Guía 81: Proposiciones en estadística

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CH-FyA-0497

Guía 81: Proposiciones en estadística

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Guía

81 Meta 27

GRADO 8

GUÍA DEL ESTUDIANTE

PROPORCIONES EN

ESTADÍSTICA Y NUEVAS

SITUACIONES DE CONTEO

3

Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 81

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

Coordinación pedagógica


Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea


http://www.grupolema.org/

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Guía

81 GRADO 8

PROPORCIONES EN ESTADÍSTICA Y

NUEVAS SITUACIONES DE CONTEO

GRADO 8 - META 27 - PENSAMIENTO ALEATORIO

Guía 79

(Duración 13 h)

• Frecuencias simples absolutas,

simples relativas, acumuladas

absolutas y acumuladas relativas

• Frecuencias en histogramas y otras

representaciones

• Máxima “frecuencia” en un conjunto

de datos agrupados

• Aproximación del promedio y la

mediana en datos agrupados

• Analizar si el promedio o la mediana

son buenas medidas de centro de un

conjunto de datos dados

Guía 80

(Duración 13 h)

• Conteo con modelos de área

• Relaciones entre modelos de área,

árboles y tablas

• Unión de 2 o más eventos

• Eventos mutuamente excluyentes

• Probabilidad de la unión de

eventos (disjuntos o no)

• Complemento de un evento

• Probabilidad del complemento de

un evento

Guía 81

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Proporciones en una población

• Inferir proporciones de una

población con respecto a una

propiedad, a partir de una muestra

ACTIVIDAD 2

• Profundización en técnicas de

conteo

• Suma de los primeros n enteros

positivos

• Introducción a combinaciones

(donde el orden no importa)

META DE APRENDIZAJE 27

A partir de información agrupada de tiempos de carreras, ahorros anuales, precios de venta y medidas de

plantas, entre otros datos de mi interés, los reagrupo (frecuencia: simple y acumulada; absoluta y relativa) e

identifico medidas aproximadas de tendencia (promedio y mediana); uso modelos de áreas para contar, los

relaciono con árboles de conteo y los uso para inferir proporciones en poblaciones; hallo la probabilidad de

eventos que surgen a partir de otros (eventos mutuamente excluyentes, ley de la suma), y relaciono las

probabilidades de eventos complementarios (ley del complemento), aplicándolo a situaciones de votación en

elecciones. Así, aprendo a presentar lo que sé de diversas formas y a combinar información para hacer

inferencias.

PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 81: ● ¿Qué características de una muestra representativa son también aplicables a la población total? ¿Y cuáles no?

(Responde con una variable estadística en mente) ● ¿Qué habilidades son importantes a la hora de resolver problemas de matemáticas si no sé por dónde comenzar?

● ¿Cómo puedo contar combinaciones de objetos si el orden en que aparecen no nos importa?

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 81

● Razono para hallar una proporción exacta en una muestra.

● Estimo una proporción en una población a partir de una muestra y justifico mi estimación.

● Represento una proporción gráficamente y relaciono mi gráfica con mis cálculos.

● Hago dibujos y diagramas para codificar una situación de conteo.

● Reconozco simetrías para calcular la suma de los primeros N números enteros positivos.

● Resuelvo problemas de combinaciones, donde el orden no importa, comparando con el caso donde el orden

sí importa.

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 1: HALLAR PROPORCIONES EN UNA POBLACIÓN

Aprendamos a inferir información de una muestra en un estudio estadístico para sacar

conclusiones aproximadas sobre la proporción de cierto grupo en una población.

A) Activando saberes previos: proporciones

RECUERDA QUE...

● Dos razones a:b y c:d

son EQUIVALENTES si

la fracción a/b es igual a

la fracción c/d.

○ Ej: 2:4 y 4:8 son

equivalentes.

○ Si multiplicamos

ambos números de la

razón a:b por el

mismo valor c ≠ 0,

obtenemos la razón

ca: cb, que es una

razón equivalente a

a:b. Lo mismo si

dividimos entre c.

● Si cierta cantidad b tiene a de cierta característica (con a ≤ b), la

PROPORCIÓN de esa característica en el total es igual a

p = a/b, que es un número de 0 a 1. La proporción nos da

una medida relativa de cuánto de algo hay en un total,

sin decirnos la cantidad absoluta.

○ En este caso, las razones a:b y p:1 son proporcionales.

○ p se puede ver como un porcentaje o fracción.

● Ejemplo: en una mezcla, de cada 120 gramos de líquido, 30

gramos son de agua A. Así, hay una proporción de p = 0,25 de A

en T, que podemos representar con tablas, gráficas y ecuaciones:

Tabla:

A T

30 120

3 12

0,25 1

Gráfica:

Ecuación:

A = 0,75 • T

PRACTICA

i) Halla las proporciones en las siguientes

situaciones:

a) 4 de cada 8 animales son gatos.

b) 12 de cada 13 máquinas están funcionando

normalmente.

c) 10 de los 10 vasos están llenos.

ii) Para cada proporción, elabora un dibujo (rectangular,

circular u otro) que represente la proporción:

a) 0,25

b) 0,9

c) 1/6

d) 0,4


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

1

7

iii) Si la proporción de elementos de un conjunto X con la

propiedad Y es 0,2 y la proporción de esos Y que tienen

la propiedad Z es de 2/3, halla la proporción de

elementos del conjunto X que tienen ambas propiedades

Y y Z.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

B) Conceptos: escalando muestras a poblaciones

Exploración: ¿Cuántas computadoras se necesitan?

Antes de comenzar discute en clase: ¿Cómo usas la tecnología para aprender cosas nuevas?

¿Tienes acceso fácil a ella con celular o computador? ¿Qué programas utilizas?

Una organización sin ánimo de lucro te contrató para hacer un estudio de necesidades de una comunidad de

varios colegios. En total hay 2 500 estudiantes, de grados 6 a 11. La idea es que la organización compre

algunos computadores y se los preste a los estudiantes:


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

1

8

● No se quieren comprar más equipos de los necesarios, es decir, se quiere optimizar la decisión.

● En particular, no se quiere comprar computadores para estudiantes que ya los tienen.

● Se quiere dar prioridad a los estudiantes que más los aprovecharían.

Tomas una muestra representativa de 40 estudiantes de la población y a cada uno le haces varias preguntas:

¿Tiene un computador en su hogar? Si no, ¿qué tanto, de 1 a 10, lo aprovecharía para sus estudios si le

prestaran uno?

Antes de continuar, responde: ¿cómo se te ocurre tomar una muestra que sea representativa?

Estos fueron los 40 resultados. Por ejemplo, “YA” indica que ya se cuenta con computador. “NO; 8” indica

que no se cuenta con computador, y se aprovecharía 8 de 10 (es decir, bastante).

YA NO (5) NO (3) NO (3) NO (2) YA NO (4) YA NO (5) YA

NO (5) YA YA NO (4) NO (3) NO (4) NO (5) NO (4) YA YA

NO (4) NO (3) NO (5) YA YA NO (5) YA YA YA NO (5)

NO (4) YA NO (5) NO (5) NO (4) NO (2) NO (5) YA NO (4) YA

Queremos ver qué proporción de la muestra respondió “NO” a la pregunta. Contando

hay 24 (verifícalo). Usando la razón parte todo 24:40 podemos calcular la

proporción de respuestas “NO” en la muestra: como p = 24/40 = 12/20 = 6/10 = 0.6,

entonces 0.6 de toda la muestra no tiene computador.

Como la muestra es representativa (con respecto a tener o no computador),

esperamos que la proporción en la población sea aproximadamente la misma (aunque

no es exactamente la misma necesariamente). Entonces nos preguntamos: ¿cuánto es 0.6 de 2 500?

Respuesta: 0,6 • 2 500 = 6 • 250 = 1 500.

Otra estrategia: si y es el número de estudiantes de la

población que no tienen computador, entonces las razones

y : 2 500 y 24 : 40 son equivalentes (aproximadamente).

¿Cómo usarías esta información para hallar X? Resuélvelo

usando, por ejemplo, esquemas con barras.

Otra estrategia: Esperamos que todas las muestras representativas, así como

la población, tengan aproximadamente la misma proporción entre y (número de

respuestas “No”) y x (tamaño de la muestra, o de la población). Así, esta es

una relación aproximadamente lineal, como ves en la imagen.


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

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9

A partir de la gráfica vemos que la pendiente es 0.6, luego y = 0.6 x es su ecuación. Entonces,

reemplazando para la población (donde x = 2 500), nos da que y = 0.6 • 2 500 = 1 500, así que esperamos

que aproximadamente haya 1,500 estudiantes que necesitan computador (de nuevo, es un aproximado).

Entonces estimamos que 1 500 estudiantes no tienen acceso a computador.

Responde:

a) ¿Cuál sería una muestra sesgada en este caso? En tu ejemplo de muestra, esperarías que su valor de p

fuera mayor o menor que 0,6? Explica.

b) Un amigo muestreó a 80 estudiantes (de la misma población), y no sabe si esta es sesgada. Le

preguntas cuántas respuestas de “NO” tiene, y te dice que 30. ¿Qué opinas, a partir de tus datos?

c) Supongamos que la empresa ve tu estudio, pero te dice que sólo tiene 800 computadores para prestar.

A partir de las respuestas en tu muestra, elabora un plan de acción para prestar estos computadores.

Mini-explicación: Proporción estimada de cierta característica en una población

PROPORCIÓN

ESTIMADA Supongamos que tenemos una población de tamaño N, y queremos estimar el número Y

de objetos de la población con cierta propiedad. Para esto podemos hacer lo siguiente:

● Tomar una muestra representativa de tamaño n (así que n < N);

● Calcular la proporción exacta p de elementos de la muestra que cumplen con la

propiedad. p es un valor en [0, 1].

● Multiplicar a p por N, para obtener el estimado buscado: Y = p • n.

Es importante saber que el número Y que hallemos es solo una aproximación del número

real de objetos de la población con la propiedad.

Si la muestra no es representativa con respecto a la propiedad que queremos estudiar,

entonces nuestra aproximación será poco adecuada.


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

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Paso 1: Ejemplo: Proporción de calentadores defectuosos

La marca Calurosa fabrica calentadores de agua para toda Latinoamérica.

Últimamente la firma ha tenido mala reputación en foros, blogs, varias

páginas web y otros medios debido a supuestas fallas en el sistema,

principalmente en Ecuador, Chile y Colombia. Eres un funcionario encargado

del control de calidad y decides investigar.

Los controles de calidad de la empresa aseguran que menos del 0,17% de los

calentadores presentan fallas al operar por primera vez.

a) Según lo anterior: si se fabrican 100 000 calentadores, ¿cuántos

esperarías, máximo, que tuvieran fallas al inicio del ciclo de funcionamiento?

R: Recordemos que 0,17% significa 0,17 de cada 100. Utilizando

proporcionalidad, esto es lo mismo que 17 de cada 10 000, o 170 de cada 100

000. Entonces esperas que fallen máximo 170 calentadores.

b) Tomas una muestra representativa (enfocada en los 3 países que parecen

tener el problema) de 2 000 calentadores, seleccionados al azar y variados

almacenes. Luego de inspeccionarlos descubres que 4 presentan fallas. ¿Qué

puedes concluir?

R: Calculamos la proporción de fallas: 4

2 000=

2

1 000=

0,2

100= 0,2%. Como

0,2 > 0,17, hay un problema con los calentadores, según los estándares de

calidad. Sin embargo, 0,2 no es mucho mayor que 0,17, así que el problema

parece no ser tan terrible como lo anunciado.

Sin embargo, se debe notificar inmediatamente a la empresa de que se está violando la tolerancia en la

calidad y se deben tomar medidas.


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

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Paso 2: Completa este ejemplo: Una de estas muestras no es como las otras...

Quieres estimar cuántos pueblos en Brasil tienen cierta característica C. Investigando encuentras que 4

organizaciones hicieron cada una un estudio estadístico. Completa la siguiente tabla:

Estudio

#

Tamaño

N

# de pueblos

que satisfacen C

Proporción

1 120 66 0,55

2 170 62 ?

3 150 ? 0,53

4 ? 54 0,59

A partir de la tabla, responde:

● ¿Parecen ser consistentes los 4 estudios entre sí? Explica.


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

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12

● ¿Crees que las 4 muestras son representativas? Explica tu razonamiento.

● ¿Qué pasos seguirías para dar tu

estimado sobre la cantidad de

pueblos en Brasil con la

característica C? ¿Necesitas más

información?

● En el plano que ves, ubica 4 puntos

que representen los distintos

estudios. ¿Qué observas?

● A partir de tus conclusiones,

especula qué característica C

podría ser la que se está

estudiando.

Paso 3: Tu turno: Estimando un rango de proporción

Quieres estimar qué proporción de las 900 000 personas de una ciudad rusa X nacieron en rusia.

● En una encuesta a 2 400 personas de la ciudad X, 864 personas dijeron nacer en la ciudad X.

● En otra encuesta a 1 600 personas de la ciudad X, 977 personas dijeron nacer fuera de Rusia.

¿Cómo puedes estimar, a partir de los datos, el rango aproximado de la proporción de rusos que viven en la

ciudad X? Sustenta tu respuesta con tablas o diagramas.

PROYECTO

GRUPAL APLIQUEMOS LO APRENDIDO

Formen grupos de 4 estudiantes. Vamos a trabajar en un proyecto para aplicar lo que aprendimos.

Instrucciones:

1. Elijan una población de interés y una propiedad de algunos de los objetos de esa población. Antes

de continuar, hagan una conjetura sobre el valor de la proporción de objetos con la característica.

Aquí hay algunas ideas que puedes usar de inspiración:


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

1

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Padres y madres de

nuestro colegio o

barrio.

Propiedad: el padre o

madre practica

deportes.

Páginas de un libro de

más de 1000 páginas

Propiedad: la página

tiene al menos una

ilustración.

Piedras en una playa o

en un parque

Propiedad: la piedra es

de color negro.

Canciones de cierto

género musical.

Propiedad: la canción le

gusta a todos los

miembros de nuestro

grupo.

Bebidas en distintas

tiendas.

Propiedad: la bebida

tiene 0 g. de azúcar.

Mascotas de mi barrio.

Propiedad: la mascota

es un perro.

Cajas en tiendas o

fábricas.

Propiedad: la caja está

en perfecto estado.

Árboles en un bosque,

parque o región.

Propiedad: el árbol

mide más de 3 m.

2. Recojan una muestra representativa de alrededor de 50 − 100 objetos, anotando

para cada uno, si tiene o no la característica elegida.

3. Hagan un diagrama circular para representar la proporción de la muestra y la proporción estimada

de la población.

4. ¿Qué tanto atinaron en su predicción inicial? ¿Qué limitaciones podría tener el estudio? Expliquen.


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

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C) Resuelve y practica

1) Un profesor hace una pregunta de química a

todos los 24 estudiantes de una clase de grado

10 y mide los tiempos de respuesta en minutos:

2 6 7 7 4 9

6 2 7 2 4 4

1 4 3 3 4 2

5 3 3 1 2 4

a) ¿Qué proporción de estudiantes completaron

la pregunta en exactamente 4 minutos?

Represéntalo usando un diagrama circular.

b) ¿Qué proporción de estudiantes completaron

la pregunta en menos de 4 minutos?

Represéntalo usando un diagrama de área.

c) En el colegio hay 400 estudiantes de

bachillerato. Un estudiante afirma que, a partir

de los datos, unos 180 estudiantes responderán

la pregunta en menos de 4 minutos. ¿Estás de

acuerdo con esta afirmación? Explica.

2) De 600 almacenes de cadena en un país, se

estima que 190 utilizan cámaras de seguridad.

Si quieres corroborar que este valor es una

buena estimación y tomas una muestra

representativa de 160 almacenes, ¿qué

esperarías medir? Explica.

3) Vocales A, E:

Toma la página de un libro con muchas palabras.

Tu población son “las palabras de la página”.

a) Selecciona una muestra representativa al

azar. Para cada una, anota si la palabra tiene la

letra A, y si la palabra tiene la letra E.

b) Mide alguna otra proporción de tu interés.

4) Este histograma muestra la distribución de

tiempos de una muestra representativa de 200

tiempos de carrera que hacen parte 1 300 tiempos

de un atleta profesional. El primer intervalo es

[20,4 , 20,7) con un poco más de 15 datos.

a) Razona: ¿Cómo crees que se seleccionó la

muestra? Da un ejemplo de una muestra NO

representativa.

b) Estima, de los 1 300 tiempos, cuántos son

menores a 21,0 seg.

c) Estima la proporción de los 1 300 tiempos que son

mayores a 21,45 seg.


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

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15

A partir de tu muestra, estima la proporción de

palabras de la página con la letra A, con la letra

E, y con ambas letras (ej: “BANDEJA”).

Representa tu hallazgo gráficamente.

D) Resumen


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

1

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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ No entiendo

los conceptos

(TODAVÍA)

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Razono para

hallar una

proporción

exacta en una

muestra

Estimo una

proporción en una

población a partir

de una muestra y

justifico mi

estimación

Represento una

proporción

gráficamente y

relaciono mi

gráfica con mis

cálculos

ii) Preguntas de comprensión

1) Para hallar una proporción...

[ ] debemos recoger datos cualitativos.

[ ] podemos usar datos cualitativos, pero

también cuantitativos.

2) Si sé la proporción en la muestra K,

puedo estimar la proporción en la

población...

[ ] postulando que es igual a K.

[ ] multiplicando la proporción de la

muestra por el tamaño de la población.

3) Si sé la proporción en la muestra, K,

puedo estimar la cantidad de miembros en

la población con la propiedad...

[ ] postulando que es igual a K.

[ ] multiplicando K por el tamaño de la

población.

4) En una muestra representativa de

personas, la razón de hombres a mujeres

es 2:3. Una buena estimación de la

proporción de hombres en la población es...

[ ] 0,66

[ ] 0,4.


iii) Resuelvo un problema

Se tomaron 5 muestras de una población de bombillos

para intentar estimar la proporción de bombillos que

dura más de 10 años. Esta tabla resume las muestras:

Muestra Tamaño # de bombillos que duran 11+ años

A 100 49

B 80 70

Las muestras fueron tomadas al azar.

a) Se conjetura que la proporción de bombillos

de la población que duran más de 10 años es

más de la mitad. ¿Parecen los datos sustentar

esa conclusión?

b) ¿Las muestras parecen darte un único buen

estimado de la proporción real? Si no, ¿qué


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

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C 120 80

D 120 110

E 150 80

podrías hacer? Explica.


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

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ACTIVIDAD 2: AMPLIEMOS NUESTRAS TÉCNICAS PARA CONTAR

Aprendamos a usar fórmulas, técnicas y principios de conteo que ya sabemos a nuevas

situaciones, y comparemos distintas formas de llegar a la misma respuesta.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

● Si tenemos X formas de hacer algo y Y

formas de hacer otra cosa que no depende

de la primera, entonces tenemos X • Y

formas de hacer ambas cosas. (Principio de

multiplicación)

○ Los árboles nos ayudan a contar

en este tipo de situaciones.

● Si tenemos que elegir un objeto y podemos

elegirlo de una colección de X objetos o de

otra de Y objetos, y las colecciones no

tienen elementos en común, entonces

tenemos X+Y opciones en total. (Principio de

la suma)

● Ejemplo: si en una casa hay 5 perros y 4

gatos, entonces hay 9 mascotas

(suponiendo que todas las mascotas son

perros o gatos).

● Si tenemos que elegir un objeto y podemos

elegirlo de una colección de X objetos o de otra

de Y objetos, y las colecciones tienen K

elementos en común, entonces tenemos

X+Y − K opciones en total.

(Principio de la unión). ○ Por ejemplo, si Harold cantó 14

canciones el sábado, 23

canciones el domingo, pero 5 de

las canciones del sábado

también las cantó el domingo,

entonces Harold cantó 14 + 23 −

5 = 32 canciones distintas

(aunque cantó 37 veces).

● Si tenemos un total de T cosas y

queremos contar cuántas tienen cierta

propiedad, entonces podemos contar las

que NO tienen la propiedad (digamos, X)

y nuestra respuesta será T − X.

(Principio del complemento).

PRACTICA

i) En un auditorio hay 200 personas, de las

cuales 96 son mujeres. Si una persona se elige al

azar, ¿cuál es la probabilidad de ser hombre?

ii) Un restaurante tiene 3 cartas distintas.

La primera tiene 7 opciones de almuerzo; la

segunda 6 y la tercera 10.

iii) Unos padres quieren ponerle un nombre a su hija.

Tienen dos ideas:

● Un único nombre, para el cual tienen 4

opciones,

● Un nombre compuesto por 2 nombres, para el

cual tienen 5 opciones para el primer nombre

y 3 opciones para el segundo nombre.

¿Cuántas opciones hay en total?


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

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Si la primera carta y la segunda carta tienen 2

almuerzos en común, y ninguno de los de la

tercera carta, ¿cuántos almuerzos totales

distintos hay?

iv) Si se lanzan 5 monedas, ¿cuál es la probabilidad

de que todas caigan en lo mismo (todas C, o todas

S)? ¿Y si se lanzan 10 monedas?


B) Conceptos

Exploremos: Muchos cumpleaños

Antes de comenzar comparte en clase: ¿cuándo es tu cumpleaños? ¿cómo te gusta celebrarlo?

Carmen, Ricardo y Marina tienen maneras muy distintas de

celebrar su cumpleaños:

● A Carmen se le celebra de forma típica: cada año, se le ponen

en su torta tantas velas como la edad que cumple.

● Ricardo (bueno, sus padres) puso 30 velas para su cumpleaños

#1, y cada año suma 1 vela más.

● Marina puso 30 velas para su cumpleaños #1, 28 para el

siguiente, 30 para el siguiente y así sucesivamente.

Queremos saber cuántas velas ha usado cada personas a lo largo de los años. Supongamos que todos

acaban de cumplir 10 años.

El caso de Carmen:

Representemos las velas con un gráfico en forma de escalera, en

donde cada fila representa una celebración (1, 2, 3, etc):

Como vemos, hay 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 velas. Podríamos

hacer esta suma, pero hay otra manera: supongamos que “duplicamos”

el dibujo, para formar un rectángulo.

Queda un rectángulo de 10 × 11, que tiene 110 velas, luego la figura

original (“escalera”), debe tener 55 (la mitad) de las velas.


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

20

Así, Carmen ha utilizado 55 velas.

El caso de Ricardo:

Ricardo usa 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 velas.

Reconocemos que cada sumando tiene un 30. Así, Ricardo ha usado

10 × 30 + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) velas.

Mirando el caso de Carmen, este valor es 10 × 30 + 45 = 345 velas.

Otra manera de calcular el caso de Ricardo es con una tabla:

esta fila tiene como suma las velas usadas, que podemos llamar X:

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

En esta tabla agregamos la misma fila, pero al revés:

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

39 38 37 36 35 34 33 32 31 30

Ahora sumamos cada columna de la tabla anterior:

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

39 38 37 36 35 34 33 32 31 30

69 69 69 69 69 69 69 69 69 69

Como las dos primeras filas suman X cada una, entonces X + X = 10 veces 69, es decir X = 5 veces 69.

Entonces, X = 5 • 69 = 345.

El caso de Marina: Recordemos que Marina usa velas de forma alternada: 30, 28, 30, 28, etc.

Una forma rápida de contar sus velas es usando el promedio. Si ella usara 29 el primer cumpleaños, 29 el

segundo, y así sucesivamente (es decir, balanceando las cantidades), entonces sería más fácil contar:

10 • 29 = 290 velas.

Otra forma de contar es usar tablas, como hicimos con Ricardo. Sea X la suma que buscamos:

30 28 30 28 30 28 30 28 30 28


GUÍA 81

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

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30 28 30 28 30 28 30 28 30 28

28 30 28 30 28 30 28 30 28 30

30 28 30 28 30 28 30 28 30 28

28 30 28 30 28 30 28 30 28 30

58 58 58 58 58 58 58 58 58 58

Así, 2X = 10 • 58, luego X = 10 • 29 = 290.

Responde:

a) ¿Cuál de los tres casos te pareció más difícil? ¿Viste relaciones entre los casos? Explica.

b) Utiliza un esquema de áreas similar al de Carmen, para visualizar el caso de Ricardo.

c) Supongamos que los tres personajes acaban de cumplir 40 años… calcula, para cada uno, el número de

velas, usando las mismas ideas de simetría y duplicación.

d) ¿Cuánto es 1 + 3 + 5 + 7 + • • • + 19 + 21? (Descífralo usando una imagen).

MINI-EXPLICACIÓN: Conteo en situaciones nuevas

CONTEO EN

SITUACIONES

NUEVAS

En el conteo (y en general en matemáticas), vamos a encontrarnos con muchas

problemas o situaciones novedosas que no podemos resolver tan fácilmente. A

continuación algunas recomendaciones generales:

● Hacer dibujos para explorar el problema. Esto ayuda a entender el problema

desde otro ángulo, ver simetrías o patrones, etc.

○ Muchas veces el primer dibujo que haces no es el más poderoso, así

que mantente abierto a modificarlo.

● Partir lo que quieres contar en categorías: este es básicamente el principio de

la suma. Si tus categorías son disjuntas, mucho mejor, pero si no, no te

preocupes, puedes luego intentar contar cuántos objetos hay en común.

● Pensar en relaciones con otros problemas que ya conoces. Hazte la pregunta:

¿ya he resuelto algo similar pero en otros contextos?

● Crear tu propio problema que sea un poco más sencillo. Esto te ayuda a

entender mejor el problema, y por un momento lo estás haciendo más fácil.

Para esto, puedes cambiar algunas partes del problema “a tu favor”. Eso sí,

debes regresar en algún momento al problema inicial.

● Mantenerte positivo: el hecho de que parezca que no avanzas o te bloqueas

indica que tu cerebro está trabajando fuerte, buscando nuevos caminos. Eso


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sí, no dudes de buscar ayuda si realmente te sientes bloqueado, pero date un

buen tiempo para ensayar opciones.

Ejemplo: ¿Cuántos partidos?

La directora de una liga de baloncesto quiere organizar un torneo con 12

equipos en una ciudad neutral. A ella se le ocurren dos opciones:

OPCIÓN 1: Un solo grupo donde juegan todos contra todos, y se declara el

ganador (equipo con más victorias, y si hay empates, más puntos anotados).

OPCIÓN 2: Se forman 2 grupos de 6 equipos cada uno. En cada grupo

juegan todos contra todos, y finalmente se juega una final entre el primero

de cada grupo.

La directora quiere la opción con el menor número de partidos, ¿cuál elegir?

Solución: Vamos a contar el número de partidos en cada opción.

Opción 1: Supongamos que estos son los 12 equipos: E1, E2, …, E12.

Para construir un partido hacemos un árbol. La primera rama abre en 12 (elegir un equipo) y la segunda

rama en 11 (elegir el otro equipo).

El problema con este conteo es que, si se piensa, estamos contando 2 veces cada partido. Por ejemplo, el

partido E1 vs E4 es el mismo que E4 vs E1 (pues no importa el orden), y ambos son nodos finales del árbol.

No hay problema! Lo único que debemos hacer entonces es dividir la cantidad de nodos entre 2:

Número de partidos = (12 • 11)/2 = 6 • 11 = 66.


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Otra forma de visualizar el conteo es usando una tabla de 12 × 12.

Cada casilla representa un potencial partido. La diagonal de la

tabla no puede usarse, porque un equipo no puede jugar contra sí

mismo.

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12

E1 x

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9 x

E10

E11

E12

De forma similar a como en el árbol, estamos contando 2

veces cada partido. Entonces:

● La tabla tiene 12 × 12 = 144 casillas.

● Eliminamos las de la diagonal (que son 12) y nos quedan

132 casillas.

● Dividimos entre 2, nos quedan 66 casillas (por

ejemplo, todas las de arriba de la diagonal.

¡Hemos llegado al mismo resultado!

Como puedes ver a la derecha, los 66 partidos corresponden

a aristas (líneas) en el grafo que tiene 12 nodos (puntos).

Ahora conectemos con los cumpleaños: otra forma de contar

las casillas de la tabla arriba de la diagonal es por cada fila:

E1 juega 11 partidos; E2 también juega 11, pero como ya contamos el que jugará con E1, solo sumamos 10.

E3 jugará 9 partidos nuevos (sin contar los que ya contamos contra E1 y E2), E4 jugará 8 partidos nuevos,

y así sucesivamente, hasta llegar a E11 que jugará un partido nuevo (contra E12).


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Así, hay 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 partidos. Como en el caso de los cumpleaños, podemos

usar simetrías para hallar este valor:

X = 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

X = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 (cambiar el orden)

2X = 12 + 12 + 12 … (11 veces) = 12 • 11 sumar

Así que X = 6 • 11 = 66. Mismo resultado que antes.

La gráfica a la derecha ilustra otra manera de llegar al 66.

Opción 2: En esta opción hay 2 grupos de 6 equipos cada uno, que

juegan todos contra todos en cada grupo.

En cada grupo habrá 5+4+3+2+1 = (5•6)/2 = 15 partidos. (El razonamiento es igual al caso de la opción 1,

pero con valores más pequeños). Así que contando la gran final, habrá solo 15 + 15 + 1 = 31 partidos, menos

de la mitad de los del caso 1.

Paso 2: Completa este ejemplo: Uno, dos, tres (sabores)

Cuentas con 14 ingredientes para acompañar una ensalada: nueces,

cebolla, champiñones, queso parmesano, queso feta, tomates, ajonjolí,

algas, chile, fríjoles, pan en cuadritos, tofu, espagueti y uvas.

Quieres pensar si ofrecer solo 1 opción, 2 opciones, 3 opciones o 4

opciones de ingredientes a tus clientes, y quieres contar, para cada caso,

cuántas combinaciones habría.

Si se ofrece 1 sola opción, es claro que hay 14 posibilidades distintas, una

por cada ingrediente. Además, si te llega un nuevo ingrediente, solo se

genera 1 posibilidad nueva.

a) Ahora supongamos que cada cliente debe elegir 2 ingredientes, de los 14 posibles, para su ensalada.

¿Cuántas combinaciones posibles hay? Para ello, piensa en los ejemplos anteriores de esta actividad, y los

recursos: árboles, tablas, escaleras, sumas duplicadas, etc.

b) Primero, verifica que la respuesta en a) es 105. Ahora, si te llegara un nuevo ingrediente (pera),

pasarías de 105 combinaciones a cuántas combinaciones? Explica tu razonamiento.


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c) Ahora supongamos que cada cliente

debe elegir 3 ingredientes, de los 14

posibles, para su ensalada. ¿Cuántas

combinaciones posibles hay? Para ello,

primero completa el siguiente esquema

de conteo de ingredientes:

El número de opciones que obtienes incluye repeticiones en combinaciones? Ayuda: por ejemplo, la

combinación 1) cebolla, 2) algas, 3) tofu es igual que 1) algas, 2) cebolla, 3) tofu. En total, ¿cuántas hay?

Usa esto para hallar el número real de combinaciones, que es mucho menor que el del esquema.

d) Supongamos que te llegó un ingrediente nuevo (#15). En cuánto aumenta el número de “3-

combinaciones” de ingredientes con respecto a tu respuesta en c)?

Paso 3: 1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y en grupos de 4)

Elije alguna de las situaciones trabajadas en la actividad o una similar. Plantea un nuevo problema

que quisieras resolver contando, alterando la situación (por ejemplo, en vez de la suma 1 + … + 10,

considerar la suma 100 + 101 + … + 139 + 140).

Júntate con otro estudiante e intenten resolver juntos los problemas que se propusieron,

intercambiando ideas y trabajando en equipo.

Júntense con otra pareja y compartan sus situaciones. Verifiquen las soluciones y encuentren

errores o conteos que estén incompletos.

Finalmente, busquen a su profesor para dialogar y compartir sus técnicas de conteo, aclarando

los conceptos.

PROYECTO

GRUPAL APLIQUEMOS LO APRENDIDO

Formen grupos de 4 estudiantes. Vamos a trabajar en un proyecto para aplicar lo que aprendimos.

Instrucciones:

1. Elijan un deporte de equipo en el que quisieran organizar un campeonato con 18 equipos distintos.

2. Entre todos, hagan una lluvia de ideas sobre cómo podrían organizar el torneo. Incluyan la opción

“todos contra todos”, así como otras opciones. Pueden buscar en internet sobre distintos formatos


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de competencias, pero sean creativos e ideen novedosas formas.

3. Para cada opción de formato del torneo, cuenten cuántos partidos hay.

4. Ahora hagan lo mismo, pero suponiendo que hay 36 equipos distintos. Acá pueden escribir las

respuestas sin justificación.

5. Elaboren una cartelera o presentación de diapositivas que explique cómo llegaron a cada respuesta

en 3. Incluyan tablas, gráficas y otros recursos visuales. Preséntenlo a otros compañeros.

Reflexionen: ¿les sorprendieron las respuestas a las que llegaron?


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C) Resuelve y practica

1) Calcula la suma de los primeros 10,000 números

enteros positivos.

2) En una fiesta hay 10 personas. Si todos se

saludan con un apretón de manos, ¿cuántos

apretones de manos hay? Si llegan 2 personas

más, ¿en cuánto aumenta el conteo de apretones?

3) El lunes (día 1) gastas $1 000, al día siguiente

gastas $1 000 más que el día anterior, y así

sucesivamente. Al cabo de 31 días, ¿cuál fue tu

gasto diario en promedio? ¿Al cabo de N días?

Explica y verifica tu respuesta.

4) Considera este conjunto de números:

345 854 834 786 457 473

743 645 675 453 643 483

348 867 548 765 437 754

678 346 458 546 584

745 687 475 576 435 734

347 456 364 856 438

436 574 384 756 768 564

876 845 374 463 543

654 354 534 465 547 634

657 843 567 485

a) ¿Se te ocurre una manera razonable de llenar

las cinco casillas que faltan? Hazlo.

b) Con los 60 números que tienes, piensa en

formas de partir este conjunto en varios grupos

iguales, según características comunes. Hay

muchas opciones de hacer esto.

5)

a) Escribe los primeros 16 múltiplos positivos de 4.

b) Divídelos en 4 grupos haciendo que cada grupo

sume lo mismo.

c) Utiliza esto para calcular la suma de los primeros

20 múltiplos positivos de 4.

6) Estás inventando un superhéroe y quieres que

este tenga exactamente 8 de los siguientes 11 super

poderes:

● Visión nocturna

● Viaje en el tiempo

● Fuerza de 10 elefantes

● Telepatía

● ....

a) Completa la lista anterior.

b) ¿cuántos distintos superhéroes puedes hacer?

7) Para un partido de Voleibol de playa, hay 7

jugadores. Se quieren seleccionar a 4 de ellos, para

hacer 2 parejas y jugar el partido.

a) ¿Cuántos partidos se pueden hacer en total?

Nota: el partido “Ana y Juan Vs. Pedro y Luisa” es

igual al partido “Luisa y Pedro Vs. Ana y Juan”, pero

distinto a “Pedro y Ana Vs. Juan y Luisa”

Ayuda: puedes pensar primero en un árbol con 7 × 6

× 5 × 4 objetos, y analizar las repeticiones.

c) Fijemos un jugador, digamos A = “Andrés”, de

esos 7. Si se elige uno de los partidos al azar, ¿cuál

es la probabilidad de que Andrés juegue?


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c) Según la tabla, ¿60 es la respuesta a qué

pregunta de conteo?

d) Opcional: Usando b), ¿qué preguntas de conteo

podrías responder, cuya respuesta sea el número

de grupos que armaste?

D) Resumen


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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ No entiendo

los conceptos

(TODAVÍA)

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Hago dibujos y

diagramas para

codificar una

situación de

conteo

Reconozco

simetrías para

calcular la suma

de los primeros

N números

enteros positivos

Resuelvo

problemas de

combinaciones,

donde el orden no

importa,

comparando con

el caso donde el

orden sí importa

ii) Preguntas de comprensión

1) Si tenemos una colección de 4 objetos,

¿de cuántas formas podemos elegir 2, sin

que el orden importe?

[ ] 6.

[ ] 8.

2) Si tenemos una colección de 5 objetos,

¿de cuántas formas podemos elegir 2, si el

orden importa?

[ ] 10.

[ ] 20.

3) Si lanzamos un dado de 6 caras 4 veces

y vamos anotando los resultados en orden,

¿cuántos resultados posibles hay?

[ ] 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4.

[ ] 6 x 6 x 6 x 6.

4) Si X = 2 + 4 + • • • + 10 + 32, entonces...

[ ] 2X = 34 • 16.

[ ] 2X = 32 • 16.


iii) Resuelvo un problema

Tienes dos maletas iguales y seis libros distintos (a-f).

a) Quieres poner 3 libros en cada maleta. ¿De cuántas formas distintas puedes hacer esto?

Nota: el orden de los libros en la maleta NO nos importa. Por ejemplo, las siguientes son iguales:

● Maleta #1: { a, b, d } y Maleta #2: { c, e, f };

● Maleta #1: { e, c, f } y Maleta #2: { a, d, b }.

Pero ambos son distintos a:


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● Maleta #1: { a, b, c } ; Maleta #2: { e, d, f }.

b) Si ahora quieres poner 4 libros en una maleta y 2 en la otra, ¿cuántas formas hay de hacerlo?

c) Si ahora quieres poner 5 libros en una maleta y solo 1 en la otra, ¿cuántas formas hay de hacerlo?

Guía 81: Proposiciones en estadística

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