Grafos - FACOMmadriana/EBD/Didatica.pdf1 Denic‚oesŸ Basicas· de Grafos Denic‚aoŸ de Grafo...

Definicoes Basicas de GrafosBusca em Profundidade

Ordenacao TopologicaComponentes Conexos

GrafosOrdenacao TopologicaComponentes Conexos

Maria Adriana Vidigal de Lima

Fevereiro - 2009

Maria Adriana Vidigal de Lima Grafos



1 Definicoes Basicas de GrafosDefinicao de GrafoListas de Adjacencias de Grafos

2 Busca em ProfundidadeTecnicas da Busca em ProfundidadeAlgoritmoClassificacao das Arestas

3 Ordenacao TopologicaAplicacao do Algoritmo de Busca em ProfundidadeAlgoritmo de Ordenacao Topologica

4 Componentes ConexosGrafo TranspostoAlgoritmo




Definicao de GrafoListas de Adjacencias de Grafos

Exemplos de Aplicacao em Computacao

Verificar a existencia de um caminho entre um objeto eoutro (uma cidade e outra)

Calcular a distancia entre um objeto e outro (pontos de ummetro)

Determinar quais objetos podem ser alcancados a partirde um determinado objeto (navegacao na web)





Representacao de Grafos

Um grafo e constituıdo de um conjunto de vertices e umconjunto de arestas conectando pares de vertices. Um grafopode ser orientado ou nao orientado.

54

211

3

654

32

grafo não−orientadografo orientado





Definicao de GrafoUm grafo orientado e um par (V , E) em que V e um conjunto finitode vertices e E e um conjunto de arestas com uma relacao binariaem V .

2 3

4 5 6

1

E={(1,2),(1,4),(2,5),(3,5),(3,6),(4,2),(5,4),(6,6)}

V={1,2,3,4,5,6}

Um grafo nao orientado e um par (V , E) em que E e constituıdo depares de vertices nao ordenados. As arestas (u, v) e (v , u) saoconsideradas como unica.

3

1 2

4 5

V = {1,2,3,4,5}

E = {(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)}





Listas de Adjacencias de Grafos

Um grafo G = (V , E) pode ser representado por uma lista deadjacencias, definida a partir de um arranjo de listas, umapara cada vertice em V .

Para cada u ∈ V , a lista de adjacencias Adj[u] contem(ponteiros para) todos os vertices v que podem ser alcancadosdiretamente a partir de u (existe uma aresta (u, v) ∈ E).

A ordem de armazenamento dos vertices em cada lista deadjacencias e arbitraria.





Representacao de Listas de Adjacencias

45

2 3

4 5 6

3

1 1 2

1

2

3

4

5

2

2

2

2

1

1

5

5

5

4

4

4

3

3

grafo não−orientadografo orientado

lista de adjacênciaslista de adjacências

1

2

3

4

5

2

2

4

6 6

6 5

5

4





Ciclos

Em um grafo orientado, um caminho (v0, v1, v2, . . . , vk ) forma umciclo se v0 = vk e o caminho contem pelo menos uma aresta.

5

4

23

0 1

O caminho (0,1,2,3,0) forma um ciclo

Em um grafo nao orientado, v0, v1, v2, . . . , vk forma um ciclo sev0 = vk e o caminho contem pelo menos tres arestas.

Em ambos os casos, o ciclo e simples se os vertices v1, v2, . . . , vksao distintos. Um grafo sem ciclos e um grafo acıclico.




Tecnicas da Busca em ProfundidadeAlgoritmoClassificacao das Arestas

Busca em Profundidade

A busca em profundidade e um algoritmo para caminhar no grafo,com a estrategia de buscar o mais profundo no grafo, sempre quepossıvel.

Na busca, as arestas sao exploradas a partir do vertice v maisrecentemente descoberto que ainda possui arestas nao exploradassaindo dele. Quando nao existem mais arestas a serem exploradas,a busca anda para tras.

A busca em profundidade e a base para os algoritmos de:

ordenacao topologica

obtencao dos componentes fortemente conectados





Busca em Profundidade

Sempre que um vertice v e descoberto a partir de um u, a buscaregistra este evento atribuindo u a uma estrutura chamadaantecessor[v ].

Para acompanhar o andamento da busca, cada vertice recebe ascores branca, cinza ou preta. No inıcio os vertices estao todosbrancos.

O tempo de descoberta do vertice (tornado cinza) e registrado emd [v ] e o tempo de termino do exame da lista de adjacentes de v eregistrado em t [v ] (nesse momento v se torna preto).





Progresso do Percurso em Profundidade

2 3

0

( 2 / )( 1 / )( 1 / )

( / )( / )( / )( / )

( / )

( / )( / )

( / )( / )

32

0

32

0

(a)

1

(c)

11

(b)

Ao lado de cada vertice e indicado (tempo-de-descoberta / tempo-de-termino).






( / )3

0

( 1 / )

(f)

2( 3 / 4 )

1

( 2 / 5 )

( 3 / 4 ) 2

(e)

( / )

1

3

0

( 1 / ) ( 2 / )

(d)

( 3 / )

( 2 / )( 1 / )

0

2 3

1

( / )






( 1 / 6 )

0

32( 3 / 4 )

1

( 2 / 5 )

(h)

( 7 / )

( 2 / 5 )

1

( 3 / 4 ) 2 3 ( / )

0

( 1 / 6 )

(g)

( 2 / 5 )

1

( 3 / 4 ) 2

0

( 1 / 6 )

(i)

3 ( 7 / 8 )





Algoritmo de Busca em Profundidade

BuscaEmProfundidade(G)

1 For Each vertice u em V

2 Do cor[u] := BRANCO

3 antecessor[u] := NIL

4 tempo := 0

5 For Each vertice u em V

6 Do If cor[u] = BRANCO

7 Then VisitaBEP(u)

Fim

VisitaBEP(u)

1 cor[u] := CINZA

2 tempo := tempo + 1

3 d[u] := tempo

4 For Each v em Adj[u]

5 Do If cor[v] = BRANCO

6 Then antecessor[v] := u

7 VisitaBEP(v)

8 cor[u] := PRETO

9 tempo := tempo + 1

10 t[u] := tempo

Fim

Sempre que um vertice v e descoberto durante uma varredura na lista de adjacenciasde um vertice ja descoberto u, a busca em profundidade registra u como antecessorde v .





Classificacao das Arestas

A Busca em Profundidade pode ser utilizada para aclassificacao das arestas de um grafo G = (V , E).

Durante a Busca em Profundidade, cada aresta (u, v) pode serclassificada na primeira vez em que e percorrida, atraves dacor do vertice v alcancado:

Branco indica uma aresta de arvore;

Cinza indica uma aresta de retorno;

Preto indica uma aresta de avanco quando d [u] < d [v ] e indicauma aresta de cruzamento quanto d [u] > d [v ]





Classificacao das ArestasA classificacao das arestas pode ser utilizada para verificar se umgrafo orientado e acıclico ou contem um ou mais ciclos.

Se uma aresta de retorno for encontrada durante a Busca emProfundidade, entao existe um ciclo. O grafo abaixo contem um ciclo,e ao lado de cada aresta e mostrado o tipo (arv , ret , avan ou cruz).

ret

cruzarvret

arv

( 7 / 8 )

( 1 / 6 )

2

1

3

0

( 3 / 4 )

( 2 / 5 )




Aplicacao do Algoritmo de Busca em ProfundidadeAlgoritmo de Ordenacao Topologica

Ordenacao Topologica

A Ordenacao Topologica de um grafo orientado acıclicoG = (V , E) e uma ordenacao linear de todos os seus verticestal que se G contem uma aresta (u, v ) entao u aparece antesde v .

Uma ordenacao topologica de um grafo fornece a ordem emque as atividades devem ser processadas.





Ordenacao Topologica

Os grafos orientados acıclicos sao usados para indicarprecedencias entre eventos. Uma aresta direcionada numgrafo orientado acıclico indica que a atividade u deve serrealizada antes da v .

calças

cinto

paleto

gravata

camisa

meias

relogio

sapatos





Aplicacao do Algoritmo de Busca em Profundidade

Aplicacao do algoritmo de Busca em Profundidade para amarcacao dos tempos de descoberta e termino em cadavertice de um trecho do exemplo anterior:

paleto

calças

cintocinto

calças

gravata

paleto

cinto

calças

gravata

paleto

( / )

( / )

( / )

( / )

( / )

camisa

(2 / )

(1 / )

gravata

camisa

( / )

( / )

( / )(1 / ) ( / )

( / )( / )

( / )

camisa

(c)(b)(a)






cinto

calçascalças

cinto

calças

cinto

(2 / )

(1 / )

gravata

camisa

( / )

( / )

(d)

paleto(3 / )

(2 / 5)

(3 / 4)

gravata

paleto

(3 / 4)

paleto

(f)(e)

( / )

( / )

camisa

(1 / )

(2 / )

(1 / )

gravata

camisa

( / )

( / )






calças calças calças

(i)

(2 / 5)

(3 / 4)

gravata

paleto

( / )

camisa

(1 / )

(g)

cinto

(6 / ) (2 / 5)

(3 / 4)

gravata

paleto

( / )

camisa

(1 / )

(6 / 7)

cinto

(h)

cinto

(6 / 7)

( / )

paleto

gravata

(3 / 4)

(2 / 5)

camisa

(1 / 8 )






(k)

(1 / 8 )

camisa

(2 / 5)

(3 / 4)

gravata

paleto

(6 / 7)

cinto

(j)

calças

(9 / )

cinto

(6 / 7)

paleto

gravata

(3 / 4)

(2 / 5)

camisa

(1 / 8 )

calças

(9 / 10 )





Apresentacao de Grafo com Ordenacao Topologica

calças gravatacintocamisa paleto

(3 / 4)(2 / 5)(6 / 7)(9 / 10 ) (1 / 8 )

paleto

cinto

(6 / 7)gravata

(3 / 4)

(2 / 5)

camisa

(1 / 8 )

calças

(9 / 10 )

O grafo com ordenacao topologica apresenta seus vertices organizados daesquerda para a direita, em ordem de tempo de termino decrescente.





Algoritmo de Ordenacao Topologica

O algoritmo simples a seguir ordena topologicamente um grafoacıclico orientado utilizando o algoritmo de Busca emProfundidade:

OrdenacaoTopologica(G)

1 Chamar BuscaEmProfundidade(G) para calcular o tempo

de termino t[v] para cada vertice v

2 A medida que cada vertice e terminado, inserir o

vertice a frente de uma lista ligada

3 Retornar a lista ligada de vertices

Fim





Exercıcio Dirigido

Mostre a ordenacao de vertices produzida pelo algoritmoOrdenacaoTopologica(G) quando ele e executado sobre ografo acıclico orientado abaixo:

calças

cinto

paleto

gravata

camisa

meias

relogio

sapatos




Grafo TranspostoAlgoritmo

Componentes Conexos de um Grafo

Os componentes conexos de um grafo sao as classesde equivalencia de vertices sob a relacao ”e acessıvel apartir de”.Um grafo orientado e fortemente conectado se cada umde dois vertices quaisquer e acessıvel a partir do outro.Os componentes fortemente conectados de um grafoorientado sao as classes de equivalencia de vertices sob arelacao ”sao mutuamente acessıveis”.





Componentes Conexos de um Grafo

Grafo orientado G e seus componentes fortementeconectados:

1

34

2

2

4

1

3

ConectadosComponentes Fortemente

Grafo G





Definicao de Grafo Transposto

O algoritmo para a obtencao dos componentes fortementeconectados em um grafo orientado G utiliza o grafo transpostoGT de G.

Grafo Transposto

Seja o grafo orientado G = (V , E). O grafo transposto de G e definidocomo sendo o grafo GT = (V , ET ), onde ET = {(u, v) : (v , u) ∈ E}.

Isto e, ET contem as arestas de G com suas direcoesinvertidas.





Exemplo de Grafo Transposto

Os grafos G e GT possuem os mesmos componentesfortemente conectados:

2

3

1

4

2

4

4

1

3

3

2

TGrafo G

1 2

34

1

Componentes Fortemente Conectados

Grafo G





Algoritmo para Obtencao de ComponentesFortemente Conectados

O algoritmo simples a seguir apresenta o algoritmo para obteros componentes fortemente conectados utilizando a Busca emProfundidade:ObterCFC(G)

1 Chamar BuscaEmProfundidade(G) para calcular o tempo

de termino t[u] para cada vertice u

2 Gerar GT

3 Chamar BuscaEmProfundidade(GT), realizando a busca

a partir do vertice de maior t[u] obtido na linha 1.

Se a nova busca n~ao alcancar todos os vertices,

reiniciar uma nova busca em profundidade a partir do

vertice de maior t[u] dentre os restantes

4 Retornar os vertices de cada arvore da floresta

obtida na busca da linha 3 como um componente

fortemente conectado separado

Fim





Execucao do Algoritmo

A execucao do algoritmo no grafo G se inicia no vertice 0 e saocalculados os tempos de descoberta e termino. O grafotransposto GT e gerado, e a busca em profundidade em GT

resulta em duas arvores: raiz em 0 e raiz em 3.

1

2

0 3

arv

arvret

arv

2

1

3

0

( 1 / 8 ) ( 2 / 7 )

( 3 / 6 )( 4 / 5 )

avan

Grafo Orientado

0

3

1

2

arv

ret

arv

Grafo Transposto

( 1 / 6 ) ( 3 / 4 )

( 7 / 8 ) ( 2 / 5 )

cruz

cruz

Arvores Resultantes





Execucao do Algoritmo

As duas arvores: raiz em 0 e raiz em 3 representam oscomponentes fortemente conectados do grafo, e um grafo decomponentes acıclicos pode ser obtido pela condensacao doscomponentes fortemente conectados de G.

2

1

30

3

012

Aciclico

Grafo de ComponentesArvores Resultantes

cruz

cruz

( 2 / 5 )( 7 / 8 )

( 3 / 4 )( 1 / 6 )

Grafo Transposto

arv

ret

arv

2

1

3

0

Grafo Orientado

avan

( 4 / 5 ) ( 3 / 6 )

( 2 / 7 )( 1 / 8 )

0

3

1

2

arv

retarv

arv





Bibliografia Utilizada

Nıvio Ziviani. Projeto de Algoritmos com Implementacoesem Pascal e C.

Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L.Rivest, Clifford Stein. Algoritmos - Teoria e Pratica.


Grafos - FACOMmadriana/EBD/Didatica.pdf1 Denic‚oesŸ Basicas· de Grafos Denic‚aoŸ de Grafo...

Documents

Transcript of Grafos - FACOMmadriana/EBD/Didatica.pdf1 Denic‚oesŸ Basicas· de Grafos Denic‚aoŸ de Grafo...