1 1 1x x e h

2 2 2

Volume do cilindro:2

3C

3 1 9V cm

4 16

Volume de cada tronco de cone:2 3

3T

1 1 1 1 3 3 13V cm

3 2 4 4 4 4 96

Portanto, o volume pedido ser dado por:

T3

C9 13 14 7

2 cm16 96 48 24

V V 2 V


[E]

Tem-se que

3AOB 360 360 225 135 rad.

4

Logo,


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3AB AOB AO 16 12 cm

4

e3 3

CD AOB OC 1 cm.4 4

Da, se R o raio maior do funil e r o raio menor do funil, ento

2 R 12 R 6cm e

3 32 r r cm.

4 8

Portanto, sendo h a altura do funil e AC OA OC 15cm a sua geratriz, pelo Teorema dePitgoras, vem

22 2 23 2025h 15 6 h 225

8 64

22375h

64

15 55h cm.

8


[A]

Seja c a capacidade da garrafa original, em mililitros.

Como os slidos so semelhantes, tem-se que

3c 1

c 875mL.7 0,2


02 + 08 + 16 = 26.

[01] Falsa, pois 2 3) / 3 5 / 3 2,p ( .(2) 5

[02] Verdadeira, pois p(1,5) (1, 3) / .5 3 1,5m

[04] Falsa, pois f(3) f( m4) 3 .

[08] Verdadeira, de acordo com o texto a figura abaixo representa tal piscina.


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[16] Verdadeira, pois

Volume do cilindro maior: 2 31V 4 1 16 m

Volume do tronco de cone: 2 32 1V 1 4 4 1 1 7 m3

Volume do cone menor: 2 33V 1 1 m

Volume total: 2 31 3V V V V 16 7 24 m


Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases R e r dado por

2 2h(R Rr r ),3

segue que o volume do copo dado pela expresso

2 2 3e

h 2(R Rr r ) r ,

3 3

com er sendo o raio da esfera.

Portanto, considerando a aproximao fornecida, a altura pedida tal que

2 2 33,14 h 2 3,14(3 3 2 2 ) (1,5) 1573 3

3,14(19h 6,75) 157

3

156,75h

19

h 8,25cm.


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[D]

x 3ADE ~ ABC x 15

x 10 5

O volume V pedido (em m3) a diferena entre os volumes dos cones de raios 5m e 3m,respectivamente.

2 3 3 41 1 490 49V 5 25 3 15 m 10 L.3 3 3 3

Resposta da questo 10:[A]

Como a superfcie de contato entre os lquidos est inicialmente na metade da altura do cone,segue que a razo entre o volume de gua e a capacidade V do recipiente tal que

2

2

3H 0

H 0

v 1 Vv .

V 2 8

Desse modo, o volume de leo dado por

2H O V 7VV v V .8 8

Portanto, quando toda a gua e nenhum leo escoar, a altura x atingida pelo leo tal que

33

3

7Vx x 78

V h h 8

7x h.

2


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Comprimento da base maior:C 2 3,14 1 6,28m 628cm

Nmero de fios:

628: 10 62,8 63 fios

Tamanho de cada fio:2 2 2x 2,4 0,7 x 2,5m

Logo, a soma dos comprimentos ser dada por:63 2,5 157,5m


[D]

Planificando a metade da superfcie lateral do tronco, obtemos a figura abaixo.

O resultado procurado a hipotenusa do tringulo CDE.

O cateto EC o semipermetro da base do tronco. Logo, EC 3 m.

Dado que CQ raio da circunferncia de centro Q, temos EQ 3 m.

Sabendo que BC 1m, do tringulo retngulo ABC, vem

BCtg30 AC 3 m.AC


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Da semelhana dos tringulos ADE e ABC, obtemos

DE AE DE 3 3

1 3BC AC

DE 3 m.

Portanto, aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo CDE, encontramos

2 2 2 2 2 2

2

CD DE EC CD 3 ( 3 )

CD 9 3 m.


[D]

fcil ver que o slido da figura constitudo por dois troncos de cone.


a) Como ABCD retngulo, AB 4 e AD 3, imediato que AC 5. Logo, aplicando o

Teorema de Pitgoras no tringulo ACG, obtemos

2 2 2 2 2 2AG AC CG AG 5 6

AG 61.

b) Decompondo o poliedro ABCDEFGHem dois troncos de prisma triangular, ADCGEH eABCGEF, temos

[ABCDEFGH] [ADCGEH] [ABCGEF]AD CD AE DH CG AB BC AE BF CG

2 3 2 3

3 4 1 4 6 1 3 6

2 3 3

2 (11 10)

42u.v.


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[D]

Sabendo que g 13 cm, h 3cm e r 3cm, e sendo R o raio maior do tronco de cone,

pelo Teorema de Pitgoras, vem2 2 2 2 2 2

2

g h (R r) ( 13) 3 (R 3)

(R 3) 4R 5cm.

Seja H a altura do cone original. Logo,

H R H 5

H h r H 3 3

15H cm

2

e, portanto, segue-se que o volume do cone original igual a

2 31 155 62,5 cm .3 2


a)

2 2 2(8) (4) H H 4 3 cm

2 2TroncoH

V R r Rr 3

2 2Tronco4 3

V (5) (1) (5)(1)3

3Tronco

124 3V cm

3

b) Funil tronco cilindroV V V

2 2 2Funil4 3

V (5) (1) (5)(1) (1) 4 33

3Funil

124 3 136 3V 4 3 cm

3 3

c)Se o funil recebe 127 ml/s de gua e a sua vazo de 42 ml/s, ento: 127 - 42 = 85 ml/sficam em acumulo por segundo. Para encher o funil, temos:

Tempo para encher o funil Funil

136 3

V 3 2,9s85 85

.


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01 + 04 = 05.

Dados Iniciais

(01) Verdadeiro.

2 2

2 2

3 3

hV r R rR

3

6V (0,5) (2) (0,5)(2)

3V 10,5 cm 30cm

(02) Falso.

l t

l

l

2 2l

S r R a

S (0,5) (2) ( 38,25)

S 2,5 ( 38,25)

S 48,6cm 60cm

(04) Verdadeiro.

0,5 2x 1,25 cm

2

Portanto,

2 2

2 2

3

hV r R rR3

3V (0,5) (1,25) (0,5)(1,25)

3

V 1 (0,25) (1,5625) (0,5)(1,25)

V 2,4375 10cm


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(08) Falso.

x x 6x 2cm

0,5 2

Logo, a altura do cone original era de x 6 2 6 8cm .

(16) Falso.2 2

M M2 2

m m

S SR (2)16

S Sr (0,5)


Seja A a rea da base menor de cada tronco de pirmide.

Sabendo que a rea base maior de cada tronco de pirmide mede 2630cm , e que a distncia

do vrtice da pirmide base menor do tronco 2

H,3

com H sendo a altura da pirmide,

temos

2

2

2H

A 3 A 280cm .630 H

Portanto, como 21m de rea pintada custa R$ 1,00, o resultado dado por

2801 14 R$ 0,39.

10000

Resposta da questo 19:[C]

Supondo que o raio da base das canecas deve ser tal que a capacidade de uma caneca sejamaior do que ou igual capacidade de um copo grande, temos

2 2 2 2 2

2

2 2

8 4y 6 (2,4 3,6 2,4 3,6) y 1,2 (4 9 6)

3 9

y 0,64 19

y 12,16cm .

Observao:Se o raio das canecas estiver expresso em centmetros, ento 2y ser expressoem centmetros quadrados.


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[C]

Considere a figura.

Sabendo que AD 16cm e que o recipiente est com gua at a metade da sua altura, segue

que AE ED 8cm. Alm disso, como AC 20cm e EB base mdia do tringulo ACD, vem AB BC 10cm. Desse modo, BE 6cm e CD 12cm.

Sabendo ainda que AO DF 2cm, temos que o volume do recipiente dado por

2 2 2 2

3

AD 16(BG BG AO AO ) (14 14 2 2 )

3 3

1216 cm .

Por outro lado, o volume de gua no recipiente

2 2 2 2

3

AE 8(BG BG AO AO ) (8 8 2 2 )

3 3224 cm .

Assim, a quantidade necessria de gua para encher totalmente o recipiente

31216 224 992 cm .

Portanto,

224 7 1.

992 31 4

Se a gua do recipiente for retirada taxa constante de 328cm por segundo, ento o temponecessrio para esvazi-lo ser

224 224 324 20 s.

28 28

Para aumentar 4cm o nvel de gua no recipiente, necessrio acrescentar mais

2 2 34 (11 11 8 8 ) 364 cm3

de gua.


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[E]

Considere a figura.

Sendo M o ponto mdio de AD, e M o ponto mdio de BC, segue que A 'B 4 1 3 cm.

Logo, como AB 5cm, vem AA' 4cm.

Portanto, a quantidade total de papel utilizada para embrulhar a caixa, supondo que no hajadesperdcio e nem sobreposio de material, igual a

2 2 2 2

2

AD BC 2 8AD BC 4 AA' 2 8 4 4

2 2

148cm .

Resposta da questo 22:[C]

Como 0,097 litros correspondem a1

25%

4

da capacidade do balde, temos que a

capacidade do balde igual a 34 0,097 L 0,388 L 388 cm .

Portanto, sabendo que a altura do balde mede 12cm e o raio da base menor mede 3cm, vem

2 2 212388 (R 3R 3 ) R 3R 88 03

R 8cm.


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[D]

Seja v o volume do cone determinado pelo plano.

Sabendo que o volume desse cone igual ao volume do cubo de aresta1 3

cm,243

obtemos

31 33v cm .

243 243

Considere a figura abaixo.

Como AO 1cm e2 3

AB cm,3

do Teorema de Pitgoras aplicado no tringulo AOB segue

que

32 22 3 4 1OB 1 1 .3 3 3

O volume do cone maior dado por

2 31 1 1V OB AO 1 cm .3 3 3 9

Da, como os cones so semelhantes, vem

3 3

v AO' AO' 1243 AO' cm.V AO 1 3

9

Portanto, o resultado pedido

1 2O'O AO AO' 1 cm.

3 3

Geometria Espacial Tronco de Cone e Piramide

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