Prof. Paulo Amaro. Geometria de Posição; Geometria Plana; Geometria Espacial; Geometria Analítica.
Geometria no espaco_solidos geometricos
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![Page 1: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/1.jpg)
Os sólidos geométricosOs sólidos geométricos
![Page 2: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/2.jpg)
Um sólido geométrico é composto por:
Faces
Vértices
Arestas
![Page 3: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/3.jpg)
12 arestas
6 faces
8 vértices
Olá, eu sou o cubo
Quantas faces, vértices e arestas tenho eu?
![Page 4: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/4.jpg)
E eu quem sou, sabendo que as minhas bases são quadrados?
Sou o Prisma quadrangular
Mas há quem me chame…Paralelepípedoquadrangular
Quantas bases tenho?
Tenho duas bases.
![Page 5: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/5.jpg)
Quantas faces, vértices e arestas tenho eu?
6 faces
12 arestas
8 vértices
![Page 6: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/6.jpg)
Olá, eu sou o prisma triangular
Quantas faces, vértices e arestas tenho eu?
5 faces
6 vértices
9 arestas
Tenho duas bases.Quantas bases tenho?
![Page 7: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/7.jpg)
E eu quem sou?
Chamo-me pirâmide quadrangular!
Terei 4 vértices?
Não! Tenho 5 vértices.
E faces e arestas, quantas tenho?
Tenho 5 faces e …
8 arestas!
Quantas bases tenho?
Apenas uma.
![Page 8: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/8.jpg)
E nós, quem somos?
Eu sou a …
Eu sou…
O cone.
Terei vértices?
Tenho apenas um vértice.
E bases, tenho alguma?
Tenho uma base plana.
Esfera.
Sou formada
apenas por uma
superfície curva
![Page 9: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/9.jpg)
E eu, alguém sabe quem sou?
Muito bem! Chamo-me cilindro!
Tenho vértices e arestas?
Não. Não tenho vértices nem arestas.
Sou formado por superfícies …
CurvaPlanas e …E tenho duas bases.
![Page 10: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/10.jpg)
Sólidos poliedros e não poliedrosSólidos poliedros e não poliedros
• Poliedros • Não poliedros
Somos formados apenas
por superfícies planas
Somos formados por superfícies planas e curvas ou apenas por
superfícies curvas.
![Page 11: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/11.jpg)
Quem sou eu?Quem sou eu?
Tenho:• 10 vértices• 15 arestas• 7 faces
Prisma pentagonal
![Page 12: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/12.jpg)
Quem sou eu?Quem sou eu?
• Tenho:• 12 vértices• 18 arestas• 8 faces
Prisma hexagonal
![Page 13: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/13.jpg)
Quem sou eu?Quem sou eu?
• Tenho:• 6 vértices• 9 arestas• 5 faces
Prisma triangular
![Page 14: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/14.jpg)
Quem sou eu?Quem sou eu?
• Sou formado, apenas, por uma superfície curva
Esfera
![Page 15: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/15.jpg)
Quem sou eu?Quem sou eu?
• Tenho:• 6 vértices• 10 arestas• 6 faces
Pirâmide pentagonal
![Page 16: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/16.jpg)
Quem sou eu?Quem sou eu?
• Tenho:• Um vértice• Uma base• Não tenho arestas
Cone
![Page 17: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/17.jpg)
Quem sou eu?Quem sou eu?
• Tenho:• Duas bases• Uma superfície curva
Cilindro
![Page 18: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/18.jpg)
PlanificaçãoPlanificação
Eu sou a planificação de que sólido geométrico?
Do cubo.
![Page 19: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/19.jpg)
PlanificaçãoPlanificação
Eu sou a planificação de que sólido geométrico?
Do cubo.
![Page 20: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/20.jpg)
PlanificaçãoPlanificaçãoEu sou a planificação de que sólido geométrico?
Do prisma pentagonal.
![Page 21: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/21.jpg)
PlanificaçãoPlanificação
Eu sou a planificação de que sólido geométrico?
Da pirâmide hexagonal.
![Page 22: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/22.jpg)
PlanificaçãoPlanificação
Eu sou a planificação de que sólido geométrico?
Do cilindro.
![Page 23: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/23.jpg)
PlanificaçãoPlanificação
Eu sou a planificação de que sólido geométrico?
Do cone.
![Page 24: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/24.jpg)
Representação do sólido
Nome do sólido Polígonos das faces do sólido geométrico
Na primeira coluna da tabela, estão representados dois sólidosNa primeira coluna da tabela, estão representados dois sólidosgeométricos diferentes.geométricos diferentes.
Cubo
Prisma quadrangular
6 quadrados
2 quadrados e
4 retângulos
![Page 25: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/25.jpg)
Na primeira coluna da tabela, estão representados dois sólidosNa primeira coluna da tabela, estão representados dois sólidosdiferentes.diferentes.
Representação do sólido
Nome do sólido Polígonos das faces do sólido
Prisma triangular
Pirâmide
triangular
3 retângulos e
2 triângulos
4 triângulos, sendo um deles a base(equilátero)
![Page 26: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/26.jpg)
Na primeira coluna da tabela, estão representados dois sólidosNa primeira coluna da tabela, estão representados dois sólidosdiferentes.diferentes.
Representação do sólido
Nome do
sólido
Figura geométrica das bases do sólido
Cilindro
Cone
2 círculos (2 bases)
1 círculo (1 base)
Face Lateral
Retângulo
Setor Circular
![Page 27: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/27.jpg)
POLIEDROSPOLIEDROS
![Page 28: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/28.jpg)
OS POLIEDROS - DEFINIÇÃOOS POLIEDROS - DEFINIÇÃO
• São sólidos formados por todos os pontos do espaço delimitados por uma superfície fechada, que pode ser decomposta em um número finito de superfícies planas poligonais, maior ou igual a quatro, de tal modo que cada lado de uma delas coincida com apenas um lado da outra.
![Page 29: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/29.jpg)
ELEMENTOS DE UM POLIEDROELEMENTOS DE UM POLIEDRO
FACEARESTA
VÉRTICE
![Page 30: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/30.jpg)
ELEMENTOS DE UM POLIEDROELEMENTOS DE UM POLIEDRO
FA
V
Face: cada uma das superfícies poligonais que compõem a superfície do poliedro
Aresta: lado comum a duas faces
Vértice: ponto comum a três ou mais arestas.A palavra POLIEDRO, de
origem grega, é formada por poli, que significa várias, e edro, que significa faces.
![Page 31: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/31.jpg)
NOMENCLATURASNOMENCLATURAS
• Um poliedro pode ser nomeado de acordo com o número de suas faces, precedido por um elemento de origem grega (como tetra = 4 faces, penta = 5 faces, hexa = 6 faces, hepta = 7 faces, octa = 8 faces,...) seguido do elemento de composição edro.
![Page 33: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/33.jpg)
HEXAEDROHEXAEDRO
![Page 34: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/34.jpg)
OCTAEDROOCTAEDRO
![Page 35: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/35.jpg)
POLIEDRO CONVEXOPOLIEDRO CONVEXO
• Um poliedro convexo não apresenta reentrância ou “furos” em sua superfície, caso contrário será não-convexo.
POLIEDRO CONVEXO POLIEDRO NÃO - CONVEXO
![Page 36: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/36.jpg)
RELAÇÃO DE EULERRELAÇÃO DE EULER
• Os elementos, tais como número de VÉRTICES (V), número de FACES (F) e o número de ARESTAS (A) de um poliedro CONVEXO, satisfazem a seguinte relação:
V+F=A+2
Leonhard Paul Euler (Basiléia, 15/04/1707 – São
Petersburgo,18/091783) foi um matemático e físico suíço.
![Page 37: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/37.jpg)
RELAÇÃO DE EULERRELAÇÃO DE EULER
Hexaedro
F=6
V=8
A=12
8+6=12+2
V
F
A
V+F=A+2
![Page 38: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/38.jpg)
PLANIFICAÇÃOPLANIFICAÇÃO
Planificando
![Page 39: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/39.jpg)
POLIEDROS REGULARESPOLIEDROS REGULARES
• São poliedros que possuem todas as faces poligonais regulares e congruentes entre si.
Polígonos que possuem lados e ângulos congruentes entre si.
Sinônimo de mesma medida (igual)
![Page 40: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/40.jpg)
POLIEDROS DE PLATÃOPOLIEDROS DE PLATÃO• Um poliedro é chamado de
Platão se, e somente se:
1) é convexo – satisfaz a relação de Euler
2) Todas as faces têm o mesmo número n de arestas
3) Em todos os vértices concorrem o mesmo número m de arestas
Nasceu em Atenas, por volta de 428/7, e era membro de uma aristocrática e ilustre família. Descendia dos antigos reis de Atenas, de Sólon e era também sobrinho de Crítias (460/403) e Cármides, dois dos "Trinta Tiranos" que governaram Atenas em -404. Lutou na Guerra do Peloponeso entre 409 e 404, e a admiração por Sócrates, que conheceu em algum momento desse período, foi decisiva em sua vida.
(428/7-348/7 a.C.)
![Page 41: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/41.jpg)
CINCO CLASSES DOS PPCINCO CLASSES DOS PP
TETRAEDRO
HEXAEDRO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
![Page 42: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/42.jpg)
TETRAEDRO TETRAEDRO REGULARREGULAR HEXAEDRO
REGULAR
![Page 43: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/43.jpg)
OCTAEDRO OCTAEDRO REGULARREGULAR DODECAEDRO
REGULAR
![Page 44: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/44.jpg)
ICOSAEDRO REGULARICOSAEDRO REGULAR
![Page 45: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/45.jpg)
CURIOSIDADECURIOSIDADE
MÓBILE
Os poliedros são sólidos geométricos tão “apaixonantes” que são utilizados em enfeites, tais como os móbiles.
![Page 46: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/46.jpg)
A ESTRUTURA POLIÉDRICA DA BOLA DE FUTEBOL
![Page 47: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/47.jpg)
• Na copa mundial de 1970 o mundo do futebol começou a utilizar uma bola confeccionada com pentágonos e hexágonos. Esta estrutura poliédrica chama-se icosaedro truncado, e é constituída de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.
![Page 48: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/48.jpg)
O icosaedro truncado pode ser obtido a partir do icosaedro. O icosaedro, conhecido como um dos sólidos de Platão, é formado por 20 faces triangulares regulares, com 12 vértices, sendo que em cada vértice incidem 5 arestas.
Para se obter o icosaedro truncado tomamos um icosaedro sólido e "cortamos" suas "pontas". Assim a cada vértice do icosaedro corresponde uma pequena pirâmide regular de base pentagonal que é retirada do icosaedro. Veja ao lado o icosaedro truncado inserido no esqueleto do icosaedro.
![Page 49: Geometria no espaco_solidos geometricos](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022052623/559e537b1a28ab4c448b4793/html5/thumbnails/49.jpg)
PRODUTO EM MÍDIA DIGITALPRODUTO EM MÍDIA DIGITAL
• http://www.youtube.com/watch?v=9cAU4xMKn7I
• http://www.youtube.com/watch?v=AR-aF0JB6ik