Ge_Pl_A13_WEB

Iran Abreu Mendes

José Querginaldo Bezerra

Autores

aula

13

Geometria Plana e EspacialD I S C I P L I N A2ª Edição

Áreas de superfícies

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rego

Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisCélia Maria de Araújo

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurélio FelipePedro Daniel Meirelles FerreiraTatyana Mabel Nobre Barbosa

Revisoras de Língua PortuguesaJanaina Tomaz Capistrano

Sandra Cristinne Xavier da Câmara

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

DiagramadoresBruno Cruz de Oliveira

Maurício da Silva Oliveira JúniorThaisa Maria Simplício Lemos

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN

MasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd, East, San Rafael, CA 94901,USA.

MasterFile – www.masterfile.cpomMorgueFile – www.morguefile.com

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Mendes, Iran Abreu.Geometria espacial: interdisciplinar / Iran Abreu Mendes, José Querginaldo Bezerra. – Natal, RN:

EDUFRN Editora da UFRN, 2005.324 p.

1. Geometria euclidiana. 2. Teoremas clássicos. 3. Triângulos. I. Bezerra, José Querginaldo. II. Título.

ISBN 85-7273-288-8 CDD 516.2RN/UF/BCZM 2005/48 CDU 514.12

Divisão de Serviços TécnicosCatalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Copyright © 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da

UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

2ª Edição Aula 13 Geometria Plana e Espacial

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

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ReitorJosé Ivonildo do Rego

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Mendes, Iran Abreu.Geometria espacial: interdisciplinar / Iran Abreu Mendes, José Querginaldo Bezerra. – Natal, RN:

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1. Geometria euclidiana. 2. Teoremas clássicos. 3. Triângulos. I. Bezerra, José Querginaldo. II. Título.

ISBN 85-7273-288-8 CDD 516.2RN/UF/BCZM 2005/48 CDU 514.12

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Apresentação

esta aula, abordaremos a forma de calcular áreas de superfícies de figuras espaciais, como fizemos na aula 9 com as figuras planas. Agora, o problema exige um certo grau de engenhosidade, como no caso da esfera, cuja área será obtida sem uma

demonstração rigorosa, mas com argumentação bastante convincente. No contexto dos poliedros, o cálculo é bem simples, pois corresponde à área das faces, que são figuras planas. E quando tratamos do cilindro e do cone, o problema se resolve através da sua planificação. Como o tema desta aula é muito importante para nossas necessidades diárias, faremos algumas aplicações práticas e outras serão discutidas na aula 15.

Objetivos

N

Esperamos que, ao final desta aula, você tenha compreendido os conceitos apresentados e seja capaz de calcular a área das superfícies dos principais sólidos, como também tenha adquirido habilidades para aplicar esses conhecimentos na resolução e interpretação de problemas teóricos e práticos.

2 Aula 13 Geometria Plana e Espacial 2ª Edição 2ª Edição Aula 13 Geometria Plana e Espacial

Superfície de um sólidoImagine um tomate como se fosse um sólido. Sua superfície seria a pele que o reveste.

Essa idéia, no momento, é suficiente, mas será apresentada com maior rigor nas disciplinas de cálculo que você irá cursar posteriormente.

Em relação aos poliedros, já citados na apresentação, a superfície é constituída pelas suas faces, assim como no cilindro e no cone, cujas superfícies são as partes planas que obtemos com a sua planificação.

Esperamos que os exemplos anteriores sejam suficientes para você compreender o que é a superfície de uma esfera e até de figuras mais complexas, mesmo que não constituam objeto de estudo desta disciplina.

Cálculo das áreas de superfícies

a aula passada, trabalhamos com paralelepípedos e pirâmides. O cálculo das áreas das superfícies desses sólidos é muito simples, conforme vimos na aula 9. Basta calcular as áreas de suas faces e somar os valores encontrados, conforme

ilustramos nos exemplos das Figuras 1 e 2.

Exemplo 1 – Considere o paralelepípedo retângulo, a seguir, e suas dimensões.

A superfície desse sólido é composta por suas seis faces. As opostas são congruentes e por isso possuem mesma área.

A área da face frontal é 6 m x 3 m, da base é 6 m x 4 m e da lateral é 4 m x 3 m. Logo, a área da superfície desse sólido é igual a 2 x 18 m2 + 2 x 24 m2 + 2 x 12 m2, ou seja, 108 m2.

N

Figura 1

6 m

4 m

3 m


Exemplo 2 – Considere a pirâmide seguinte, de base quadrada, e suas dimensões.

A superfície dessa pirâmide é constituída por um quadrado e quatro triângulos con-gruentes. A área da base é 4 m x 4 m e de cada triângulo é (4 m x m). Assim, a área da sua superfície é igual a 16 m2 + 8 m2.

Note que o cálculo é o mesmo para qualquer pirâmide de lados congruentes, isto é, a área da base, que é um polígono regular de n lados, mais as áreas dos n triângulos laterais.

Atividade 1

1 O que mudaria no exemplo 1, se o paralelepípedo não fosse retângulo?

2No exemplo 2, o que mudaria, caso a pirâmide não tivesse as faces laterais congruentes?

Figura 2

sua

resp

osta1.

2.

4 m

5 m

� Aula 13 Geometria Plana e Espacial 2ª Edição 2ª Edição Aula 13 Geometria Plana e Espacial

Atividade 2

O rendimento de um certo impermeabilizante é de 1 litro para cada metro quadrado. Quantos litros são necessários para se impermeabilizar uma cisterna cujas dimensões são 3 m x 2 m x 1,5 m?

sua

resp

osta

A área de cada região circular é R2 e a do retângulo referente à lateral do cilindro é 2 R x H. Portanto, a área A da superfície do cilindro é 2 R2 + 2 R H, ou seja, A = 2 R(R + H).

Figura 3

Vejamos agora como calcular a área da superfície de um cilindro. Como você viu na aula 7, a figura seguinte mostra a planificação de um cilindro reto.

1.

�2ª Edição Aula 13 Geometria Plana e Espacial

Atividade 3

Uma fossa asséptica de formato cilíndrico tem dois metros de profundidade e oitenta centímetros de raio. Quantos tijolos são necessários, aproximadamente, para se construir suas paredes laterais, sabendo-se que as dimensões dos tijolos são 20 cm x 20 cm x 9 cm e que eles são colocados deitados?

sua

resp

osta1.


Note que, quando dobramos ou triplicamos o comprimento do arco, a área do setor circular dobra ou triplica, sucessivamente. Isso quer dizer que essa área é diretamente proporcional ao comprimento do arco que o determina.

Em linguagem matemática, se AL representa a área do setor circular determinado pelo arco L, temos a seguinte regra de três:

2 R R2

L AL

Dessa forma, concluímos que AL =

No caso do setor circular em que queremos determinar a área, L = 2 r e R = g.

Logo, AL = rg. (Cuidado para não confundir o erre maiúsculo com o minúsculo!)

Portanto, a área A da superfície do cone reto com raio da base igual a r e geratriz g é igual a r2 + rg, ou seja, A = r (r + g).

O procedimento que usaremos para calcular a área da superfície de um cone é o mesmo que foi utilizado para o cilindro, ou seja, planificamos e calculamos a área das partes obtidas. Para esta aula, usaremos o cone reto, isto é, a projeção ortogonal do seu vértice sobre sua base é o centro dessa mesma base.

Vide figura seguinte.

As partes resultantes da planificação constituem uma região e um setor circular. A área da primeira é igual a R2 e, da segunda, calcularemos a seguir.

As figuras seguintes ilustram regiões circulares de raio R, os ângulos centrais, os respectivos arcos e os correspondentes setores circulares.

Figura 4

2 r

Figura 5 Figura 6 Figura 7


Atividade 4

1

2

Faça um esboço do cone, destacando seu raio r, a altura h e a geratriz g.

�

3

Os segmentos correspondentes a r, h e g formam um triângulo de que tipo?

Use o teorema de Pitágoras para calcular o valor de g.

Use a fórmula que deduzimos anteriormente e calcule a área da superfície do cone esboçado.

Para determinar a área de um cone reto de raio r= 3m e altura h=4m, siga as instruções abaixo.

sua

resp

osta1.

2.


3.

�.

O que acontece com a área da superfície de um cone, quando dobramos o seu raio e sua geratriz?

Desafio

Se você encontrou A = 24 m2, parabéns! Caso contrário, reveja todo o procedimento realizado na dedução da fórmula para calcular a área da superfície de um cone.


Atividade 5

Você já viu que a planificação de um cone resulta numa região plana chamada setor circular. Faça um esboço da região que se obtém da planificação de um tronco de cone, destacando as partes que correspondem aos raios do tronco e sua geratriz.

A maioria dos baldes que usamos no dia-a-dia têm o formato da Figura 8, que chamamos tronco de cone. No caso dos baldes (Figura 9), eles têm fundo mas não têm tampa.

Observação: Um tronco de cone é uma coisa sólida, enquanto um balde, não.

sua

resp

osta1.

Figura 8 Figura 9


Atividade 6

1

2

Suponha que o tronco de cone anterior tenha o raio da base inferior igual a 10 cm, o raio da base superior igual a 12 cm e a altura seja a 30 cm. Assim, determine a área de sua superfície, seguindo os passos de 1 a 3.

3

Complete o tronco de cone, recuperando aquele cone que o gerou e determine sua geratriz.

Considere o cone que foi acrescentado ao tronco de cone para formar o gerador e calcule a área desses dois.

A partir dos valores determinados no item anterior, calcule a área da superfície do tronco de cone.

A figura seguinte sugere a solução da atividade 6. Cuidado com as bases do tronco de cone!

Figura 10

sua

resp

osta 1.


Agora, abordaremos o caso mais difícil do cálculo de áreas de superfícies: o da esfera. A dificuldade está na impossibilidade de sua planificação, como fizemos nos casos anteriores, reduzindo o problema ao cálculo de áreas de figuras planas. O procedimento que adotaremos baseia-se em argumentos semelhantes aos da aula 9, utilizados para o cálculo da área de uma região circular. Da mesma forma que na referida aula, algumas afirmações ficarão sem demonstração! Contamos, pois com sua imaginação e bom senso.

A figura seguinte representa o globo terrestre com seus meridianos e paralelos.

Por analogia à Figura 11, a próxima corresponde a uma esfera com vários meridianos e paralelos. Note que as figuras que obtemos na sua superfície, entre pares consecutivos desses elementos, conforme destacamos, parecem paralelogramos e essa aparência se acentua à medida que aumentamos sua quantidade. É claro que as áreas dessas figuras são diferentes das áreas dos paralelogramos correspondentes de mesmos vértices.

Figura 11

sua

resp

osta2.

3.


Para um número muito grande de meridianos e paralelos, as áreas de cada uma dessas regiões são aproximadamente iguais às dos respectivos paralelogramos. Somando-se os volumes das pirâmides com bases nessas regiões e vértice no centro da esfera, obtemos seu o volume.

Usaremos o fato anterior para calcular a área da superfície da esfera, mas, para isso, precisamos antecipar dois resultados que serão provados na aula 14: os volumes da esfera e da pirâmide:

volume da esfera de raio R = R3

volume de uma pirâmide = (área da base) x (altura).

Voltando à esfera representada na Figura 12, suponha que temos n regiões de áreas A1, A2, A3, . . . , An na sua superfície e que, para cada região, temos uma pirâmide com base no respectivo paralelogramo e vértice no centro da esfera. Na figura a seguir, desenhamos uma dessas n pirâmides e lembramos que sua altura é R.

Figura 12

Figura 13

Para concluir nossa argumentação, lembre-se de que a soma dos volumes das n pirâ-mides é igual ao volume da esfera, ou seja,

13A1R+

13A2R+

13A3R+ . . .+

13AnR =

43πR3. (∗)

como13A1R+

13A2R+

13A3R+ . . .+

13AnR =

13(A1 +A2 +A3 + . . .+An)R,

cancelamos13R nos dois membros da identidade (*), obtendo

A1 +A2 +A3 + . . .+An = 4πR2.

Dessa forma, se A é a área da superfície da esfera, A = A1 + A2 + A3 + . . . + An eportanto, A = 4πR2.


Atividade 7

Uma bola de futebol tem 20 cm de diâmetro. Determine o valor da área de sua superfície, usando 3,14 como uma aproximação para o valor de .

Se sua resposta foi 1256 cm2, ótimo! Caso contrário, refaça os cálculos e use a fórmula correta.

sua

resp

osta1.

Atividade 8

Explique por que a quantidade de tinta necessária para se pintar uma esfera de raio R é a mesma para pintar a superfície lateral de um cilindro de raio R e altura 2R

1� Aula 13 Geometria Plana e Espacial 2ª Edição 2ª Edição Aula 13 Geometria Plana e Espacial

ResumoNesta aula, você aprendeu a calcular as áreas de superfícies de alguns sólidos, inclusive da esfera. Percebeu a importância da planificação de figuras espaciais e da capacidade de enxergar objetos tridimensionais. Observou, também, a importância do assunto abordado e as inúmeras possibilidades de sua aplicação em situações práticas.

Auto-avaliação Para ter certeza de sua aprendizagem nesta aula, resolva as questões seguintes.

sua

resp

osta

1.

1Quanto se gasta de plástico para fazer um copo com 7 cm de altura, base inferior com 4 cm de diâmetro e base superior medindo 6,5 cm de diâmetro? (despreze as perdas dos cortes)

1�2ª Edição Aula 13 Geometria Plana e Espacial

Se determinada tinta rende 9 m2 por litro, quantos litros são necessários para pintar o interior de um salão com 8 metros de comprimento por 6 metros de largura e 3,5 metros de altura, aplicando-se duas demãos?

Um reservatório de combustíveis de formato cilíndrico, com tampa, precisa de um tratamento anti-ferrugem. Se o produto a ser aplicado rende 6m2 por litro, determine quantos litros (aproximadamente) são necessários para a aplicação de três demãos, sabendo-se que o reservatório tem 10 metros de diâmetro e 12 de altura. ( 3,14)

Parte de um troféu possui uma esfera com 12 cm de diâmetro banhada de ouro. Se o preço de 1mm2 de banho de ouro custa R$ 100,00, quanto se gastou para banhar essa esfera? ( 3,14)

2

3

�

Referências

LOUREIRO, Cristina et al. Geometria. Lisboa: Ministério da Educação, 1998.

LIMA, Elon Lages. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: SBM, 1991.

LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: SBM, 1999. v. 2.

1� Aula 13 Geometria Plana e Espacial 2ª Edição

Anotações

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