GUIA DO SOFTWARE RGUA E COMPASSOUTILIZAO EM ALGUMAS ATIVIDADES RELACIONADAS GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

Karolina Barone Ribeiro da Silva

SUMRIOAPRESENTAO............................................................................................................ 3 INTRODUO................................................................................................................. 5 1 FERRAMENTAS DO RGUA E COMPASSO ............................................................ 6 2 ATIVIDADES INICIAIS............................................................................................... 14 3 RETAS, SEGMENTOS DE RETAS E SEMI-RETAS................................................. 19 4 NGULOS..................................................................................................................... 22 5 TRINGULOS.............................................................................................................. 25 6 PARALELISMO............................................................................................................ 30 7 PERPENDICULARIDADE........................................................................................... 36 8 QUADRILTEROS NOTVEIS................................................................................. 39 9 CIRCUNFERNCIA E CRCULO............................................................................... 42 10 TEOREMA DE TALES E O TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA..................... 45 11 SEMELHANA DE TRINGULOS.......................................................................... 49 12 TEOREMA DE PITGORAS..................................................................................... 51 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................................. 54

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APRESENTAO

Este guia resultado do projeto de pesquisa intitulado A utilizao do software Rgua e Compasso no desenvolvimento de atividades relacionadas Geometria Euclidiana Plana, desenvolvido de setembro de 2008 a abril de 2009, junto ao Departamento de Matemtica da Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO), no campus de Guarapuava. Trata-se de um projeto vinculado ao grupo de pesquisa CNPq intitulado Pesquisa e Ensino em Educao Matemtica (mais informaes sobre o grupo no site http://dgp.cnpq.br/buscaoperacional/). A idia para esse projeto e conseqentemente para a elaborao do guia, teve incio devido ao fato de que ministro a disciplina de Fundamentos da Geometria Euclidiana e No-Euclidiana, para a 2 srie do curso de Licenciatura em Matemtica da UNICENTRO desde 2007, o que possibilitou o contato com vrias turmas de alunos e a verificao de muitas dificuldades no aprendizado de certos conceitos de Geometria Euclidiana Plana. Ainda como justificativa, busca-se superar as dificuldades do aluno em entender alguns conceitos, como por exemplo, as propriedades de posies relativas de objetos geomtricos; propriedades de congruncia e semelhana de figuras planas, bem como aprimorar suas habilidades de visualizao, de desenho e de argumentao lgica. A seleo especfica do software Rgua e Compasso deve-se ao fato de o mesmo ser livre e estar disponvel para utilizao em diversas instituies de ensino do municpio de Guarapuava. Com este guia pretende-se contribuir para o processo de ensino e aprendizagem de Geometria Euclidiana Plana, tanto em nvel mdio quanto superior. O guia est estruturado em doze captulos que contm uma breve descrio das ferramentas do software e apresentam atividades de Geometria Euclidiana Plana, com fundamentao terica apoiada em Iezzi (2005), Neto et al (1982) e Rich (1972). Inicialmente foi realizado um estudo do software em questo para conhecimento e familiarizao com seus recursos. Em seguida, de acordo com a ementa da disciplina de Fundamentos da Geometria Euclidiana e No-Euclidiana, foram propostas e desenvolvidas atividades utilizando os recursos do software, de forma que em cada atividade estivessem presentes representaes geomtricas e explicaes tericas.

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As atividades propostas e desenvolvidas no guia no abrangem todo o contedo de Geometria Euclidiana Plana que deve ser estudado pelos alunos e sim algumas atividades consideradas simples, porm importantes para a compreenso de conceitos-chave em Geometria. Desse modo, ele no deve ser utilizado como bibliografia nica para o estudo de Geometria Euclidiana Plana e sim como um complemento a outras bibliografias.

Boa leitura!

A AUTORA

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INTRODUO

O software Rgua e Compasso (R.e C.) - em ingls Compass and Ruler, abreviado por C.a.R - um software de Geometria Dinmica, livre, de autoria de Ren Grothmann (professor da Universidade Catlica de Berlim, Alemanha), disponvel, em portugus, no endereo eletrnico http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/.

Ren GrothmannFonte: http://www.gregosetroianos.mat.br/softcar.asp

Segundo o site http://www.gregosetroianos.mat.br/softcar.asp, a histria do Rgua e Compasso teve incio em 1988 na Alemanha, quando o professor Ren Grothman produziu uma verso para o Atari ST. Quatro anos depois ele escreveu uma verso para o Windows. Com a popularizao da linguagem Java em 1995, Ren abandonou as verses anteriores e partiu do zero novamente. Aps quatro anos de trabalho, completou a verso Java do Rgua e Compasso em 1999. O cdigo fonte disponvel e livre conforme Licena Pblica Geral (GNU General Public License). um software multiplataforma, isto roda em diversas plataformas como Microsoft Windows, Linux, Macintosh, etc. O software dispe de rgua e compasso virtuais e com menu de construo em linguagem clssica da geometria reta perpendicular, ponto mdio, mediatriz, bissetriz, etc. Feita uma construo, pode-se aplicar movimento a seus elementos, sendo preservadas as relaes geomtricas impostas figura da ser denominado software de geometria dinmica.

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1 FERRAMENTAS DO RGUA E COMPASSO

Ao iniciar o software Rgua e Compasso, o usurio visualizar uma tela contendo o menu principal, a barra de cones e a janela geomtrica, conforme abaixo:Menu principal

Barra de cones

Janela geomtrica

Os recursos disponveis no menu principal sero explorados no prximo captulo. Quanto barra de cones, apresentamos a seguir uma breve descrio dos seus recursos. Foram respeitadas as denominaes de cada cone presentes no software (verso 8.7).

Nova construo: abre uma tela em branco para executar novas construes.

Carregar construo: abre uma construo previamente armazenada.

Guardar construo: permite salvar a construo em um diretrio indicado. 6

Eliminar ltimo objeto: elimina da janela geomtrica o ltimo objeto construdo.

Eliminar objeto: elimina um objeto clicando-se sobre ele.

Desfazer ltimas remoes: mostra os objetos que foram apagados recentemente.

Editar objeto: permite editar um objeto atravs de duplo clique sobre ele.

Desenhar com mouse: permite fazer desenhos livremente, apenas utilizando o mouse.

Renomear A, B, C: renomeia-se, em ordem alfabtica, pontos, linhas e ngulos, a partir de um clique sobre o objeto.

Parmetros de macro/ Objetos/Definies: para gerar uma macro, o usurio faz uma construo, e ensina a macro o que fazer. Macros tm parmetros, que determinam os objetos com os quais se deve comear. Elas tambm tm alvos, que determinam os objetos a serem construdos. Depois de realizada a construo desejada, clique na ferramenta, a seguir, selecione os parmetros de entrada, clicando nos objetos desejados. Ento, clique novamente na ferramenta e, depois, nos alvos, ou seja, nos objetos que devem ser exibidos quando a macro for rodada. Clique novamente na ferramenta. Uma janela ser aberta automaticamente. Nela nomeie a macro e escreva um comentrio que ensine o usurio a utilizar a macro. Finalizando, clique em outra ferramenta. Por exemplo, trace um segmento de reta e, a seguir, a partir de uma de suas extremidades, trace uma reta perpendicular ao segmento. Para criar uma macro dessa construo, siga a explicao acima, selecionando como parmetros de entrada as extremidades do segmento e como alvos, o segmento e a reta perpendicular.

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Exibir comentrio: ao clicar nessa ferramenta, uma janela se abrir automaticamente e nela ser possvel digitar um comentrio para a construo. O comentrio ser exibido para o usurio assim que carregar a construo que foi salva anteriormente. Manter a tecla shift pressionada ao selecionar esta ferramenta permite registrar exerccios.

Criar uma funo: permite traar grfico de funes ou de curvas paramtricas.

Repetir construo: essa ferramenta abre uma pequena janela contendo os botes clssicos para avanar, retroceder, etc. A construo mostrada passo-a-passo (somente passos visveis so exibidos).

Cor padro do objeto: mostra (ou permite selecionar) a cor do objeto a ser construdo.

Tipo padro do ponto: mostra (ou permite selecionar) o tipo do ponto a ser marcado.

Espessura padro do objeto: mostra (ou permite selecionar) a espessura do objeto a ser construdo.

Zoom com mouse: permite arrastar centro, ampliar ou reduzir construes.

Exibir grade: mostra, na janela geomtrica, o sistema de coordenadas cartesianas.

Exibir objetos ocultos: exibe os objetos ocultos. Esses ficam com a cor mais fraca que os objetos que no foram ocultados. Ao desativar esta ferramenta, os objetos sero escondidos novamente. Caso queira que algum objeto no seja escondido, ao desativar essa 8

ferramenta, clique no objeto com o boto direito do mouse e, na janela que se abrir, desative a ferramenta ocultar objeto.

Exibir cores selecionadas: exibe somente objetos da cor da apresentada na ferramenta (alm do preto).

Ajuda contextual: exibe tpicos de ajuda relacionados ltima ao do usurio.

Ponto: selecionando esta ferramenta e clicando-se na janela geomtrica com o boto esquerdo do mouse, cria-se um ponto livre. Esse ponto pode ser movimentado clicando-se sobre ele com o boto direito do mouse.

Reta: marcando-se dois pontos, traa-se a reta definida por eles.

Semi-reta: marcando-se dois pontos, traa-se uma semi-reta definida por eles, com origem no primeiro ponto escolhido.

Segmento: marcando-se dois pontos, determinam-se as extremidades do segmento a ser traado.

Crculo: marcando-se dois pontos A e B, traa-se uma circunferncia com centro A e raio AB. Vale salientar que embora o nome da ferramenta seja Crculo, nas explicaes deste guia vamos considerar a distino entre circunferncia e crculo. Circunferncia ser o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distncia a um ponto dado desse plano igual a uma distncia (no nula) dada, em que o ponto dado o centro e a distncia dada o raio da circunferncia. J crculo, ser o conjunto de pontos de um plano cuja distncia a um ponto dado desse plano menor ou igual a uma distncia (no nula) dada.

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Compasso: clicando-se em dois pontos, determina-se o raio de uma circunferncia que pode ser construda em qualquer lugar da janela geomtrica.

Crculo com raio fixo: marca-se o centro da circunferncia e a seguir, outro ponto, e digita-se a medida desejada para o raio, em uma janela que se abre automaticamente.

Paralela: clicando-se com o boto esquerdo do mouse em, por exemplo, uma reta e depois em um ponto fora dela, obtm-se uma reta paralela reta dada. O mesmo pode ser feito considerando um segmento ou uma semi-reta.

Perpendicular: clicando-se com o boto esquerdo do mouse em uma reta e em um ponto, constri-se uma reta perpendicular reta considerada, passando pelo referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta, ou semi-reta.

Ponto mdio: clicando-se em dois pontos, obtm-se o ponto mdio entre eles.

ngulo: marca-se o primeiro ponto, em seguida, o vrtice do ngulo e, por fim, o ltimo ponto.

ngulo de amplitude fixa: marca-se o primeiro ponto, em seguida, o vrtice do ngulo e, por fim, o ltimo ponto e, a seguir, digita-se a medida desejada para o ngulo, em uma janela que se abre automaticamente.

Mover ponto: clicando-se com o boto esquerdo do mouse possvel movimentar pontos na janela geomtrica.

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Rastrear ponto ou reta: permite movimentar um ponto no - fixo e visualizar a sua trilha, ou seja, a curva obtida ao se movimentar este ponto. Rastreia-se a posio de um primeiro ponto em funo do movimento de um segundo ponto, que deve ser deslocado com o boto esquerdo do mouse pressionado.

Rastreio automtico de ponto ou reta: rastreia-se a posio de um primeiro ponto em funo do movimento de um segundo ponto sobre uma reta ou circunferncia. A animao pode ser cancelada a qualquer momento com um clique do mouse.

Animar um ponto: movimenta um ponto sobre circunferncias ou segmentos. Para tanto clique no ponto e a seguir na(s) circunferncia(s) ou no(s) segmento(s) O ltimo objeto dever ser selecionado atravs de dois cliques no mouse. A animao parada por clique no mouse.

Expresso aritmtica: permite calcular e fazer aparecer na tela os resultados de certas expresses. Ao clicar na janela geomtrica, uma janela se abrir automaticamente, nela digite a expresso aritmtica desejada.

Polgono: para construir um polgono preenchido (ou seja, a rea delimitada por ele), marcam-se, ao menos, trs pontos e clica-se, com o boto esquerdo do mouse, no primeiro ponto novamente para fechar o polgono ou, ento, deve-se dar dois cliques no ltimo ponto marcado.

Seo cnica passando por 5 pontos: marcando-se 5 pontos, constri-se a cnica que passa por eles. Texto: clicando-se com o boto esquerdo do mouse na janela geomtrica, o texto que for digitado, na janela que ser aberta, aparecer neste local.

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Ocultar objeto: ao clicar sobre um objeto, ele no aparecer na janela geomtrica.

Rodar macro: Macros so atalhos para passos de construo, sub-rotinas como de linguagem de programao. Ao selecionar essa ferramenta, uma janela aberta e o usurio poder escolher uma macro. Se nenhuma macro tiver sido criada, haver uma nica opo a ser selecionada, cujo nome padro. Com dois cliques sobre o nome padro algumas opes de macros aparecem. Estas podero ento ser selecionadas e utilizadas. No entanto, essas macros do tipo padro j possuem seus cones na Barra de cones, sendo, portanto, mais fcil selecion-las por meio deles.

Bissetriz perpendicular (macro): essa ferramenta determina o eixo de reflexo entre dois pontos. Clique em dois pontos quaisquer na janela geomtrica e o eixo de reflexo entre eles ser traado.

Reflexo em uma linha (macro): essa ferramenta marca um ponto refletido em relao a uma reta previamente construda. Clique na reta atravs da qual ocorrer a reflexo e, a seguir, clique no ponto a ser refletido, com o boto esquerdo do mouse.

Reflexo em um crculo (macro): essa ferramenta marca um ponto refletido em relao a uma circunferncia.

Reflexo em um ponto (macro): essa ferramenta marca um ponto refletido em relao a outro ponto. Clique, com o boto esquerdo do mouse, no ponto atravs do qual ocorrer a reflexo e, a seguir, no ponto a ser refletido.

ngulo bissetriz como linha (macro): marcando-se trs pontos quaisquer, como por

exemplo, A, B e C, constri-se a reta suporte da bissetriz do ngulo ABC .

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ngulo bissetriz como semi-reta (macro): marcando-se trs pontos quaisquer, como

por exemplo, A, B e C, constri-se a bissetriz do ngulo ABC .

Projeo de ponto para linha (macro): projeta um ponto sobre uma reta, semi-reta ou segmento. Clique na linha (reta, semi-reta ou segmento) em que o ponto ser projetado e, a seguir, no ponto.

Rotao (macro): clique em trs pontos quaisquer, como por exemplo, A, B e C (nes-

ta ordem). O ngulo ABC ser o ngulo de rotao. A seguir, clique em dois pontos quaisquer da janela geomtrica (por exemplo, D e E, nessa ordem). Um terceiro ponto (F) ser

marcado de forma que a medida do ngulo EDF ser a mesma do ngulo ABC . O pontoD o centro da rotao, vrtice do novo ngulo.

Rotao com ngulo (macro): essa ferramenta desenha um ponto rotacionado emrelao a um outro ponto (centro da rotao). Com a ferramenta ativada clique no ponto que funcionar como centro de rotao, a seguir, clique no ponto que ser rotacionado. Automaticamente uma janela ser aberta. Nela digite a medida do ngulo de rotao em graus (medida positiva rotao no sentido anti-horrio, medida negativa rotao no sentido horrio).

Troca (macro): essa ferramenta permite que, tendo j construdo um segmento orientado representando um vetor v, construa-se outro representante de v, a partir de um ponto considerado. Para tanto, clique nas extremidades do segmento orientado que representa v e, a seguir, em um ponto qualquer da janela geomtrica. Este ponto ser a origem do outro representante de v e o seu ponto final ser marcado automaticamente (somente os pontos so marcados). O mesmo pode ser feito para segmento de reta.

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2 ATIVIDADES INICIAIS

A seguir sero propostas e desenvolvidas algumas atividades iniciais para a familiarizao com os recursos do software. Em todas as atividades, observe as instrues que aparecero no canto inferior esquerdo da janela geomtrica quando algum item da barra de cones for selecionado. Antes de iniciar as atividades, algumas observaes so necessrias:

1. Para salvar uma atividade, clique em Arquivo (menu principal) e em seguida em Guardar Construo como.... Voc poder escolher o diretrio onde deseja armazenar o arquivo, bem como um nome para a atividade. Em seguida clique em Guardar. Quando quiser utilizar essa atividade em outra ocasio, clique em Arquivo e em seguida em Carregar Construo e selecione o nome da atividade desejada na lista de atividades previamente armazenadas. Ao final, clique em Abrir.

2. Ao realizar uma atividade possvel copiar apenas o contedo na janela geomtrica para outro ambiente, como por exemplo, para um documento do Microsoft Word. Para isto clique em Arquivo e em seguida em Copiar para Clipboard. Uma janela de definies se abrir. Faa as alteraes que julgar necessrias e clique em OK. Abra o seu arquivo do Word, clique em Editar e em seguida em Colar.

3. Para armazenar o contedo da janela geomtrica como um arquivo com extenso .png, clique em Arquivo e em seguida em Salvar como PNG. Novamente uma janela de definies se abrir. Aja como anteriormente. Ao clicar em OK, a janela Guardar Construo como... se abrir para que voc escolha o nome e o diretrio onde deseja salvar seu arquivo. Clique em Guardar para finalizar o armazenamento.

ATIVIDADE I1 Crie um ponto e nomeio-o. Para nomear o ponto, clique com o boto direito do mouse sobre ele. Aparecer uma janela como a seguir.

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O nome padro do ponto P1. Para exibir este nome na janela geomtrica, clique em e a seguir em OK. Assim, na janela geomtrica o ponto ser nomeado como P1. Aproveite para explorar os demais recursos presentes na janela Editar Ponto. possvel inserir um comentrio, como por exemplo, Primeira atividade realizada no software Rgua e Compasso na atividade. Para isto, clique na ferramenta Exibir Comentrio e escreva o comentrio desejado na janela que se abrir e clique em OK. Salve a atividade. O comentrio ser exibido assim que a construo for aberta futuramente, como mostra a janela a seguir.

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ATIVIDADE I2 Crie um segmento de reta, de extremidades A e B e exiba na janela geomtrica seu comprimento. A seguir, encontre o ponto mdio C desse segmento. Inicialmente, crie o segmento de reta, nomeando suas extremidades. Para determinar seu comprimento, clique com o boto direito do mouse sobre o segmento. Aparecer uma janela como abaixo.

O comprimento do segmento criado automaticamente exibido e, neste caso, igual a 2,44596. Para exibir esta medida na janela geomtrica, clique em e a seguir

em OK. A medida exibida pode ser reposicionada clicando-se com o boto direito do mouse sobre ela e mantendo-o pressionado. O mesmo pode ser feito com os nomes A e B das extremidades. Agora, encontre e nomeie o ponto mdio do segmento. Comprove que o ponto C de fato ponto mdio do segmento AB, exibindo os comprimentos dos segmentos AC e CB. possvel observar que o ponto mdio mantm sua propriedade mesmo com a oscilao do comprimento do segmento AB. Para isto, clique em Mover Ponto e a seguir,

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sobre uma das extremidades do segmento, movimentando-a e observando o aumento e diminuio do comprimento do segmento AB. Caso queira construir um segmento de comprimento fixo, por exemplo, 10, basta definir a medida desejada na janela Editar Reta, Semi-Reta, Segmento e marcar a lacuna correspondente palavra fixo, conforme abaixo. Neste caso, ao clicar em Mover Ponto, no ser possvel observar alteraes no comprimento do segmento AB.

ATIVIDADE I3 Crie pontos C e B. A seguir, crie uma circunferncia de centro C e que passe pelo ponto B. Mova o ponto B e observe a oscilao do raio da circunferncia. Depois de criar a circunferncia, para obter o crculo (lembre-se da diferena entre circunferncia e crculo salientada anteriormente) de centro C e que passa por B, basta clicar com o boto direito do mouse sobre a circunferncia e na janela Editar Crculo que se abrir, clicar em e em seguida em OK.

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Voc pode exibir um texto ao lado da figura criada, como por exemplo, crculo de centro C, passando por B. Para isto, basta clicar em Texto e a seguir, na janela geomtrica. Observe o resultado.

ATIVIDADE I4 Construa um tringulo qualquer e exiba a medida dos seus ngulos. Para construir o tringulo, utilize a ferramenta Segmento. A seguir, utilize a ferramenta ngulo, para determinar as medidas dos ngulos do tringulo. Observe que surgiro marcas para salientar os ngulos. Tais marcas podem ser diminudas, clicando-se em na janela Editar ngulo, que se abrir ao clicar com o

boto direito do mouse sobre a marca de cada ngulo. Nas figuras abaixo, temos o tringulo original e o mesmo tringulo, direita, porm com as marcas dos ngulos suavizadas.

Utilize a ferramenta Ocultar Objeto para ocultar as marcas e medidas dos ngulos e a ferramenta Exibir Objetos Ocultos para exibi-los novamente.

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3 RETAS, SEGMENTOS DE RETAS E SEMI-RETAS

Para a primeira atividade, considere a seguinte definio.

Definio 1. Proposies primitivas, tambm chamadas de postulados ou axiomas, so proposies (propriedades, afirmaes) aceitas sem demonstrao.

Postulado da determinao da reta. Dois pontos distintos determinam uma, e uma s reta que passa por eles.

ATIVIDADE 1 Crie dois pontos A e B. Trace a reta que passa por eles, atribua a essa reta o nome r e a cor azul. Para fazer isso, utilize o cone Reta. A seguir, trace outra reta na cor preta que passe por A e B. O que acontece? Ainda possvel ver a reta na cor azul?

Para a atividade 2, considere a definio de segmento de reta.

Definio 2. Dados dois pontos distintos A e B, o conjunto constitudo por esses dois pontos e pelos pontos que esto entre A e B chamado de segmento de reta. Os pontos que esto entre A e B so chamados pontos interiores e os pontos A e B so denominados extremos do segmento AB.

ATIVIDADE 2 Crie uma reta r e dois pontos A e B pertencentes a r. A seguir, clique no cone Segmento para criar o segmento AB. Observe que no possvel distinguir o segmento AB da reta r. Para melhor visualizao, modifique a cor do segmento para azul. Para fazer isto, clique sobre o segmento. Aparecer uma janela como a seguir.

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Essa janela pede que se faa uma escolha entre r (nome dado a reta que passa por A e B) e s1, que o nome padro do segmento AB. D um duplo clique sobre s1 ou clique sobre s1 e em seguida em OK. Ser aberta uma janela de edio, onde a cor do segmento poder ser modificada. Observe a figura a seguir.

Em seguida, crie um ponto N pertencente ao segmento AB. Novamente se abrir uma janela de escolha, onde se deve optar pelo segmento. Clique em Mover ponto e tente posicionar N de tal forma que ele A esteja entre N e B. Voc consegue fazer isso? Releia a definio 2. Agora crie um ponto P na reta r, de forma que P no pertena ao segmento AB. Note que P pode ser livremente movimentado pela reta r.

Para a atividade 3, considere a definio de semi-reta.

Definio 3. Dados dois pontos distintos S e T, o conjunto constitudo pela unio do segmento de reta ST com o conjunto dos pontos Y, tais que T est entre S e Y chamado semi-reta ST e indicada por ST . O ponto S chamado origem de ST . Se S est entre U e T, ento SU e ST so ditas semi-retas opostas. 20

ATIVIDADE 3 Crie a reta v que passe por dois pontos S e T. Use a ferramenta Semi-reta para criar a semi-reta j com origem em S e que contm o ponto T. Crie um ponto X na reta v, de forma que X no pertena ST . Movimente a reta v, clicando em Mover ponto e em seguida em qualquer ponto da reta v. possvel movimentar X at que X pertena a j? possvel movimentar S de forma que X pertena a ST ? A resposta para a primeira pergunta sim. J para a segunda pergunta, a resposta no, pois S a origem da semi-reta j. Logo, nenhum ponto esquerda de S pertence a j (releia a definio 3).

ATIVIDADE 4 Crie a semi-reta AB . Mova o ponto A. O que acontece quando ele deslocado direita do ponto B? Obtm-se uma semi-reta de origem A, porm com sentido diferente da original.

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4 NGULOS

Para a atividade 5, considere a definio de ngulo.

Definio 4. Chama-se ngulo figura formada por duas semi-retas de mesma origem. As semi-retas so os lados do ngulo e a origem comum chamada de vrtice do ngulo.

ATIVIDADE 5.

Construa o ngulo AOB = OA OB .Ao utilizar a ferramenta Semi-reta, obtm-se a figura abaixo.

Para melhor visualizao, pode ser conveniente representar o ngulo AOB como aseguir.

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Para isto, basta clicar sobre os lados do ngulo e em seguida em Editar semi-reta.

na janela

Para a atividade 6, considere a definio de ngulos opostos pelo vrtice.

Definio 5. Dois ngulos so opostos pelo vrtice (o.p.v.) se, e somente se, os lados de um deles so as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.

ATIVIDADE 6 Construa ngulos opostos pelo vrtice e determine suas medidas.

Sejam AOB e COD os ngulos em questo. Para constru-los, primeiramente construa duas retas concorrentes que se interceptem num ponto O. Em uma das retas, marque os pontos A e C, de forma que O esteja entre C e A. Na outra, marque os pontos B e D, de forma que O esteja entre D e B. Construa as semi-retas OA , OB , OC e OD . Utilize a ferramenta Ocultar objeto para ocultar a reta que passa por O e A e a que passa por O e B.

Com o auxlio da ferramenta ngulo, determine as medidas de AOB e COD .Voc verificar que elas so iguais, como no exemplo a seguir.

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Trata-se de uma propriedade dos ngulos o.p.v, enunciada e demonstrada a seguir.

Propriedade de ngulos opostos pelo vrtice. Se dois ngulos so opostos pelo vrtice (o.p.v.), ento eles so congruentes. Demonstrao

Considere AOB e COD ngulos o.p.v e de medidas x e y respectivamente e o ngu lo BOC de medida z. Temos x + z = 180 e y + z = 180. Logo x = y, ou seja, AOB e COD so congruentes.

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5 TRINGULOS

Para a atividade 7, considere a definio de tringulo.

Definio 6. Dados trs pontos A, B e C no colineares, a unio dos segmentos AB, AC e BC chama-se tringulo ABC.

ATIVIDADE 7. Construa um tringulo ABC e depois exiba o comprimento de seus lados. Para essa construo, basta utilizar a ferramenta Segmento. Caso haja interesse em visualizar a rea delimitada pelo tringulo ABC, basta utilizar a ferramenta Polgono, clicando sobre ela e depois sobre cada um dos vrtices do tringulo, dando um duplo clique no ltimo vrtice escolhido. Desse modo, a figura obtida ser anloga a que segue.

Para a atividade 8, considere a definio de congruncia de tringulos, bem como o 1 caso de congruncia. Definio 7. Um tringulo congruente (smbolo ) a outro se, e somente se, possvel estabelecer uma correspondncia entre seus vrtices de modo que seus lados so ordenadamente congruentes aos lados do outro e seus ngulos so ordenadamente congruentes aos ngulos do outro. Os chamados casos ou critrios de congruncia estabelecem as condies mnimas para que dois tringulos sejam congruentes.

1 Caso de congruncia LAL (postulado). Se dois tringulos tm ordenadamente congruentes dois lados e o ngulo compreendido, ento eles so congruentes.

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ATIVIDADE 8.

Construa dois tringulos ABC e FGH, tais que AB FG, B G e BC GH. Verifique pela definio que ABC FGH. Inicie pela construo do tringulo ABC, por exemplo. Construa o segmento AB e utilize a janela de edio para fixar sua medida (por exemplo, 3) Para construir o ngulo B , utilize a ferramenta ngulo de amplitude fixa e fixe a amplitude em 70, por exemplo. Edite o ngulo construdo, clicando em , para no

exibir o raio do ngulo, ou seja, para que a semi-reta com origem em B e que no contm A no seja exibida. Em seguida, construa o segmento BC, de forma que o ponto C fique sobre a marca da amplitude do ngulo. Utilize a ferramenta Mover ponto para afastar o ponto C do ponto B, visando aumentar o comprimento do segmento BC. Construa o segmento AC. Exiba todas as medidas dos lados do tringulo. Finalizado o tringulo ABC, inicie a construo de FGH. Construa o segmento FG. Para garantir AB FG, abra a janela de edio do segmento AB e copie sua medida, colando-a em seguida na janela de edio do segmento FG e

torne-a fixa. Proceda como anteriormente para construir o ngulo G e o segmento GH.Para obter BC GH, utilize a ferramenta Compasso para transportar a medida de BC para GH, a partir de G. Ser construda uma circunferncia de raio BC e centro G. Prolongue o segmento GH, pelo ponto H, utilizando a ferramenta Mover Ponto, at que H seja externo circunferncia. No menu principal, clique em Aes, Pontos e Interseco. Em seguida, clique no ponto de interseco da circunferncia com o segmento GH. Esse ser o ponto H. Oculte o segmento GH, o ponto H, a circunferncia e trace o segmento GH. Finalize a construo, traando o segmento FH. Exiba todas as medidas dos lados do tringulo FGH. Voc obter uma figura anloga a que segue.

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Para verificar pela definio que ABC FGH, resta medir os ngulos , C , F e H , utilizando a ferramenta ngulo. Alm disso, utilize a ferramenta Ocultar objeto para ocultar os pontos que surgem ao medir os ngulos. Assim, alm das congruncias ob-

tidas por construo, voc poder observar que F e que C H .

ATIVIDADE 9 Construa um tringulo issceles e observe a medida dos ngulos da base. Utilize a ferramenta Segmento para construir os lados congruentes, fixando suas medidas. Complete o tringulo e utilize a ferramenta ngulo para medir os ngulos da base. Um exemplo de resultado dado a seguir.

Note que os ngulos da base so congruentes. Isto vlido para todo tringulo issceles, conforme o teorema enunciado e demonstrado a seguir.

Teorema do tringulo issceles. Se um tringulo issceles, ento os ngulos da base so congruentes. Demonstrao Considere os tringulos issceles ABC (base BC) e ACB, isto , associe a A, B e C, respectivamente, os vrtices A, C e B.

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Por hiptese, AB AC. Conseqentemente, AC AB. Alm disso, como

BC CB , conclumos pelo caso LAL, que ABC ACB. Portanto B C .

Antes de iniciarmos a prxima atividade, convm refletirmos sobre a seguinte questo: dados trs segmentos de medidas no nulas quaisquer, sempre possvel construir um tringulo tendo esses trs segmentos como lados?

ATIVIDADE 10 Construa segmentos com lados de medidas fixas 2, 4 e 8. Tente uni-los de forma a obter um tringulo. Isso possvel? Ao tentar unir os trs segmentos utilizando a ferramenta Mover ponto, voc constatar que impossvel faz-lo. O resultado a seguir nos diz por qu.

Desigualdade triangular. Em todo tringulo cada lado menor que a soma dos outros dois. Demonstrao Consideremos o tringulo ABC abaixo. Mostremos que a < b + c.

Consideremos um ponto D na semi-reta oposta semi-reta AC , tal que AD AB (1).

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Temos DC = AC + AD DC = AC + AB (2)

(1)

(1) ABD issceles de base BD ADB ABD

CBD > ADB = CDB (3)

A interno ao ngulo CBD CBD > ABD

No tringulo BCD com (3) e considerando o resultado que diz que em um tringulo qualquer ao maior ngulo ope-se o maior lado, vem que BC < DC e com (2) BC < AC + AB, ou ainda a < b + c.

Assim, de acordo com a desigualdade triangular, impossvel formar um tringulo com lados medindo 2, 4 e 8, j que falsa a sentena 8 < 2 + 4.

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6 PARALELISMO

Para a atividade 11, considere o postulado das paralelas.

Postulado das paralelas. Por um ponto fora de uma reta, pode-se traar uma nica reta paralela reta dada.

ATIVIDADE 11 Tente fazer uma construo que contrarie o postulado anterior. Para isto, crie uma reta r e um ponto P no pertencente a r. Com a ferramenta Paralela, crie uma reta s paralela a r passando por P. Na janela de edio da reta s, escolha a cor vermelha. Use novamente a ferramenta Paralela e tente traar outra paralela a r passando por P. Voc ver que a reta traada coincide com a reta s.

ATIVIDADE 12 Crie duas retas paralelas m e n e uma transversal t, cujos pontos de interseco com m e n so respectivamente, os pontos P e Q. Calcule as medidas de um par de ngulos alternos internos. Movimente a reta t e observe as medidas calculadas. Voc notar que as medidas dos ngulos alternos so iguais, como no exemplo a seguir.

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Suas observaes ilustram a validade do seguinte teorema.

Teorema 1: Se duas retas paralelas distintas interceptam uma transversal, ento os ngulos alternos (ou os ngulos correspondentes) so congruentes. Demonstrao (Para provar a validade desse teorema, consideraremos conhecido o seguinte resultado: Se duas retas coplanares distintas e uma transversal determinam ngulos alternos (ou ngulos correspondentes) congruentes, ento essas duas retas so paralelas.) Considere a figura abaixo, na qual a e b so retas paralelas e distintas, interceptadas pela transversal t. Mostremos que os ngulos alternos e so congruentes.

Se e no fossem congruentes, existiria uma reta x, distinta de b, passando por P, {P} = b t, tal que xt = alterno de e .

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Como , ento x // a (veja o resultado enunciado no incio da demonstrao). Logo, por P teramos duas retas distintas x e b, ambas paralelas reta a, o que absurdo, pois contraria o postulado das paralelas. Portanto e so congruentes.

ATIVIDADE 13 Construa um tringulo ABC qualquer e determine o ngulo E , externo do tringu-

lo ABC e adjacente a C . H relao entre x = m( E ) e y + z = m( )+m( B ) ?Para esta atividade, utilize a ferramenta Segmento para construir o tringulo ABC. Em seguida, exiba a medida dos ngulos e B , utilizando a janela de edio da ferramenta ngulo. As medidas devem receber os nomes y e z, respectivamente. A fim de construir o ngulo E , construa a semi-reta CD , oposta a CB . Assim,

ACD = E (exiba a medida e o nome deste ngulo ). Para verificar a relao entre x = m( E ) e y + z = m( )+m( B ) , utilize a ferra menta Expresso Aritmtica para exibir a soma y + z = m( )+m( B ) e possibilitar que ela seja calculada para diferentes valores de y e z. Para tanto, preencha as lacunas da janela de edio da expresso, como a seguir. Note que a explicao que voc quer que aparea na janela geomtrica, antes do clculo do valor y + z, deve ser colocada no campo Explanao. J no campo Expresso Aritmtica, faa referncia direta ao clculo desejado. Voc pode preencher o campo Unidade com o smbolo , que denota medida em graus .

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Na janela geomtrica, voc ver uma imagem anloga a esta:

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Movimente o ponto A e observe o que acontece com x e com a expresso aritmtica y + z. Excluindo-se questes de arredondamento, x = y + z em todas as situaes. Isso se deve ao resultado a seguir.

Propriedade do ngulo externo: Em todo tringulo, qualquer ngulo externo igual a soma dos dois ngulos internos no adjacentes a ele. Demonstrao

Considere o tringulo ABC e o ngulo , externo a ABC e adjacente a C . Provemos que e = + B .

Por C conduza a reta CD paralela reta AB , determinando os ngulos e caracterizados na figura:

Note que = + . Alm disso, como CD // AB , ento e B . Portanto, e = + B.

ATIVIDADE 14 Crie um tringulo MNP, calcule as medidas de seus ngulos e exiba a soma de tais medidas. Movimente os vrtices do tringulo. O que acontece com a soma?

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Para realizar esta atividade, leia a Atividade 13. Na janela geomtrica, voc ver uma figura anloga a que segue.

Conforme os vrtices do tringulo so movimentados, a soma de seus ngulos internos no se altera. Isso se deve ao resultado a seguir, um dos mais conhecidos em Geometria Euclidiana Plana.

Propriedade dos ngulos internos de um tringulo: Em todo tringulo, a soma das medidas de seus ngulos internos igual a 180. Demonstrao

Considere o tringulo ABC e o ngulo , externo a ABC e adjacente a C . Provemos que m( ) + m( B ) + m(C ) = 180 .

Como os ngulos e C so suplementares, ento e + m( C ) = 180. Alm disso, e = m( ) + m(B ) . Logo m( ) + m( B ) + m(C ) = 180 .

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7 PERPENDICULARIDADE

Para a atividade 15 considere a definio de altura de um tringulo.

Definio 8. Altura de um tringulo o segmento de reta perpendicular reta suporte de um lado do tringulo com extremidades nesta reta e no vrtice oposto ao lado considerado.

ATIVIDADE 15 Construa um tringulo agudo ABC e exiba as medidas de seus ngulos. Em seguida encontre a altura AH relativa ao lado BC. A construo do tringulo elementar. Para construir AH, utilize a ferramenta Perpendicular e siga as instrues na janela geomtrica. Para obter o ponto H, clique em Aes, no menu principal, e em seguida em Pontos e Interseco. Assim, voc obter uma figura anloga a que segue.

Movimente o vrtice A e reflita sobre as seguintes questes: a) em que situao o ponto H se localiza esquerda de B? b) quando os pontos B e H coincidem?

Para realizar a atividade 16, considere a definio de mediatriz.

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Definio 9. A mediatriz de um segmento a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto mdio.

ATIVIDADE 16 Construa a mediatriz m de um segmento qualquer CD. Para isto, construa o segmento, encontre seu ponto mdio e em seguida construa a reta perpendicular que passa por ele. Voc obter a figura a seguir.

Agora, crie dois pontos distintos em m, por exemplo, P e Q. Calcule as distncias de P e Q s extremidades do segmento CD. O que voc observou? Voc notar que s distncias de P a C e de P a D so iguais, bem como as de Q a C e de Q a D. Esta uma propriedade dos pontos da mediatriz de um segmento, que enunciaremos e demonstraremos a seguir.

Propriedade dos pontos da mediatriz. Todo ponto da mediatriz de um segmento equidistante das extremidades deste segmento. Demonstrao Seja AB um segmento, M seu ponto mdio, m sua mediatriz e P um ponto qualquer de m. Tracemos PA e PB, como na figura a seguir.

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Pelo caso LAL, os tringulos PMA e PMB so congruentes, j que PM comum, M reto e AM MB. Portanto PA PB.

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8 QUADRILTEROS NOTVEIS

Os quadrilteros notveis so os trapzios, os paralelogramos, os retngulos, os losangos e os quadrados. A seguir, temos a definio de dois deles.

Definio 10. Um trapzio um quadriltero plano convexo que possui apenas dois lados paralelos. Os lados paralelos so as bases do trapzio.

Definio 11. Um paralelogramo um quadriltero plano convexo que tem os lados opostos paralelos.

Devido ao grande nmero de propriedades satisfeitas por cada um dos quadrilteros notveis, vamos nos ater ao estudo de apenas duas, uma dos trapzios e outra dos paralelogramos.

ATIVIDADE 17 Construa um trapzio ABCD qualquer, de bases AB e CD. Observe o que ocorre com a soma x + y = m( ) + m(D ) . Para construir o trapzio, observe novamente a definio desse quadriltero. Inicie construindo duas retas paralelas. Em seguida, construa os segmentos AD e BC, de forma que A e B sejam pontos de uma mesma reta e C e D pontos da reta paralela reta que contm A e B. Construa tambm os segmentos AB e CD, e em seguida utilize a ferramenta Ocultar Objeto, para ocultar as retas paralelas. Para verificar o que ocorre com a soma pedida, exiba as medidas dos ngulos e D e leia a atividade 13. Movimente o ponto A e observe a soma x + y. Voc notar que ela permanece inalterada e igual a 180, conforme a figura a seguir.

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Trata-se de uma propriedade dos trapzios, que ser enunciada e demonstrada a seguir.

Propriedade dos trapzios. Em um trapzio ABCD de bases m( ) + m(D ) = 180. Demonstrao

AB e CD ,

( AB // CD, AD transversal) m( ) + m(D ) = 180.

ATIVIDADE 18 Construa um paralelogramo ABCD e observe as medidas dos ngulos opostos. Inicie construindo duas retas paralelas e nomeando os pontos que aparecem durante a construo como mostra a figura a seguir.

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De acordo com a definio, construa o segmento AB e uma reta que contenha C e seja paralela a AB . Ao ponto de interseco entre a reta que contm A e a que contm C, d o nome de D. Construa os segmentos AD, DC e BC, e oculte as retas paralelas construdas. Em seguida, exiba as medidas de todos os ngulos do quadriltero e observe as medidas dos ngulos opostos. Voc obter uma figura anloga a que segue.

Movimente o ponto A, por exemplo, e observe que os ngulos opostos permanecem com a mesma medida. Essa propriedade dos paralelogramos ser enunciada e demonstrada a seguir.

Propriedade dos paralelogramos. Em todo paralelogramo dois ngulos opostos quaisquer so congruentes. Demonstrao Seja ABCD um paralelogramo, como mostra a figura a seguir.

AD // BC m( A) + m( B) = 180 ABCD paralelogramo AB // CD m( B) + m(C ) = 180 Logo e C so congruentes. De forma anloga mostra-se a congruncia de B e D.

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9 CIRCUNFERNCIA E CRCULO

ATIVIDADE 19

Construa uma circunferncia de centro O, uma reta secante a esta circunferncia, pelos pontos A e B, encontre o ponto mdio do segmento AB, construa o segmento OM e

determine a medida do ngulo OMB .Para construir a circunferncia, voc pode utilizar a ferramenta Crculo. Em seguida, construa uma reta que passe por dois pontos distintos da circunferncia e nomeie-os de A e B. Construa o segmento AB e finalize seguindo as instrues do enunciado.

Voc obter uma figura como a seguir, ou seja, verificar que o ngulo OMB reto.

Essa propriedade de reta secante a uma circunferncia ser enunciada e demonstrada a seguir.

Propriedade da reta secante (Parte I). Se uma reta s, secante a uma circunferncia C de centro O, no passa pelo centro, intercepta C nos pontos distintos A e B, e se M o ponto mdio do segmento AB, ento a reta OM perpendicular secante s.

Demonstrao Considere a figura a seguir.

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Pelo caso LLL, os tringulos OBM e OAM so congruentes, j que OB OA (raios), AM BM (M ponto mdio de AB) e OM lado comum.

Logo OMB OMA . Portanto OM perpendicular reta s.

Agora, poderia surgir a seguinte pergunta: caso soubssemos de antemo que OM perpendicular reta secante s, ser que essa perpendicularidade ocorreria exatamente no ponto mdio de AB? Para responder esta questo, considere a atividade 20.

ATIVIDADE 20

Construa uma circunferncia de centro O, uma reta secante a esta circunferncia, pelos pontos A e B, o segmento OM perpendicular a reta secante e verifique que M ponto mdio de AB.A construo desta atividade anloga a da atividade 19, porm devemos construir a reta perpendicular a AB, passando por O, para ento obter o segmento OM. Para verificar que M o ponto mdio de AB, construa os segmentos AM e MB, e exiba suas medidas, como mostra a figura a seguir.

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Essa propriedade, bem como sua demonstrao, encontram-se a seguir.

Propriedade da reta secante (Parte II). Se uma reta s, secante a uma circunferncia

C, de centro O, no passa pelo centro, intercepta C nos pontos distintos A e B, ento a perpendicular a s conduzida pelo centro passa pelo ponto mdio de AB. Demonstrao Considere a figura a seguir.

Pelo caso especial de congruncia de tringulos retngulos (caso hipotenusacateto), os tringulos OAM e OBM so congruentes, j que as hipotenusas OA e OB so raios da mesma circunferncia e o cateto OM comum. Portanto, AM BM, ou seja, M ponto mdio de AB.

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10 TEOREMA DE TALES E O TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA

Atividade 21

Construa um tringulo ABC e encontre a bissetriz interna AD relativa ao ngulo . Seja m(AB) = c, m(BD) = x, m(DC) = y e m(CA) = b. Qual a relao entre x/c ey/b? Para determinar a bissetriz interna AD, clique na ferramenta (ngulo bissetriz

com Semi-Reta) e em seguida clique sobre um ponto num lado do ngulo, depois sobre o vrtice A e finalmente em um ponto no outro lado do ngulo. Assim, voc obter uma semi-reta com origem em A. Para determinar o ponto D, basta nomear o ponto de interseco da semi-reta com o lado BC. Em seguida, construa o segmento AD e oculte a semi-reta com origem em A. Construa tambm os segmentos BD e DC. Agora observe a relao entre x/c e y/b. Lembre-se que para obter estas razes numericamente, voc deve utilizar a ferramenta Expresso Aritmtica para cada uma delas, conforme as figuras abaixo.

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Movimente os vrtices do tringulo e note que, em qualquer situao, x/c = y/b. Esse resultado conhecido como teorema da bissetriz interna.

Teorema da bissetriz interna. Uma bissetriz interna de um tringulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

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Ao considerar a figura a seguir, o enunciado acima deve ser entendido como x/c = y/b.

Demonstrao Conduzimos por C uma paralela bissetriz AD, determinando um ponto E na reta

AB .

Fazendo B D = 1 , D C = 2 , AEC = 3 e ACE = 4 , temos: CE // AD 1 3 (correspondentes) CE // AD 2 4 (alternos) Como por hiptese 1 2 , decorre que 3 4 . Dessa forma, o tringulo ACE issceles de base CE, isto , m(AE) = b. Considerando BC e BE como transversais de um feixe de retas paralelas e aplicando o teorema de Tales, vem x/y = c/b, ou seja, x/c = y/b.

Observao 1. Relembremos que o teorema de Tales diz que se duas retas so transversais de um feixe de paralelas, ento a razo entre dois segmentos quaisquer de uma delas igual a razo entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Assim, na figura a seguir, vale a relao

AB A' B ' = . CD C ' D'

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11 SEMELHANA DE TRINGULOS

Antes de iniciar a prxima atividade, considere a definio de tringulos semelhantes e de razo de semelhana.

Definio 12. Dois tringulos so semelhantes se, e somente se, possuem os trs ngulos ordenadamente congruentes e os lados homlogos proporcionais. Dois lados homlogos so tais que cada um deles est em um dos tringulos e ambos so opostos a ngulos congruentes.

Definio 13. A razo de semelhana entre dois tringulos a razo entre os lados homlogos. Se a razo de semelhana for igual a 1, ento os tringulos so congruentes.

ATIVIDADE 22 Construa dois tringulos ABC e AED semelhantes. Para isto, construa o tringulo ABC. Determine os pontos mdios D e E dos lados AC e AB, respectivamente. Trace o segmento DE. Considere os tringulos ABC e ADE. O ngulo comum aos dois tringulos. Alm disso, como ED o segmento que une os pontos mdios dos lados AC e AB, sabe-se

que ED paralelo a BC. Logo ADE ACB e AED ABC , por se tratarem de ngulosalternos. De acordo com a definio de tringulos semelhantes, resta mostrar que os lados homlogos dos tringulos ABC e ADE so proporcionais. Utilize a ferramenta Expresso Aritmtica para exibir as medidas dos lados dos tringulos ABC e ADE. Primeiramente ser necessrio construir os segmentos AD, AE e ED. Para obter a razo de semelhana entre os tringulos, utilize a mesma ferramenta e exiba os resultados dos quocientes m(AB)/m(AE), m(AC)/m(AD) e m(BC)/m(ED), como na figura a seguir.

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Note que a razo de semelhana entre os tringulos ABC e ADE igual a 2. Isso j era esperado, pois se sabe que o segmento que liga os pontos mdios de dois lados de um tringulo tem medida igual metade da medida do terceiro lado, ou seja, m(ED) = m(BC)/2. Para finalizar essa atividade, movimente o tringulo ABC e observe os quocientes calculados.

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12 TEOREMA DE PITGORAS

O Teorema de Pitgoras diz que em um tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos. Demonstrao Esta demonstrao construtiva e est detalhada na atividade a seguir.

ATIVIDADE 23 Crie duas retas r e s perpendiculares que se interceptem num ponto C. Marque um ponto A em r e um ponto B em s. Utilize a ferramenta Compasso e transporte a medida do segmento CA para a reta s a partir do ponto B, marcando um ponto P, de forma que B esteja entre C e P. Use a mesma ferramenta e transporte a medida do segmento CB para a reta r a partir do ponto A, marcando um ponto D de maneira que A esteja entre C e D. Trace uma reta t paralela a r passando por P, e uma reta u, paralela a s passando por D. Marque o ponto E de interseco de t e u. Transporte a medida de CB para o segmento PE a partir de P, determinando um ponto F entre P e E. Transporte a medida de CA para o segmento DE, a partir do ponto D, determinando um ponto G entre D e E. Oculte as circunferncias traadas. Crie os segmentos AB, BF, FG e GA. A construo obtida dever ser anloga figura a seguir.

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Observando a figura, responda: a) O quadriltero ABFG um quadrado? Essa uma pergunta cuja resposta crucial para a demonstrao do teorema de Pitgoras a partir da construo anterior. Para facilitar o entendimento das explicaes a seguir, sejam m(CA) = b, m(CB) = a e m(AB) = c. Assim, queremos provar que a2 + b2 = c2 (note que o tringulo ACB retngulo por construo). Devido s construes realizadas, os tringulos BPF, FEG e GDA so congruentes pelo caso LAL. Observando que a soma dos ngulos agudos de cada um desses tringulos igual a 90, deduzimos que os ngulos do quadriltero ABFG so retos. Alm disso, todos os lados de ABFG tm medidas iguais a da hipotenusa AB. Logo, ABFG um quadrado.

b) Determine a rea do quadrado CPED e finalize a demonstrao do teorema de Pitgoras. Se observarmos o quadrado CPED desconsiderando suas subdivises, temos que sua rea (a + b) 2. Porm, esta rea igual soma das reas do quadrado menor ABFG, dada por c2, e dos quatro tringulos equivalentes, dada por 4 (1/2) ab. Portanto, temos: (a + b) 2 = c2 + 4 (1/2) ab, ou seja, a2 + b2 = c2.

Caso voc queira apenas verificar a validade do teorema, a atividade a seguir poder ser executada facilmente.

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ATIVIDADE 24

Construa um tringulo retngulo ABC e verifique a validade do teorema de Pitgoras. Para isto, construa duas retas perpendiculares que se interceptem em um ponto C. Crie os pontos A e B nessas retas, de forma que eles no pertenam mesma reta. Construa os segmentos AB, BC e CA. Oculte as retas iniciais. Determine as medidas dos lados do tringulo, dadas por m(CA) = b, m(CB) = a e m(AB) = c. Utilize a ferramenta Expresso Aritmtica para mostrar que os clculos c2 e a2 + b2 levam ao mesmo resultado. Mova os vrtices do tringulo e observe a validade do teorema, como no caso abaixo.

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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemtica elementar: geometria plana. Vol. 9. 8 ed. So Paulo: Atual, 2005. NETO, A. A.; LAPA, N.; SAMPAIO, J. L. P.; CAVALLANTE, S. L. Geometria. Vol. 5. 1 ed. So Paulo: Moderna, 1982. RICH, B. Geometria Plana. 1. ed. So Paulo: McGraw Hill do Brasil, 1972.

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