Guia do Professor

Alma GêmeaSérie Mundo da Matemática

Conteúdos Digitais

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DISTRIBUIÇÃO GRATUITAIMPRESSO NO BRASIL

Coordenação Geral

Elizabete dos Santos

Autores

Bárbara Nivalda Palharini Alvim SouzaKarina Alessandra Pessôa da SilvaLourdes Maria Werle de AlmeidaLuciana Gastaldi Sardinha SouzaMárcia Cristina de Costa Trindade CyrinoRodolfo Eduardo Vertuan

Revisão Textual

Elizabeth Sanfelice

Coordenação de Produção

Eziquiel Menta

Projeto Gráfico

Juliana Gomes de Souza Dias

Diagramação e Capa

Aline SentoneJuliana Gomes de Souza Dias

Realização

Secretaria de Estadoda Educação do Paraná

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Audiovisual “O mundo da matemática”

Episódio 12 – “Alma Gêmea”

1 Introdução

No audiovisual “Alma Gêmea”, episódio 12 do programa “O Mundo da Matemática”, Julia, Rafa e Julinho, decidem passar uma tarde no “Museu do Olho” e ver algumas obras de arte em uma exposição recém-inaugurada na cidade. O vídeo oferece oportunidade para discutir os conceitos de proporção áurea, sequência de Fibonacci, retângulo áureo, bem como demonstrar a construção desse retângulo.

Nesse episódio é proposto um estudo da proporção áurea e da sua presença na história da matemática, na arquitetura, em obras de arte, na música e na natureza.

1.1 Proporção Áurea e a Sequência de Fibonacci

A arte grega valorizava as ações humanas. O conhecimento, por meio da razão, es-teve sempre acima da fé e das divindades. Os primeiros estudos matemáticos gregos ti-nham como objetivo compreender o lugar do homem no universo, de acordo com um esquema racional. As mudanças no contexto sociocultural do país podiam ser notadas nos temas e nas formas de apresentação das tragédias e das comédias gregas. Na ar-quitetura e na escultura buscavam, além da representação da natureza e do compor-tamento humano, a perfeição, um ideal de beleza, por meio do equilíbrio e da harmo-nia. O auge da arquitetura clássica ocorreu na época de Péricles, com a construção do Parthenon (Figura 1), sob a direção de Ictinus e com a contribuição de Fídias (século V a.C.). Nela observamos a razão áurea1.

A proporção áurea, originalmente, foi concebida numa relação geométrica estabele-cida entre áreas.

1 A razão áurea é referida no início do VI livro de Euclides, Elementos, que aplica a teoria das proporções

eudoxiana. Hoje sabemos que a razão áurea é o número irracional 1 52

φ +=

, que pode ser obtida divi-

dindo-se uma linha em duas partes de tal forma que a razão entre a linha original e a parte maior é igual à razão da parte maior com a mais pequena (DEVLIN, 2002).

Figura 1 - Parthenon

Figura 2 – Retângulo Áureo

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A área total do retângulo maior (ABCD) está para a área do quadrado (ABEF), assim como a área deste quadrado está para a área do retângulo menor (CDFE).

. .

. .AB AC AB AEAB AE EF EC

=

Em seguida, a proporção áurea passou a ser concebida como relação entre segmentos.

a b aa b+

=

É nesse termo, como forma, e não como conceito de cálculo abstrato, que as noções de proporção áurea fizeram parte dos conhecimentos artesanais de artistas, arquitetos e construtores nas grandes civilizações antigas. O padrão da proporção áurea não é nada óbvio, pois as subdivisões são desiguais e assimétricas. Segundo OSTROWER (1998), as configurações da proporção áurea constituíram formas expressivas, cujas ordenações re-feriam-se a sentimentos de vida e de valores.

[...] desde o início esta proporção surgiu como que envolta numa áurea transcen-dental. Num misto de reverência e assombro ela foi denominada ‘proporção divina’, ‘corte de ouro’, ‘áurea’, sendo especificamente reservada para obras de cunho mís-tico e de exaltação espiritual. E ao planejarem e executarem estas obras, em cada mínimo detalhe, os artistas e arquitetos tinham plena consciência de que estavam lidando com valores mais sublimes do ser humano” (OSTROWER, 1998, p.244).

Na Idade Média, Leonardo Fibonacci (c.a. 1175 – 1250) abstraiu o sentido concreto de áreas, na proporção áurea, ao relacionar a ideia geométrica com uma sequência numéri-ca, que ficou conhecida como a Sequência de Fibonacci. Obtemos essa sequência quando começamos com 1 e formamos o número seguinte adicionando os dois números anterio-res (com exceção do segundo termo que é o próprio 1). Assim a sequência começa {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...}. Chama-se Sequência de Fibonacci porque Leonardo Fibonacci (século XII) estudou a existência desse padrão.

Algo que era sensível (áreas) foi transformado em algo que é puramente mental (rela-ção entre medidas de segmentos).

A ideia tomou lugar da imagem, da configuração visual. As comparações de equivalên-cia não se dão mais entre retângulos e quadrados, mas entre números.

Figura 3 – Retângulo Áureo e a Sequência de Fibonacci

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1.2 Construção de um retângulo Áureo

Um retângulo áureo pode ser construído a partir da divisão de uma circunferência em dez partes iguais, como demonstrado a seguir.

Figura 4 – Circunferência divi-dida em dez partes iguais

Tomando-se três destas partes consecutivas obtém-se uma corda l correspondente ao ângulo central obtido. Desse modo, obtém-se o lado maior do retângulo.

Figura 5 – Circunferência di-vidida em dez partes iguais e representação da corda (lado maior do retângulo áureo)

O raio do círculo é o lado menor.

Figura 6 – Circunferência dividida em dez partes iguais, representação da corda (lado maior do retângulo áureo), e do raio (lado menor do retân-gulo áureo)

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Com estas medidas, constrói-se o retângulo áureo.

Figura 7 – Retângulo Áureo

A razão 1a

é conhecida como número áureo.

Somente como curiosidade, apresentamos a seguir uma aproximação deste número com 40 casas decimais, de modo a evidenciar a irregularidade da sequência de números (número irracional):

A proporção áurea, observada na arte grega, foi utilizada por Leonardo da Vinci (1452 – 1519) em algumas de suas pinturas, como, por exemplo, na Mona Lisa (1504-1505).

Disponível em: <http://monalisasegredo.blogspot.com/2008/07/retangulo-aureo.html>. Acessado em 12 jul 2009

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Isso inspirou Luca Pacioli a escrever o livro Divina Proporção, em 1509. Esse livro trata do papel da razão áurea na geometria, arquitetura, música e natureza.

A proporção áurea pode ser observada ainda na moda, no design, veja algumas ilustrações a seguir.

Na natureza

Disponível em: <http://www.goldenmean-gauge.co.uk/golden.htm>. Acessado em 12 jul 2009.

No design

Disponível em: <http://www.goldenmean-gauge.co.uk/golden.htm>. Acessado em 12 jul 2009.

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Na moda

Disponível em: <http://www.goldenmean-gauge.co.uk/golden.htm>. Acessado em 12 jul 2009.

Na arquitetura

Disponível em: <http://www.goldenmean-gauge.co.uk/golden.htm>. Acessado em 12 jul 2009.

Objetivos

• Encontrar o número de ouro a partir das dimensões de um retângulo áureo.• Construir um retângulo áurea.• Conhecer a proporção áurea e sua relação com as artes.• Relacionar a espiral logarítmica com o número de ouro e a Sequência de Fibonacci.

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3 Sugestão de atividade

Após assistir ao vídeo o professor pode propor atividades que permitam aos alunos refletir, questionar e aprofundar conchecimentos sobre os conteúdos abordados. A seguir apresentamos algumas sugestões.

Atividade 1- Qual o valor do número áureo?

De acordo com o que foi apresentado no filme e na introdução desse guia, “O lado maior do retângulo áureo está para o menor, assim como a soma de ambos está para o maior”. Se chamarmos o lado maior de l e o lado menor de a, então, podemos escrever esta proporção da seguinte maneira:

l l aa l

+=

la

representa o número áureo. Qual o valor dessa razão?

Comentários para o professor:

O professor pode orientar os alunos a substituir la

por x. Como l l aa l

+= , se separarmos

a segunda fração: l l aa l l

= + , teremos: 1l aa l

= + .

Como o que nos interessa conhecer é precisamente a razão la

, vamos substituí-la pela

variável x , de tal forma que se l xa

= , então 1al x

= . Desta maneira nossa proporção, em

termos de x, ficaria 11xx

= + .

Se multiplicarmos toda a equação por x obteremos uma igualdade sem denominado-res. Assim, x2= x + 1

Reescrevendo esta equação de segundo grau x2 - x - 1 = 0, e aplicando a fórmula geral para encontrar x:

2( 1) ( 1) 4(1)( 1)2(1)

1 52

x

x

− − ± − − −=

±=

Encontramos dois possíveis valores para x que satisfazem a equação, no entanto, des-

prezamos o valor negativo como solução para a razão la

, já que estamos nos referindo a

medida do lado de um retângulo. Desta maneira, o valor exato que encontramos para a razão de ouro é dada por:

1 52

φ ±=

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Atividade 2- Proporção áurea no cotidiano

a) Investigar objetos do cotidiano nos quais seja possível observar a proporção áurea.b) Investigar e selecionar obras de arte em que se pode verificar a proporção áurea.

Comentários para o professor:

O professor pode levar para a sala de aula figuras, fotos, reproduções de obras de arte nas quais seja possível identificar a proporção áurea, ou orientar os estudantes na pesquisa.

Atividade 3 – Construção de um retângulo áureo

Existem vários modos de se contruir um retângulo áureo. Na introdução desse guia há uma dessas construções assumindo a circunferência como ponto de partida. Construa, utilizando régua e compasso, um retângulo áureo a partir de um quadrado.

Comentários para o professor:

O professor pode orientar os alunos no processo de construção ou de pesquisa sobre diferentes modos de se construir um retângulo áureo.

Apresentamos as seguir, uma dessas possibilidades.

Construa um quadrado de lado unitário.Divida um dos lados do quadrado ao meio. O ponto F representa o ponto médio do

segmento CD.

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Encontre o ponto E (ponto médio de AB) e una os pontos E e F.Trace uma diagonal no retângulo BDFE do vértice F ao vértice oposto B e estenda a

base do quadrado ABDC. Usando a diagonal como raio, trace um arco do vértice direito superior do retângulo à

base que foi estendida.

Pelo ponto (G) de interseção do arco com o segmento da base, trace um segmento perpendicular à base. Estenda o lado superior do quadrado até encontrar este último segmento para formar o retângulo AHGC, o retângulo áureo que se procurava.

Atividade 4 – Retângulo áureo e a espiral logarítmica

Existem conchas de moluscos que apresentam em sua forma uma auto-semelhança. Na figura a seguir é possível observar um dessas conchas e uma espiral que a representa (espiral logarítmica).

Disponível em: < http://www.mat.uc.pt/~picado/conchas/introd.html>. Acessado em 10 ago. 2010.

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A espiral logarítmica é uma espiral crescente, cuja curvatura aumenta em progressão geométrica.

Tal espiral pode ser obtida a partir tanto da proporção áurea quanto da Sequência de Fibonacci.

Utilizando régua e compasso, construa essa espiral logarítmica a partir do retângulo áureo.

Comentários para o professor:

O professor pode sugerir que os alunos construam o retângulo áureo apresentado na introdução.

O novo retângulo, construído a partir do retângulo inicial (vertical) está agora na po-sição horizontal. Nele podemos projetar o lado menor sobre o maior. Obtemos um qua-drado e um retângulo, desta vez, vertical.

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Repetindo este mesmo procedimento, continuaremos obtendo novos quadrados e re-tângulos, cada vez menores, desiguais, ora na vertical, ora na horizontal, de posições alternadamente invertidas.

Se em cada um destes quadrados fizermos um arco de circunferência, obteremos a espiral logarítmica, espiral encontrada na concha do caramujo Náutilus.

4 Avaliação

A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por meio de questionamentos e preenchimento dos quadros. O professor pode aproveitar as respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.

5 Sugestões de sítios

Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9561http://www.youtube.com/watch?v=hWLAtn3KVw8http://www.youtube.com/watch?v=2BRo7fFo0_c&NR=1http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htmhttp://www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htmhttp://www.goldenmeangauge.co.uk/index2.htmhttp://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm

6 Indicações de leituras

ATALAY, Bulent A Matemática e a Mona Lisa: a confluência da arte com a ciência. São Paulo: Mercuryo, 2007.

ÁVILA, G. Retângulo Áureo e divisão áurea in: Explorando o Ensino da Matemática: ar-tigos. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica, v. 1, p. 109-116, 2004.

_______As Pirâmides do Egito e a Razão Áurea in: Explorando o Ensino da Mate-mática: artigos. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica, v. 1, p. 117-121, 2004.

HUNTLEY, H.E. A Divina Proporção: Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985.

OSTROWER, F. A Sensibilidade do Intelecto. 5ª ed. Rio de Janeiro: Campus, 1998.

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