UNIVERSIDADE DE SO PAULOINSTITUTO DE FSICA

MECNICA I - FMT 305 - 1 SEMESTRE

DE 2003perodo noturno

Profa. Maz Bechara

_____________________________________________________________Tpico V. Introduo ao formalismo Lagrangeano e Hamiltoneano na

mecnica clssica_______________________________________________________

durao prevista: ~ 4 semanas

V.1 O princpio de HamiltonV.2 Coordenadas generalizadas e as equaes de Lagrange para o movimento. Aplicaes.V.3 Soluo das equaes de Lagrange para sistemas com vnculo - equaes de vnculo e graus de liberdade do sistema.V.4 As equaes de Lagrange com os multiplicadores indeterminados. As foras de vnculo.V.5 Equivalncia das equaes de Lagrange e de Newton para o

movimento.V.6 O Hamiltoneano e as equaes de Hamilton para o movimento.

REFERNCIAS:

a) Jerry B. Marion e Stephen T. Thornton em Classical Dynamics of Particles and Systems da Saunders College Publishing, 4a. edio; Cap. 7

b) Keith R. Symon em Mecnica da Editora Campus, Cap. 9.

Mecnica I Lista tpico V

QUESTES REFERENTES AO TPICO V------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Questo 1.

Uma certa massa M2 est pendurada na extremidade de um fio que passa por cima de uma polia fixa sem atrito. (figura ao lado). Na outra extremidade deste fio h uma polia de massa M1, que no gira, e sobre a qual est um fio que segura as massas m1 e m2.(a) Determine a Lagrangeana do sistema.(b) Determine a acelerao da massa m2.

Questo 2.

Na figura abaixo, representa um plano horizontal sem atrito tendo uma pequena abertura O. Um fio de comprimento l, que passa por O, tem em suas extremidades uma partcula P de massa m e uma partcula Q de mesma massa e que balana livremente. partcula P dada uma velocidade inicial de magnitude vo em ngulo reto com o fio OP quando o comprimento do fio OP = a. Seja r a distncia instantnea OP, enquanto o ngulo entre OP e uma linha fixa que passa por O.(a) Determine o lagrangeano do sistema.(b) Escreva a equao diferencial para o movimento de P em termos de r.(c) Ache a velocidade de P em uma posio qualquer.

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Mecnica I Lista tpico V

Questo 3.

Um aro de massa m e raio R rola sem deslizar em um plano inclinado de massa M o qual faz um ngulo com a horizontal (figura ao lado). Ache as equaes de Lagrange e as integrais de movimento para o caso em que o plano desliza sem atrito na superfcie horizontal.

Questo 4. Uma partcula de massa m desliza sem atrito em um aro de raio R. Calcule pelo mtodo dos multiplicadores de Lagrange, a reao do aro na partcula. Mostre que a partcula deixa o aro depois de percorrer um ngulo igual a

)3/2cos(arc , se ela partir do repouso no topo do aro.

Questo 5. Dois blocos, cada um de massa M, esto ligados por uma corda de comprimento l. Um dos blocos est colocado em uma superfcie horizontal enquanto o outro est na vertical ligado ao primeiro por uma roldana. Descreva o movimento do sistema quando a massa da corda desprezvel.

Questo 6.

Escreva a Lagrangeana e obtenha as equaes de movimento para o pndulo mostrado na figura ao lado. O ponto de apoio do pndulo se move num eixo horizontal com )tcos(Ax = .

Questo 7.

Uma barra gira com velocidade o

no plano (x, y) em torno de um aro vertical passando pela extremidade O, onde est presa uma mola de constante elstica k e comprimento natural l. Na outra extremidade da mola prende-se um anel de massa m que pode deslizar sem atrito na vareta (veja figura ao lado).

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Mecnica I Lista tpico V

(a) Escreva a Lagrangeana para o anel.(b) Determine as equaes de movimento do anel.(c) A energia total do anel constante? Justifique.

Questo 8.

Um ponto material de massa m move-se dentro de um hemisfrio em repouso, liso e de raio R, como mostra a figura ao lado.(a) Obtenha as equaes de movimento da partcula.(b) Determine a reao do hemisfrio sobre a partcula.

Questo 9.

Considere um anel de massa m movendo-se numa barra formando um ngulo com a vertical, sob a ao de seu peso (figura ao lado). Em t = 0 o anel est parado em x = 0.(a) Determine o movimento do anel, se a barra se desloca para a direita com

acelerao a.

(b) Determine a reao da barra.

Questo 10.

Determine as equaes de movimento das massas m1 e m2 do pndulo duplo da figura ao lado, em movimento no plano do papel. Deixe claro quantos e quais so os graus de liberdade deste sistema, e a(s) equao(es) de vnculo do movimento. Os fios do pndulo tm comprimento L1 e L2 conhecidos, so inextensveis e tm massas desprezveis comparadas com as massas m1 e m2.(a) Discuta a aproximao para pequenas oscilaes.

Questo 11.

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Mecnica I Lista tpico V

Uma partcula de massa m desliza sem atrito em um aro circular de raio a como mostra a figura ao lado. O aro est em um plano vertical e gira com velocidade angular

.

(a) Determine as equaes de movimento do sistema.(b) Discuta, usando o mtodo do potencial efetivo, a natureza dos possveis

movimentos da partcula.(c) Calcule a freqncia de pequenas oscilaes em torno da posio de equilbrio

estvel no caso onde c= e ag

c =.

(d) Usando o mtodo dos multiplicadores de Lagrange, ache expresses para as foras de reao e vnculo e diga o que representa fisicamente cada um dos multiplicadores de Lagrange.

Questo 12.

Uma esfera de raio rola sem escorregar na metade inferior da superfcie interna de um cilindro de raio R, como mostra a figura ao lado. Determine a funo Lagrangeana, a equao de vnculo e a(s) equao(es) de Lagrange do movimento. Encontre as freqncias de pequenas oscilaes.

Questo 13.

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Mecnica I Lista tpico V

Uma mquina de Atwood mostrada na figura ao lado. Tome um conjunto apropriado de coordenadas generalizadas e obtenha as equaes de Lagrange para o sistema. Determine as aceleraes das massas (as massas das roldanas so desprezveis). Resolva tambm o problema com multiplicadores de Lagrange e encontre as tenses nos fios.

Questo 14. Uma partcula de massa m se move sob a influncia da gravidade ao longo de uma espiral = kz , onde k constante e o eixo z vertical. Obter as equaes de movimento da massa.

Questo 15.

Considere uma barra rgida e uniforme de massa M e comprimento L, presa pelas extremidades por duas molas de constante k (veja figura ao lado). Na posio de equilbrio a barra est horizontal. Considere somente o movimento da barra no plano vertical. Se no incio uma das extremidades da barra estiver deslocada e a outra na posio de equilbrio e com o sistema partindo do repouso, ache o movimento subsequente. Determine as freqncias de pequenas oscilaes.

Questo 16. Uma partcula de massa m se move em uma dimenso sob a

influncia de uma fora )texp(

xk)t,x(F 3 = , onde k e so constantes positivas.

(a) Escreva a Lagrangeana.(b) Determine as equaes de movimento da massa.

Questo 17. Use o mtodo de Lagrange para obter a equao de movimento de uma partcula de massa m restringida a mover-se na superfcie de um cilindro definido por

222 Ryx =+ . A partcula esta sujeita a uma forca dirigida origem e proporcional distncia da partcula origem: rkF = .

Questo 18. Uma bola est restrita a mover-se ao longo da superfcie da espiral cnica (figura ao lado). Suponha que bzeaz == , onde a e b so constantes. Mostre que a equao de movimento pode ser escrita na forma:

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Mecnica I Lista tpico V

( ) gzzbazba1az 2222222 =+++ Questo 19. (8-34 do Marion&Thornton)Uma partcula se move sobre a superfcie de um cone de ngulo 2 sujeito fora gravitacional.

(a) Mostre que o potencial efetivo : ( ) += cotmgr

mr2LrV 2

2

eff

(Note que aqui r a distncia radial em coordenadas cilndricas, no coordenadas esfricas).

(b) Mostre que os pontos de retorno de movimento podem ser encontrados a partir da soluo cbica em r. Mostre ainda que somente duas razes tm significado fsico, de modo que o movimento confinado dentro de dois planos horizontais que cortam o cone.

Questo 20. (a) Voc considera correta a afirmao: "a dinmica Lagrangeana se constituiu

numa nova teoria para a mecnica clssica" correta? Justifique. (b) Qual a grandeza fsica que enfatizada na mecnica de Newton? E na

mecnica Lagrangeana? Discuta as conseqncias deste fato.(b) O que voc entende por coordenadas generalizadas e seus momentos associados? (c) O que define o nmero de graus de liberdade de um sistema dinmico?

Justifique(d) O que voc entende por "vnculos" no movimento de um corpo? Esto estes

vnculos associados a foras fsicas? Justifique.(e) H alguma razo fsica para que na Lagrangeana de um sistema aparea a

coordenada generalizada mas no a derivada dela, ou vice-versa? Justifique. (f) Dos movimentos descritos nas questes 1 a 19, qual deles voc considera que

seria mais fcil descrever usando o formalismo Newtoneano ao invs do Langrageano? E mais difcil? E de mesmo nvel de dificuldade?

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QUESTES REFERENTES AO TPICO VQuesto 19. (8-34 do Marion&Thornton)