Grfico de uma equao de 1 grau com duas variveisSabemos que uma equao do 1 grau com duas variveis possui infinitas solues. Cada uma dessas solues pode ser representada por um par ordenado (x, y). Dispondo de dois pares ordenados de um equao, podemos represent-los graficamente num plano cartesiano, determinando, atravs da reta que os une, o conjunto das soluo dessa equao. Exemplo:

Construir um grfico da equao x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equao. 1 par: A (4, 0) 2 par: B (0, 4) A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano. x y 4 0 0 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contm todos os pontos solues da equao.

A reta r chamada reta suporte do grfico da equao.

Sistemas de EquaesConsidere o seguinte problema: Pipoca, em sua ltima partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situao atravs de duas equaes, a saber:

x + y = 25 2x + 3y = 55

(total de arremessos certo) (total de pontos obtidos)

Essas equaes contm um sistema de equaes. Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenas verdadeiras, chamado soluo do sistema. Um sistema de duas equaes com duas variveis possui uma nica soluo.

Resoluo de SistemasA resoluo de um sistema de duas equaes com duas variveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equaes. Estudaremos a seguir alguns mtodos:

Mtodo de substituio

Soluo determinamos o valor de x na 1 equao. x=4-y Substitumos esse valor na 2 equao. 2 . (4 - y) -3y = 3

Resolvemos a equao formada. 8 - 2y -3y = 3 8 - 2y -3y = 3 -5y = -5 => Multiplicamos por -1 5y = 5

y

=1

Substitumos o valor encontrado de y, em qualquer das equaes, determinando x. x +1= 4 x= 4-1 x =3

A soluo do sistema o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}

Mtodo da adioSendo U = , observe a soluo de cada um dos sistemas a seguir, pelo mtodo da adio. Resolva o sistema abaixo:

Soluo Adicionamos membros a membros as equaes:

2x = 16

x=8

Substitumos o valor encontrado de x, em qualquer das equaes, determinado y: 8 + y = 10 y = 10 - 8 y=2 A soluo do sistema o par ordenado (8, 2) V = {(8, 2)}

Exerccios resolvidos de equaes de 1 grau com uma e duas variveis 01 Em um stio, entre ovelhas e cabritos, h 200 animais. Se o nmero de ovelhas igual a 1/3 do nmero de cabritos, determine quantas so o nmero de ovelhas e quantos so o nmero de cabritos. R.: Este problema se trata de uma equao do 1 grau com duas variveis (ovelhas e cabritos). Soluo: x = ovelhas y = cabritos Sabendo que x igual 1/3 do total de 200 animais, temos o valor de ovelhas = 67 (valor arred.) assim: x + y = 200 67 + y = 200 y = 200 67 y = 133 >> S = {67,133} Existem, desta forma, 67 ovelhas e 133 cabritos, totalizando 200 animais. 02 Em um quintal existem porcos, avestruz e galinhas, fazendo um total de 60 cabeas e 180 ps.

Quantos so os animais de duas patas e quantos so os de quatro patas?

R.: Este problema se trata de uma equao do 1 grau com duas variveis (animais de duas patas e animais de quatro patas). Soluo: x = animais de duas patas (avestruz e galinhas) y = animais de quatro patas (porcos) x + y = 60 >> x = 60 y Assim: animais de duas pernas 2x, e quatro pernas 4y, logo so observados. 2x + 4y = 180 2(60 y) + 4y = 180 120 2y + 4y = 180 2y = 180 120 2y = 60 >> y = 30 x + y = 60 x + 30 = 60 x = 60 -30 >> x = 30 >> S = {30,30}

Existem, ento, 30 animais de 02 pernas e 30 animais de 04 pernas. 03 Determine os valores da incgnita x, nas expresses abaixo: a) 2x + 6 = 0 2x = -6 x = -6/2 x = -3 >> V = {-3} b) 5x + 4 = 5 + 4x 5x 4x = 5 4 x = 1 >> V = {1} c) -10x + 6 = -18 + 2x

-10x 2x = -18 6

-12x = -24 (.-1) , multiplicar por (-1), pois a varivel x est com valor negativo 12x = 24 x = 24/12 >> x = 2 >> V = {2} 04 A soma de dois nmeros dados 8 e a diferena entre estes mesmos nmeros igual a 4. Quais sos os nmeros? R.: Este problema se trata de uma equao do 1 grau com duas variveis (aplica-se aqui o estudo da linguagem textual). x+y=8 xy=4 x+x+yy=8+4 2x = 12 x = 12/2 >> x = 6 xy=4 6y=4 -y = 4 6 -y = -2 (.-1) >> y = 2 >> S = {6,2}

Exerccios Resolvidos:1) Um nmero mais a sua metade igual a 150. Qual esse nmero? Soluo: n + n/2 = 150 2n/2 + n/2 = 300/2 2n + n = 300 3n = 300 n = 300/3 n = 100 Resposta: Esse nmero 100. 2) A diferena entre um nmero e sua quinta parte igual a 36. Qual esse nmero? Soluo: x - x/5 = 36 (5 x - x)/5 = 36 4x /5 = 36 4x = 36.5 4x = 180 x = 180/4

x = 45 Resposta: Esse nmero 45. 3) O triplo de um nmero igual a sua metade mais 20. Qual esse nmero? Soluo: 3 m = m/2 + 20 6m/2 = (m+40)/2 6m = m + 40 6m - m = 5m = 40 m = 40/5 m=8 Resposta: Esse nmero 8. 4) O triplo de um nmero, mais 5, igual a 254. Qual esse nmero? Soluo: 3p + 5 = 254 3p = 254 - 5 3p = 249 p = 249/3 p = 83 Resposta: Esse nmero 83. 5) O qudruplo de um nmero, diminudo de trs, igual a 99. Qual esse nmero ? 6) Jlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades ser 72 anos? 7) Num ptio h bicicletas e carros num total de 20 veculos e 56 rodas. Determine o nmero de bicicletas e de carros. 8) A metade dos objetos de uma caixa mais a tera parte desses objetos igual a 75. Quantos objetos h na caixa? 9) Em uma fbrica, um tero dos empregados so estrangeiros e 90 empregados so brasileiros. Quantos so os empregados da fbrica? 10) Numa caixa, o nmero de bolas pretas o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o nmero de bolas de cada cor ficar igual. Qual a quantidade de bolas brancas? 11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre trs pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras? 12) Ao triplo de um nmero foi adicionado 40. O resultado igual ao quntuplo do nmero. Qual esse nmero? Grfico de uma equao de 1 grau com duas variveis Sabemos que uma equao do 1 grau com duas variveis possui infinitas solues. Cada uma dessas solues pode ser representada por um par ordenado (x, y). Dispondo de dois pares ordenados de um equao, podemos represent-los graficamente num plano cartesiano, determinando, atravs da reta que os une, o conjunto das soluo dessa equao. Exemplo: Construir um grfico da equao x + y = 4. Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equao. 1 par: A (4, 0) 2 par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

xy 40 04

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contm todos os pontos solues da equao.

A reta r chamada reta suporte do grfico da equao.

Exerccio 1 Resolva as equaes: a) 4x + 8 = 3x - 5 b) 3a - 4 = a + 1 c) 9y - 11 = - 2 d) 5x - 1 = 8x + 5 Exerccio 2 Verifique se - 7 raiz da equao: 2(x + 4) x/3 = x - 1 Exerccio 3

Invente um problema cuja soluo pode ser encontrada atravs da equao: 2x - 3 = 16 Exerccio 4 Ana e Maria so irms e a soma de suas idades igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria 5 anos mais nova? Exerccio 5 Qual o nmero que dividido por 5 igual a 6? Exerccio 6 Qual o nmero que multiplicado por 7 igual a 3? Exerccio 7 Qual o nmero que somado com 5 igual a 11? Exerccio 8 Qual o nmero que somado com 6 igual a - 13? Exerccio 9 Uma indstria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produo representou um aumento de 20%, em relao ao ano anterior. Qual a produo do ano anterior?